Luận án: Tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các CR - tự đẳng cấu vi

N: 

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vào những năm 60 của thế kỷ trước, nhà toán học Nhật Bản Shoshichi
Kobayashi đã xây dựng trên mỗi không gian phức một giả khoảng cách bất
biến đối với các tự đẳng cấu chỉnh hình. Giả khoảng cách đó ngày nay được gọi
là giả khoảng cách Kobayashi. Khi giả khoảng cách Kobayashi trên một không
gian phức trở thành khoảng cách thì không gian phức đó được gọi là không gian
phức hyperbolic. Tính hyperbolic của không gian phức cho phép chúng ta tiếp
cận đến nhiều tính chất hình học của không gian phức.
Ta thấy, tính hyperbolic của không gian phức thực chất là kiểm soát tính
không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi tại hai điểm bất kỳ của không
gian đó. Vì thế, một vấn đề tự nhiên được đặt ra là: Ta có thể thu được những
tính chất hình học như thế nào trong trường hợp ta không thể kiểm soát được
tính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi tại một số cặp điểm? Từ
ý tưởng trên, S. Kobayashi đã đề xuất khái niệm không gian phức hyperbolic
modulo một tập con giải tích. Ông và một vài tác giả sau này đã nghiên cứu vấn
đề trên và thu được nhiều kết quả đẹp đẽ. Tuy nhiên, chúng ta biết chưa nhiều
các lớp cụ thể các không gian phức hyperbolic modulo một tập con giải tích.
Ngoài ra, những kết quả của M. Zaidenberg, J. Noguchi về giả thiết Mordell

trong tình huống compact và không compact cho chúng ta thấy rõ tầm quan
trọng của việc nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích.
Từ lý do trên, luận án đặt ra vấn đề đầu tiên là nghiên cứu tính hyperbolic
modulo một tập con giải tích và những thuộc tính liên quan của miền kiểu
Hartogs. Nói thêm rằng miền Hartogs là trường hợp đặc biệt của miền kiểu
Hartogs và là một đối tượng cơ bản, quen thuộc của giải tích phức nhiều biến.
Những kết quả của luận án về chủ đề này sẽ góp phần để hiểu rõ hơn những
tính chất hình học của miền Hartogs.
Một ứng dụng quan trọng của tính hyperbolic đó là, tính hyperbolic cho phép
chúng ta kiểm soát hình thái của dãy đĩa chỉnh hình trong một đa tạp phức khi
dãy đĩa đó tiến ra "vô cùng" (tức là tiến ra "biên" của đa tạp). Đã có nhiều
kết quả đẹp của các nhà toán học trong và ngoài nước về chủ đề này như: L.
Zalcman, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Văn Trào Hình thái của dãy đĩa chỉnh hình
trong đa tạp phức còn cho phép chúng ta tiếp cận đến một số vấn đề của Hệ
động lực học phức nhiều biến. Trong việc nghiên cứu chủ đề này, nghiên cứu
tính Zalcman của không gian phức là một vấn đề rất quan trọng. Đặc biệt, giả
2
thuyết về tính Zalcman của C
n
khi n ≥ 2 cho đến nay vẫn là một câu hỏi mở.
Vì thế vấn đề thứ hai được nghiên cứu trong luận án là nghiên cứu đường
cong giới hạn Brody trong C
n
và (C
∗
)
2
. Chúng tôi hy vọng rằng cách tiếp cận
của chúng tôi về vấn đề này sẽ cho phép chúng ta giải quyết được giả thuyết về
tính Zalcman đã nói ở trên.

Như chúng ta đã biết, hình học theo quan điểm KLEIN là hình học của các
nhóm biến đổi. Vì thế một bài toán cổ điển trong hình học đó là mô tả các tự
đẳng cấu của một lớp đa tạp nào đó. Trong phần cuối của luận án, dưới góc độ
của hình học phức hyperbolic, chúng tôi giải quyết vấn đề thứ ba của luận án
đó là mô tả tường minh các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của một lớp
các siêu mặt thực kiểu vô hạn trong C
2
.
Với tất cả những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án là: "Tính
hyperbolic của không gian phức và nhóm các CR-tự đẳng cấu vi
phân". Chúng tôi hy vọng rằng những kết quả đạt được của luận án sẽ góp
phần giúp chúng ta hiểu rõ hơn các đặc trưng hình học của các không gian
phức.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là:
Đưa ra điều kiện cần và đủ cho tính hyperbolic modulo và tính taut modulo
một tập con giải tích của miền kiểu Hartogs.
Đưa ra câu trả lời cho giả thuyết về tính Zalcman của không gian phức C
n
.
Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của các siêu mặt
kiểu vô hạn thông qua không gian vectơ các trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án gồm các không gian phức, miền kiểu Har-
togs, siêu mặt thực nhẵn kiểu vô hạn M trong C
2
.
Phạm vi nghiên cứu của đề tài đó là tính hyperbolic modulo, tính taut modulo
một tập con giải tích của miền kiểu Hartogs; tính Zalcman của không gian phức;
trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình của siêu mặt thực nhẵn kiểu vô hạn M trong

C
2
.
4. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương
pháp và kỹ thuật truyền thống của Giải tích phức, Hình học phức,
5. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài
Luận án đạt được một số kết quả sau:
3
Vấn đề 1: Nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích và những
thuộc tính liên quan của miền kiểu Hartogs.
Định lý 1.2.4: Giả sử X là không gian phức và S là một tập con giải tích của
X. Khi đó Ω
H
(X) là hyperbolic modulo S × C
m
nếu và chỉ nếu X là hyperbolic
modulo S và hàm H thỏa mãn điều kiện sau: Nếu {z
k
}
k≥1
⊂ X \S với lim
k→∞
z
k
=
z
0
∈ X \ S và {w
k

}
k≥1
⊂ C
m
với lim
k→∞
w
k
= w
0
= 0, thì lim sup
k→∞
H(z
k
, w
k
) = 0.
Định lý 1.3.1: Giả sử X là một không gian phức và S là một tập con giải
tích trong X. Khi đó
i. Nếu Ω
H
(X) là taut modulo S × C
m
thì X là taut modulo S và log H là đa
điều hòa dưới, liên tục trên (X \ S) × C
m
.
ii. Đặc biệt hơn, nếu X là không gian phức liên thông bất khả quy địa phương
và S là tập con giải tích (riêng) thì log H là đa điều hòa dưới trên X × C
m

.
iii. Ngược lại, nếu X là taut modulo S, H là liên tục trên (X \ S) × C
m
và log H
là đa điều hòa dưới trên X × C
m
thì Ω
H
(X) là taut modulo S × C
m
.
Vấn đề 2: Nghiên cứu đường cong giới hạn Brody trong C
n
và (C
∗
)
2
.
Định lý 2.2.3: C
n
(n ≥ 2) không là kiểu E-giới hạn đối với bất kỳ hàm độ
dài E trên C
n
.
Định lý 2.3.1: (C
∗
)
2
không là kiểu ds
2

F S
-giới hạn, ở đây ds
2
F S
là metric
Fubini-Study trên P
2
(C).
Ngoài ra, luận án còn đưa ra một tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của họ các
ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức vào một không gian phức compact với metric
Hermit tùy ý.
Định lý 2.1.9: Giả sử Ω là một miền trong C và X là một không gian phức
compact với metric Hermit E. Giả sử S là một siêu mặt phức trong X và đặt
M = X \ S. Giả sử F ⊂ Hol(Ω, M). Khi đó họ F là không chuẩn tắc nếu và chỉ
nếu tồn tại dãy {p
j
} ⊂ Ω với p
j
→ p
0
∈ Ω khi j → ∞, {f
j
} ⊂ F, {ρ
j
} ⊂ R với
ρ
j
> 0 và ρ
j
→ 0

+
khi j → ∞ sao cho
g
j
(ξ) := f
j
(p
j
+ ρ
j
ξ), ξ ∈ C
thỏa mãn một trong hai khẳng định sau:
(i) Dãy {g
j
} phân kỳ compact trên C;
(ii) Dãy {g
j
} hội tụ đều trên các tập con compact của C tới một đường cong
E-Brody không hằng g : C → M.
4
Vấn đề 3: Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của một
lớp các siêu mặt thực trong C
2
.
Định lý 3.2.4: Giả sử (M, 0) là một mầm siêu mặt thực nhẵn lớp C
1
tại 0 được
xác định bởi phương trình ρ(z) := ρ(z
1
, z

2
) = Rez
1
+P (z
2
)+Imz
1
Q(z
2
, Imz
1
) = 0
thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) P, Q nhẵn lớp C
1
với P (0) = Q(0, 0) = 0,
(2) P (z
2
) > 0 với bất kỳ z
2
= 0
(3) P (z
2
), P

(z
2
) phẳng tại z
2
= 0.

Khi đó dim
R
hol
0
(M, 0) ≤ 1.
6. Cấu trúc luận án
Luận án bao gồm ba chương, được viết dựa trên bốn công trình đã được đăng
và nhận đăng trên các tạp chí trong và ngoài nước. Cụ thể:
Chương 1 với tên gọi "Tính hyperbolic modulo và tính taut modulo của miền
kiểu Hartogs", chúng tôi trình bày chi tiết chứng minh về điều kiện cần và đủ
cho tính hyperbolic modulo, tính taut modulo S × C
m
của miền kiểu Hartogs
Ω
H
(X). Bên cạnh đó, trong chương này chúng tôi còn trình bày chứng minh
định lý Eastwood cho tính hyperbolic modulo.
Chương 2 với tên gọi "Đường cong giới hạn Brody trong C
n
và (C
∗
)
2
", chúng
tôi trình bày chứng minh một khẳng định cho giả thuyết về tính Zalcman của
không gian phức C
n
. Thêm nữa, trong chương này chúng tôi đưa ra tiêu chuẩn
cho tính chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức vào một
không gian phức Hermit không đầy.

Chương 3 với tên gọi "Nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân", chúng tôi sẽ mô
tả tường minh nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của một lớp các
siêu mặt thực kiểu vô hạn trong C
2
thông qua việc mô tả không gian vectơ thực
các mầm trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt đó. Cụ thể chúng tôi
chứng minh rằng hol
0
(M, p) của siêu mặt kiểu vô hạn D’Angelo trong C
2
có số
chiều thực không vượt quá 1.
Ngoài ba chương chính ở trên, luận án còn có các phần như: Mở đầu, Danh
mục kí hiệu, Tổng quan, Kết luận và Kiến nghị, Danh mục công trình công bố
của tác giả, Tài liệu tham khảo, Mục lục.
5
TỔNG QUAN
Trong phần tổng quan này chúng tôi sẽ trình bày những phân tích, đánh giá
về các công trình nghiên cứu đã có của các tác giả trong và ngoài nước liên quan
mật thiết đến đề tài luận án. Đồng thời chúng tôi sẽ nêu ra những vấn đề còn
tồn tại và chỉ ra những vấn đề mà đề tài luận án cần tập trung nghiên cứu giải
quyết.
1. Vấn đề 1: Tính hyperbolic modulo và tính taut modulo của miền
kiểu Hartogs
Giả sử X là một không gian phức, H là một hàm đa điều hòa dưới thuần
nhất không âm trên X × C
m
, S là một tập con giải tích của X. Ta gọi miền kiểu
Hartogs là tập Ω
H

(X) := {(z, w) ∈ X × C
m
: H(z, w) < 1}.
Khi m = 1 và H(z, w) = |w|e
ϕ(z)
với ϕ : X → [−∞, ∞) là một hàm nửa liên
tục trên trên X thì miền Hartogs
Ω
ϕ
(X) := {(x, z) ∈ X × C : |z| < e
−ϕ(x)
}
là trường hợp đặc biệt của của miền kiểu Hartogs Ω
H
(X). Miền Hartogs Ω
ϕ
(X)
là một đối tượng nghiên cứu cổ điển của giải tích phức nhiều biến. Đặc biệt,
trong hơn mười năm trở lại đây, đã có nhiều nghiên cứu về tính hyperbolic cũng
như tính taut của miền Hartogs từ quan điểm của giải tích phức hyperbolic.
Năm 2000, Đỗ Đức Thái và Phạm Việt Đức đã khảo sát miền Hartogs Ω
ϕ
(X)
với ϕ : X → [−∞, ∞) là hàm đa điều hòa dưới trên X. Các tác giả đã khẳng
định rằng miền Hartogs Ω
ϕ
(X) là hyperbolic đầy khi và chỉ khi X là hyperbolic
đầy và ϕ liên tục trên X, trong điều kiện là với mỗi x ∈ X, tồn tại một lân
cận mở U của x trong X và một dãy h
j

các hàm chỉnh hình trên U và một dãy
c
j
các số thực thuộc khoảng (0; 1) sao cho dãy {c
j
log |h
j
|} hội tụ đều trên các
tập con compact của U tới hàm ϕ. Đồng thời các tác giả cũng chỉ ra rằng miền
Hartogs Ω
ϕ
(X) là taut khi và chỉ khi X là taut và ϕ liên tục trên X.
Tiếp đến năm 2003, Nguyễn Quang Diệu và Đỗ Đức Thái đã nghiên cứu
tính hyperbolic và tính hyperbolic đầy của miền Hartogs Ω
ϕ
(X) với ϕ : X →
[−∞, ∞) là hàm nửa liên tục trên trên X. Các tác giả đã chỉ ra điều kiện cần
và đủ để miền Hartogs Ω
ϕ
(X) là hyperbolic là không gian phức X là hyperbolic
và ϕ bị chặn địa phương trên X. Bên cạnh đó các tác giả đã chỉ ra được điều
kiện cần để Ω
ϕ
(X) là hyperbolic đầy là không gian phức X là hyperbolic đầy và
ϕ nhận giá trị thực, liên tục, đa điều hòa dưới trên X; điều kiện đủ để Ω
ϕ
(X)
là hyperbolic đầy là không gian phức X là hyperbolic, ϕ nhận giá trị thực, liên
6
tục, đa điều hòa dưới trên X thỏa mãn: Với mọi điểm biên (x

0
; z
0
) ∈ ∂Ω
ϕ
(X)
mà x
0
∈ X, tồn tại một lân cận V của điểm x
0
trong X, một hàm chỉnh hình f
trên Ω
ϕ
(V ) sao cho
|f(x; z)| < 1, ∀(x; z) ∈ Ω
ϕ
(V ), lim
(x;z)→(x
0
;z
0
)
|f(x; z)| = 1.
Sau đó vài năm, năm 2007, S. H. Park đã chứng minh được kết quả về tính
hyperbolic và tính taut của miền Ω
u,h
(X), ở đây tác giả xét miền kiểu Hartogs
Ω
H
(X) trong trường hợp H(z, w) := h(w)e

u(z)
với h là hàm nửa liên tục trên
trên C
m
, h ≡ 0, h(λw) = |λ|h(w) và u là hàm nửa liên tục trên trên X. Cụ thể,
tác giả đã chứng minh được Ω
u,h
(X) là hyperbolic khi và chỉ khi X là hyperbolic,
D
h
= {w ∈ C
m
: h(w) < 1}  C
m
và u bị chặn địa phương trên X; Ω
u,h
(X) là
taut khi và chỉ khi X, D
h
là taut và u liên tục, đa điều hòa dưới trên X.
Theo hướng mở rộng miền Hartogs, năm 2009, Nguyễn Văn Trào và Trần Huệ
Minh đã khảo sát miền kiểu Hartogs Ω
H
(X) về tính hyperbolic và tính taut. Các
tác giả đã khẳng định được Ω
H
(X) là hyperbolic khi và chỉ khi X là hyperbolic
và hàm H thỏa mãn điều kiện sau: nếu {z
k
}

k≥1
⊂ X với lim
k→∞
z
k
= z
0
∈ X và
{w
k
}
k≥1
⊂ C
m
với lim
k→∞
w
k
= w
0
= 0 thì lim sup
k→∞
H(z
k
, w
k
) = 0. Đồng thời các
tác giả cũng như đưa ra được điều kiện cần và đủ để miền kiểu Hartogs Ω
H
(X)

là taut là không gian phức X là taut, thớ Ω
H
(z) là taut với mọi z ∈ X và log H
là hàm đa điều hòa dưới liên tục.
Trong tất cả các kết quả đã liệt kê ở trên, các tác giả đã khảo sát miền kiểu
Hartogs Ω
H
(X) trong các trường hợp đặc biệt cũng như tổng quát. Các kết quả
này đã đề cập đến tính hyperbolic, hyperbolic đầy, tính taut của Ω
H
(X). Tiếp
tục luồng nghiên cứu trên, chúng tôi khảo sát tính hyperbolic modulo và tính
taut modulo S × C
m
của miền kiểu Hartogs Ω
H
(X).
2. Vấn đề 2: Đường cong giới hạn Brody trong C
n
và (C
∗
)
2
Năm 2003, Đỗ Đức Thái, Phạm Nguyễn Thu Trang và Phạm Đinh Hương đã
giới thiệu khái niệm không gian phức Zalcman, đồng thời các tác giả chỉ ra một
số ví dụ về không gian phức Zalcman, như: Mọi không gian phức compact là
Zalcman hay phần bù của một siêu mặt hyperbolic bất kỳ trong một không gian
phức compact là Zalcman.
Theo hướng nghiên cứu các đặc trưng của không gian phức Zalcman, năm
2007, Nguyễn Văn Trào và Phạm Nguyễn Thu Trang đã chỉ ra một số lớp không

gian phức Zalcman, như: X
1
× X
2
là Zalcman nếu X
1
là taut và X
2
là Zalcman
hay X
1
× X
2
là Zalcman nếu X
1
là không gian phức compact và X
2
là Zalcman.
7
Cũng trong bài báo này, các tác giả đã chỉ ra được đặc trưng của không gian
phức Zalcman cho phủ chỉnh hình.
Trở lại tính Zalcman của không gian phức, các tác giả Đỗ Đức Thái, Phạm
Nguyễn Thu Trang và Phạm Đinh Hương đã đặt ra giả thuyết sau.
Giả thuyết về tính Zalcman của C
n
: C
n
là không gian phức Zalcman với
mỗi n > 1.
Theo như chúng tôi biết, cho đến nay giả thuyết trên vẫn là một câu hỏi mở.

Vì vậy, trong phần này chúng tôi sẽ đi tìm câu trả lời cho giả thuyết đã nêu.
Nhắc lại rằng, khái niệm họ chuẩn tắc được giới thiệu lần đầu tiên năm 1907
bởi P. Montel và được tổng quát bởi O. Lehto và K. I. Virtanen . Kể từ đó, tính
chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình đã được nghiên cứu mạnh mẽ và sâu
sắc. Năm 2003, Đỗ Đức Thái, Phạm Nguyễn Thu Trang và Phạm Đinh Hương
đã đưa ra tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều
biến phức vào một không gian phức Hermit đầy. Tiêu chuẩn này là một tổng
quát hóa định lý của của Zalcman. Chúng ta cũng biết rằng, tiêu chuẩn của
Marty đã khẳng định rằng tính chuẩn tắc của họ F các hàm phân hình trên
miền phẳng D ⊂ C là tương đương với tính bị chặn địa phương của họ F
#
tương
ứng gồm tất cả các đạo hàm cầu f
#
= |f

|/(1 + |f|
2
).
Mục đích tiếp theo của chúng tôi đưa ra tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của
một họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức vào một không gian phức Hermit
không đầy.
3. Vấn đề 3: Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực
của các siêu mặt kiểu vô hạn
Như đã trình bày ở trên, dưới quan điểm KLEIN và dưới góc độ của Hình
học phức hyperbolic, chúng tôi sẽ mô tả tường minh nhóm các CR-tự đẳng cấu
vi phân giải tích thực của một lớp các siêu mặt thực kiểu vô hạn trong C
2
. Cho
đến nay, ý tưởng cơ bản của các nhà toán học nhằm giải quyết vấn đề trên là

chuyển việc mô tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của siêu mặt
thực về việc mô tả không gian vectơ thực các mầm trường vectơ chỉnh hình tiếp
xúc với siêu mặt đó. Ý tưởng này có thể mô tả cụ thể hơn như sau.
Giả sử (M, p) là một mầm siêu mặt thực nhẵn lớp C
1
tại p ∈ C
n
. Một mầm
trường vectơ nhẵn (X, p) trên M được gọi là một mầm tự đẳng cấu CR vi
phân giải tích thực tại p của M nếu tồn tại một mầm trường vectơ chỉnh hình
(H, p) trong C
n
sao cho H tiếp xúc với M, có nghĩa là ReH tiếp xúc với M, và
X = ReH |
M
. Ta kí hiệu hol
0
(M, p) là không gian vectơ thực gồm tất cả các
8
mầm trường vectơ chỉnh hình (H, p) triệt tiêu tại p và tiếp xúc với M. Như vậy,
thông qua nhóm con một tham số các vi phôi địa phương sinh bởi một trường
vectơ, ta chuyển việc mô tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực
của siêu mặt thực M về việc mô tả không gian vectơ thực hol
0
(M, p) các mầm
trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt đó.
Nhìn chung, việc mô tả một cách tường minh các tự đẳng cấu CR vi phân giải
tích thực của một siêu mặt thực trong C
n
là không dễ dàng. Hơn nữa trong rất

nhiều trường hợp là không mô tả được. Gần đây, việc nghiên cứu hol
0
(M, p) của
một số lớp siêu mặt đặc biệt đã được tiến hành. Tuy nhiên các kết quả này mới
chỉ giải quyết được trong trường hợp các siêu mặt không suy biến Levi, hay tổng
quát hơn là trường hợp các siêu mặt suy biến Levi kiểu hữu hạn. Đối với các
siêu mặt thực nhẵn C
∞
kiểu D’Angelo vô hạn trong C
2
, các miêu tả tường minh
của hol
0
(M, p) đã được đưa ra. Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi nghiên
cứu không gian vectơ hol
0
(M, p) đối với một lớp các siêu mặt thực nhẵn C
∞
kiểu
D’Angelo vô hạn khác trong C
2
.
Chương 1
Tính hyperbolic modulo và tính taut
modulo của miền kiểu Hartogs
Trong chương này chúng tôi sẽ chỉ ra điều kiện cần và đủ cho tính hyperbolic
modulo S × C
m
của Ω
H

(X) (Định lý 1.2.4) và tính taut modulo S × C
m
của
Ω
H
(X) (Định lý 1.3.1).
1.1 Không gian hyperbolic modulo và taut modulo một tập con giải
tích
Định nghĩa 1.1.1. Một không gian phức X được gọi là hyperbolic nếu d
X
là
khoảng cách. Nghĩa là d
X
(p, q) > 0 với mọi cặp điểm phân biệt p, q ∈ X.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử X là một không gian phức và S là một tập con giải
tích của X. Ta nói rằng X là hyperbolic modulo S nếu với mọi cặp điểm phân
biệt p, q của X ta có d
X
(p, q) > 0 trừ khi cả hai điểm p, q được chứa trong S.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X là một không gian phức. Ta nói rằng X là taut
nếu với mọi dãy {f
n
} trong Hol(D, X) thì một trong hai điều sau đây là đúng:
i. Dãy {f
n
} có dãy con hội tụ đều trên mọi tập con compact của D tới f ∈
Hol(D, X);
ii. Dãy {f
n
} là phân kì compact trong Hol(D, X), tức là, với mỗi tập compact

K ⊂ D và với mỗi tập compact L ⊂ X, tồn tại một số nguyên dương N sao
cho f
n
(K) ∩ L = ∅ với mọi n ≥ N.
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử X là một không gian phức và S một tập con giải tích
trong X. Ta nói rằng X là taut modulo S nếu với mọi dãy {f
n
} trong Hol(D, X)
thì một trong hai điều sau đây là đúng:
i. Dãy {f
n
} có dãy con hội tụ đều trên mọi tập con compact của D tới f ∈
Hol(D, X);
9
10
ii. Dãy {f
n
} là phân kì compact modulo S trong Hol(D, X), tức là, với mỗi tập
compact K ⊂ D và với mỗi tập compact L ⊂ X \ S, tồn tại một số nguyên
dương N sao cho f
n
(K) ∩ L = ∅ với mọi n ≥ N.
Ví dụ 1.1.5. Đặt X = {(z, w) ∈ C
2
: |z| < 1, |zw| < 1} và S := {0} × C. Khi
đó
(i) X không là hyperbolic, nhưng X là hyperbolic modulo S.
(ii) X không là taut, nhưng X là taut modulo S.
(iii) X \ S là taut (và như vậy X \ S là hyperbolic).
1.2 Tính hyperbolic modulo S × C

m
của miền Ω
H
(X)
Giả sử X là một không gian phức và S là một tập con giải tích của X.
H : X × C
m
→ [−∞, ∞) là một hàm nửa liên tục trên thỏa mãn H(z, w) ≥
0, H(z, λw) = |λ|H(z, w), λ ∈ C, z ∈ X, w ∈ C
m
và miền kiểu Hartogs Ω
H
(X) :=
{(z, w) ∈ X × C
m
: H(z, w) < 1}.
Hàm Lempert trên miền Ω ⊂ C
m
được xác định bởi:

Ω
(a, b) = inf{d
D
(0, λ) : ∃ϕ ∈ Hol(D, Ω), ϕ(0) = a, ϕ(λ) = b}.
Bổ đề 1.2.1. Với bất kỳ (z, w) ∈ Ω
H
(X) ta có 
Ω
H
(X)

((z, 0), (z, w)) ≤ d
D
(0, H(z, w)).
Đẳng thức xảy ra khi H ∈ P SH(X × C
m
).
Bổ đề 1.2.2. Giả sử X, Y là các không gian phức, d
X
, d
Y
là các giả khoảng cách
Kobayashi trên X, Y tương ứng, π : X → Y là ánh xạ chỉnh hình, Y là hyperbolic.
Giả sử với mỗi x ∈ X, đặt y = π(x) ∈ Y và B(y, s) = {y

∈ Y | d
Y
(y, y

) < s},
V = π
−1
(B(y, 2s)). Khi đó tồn tại hằng số C > 0 (C phụ thuộc vào s) thỏa mãn
∀x

∈ V ta luôn có d
X
(x, x

) ≥ min{s, C.d
V

(x, x

)}.
Mệnh đề 1.2.3. Giả sử X, Y là hai không gian phức, π : X → Y là ánh xạ
chỉnh hình, S
Y
là tập con giải tích trong Y , đặt S
X
:= π
−1
(S
Y
). Giả sử với mỗi
y ∈ Y \ S
Y
, tồn tại một lân cận mở U của y trong Y \ S
Y
sao cho π
−1
(U) là
hyperbolic. Khi đó nếu Y là hyperbolic modulo S
Y
thì X là hyperbolic modulo
S
X
.
Định lý 1.2.4. Giả sử X là không gian phức và S là một tập con giải tích của
X. Khi đó Ω
H
(X) là hyperbolic modulo S × C

m
nếu và chỉ nếu X là hyperbolic
11
modulo S và hàm H thỏa mãn điều kiện sau:
Nếu {z
k
}
k≥1
⊂ X \ S với lim
k→∞
z
k
= z
0
∈ X \ S và {w
k
}
k≥1
⊂ C
m
với lim
k→∞
w
k
= w
0
= 0, thì lim sup
k→∞
H(z
k

, w
k
) = 0. (1.1)
Dễ thấy, hàm H(z, w) := |w|e
ϕ(z)
là liên tục nếu và chỉ nếu ϕ là liên tục; log H
là đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu ϕ là đa điều hòa dưới. Do đó ta có một hệ
quả của Định lý 1.2.4.
Hệ quả 1.2.5. Giả sử X là một không gian phức, S là một tập con giải tích
trong X và ϕ : X → [−∞, ∞) là một hàm nửa liên tục trên trên X. Khi đó
miền Hartogs Ω
ϕ
(X) là hyperbolic modulo S × C nếu và chỉ nếu X là hyperbolic
modulo S and ϕ là bị chặn địa phương (dưới) trên X \ S.
1.3 Tính taut modulo S × C
m
của miền Ω
H
(X)
Định lý 1.3.1. Giả sử X là một không gian phức và S là một tập con giải tích
trong X. Khi đó
i. Nếu Ω
H
(X) là taut modulo S × C
m
thì X là taut modulo S và log H là đa
điều hòa dưới, liên tục trên (X \ S) × C
m
.
ii. Đặc biệt hơn, nếu X là không gian phức liên thông bất khả quy địa phương

và S là tập con giải tích (riêng) thì log H là đa điều hòa dưới trên X × C
m
.
iii. Ngược lại, nếu X là taut modulo S, H là liên tục trên (X \ S) × C
m
và log H
là đa điều hòa dưới trên X × C
m
thì Ω
H
(X) là taut modulo S × C
m
.
Bổ đề 1.3.2. Với giả thiết của Định lý 1.3.1 (ii), tồn tại một đĩa giải tích f
trong X × C
m
sao cho f(0) = (z
0
, w
0
), f(D) ⊂ S × C
m
.
Ta có một hệ quả trực tiếp của Định lí 1.3.1.
Hệ quả 1.3.3. Giả sử X là một đa tạp phức liên thông và S là một tập con giải
tích trong X. Khi đó Ω
H
(X) là taut modulo S × C
m
nếu và chỉ nếu X là taut

modulo S, H là liên tục trên (X \ S) × C
m
và log H là đa điều hòa dưới trên
X × C
m
.
Ví dụ 1.3.4. Giả sử X := {(z
1
, z
2
) ∈ C
2
: z
1
z
2
= 0}, S := {(z
1
, z
2
) ∈ C
2
:
z
2
= 0}, ϕ(z
1
, z
2
) := log |z

2
|. Khi đó Ω
ϕ
(X) là taut modulo S × C, nhưng ϕ /∈
P SH(X).
Chương 2
Đường cong giới hạn Brody trong C
n
và
(C
∗
)
2
Kết quả chính trong chương này là chúng tôi sẽ cho thấy rằng giả thuyết
Zalcman đúng nếu như đạo hàm của đường cong chỉnh hình g : C → X, trong
định nghĩa của không gian phức Zalcman, bị chặn. Đó là kết quả của các Định
lý 2.2.3 và Định lý 2.3.1.
Mục đích tiếp theo của chúng tôi đưa ra tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của
một họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức vào một không gian phức Hermit
không đầy (Định lí 2.1.9).
2.1 Tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử X là một không gian phức và E : TX → R là một
hàm giá trị thực xác định trên phân thớ tiếp xúc T X. Hàm E được gọi là hàm
độ dài trên không gian phức X nếu E là hàm liên tục không âm, thỏa mãn
E(v) = 0 khi và chỉ khi v = 0,
và
E(av) = |a| · E(v) với mọi a ∈ C, v ∈ T X.
Định nghĩa 2.1.2. Một họ F các ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức X
tới không gian phức Y được gọi là chuẩn tắc nếu F là compact tương đối trong
Hol(X, Y ) với tôpô compact mở.

Định nghĩa 2.1.3. Giả sử X, Y là các không gian phức và F ⊂ Hol(X, Y ).
Họ F được gọi là không phân kỳ compact nếu F không chứa bất kỳ dãy phân kỳ
compact.
Định nghĩa 2.1.4. Giả sử X là một không gian phức hermitian với hàm độ dài
E. Một đường cong chỉnh hình f : C → X được gọi là đường cong E-Brody nếu
12
13
đạo hàm của nó bị chặn đối với E, nghĩa là |f

(z)|
E
 1 trên C. Đặc biệt, nếu
X là một miền trong P
n
(C), chúng ta hiểu là một đường cong Brody trong X là
một đường cong ds
2
F S
-Brody, ở đây ds
2
F S
là metric Fubini-Study trên P
n
(C).
Định lý 2.1.5. Giả sử Ω là một miền trong C và M là một không gian phức
hermitian đầy với metric hermitian E. Giả sử F ⊂ Hol(Ω, M). Khi đó họ F
là không chuẩn tắc nếu và chỉ nếu tồn tại dãy {p
j
} ⊂ Ω với p
j

→ p
0
∈ Ω khi
j → ∞, {f
j
} ⊂ F, {ρ
j
} ⊂ R với ρ
j
> 0 và ρ
j
→ 0
+
khi j → ∞ sao cho
g
j
(ξ) := f
j
(p
j
+ ρ
j
ξ), ξ ∈ C
thỏa mãn một trong hai khẳng định sau
(i) Dãy {g
j
} phân kỳ compact trên C;
(ii) Dãy {g
j
} hội tụ đều trên các tập con compact của C tới một đường cong

E-Brody không hằng g : C → M. Trong trường hợp này, đường cong g được
gọi là đường cong giới hạn Brody đối với metric hermitian E, hoặc gọn hơn,
một đường cong giới hạn E-Brody.
Trong Định lý 2.1.5, các tác giả Đỗ Đức Thái, Phạm Nguyễn Thu Trang và
Phạm Đinh Hương đã đưa ra tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ
chỉnh hình. Ở đây, chúng tôi đưa ra một chứng minh khác cho định lý này và
để có được điều đó chúng tôi cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.6. Giả sử (X, d) là một không gian metric đầy và giả sử ϕ : X → R
+
là hàm bị chặn địa phương. Giả sử  > 0 và τ > 1. Khi đó, với mọi a ∈ X thỏa
mãn ϕ(a) > 0, tồn tại ˜a ∈ X sao cho
(i) d(a, ˜a) ≤
τ
ϕ(a)(τ−1)
(ii) ϕ(˜a) ≥ ϕ(a)
(iii) ϕ(x) ≤ τϕ(˜a) nếu d(x, ˜a) ≤
1
ϕ(˜a)
.
Ta để ý rằng, Định lý 2.1.5 là một tổng quát hóa của định lý của Brody và
định lý của Zalcman. Tuy nhiên trong Định lý 2.1.5, metric hermitian E đòi hỏi
phải là metric đầy, do đó trong Định lý 2.1.9 chúng tôi sẽ chỉ ra khẳng định còn
đúng trong trường hợp metric hermitian không đầy. Nhưng trước tiên chúng ta
cần các bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.7. Giả sử Z là đa tạp phức. Giả sử S siêu mặt phức của một không
gian phức X. Nếu dãy {ϕ
n
} ⊂ Hol(Z, X\S)) hội tụ đều trên mọi tập con compact
của Z tới ánh xạ ϕ ∈ Hol(Z, X), thì ϕ(Z) ⊂ X \ S hoặc ϕ(Z) ⊂ S.
14

Bổ đề 2.1.8. Giả sử Ω là một miền trong C
m
. Giả sử S là siêu mặt phức trong
một đa tạp phức compact X với metric hermitian E và giả sử M = X \S. Giả sử
F ⊂ Hol(Ω, M) sao cho F là không phân kỳ compact. Khi đó, họ F là chuẩn tắc
nếu và chỉ nếu với mỗi tập con compact K của Ω, tồn tại một hằng số c
K
> 0
sao cho
E(f(z), df(z)(ξ)) ≤ c
K
|ξ| với mọi z ∈ K, ξ ∈ C
m
\ {0}, f ∈ F. (2.1)
Định lý 2.1.9. Giả sử Ω là một miền trong C. Giả sử X là một không gian phức
compact với metric hermitian E. Giả sử S là một siêu mặt phức trong X và đặt
M = X \ S. Giả sử F ⊂ Hol(Ω, M). Khi đó họ F là không chuẩn tắc nếu và chỉ
nếu tồn tại dãy {p
j
} ⊂ Ω với p
j
→ p
0
∈ Ω khi j → ∞, {f
j
} ⊂ F, {ρ
j
} ⊂ R với
ρ
j

> 0 và ρ
j
→ 0
+
khi j → ∞ sao cho
g
j
(ξ) := f
j
(p
j
+ ρ
j
ξ), ξ ∈ C
thỏa mãn một trong hai khẳng định sau
(i) Dãy {g
j
} phân kỳ compact trên C;
(ii) Dãy {g
j
} hội tụ đều trên các tập con compact của C tới một đường cong
E-Brody không hằng g : C → M.
Hệ quả 2.1.10. Giả sử {f
n
: D → C
∗
} là dãy không chuẩn tắc các hàm chỉnh
hình. Nếu {f
n
} là không phân kỳ compact, thì tồn tại một dãy con {f

n
j
} ⊂ {f
n
}
và các dãy {p
j
} ⊂ D với p
j
→ p
0
∈ D khi j → ∞ và {ρ
j
} ⊂ R
+
với ρ
j
→ 0
+
khi
j → ∞ sao cho dãy sau
g
j
(ξ) := f
n
j
(p
j
+ ρ
j

ξ)
hội tụ đều trên mọi tập con compact của C tới E(ξ) = exp(A
0
ξ + B
0
), ở đây
A
0
∈ C
∗
và B
0
∈ C.
F. Berteloot và J. Duval đã chứng minh định lý sau.
Định lý 2.1.11 (F. Berteloot - J. Duval). Giả sử f : C → P
1
(C) \ {0, ∞} là
một hàm chỉnh hình khác hằng. Khi đó tồn tại các dãy {A
k
} ⊂ C và {B
k
} ⊂ C
sao cho f(A
k
z + B
k
) hội tụ đều trên các tập con compact của C tới E(z) =
exp(A
0
z + B

0
), ở đây A
0
∈ C
∗
và B
0
∈ C.
Sau đây là một cách chứng minh khác, đó là cách sử dụng Hệ quả 2.1.10.
Chứng minh. Giả sử rằng f : C → P
1
(C) \ {0, ∞} = C
∗
là một hàm chỉnh hình
khác hằng. Khi đó tồn tại một điểm a
0
∈ C sao cho f

(a
0
) = 0. Không mất tính
15
tổng quát ta có thể giả sử a
0
= 0. Với mỗi k ∈ N
∗
, định nghĩa f
k
: D → C
∗

bởi
f
k
(z) = f(kz) với mọi z ∈ D. Do f
k
(0) = f(0) ∈ C
∗
và f
k

(0) = kf

(0) → ∞ khi
k → ∞ nên {f
k
} là không chuẩn tắc và không phân kỳ compact. Như vậy, bởi
Hệ quả 2.1.10 tồn tại các dãy {k
n
} ⊂ N, {p
n
} ⊂ D với p
n
→ p
0
∈ D khi n → ∞,
và {ρ
n
} ⊂ R
+
với ρ

n
→ 0
+
khi n → ∞ sao cho dãy sau
g
n
(ξ) := f
k
n
(p
n
+ ρ
n
ξ) = f(k
n
p
n
+ k
n
ρ
n
ξ)
hội tụ đều trên mọi tập con compact của C tới E(ξ) = exp(A
0
ξ + B
0
), ở đó
A
0
∈ C

∗
và B
0
∈ C. Ta chỉ cần đặt B
n
= k
n
p
n
, A
n
= k
n
ρ
n
và phép chứng minh
hoàn thành.
Ví dụ 2.1.12. Giả sử {k
j
} ⊂ N
∗
sao cho e
ik
j
→ 1 khi j → ∞. Khi đó dãy {g
j
}
được cho bởi
g
j

(z) := exp(exp(i
π
2
+
z
k
j
+ ln k
j
))
hội tụ đều trên mọi tập con compact của C tới một hàm chỉnh hình g : C → C
∗
được cho bởi g(z) = e
iz
với mọi z ∈ C. Thật vậy, ta có
g
j
(z) = exp(exp(i
π
2
+
z
k
j
+ ln k
j
))
= exp(ik
j
exp(

z
k
j
))
= exp(ik
j
(1 + z/k
j
+ O(1/k
2
j
)))
= e
ik
j
e
iz+O(1/k
j
)
.
Chúng ta chú ý rằng {O(1/k
j
)} hội tụ đều trên mọi tập con compact của C tới
0. Như vậy {g
j
} hội tụ đều trên mọi tập con compact của C tới hàm chỉnh hình
g : C → C
∗
được cho bởi g(z) = e
iz

với mọi z ∈ C.
2.2 Vấn đề đường cong giới hạn Brody trong C
n
Định nghĩa 2.2.1. Một không gian phức X được gọi là không gian phức Zalcman
nếu X thỏa mãn điều kiện sau:
Với mỗi họ không chuẩn tắc F ⊂ Hol(D, X) sao cho F không phân kỳ compact,
tồn tại dãy {p
j
} ⊂ D với p
j
→ p
0
∈ D khi j → ∞, {f
j
} ⊂ F, {ρ
j
} ⊂ R với
ρ
j
> 0 và ρ
j
→ 0
+
khi j → ∞ sao cho
g
j
(ξ) := f
j
(p
j

+ ρ
j
ξ), ξ ∈ C,
hội tụ đều trên mọi tập con compact của C tới một đường cong chỉnh hình không
hằng g : C → X.
16
Giả thuyết về tính Zaclman của C
n
: C
n
là không gian phức Zalcman
với mỗi n ≥ 2.
Định nghĩa 2.2.2. Giả sử X là một không gian phức với hàm độ dài E. Không
gian phức X được gọi là kiểu E-giới hạn nếu X thỏa mãn điều kiện sau:
Với mỗi họ không chuẩn tắc F ⊂ Hol(D, X) sao cho F không phân kỳ compact,
tồn tại dãy {p
j
} ⊂ D với p
j
→ p
0
∈ D khi j → ∞, {f
j
} ⊂ F, {ρ
j
} ⊂ R với
ρ
j
> 0 và ρ
j

→ 0
+
khi j → ∞ sao cho
g
j
(ξ) := f
j
(p
j
+ ρ
j
ξ), ξ ∈ C,
hội tụ đều trên mọi tập con compact của C tới một đường cong E-Brody khác
hằng g : C → X.
Định lý 2.2.3. C
n
(n ≥ 2) không là kiểu E-giới hạn đối với bất kỳ hàm độ dài
E trên C
n
.
Hệ quả 2.2.4. C
n
(n ≥ 2) không là kiểu ds
2
F S
-giới hạn.
Ta có thể thấy rằng, bởi Định lý 2.2.3, không tồn tại dãy {ϕ
k
} hội tụ đều trên
mọi tập con compact của C tới bất kỳ đường cong Brody nào trong C

n
. Nhưng,
tồn tại dãy {ϕ
k
} hội tụ đều trên mọi tập con compact của C tới đường cong
Brody trong P
n
(C) (điều này có được từ kết quả của Định lý 2.1.5).
Ta biết rằng phần bù của siêu mặt hyperbolic bất kỳ trong một không gian
phức compact là Zalcman. Đặc biệt, C
∗
và C là Zalcman. Hệ quả 2.2.4 đã cho
thấy rằng C
n
(n ≥ 2) không là kiểu ds
2
F S
-giới hạn. Do đó, giả thuyết Zalcman
vẫn là câu hỏi mở.
2.3 Vấn đề đường cong giới hạn Brody trong (C
∗
)
2
Định lý 2.3.1. (C
∗
)
2
không là kiểu ds
2
F S

-giới hạn, ở đây ds
2
F S
là metric Fubini-
Study trên P
2
(C).
J. Winkelmann đã chứng minh mệnh đề sau, mệnh đề này là một mở rộng
định lý của Arakelyan.
Mệnh đề 2.3.2. Giả sử B là một tập con đóng trong C và P
1
\ B là liên thông
và liên thông địa phương tại ∞. Giả sử q là một điểm trong của B và f : B → C
là một hàm liên tục, chỉnh hình trong miền trong của B. Giả sử  : B → R
+
là
một hàm liên tục. Khi đó tồn tại một hàm nguyên F : C → C sao cho
F (q) = f(q), F

(q) = f

(q) và |F (z) − f(z)| < (z)
17
với mọi z ∈ B.
và định lý sau.
Định lý 2.3.3 (J. Winkelmann). Với những kí hiệu như ở trên ta có
(i) Với mọi điểm p ∈ Ω
1
và với mọi v ∈ T
p

(Ω
1
) tồn tại một ánh xạ chỉnh hình
khác hằng f : C → Ω
1
với p = f(0), v = f

(0) và Ω
1
= f(C).
(ii) Nếu f : C → T là một ánh xạ chỉnh hình khác hằng với đạo hàm bị chặn
(đối với metric euclid trên C và h trên T ) và f(C) ⊂ Ω
1
, thì f(C) ⊂ Ω
2
.
Hơn nữa, f tuyến tính affine và f(C) là tập con giải tích trong T.
Bổ đề 2.3.4. π(z, F (sin(iz)) ∈ Ω
1
với mọi z ∈ C.
Bây giờ chúng ta đặt f : C → (C
∗
)
2
là ánh xạ chỉnh hình được cho bởi
f(z) = (exp(z), exp(F (sin(iz))).
Với mỗi k ∈ N
∗
kí hiệu g
k

: D → (C
∗
)
2
là ánh xạ chỉnh hình xác định bởi
g
k
(z) := f(kz) với mọi z ∈ D. Do g
k
(0) = f(0) ∈ (C
∗
)
2
và g

k
(0) = kf

(0) = kv,
ở đây v = f

(0) = (1, iF

(0) exp(F (0)) = 0 nên g
k
không chuẩn tắc và không
phân kỳ compact.
Giả sử rằng tồn tại dãy {k
n
} ⊂ N, dãy {p

n
}  D, và dãy {ρ
n
} ⊂ (0, +∞) với
ρ
n
→ 0
+
khi n → ∞ sao cho dãy {ϕ
n
} xác định bởi
ϕ
n
(ξ) := g
k
n
(p
n
+ ρ
n
ξ) = f(k
n
p
n
+ k
n
ρ
n
ξ),
với mỗi n ∈ N

∗
và với |ξ| < 1/ρ
n
, hội tụ đều trên mọi tập con compact của C
một đường cong ds
2
F S
-Brody khác hằng ϕ : C → (C
∗
)
2
, ở đây ds
2
F S
là metric
Fubini-Study trên P
2
(C).
Giả sử u, v : C → C là hai đường cong chỉnh hình sao cho
ϕ(z) = (exp(u(z)), exp(v(z)))
với mọi z ∈ C. Từ ϕ


F S
bị chặn, T
r
(ϕ) = O(r) và như vậy các hàm chỉnh hình
u và v là tuyến tính affine.
Bổ đề 2.3.5. π ◦ (u(C), v(C)) ⊂ Ω
1

.
Bổ đề 2.3.6. π ◦ (u(C), v(C)) ∩ (Ω
1
\ Ω
2
) = ∅.
Ta có (u, v) : C → C
2
, π : C
2
→ T. Đặt Φ = π ◦ (u, v) : C → T. Dễ thấy Φ
là ánh xạ chỉnh hình khác hằng và có đạo hàm bị chặn. Theo Bổ đề 2.3.5 ta có
được Φ(C) = π ◦ (u(C), v(C)) ⊂ Ω
1
⊂ Ω
1
. Theo Định lý 2.3.3 suy ra Φ(C) ⊂ Ω
2
.
18
Theo Bổ đề 2.3.6 ta được Φ(C) = π ◦ (u(C), v(C)) ∩ (Ω
1
\ Ω
2
) = ∅, điều này mâu
thuẫn với Φ(C) ⊂ Ω
2
. Vậy (C
∗
)

2
không là kiểu ds
2
F S
-giới hạn.
Nhận xét: Theo chứng minh trên, không tồn tại dãy {k
n
} ⊂ N, dãy {p
n
}  D,
và dãy {ρ
n
} ⊂ (0, +∞) với ρ
n
→ 0
+
khi n → ∞ sao cho dãy {ϕ
n
} được xác định
bởi
ϕ
n
(ξ) := g
k
n
(p
n
+ ρ
n
ξ) = f(k

n
p
n
+ k
n
ρ
n
ξ),
với mỗi n ∈ N
∗
và với |ξ| < 1/ρ
n
, hội tụ đều trên mọi tập con compact của
C tới một đường cong ds
2
F S
-Brody khác hằng ϕ : C → (C
∗
)
2
được cho bởi
ϕ(z) = (exp(u(z)), exp(v(z))) với mọi z ∈ C. Tuy nhiên, do [?, Định lý 1.12,
trang 440] nên tồn tại dãy {A
n
}, {B
n
} ⊂ C sao cho f(A
n
z + B
n

) hội tụ đều trên
mọi tập con compact của C tới một đường cong khác hằng ϕ trong (C
∗
)
2
được
xác định bởi ϕ(z) = (exp(az +b), exp(cz +d))) với mọi z ∈ C, ở đây a, b, c, d ∈ C
với |a|
2
+ |c|
2
= 0.
Chương 3
Nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân
Trong chương này chúng tôi xét một siêu mặt thực nhẵn M ⊂ C
2
kiểu vô hạn
tại p ∈ M. Chúng tôi sẽ cho thấy rằng không gian vectơ thực hol
0
(M, p) các
mầm trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình tại p triệt tiêu tại p có chiều thực không
vượt quá 1 (Định lý 3.2.4). Từ đó ta có được miêu tả các tự đẳng cấu CR vi
phân giải tích thực của một lớp các siêu mặt thực trong C
2
(Hệ quả 3.2.6).
3.1 Định nghĩa và ví dụ về trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu
mặt thực nhẵn
Ta kí hiệu
P


(z) = P
z
(z) =
∂P
∂z
, f
z
(z, t) =
∂f
∂z
(z, t), f
t
(z, t) =
∂f
∂t
(z, t).
Ta nói mầm siêu mặt thực nhẵn M tại p trong C
n
có hàm xác định ρ có nghĩa
là M = {z ∈ C
n
: ρ = 0} với ρ : C
n
→ R và kí hiệu là (M, p).
Một trường vectơ chỉnh hình H trong C
n
có dạng H =
n

k=1

h
k
(z)
∂
∂z
k
ở đó
∂
∂z
k
là trường vectơ song song trong C
n
, h
k
: C
n
→ C là các hàm chỉnh hình.
Định nghĩa 3.1.1. Trường vectơ H được gọi là tiếp xúc với M nếu phần thực
của H tiếp xúc với M. Nghĩa là H thỏa mãn phương trình Re(H ◦ ρ) = 0 hay
Re

n

k=1
h
k
(z)
∂ρ
∂z
k

|
z

= 0 với mọi z ∈ M.
Định nghĩa 3.1.2. Giả sử (M, p) là một mầm siêu mặt thực nhẵn lớp C
1
tại
p ∈ C
n
. Một mầm trường vectơ nhẵn (X, p) trên M được gọi là một mầm tự
đẳng cấu CR vi phân giải tích thực tại p của M nếu tồn tại một mầm trường
vectơ chỉnh hình (H, p) trong C
n
sao cho H tiếp xúc với M và X = ReH |
M
.
Định nghĩa 3.1.3. Một hàm f : D

0
→ C (
0
> 0) được gọi là phẳng tại z = 0
nếu với mỗi n ∈ N tồn tại các hằng số dương C,  > 0 phụ thuộc vào n, với
0 <  < 
0
sao cho |f(z)| ≤ C|z|
n
với mọi z ∈ D

.

19
20
Chú ý rằng trong Định nghĩa 3.1.3, ta không đòi hỏi tính nhẵn của hàm f. Ví
dụ như hàm
f(z) =

1
n
e
−
1
|z|
2
nếu
1
1+n
< |z| ≤
1
n
, n = 1, 2,
0 nếu z = 0
là phẳng tại z = 0 nhưng lại không liên tục trên D. Tuy nhiên, theo Định lý
Taylor ta suy ra nếu f nhẵn lớp C
∞
trên D

0
thì f là phẳng tại z = 0 nếu và chỉ
nếu
∂

m+n
∂z
m
∂z
n
f(0) = 0 với mọi m, n ∈ N. Điều đó có nghĩa là f triệt tiêu bậc vô
hạn tại 0. Do vậy, nếu hàm f nhẵn lớp C
∞
trên D

0
là phẳng tại 0 thì
∂
m+n
∂z
m
∂z
n
f là
phẳng tại 0 với mọi m, n ∈ N.
Giả sử F hàm giá trị phức nhẵn lớp C
1
xác định trong một lân cận U của
điểm gốc trong mặt phẳng phức C. Xét hệ động lực
dz
dt
= F (z), z(0) = z
0
∈ U. (3.1)
Ta nói rằng một trạng thái ˆz ∈ U là cân bằng của hệ (3.1) nếu F (ˆz) = 0. Một

trạng thái cân bằng ˆz của (3.1) được gọi là ổn định tiệm cận địa phương nếu với
mọi  > 0 tồn tại δ > 0 sao cho |z
0
− ˆz| < δ kéo theo |z(t) − ˆz| <  với mọi t ≤ 0
và lim
t→+∞
z(t) = 0.
Sau đây chúng tôi nêu ra một ví dụ về trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với
siêu mặt thực nhẵn. Giả sử a(z) =

∞
n=1
a
n
z
n
là một hàm chỉnh hình khác không
được xác định trên D

0
(
0
> 0). Giả sử p, q là các hàm nhẵn lớp C
1
được xác
định tương ứng trên (0, 
0
) và [0, 
0
) thỏa mãn q(0) = 0 và g(z), g


(z) phẳng tại
0, ở đó g là hàm nhẵn lớp C
1
được xác định bởi
g(z) =

e
p(|z|)
nếu 0 < |z| < 
0
0 nếu z = 0
Ta đặt
R(z
2
) = q(|z
2
|) − Re

∞

n=1
a
n
n
z
n
2

với mọi z

2
∈ D

0
(3.2)
và
P
1
(z
2
) = exp

p(|z
2
|) + Re

∞

n=1
a
n
in
z
n
2

− log |cos(R(z
2
))|


(3.3)
với mọi z
2
∈ D
∗

0
, P
1
(0) = 0. Đặt
P (z
2
) =

1
α
log [1 + αP
1
(z
2
)] nếu α = 0
P
1
(z
2
) nếu α = 0
(3.4)
21
và
f(z

2
, t) =

−
1
α
log



cos(R(z
2
)+αt)
cos(R(z
2
))



nếu α = 0
tan(R(z
2
))t nếu α = 0
với mọi (z
2
, t) ∈ D

0
× (−δ
0

, δ
0
) (δ
0
> 0 đủ nhỏ).
Kí hiệu M(a, α, p, q) là mầm tại (0, 0) của một siêu mặt được xác định bởi
ρ(z
1
, z
2
) := Rez
1
+ P (z
2
) + f(z
2
, Imz
1
) = 0.
Từ định nghĩa của các hàm P, f ta có M(a, α, p, q) là nhẵn lớp C
1
và P (z
2
), P

(z
2
)
là phẳng tại 0. Ví dụ như, ta chọn p, q sao cho q(t) = 0, p(t) = −
1

t
α
(α > 0) với
mọi t > 0, P, f là các hàm nhẵn lớp C
∞
trong D

0
và P là phẳng tại 0. Khi đó
M(a, α, p, q) là nhẵn lớp C
∞
và kiểu vô hạn D’Angelo.
Tiếp theo ta đặt
L
α
(z
1
) =

1
α
(e
αz
1
− 1) nếu α = 0
z
1
nếu α = 0
và
H

a,α
= H
a,α
(z
1
, z
2
) := L
α
(z
1
)a(z
2
)
∂
∂z
1
+ iz
2
∂
∂z
2
Bây giờ chúng tôi nêu một ví dụ về trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu
mặt thực nhẵn.
Định lý 3.1.4. Giả sử α ∈ R và a(z) =

∞
n=1
a
n

z
n
là hàm chỉnh hình khác
không xác định trên lân cận của gốc 0 ∈ C, a
n
∈ C với mọi n ≥ 1. Khi đó tồn
tại các số dương 
0
, δ
0
sao cho trường vectơ chỉnh hình H
a,α
tiếp xúc với siêu
mặt M nhẵn lớp C
1
được xác định bởi
M = {(z
1
, z
2
) ∈ D
δ
0
× D

0
: ρ(z
1
, z
2

) = Rez
1
+ P (z
2
) + f(z
2
, Imz
1
) = 0}.
3.2 Không gian vectơ thực của các trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình
Để chứng minh Định lý chính 3.2.4 của mục này, trước hết, ta cần bổ đề sau
và Bổ đề này đóng một vị trí quan trọng trong việc chứng minh Định lý 3.2.4.
Bổ đề 3.2.1. Giả sử P : D

0
→ R là một hàm nhẵn lớp C
1
thỏa mãn P (z) > 0
với bất kỳ z ∈ D
∗

0
và P là phẳng tại 0. Giả sử a, b là các số phức và g
0
, g
1
, g
2
là
các hàm nhẵn lớp C

1
xác định trên D

0
thỏa mãn các điều kiện sau:
(A1) g
0
(z) = O(|z|), g
1
(z) = O(|z|

) và g
2
(z) = o(|z|
m
),
(A2) Re

az
m
+
1
P
n
(z)

bz

(1 + g
0

(z))
P

(z)
P (z)
+ g
1
(z)

= g
2
(z) với mọi z ∈ D
∗

0
22
với bất kỳ các số nguyên không âm , m và n trừ một trong hai trường hợp sau
(E1)  = 1 và Reb = 0,
(E2) m = 0 và Rea = 0.
Khi đó ab = 0.
Theo phương pháp chứng minh của Bổ đề 3.2.1 ta có bổ đề sau.
Bổ đề 3.2.2. Giả sử P : D

0
→ R là hàm nhẵn lớp C
1
thỏa mãn P (z) > 0 với
bất kỳ z ∈ D
∗


0
và phẳng tại 0. Giả sử b là số phức và g là hàm nhẵn lớp C
1
xác
định trên D

0
thỏa mãn:
(B1) g(z) = O(|z
k+1
|), và
(B2) Re

(bz
k
+ g(z))P

(z)

= 0 với mọi z ∈ D

0
với số nguyên không âm k,
trừ các trường hợp k = 1 và Reb = 0.
Khi đó b = 0.
Định lý 3.2.3. Giả sử (H, 0) là mầm trường vectơ chỉnh hình triệt tiêu tại
điểm gốc, không chứa hạng tử khác không iβz
2
∂
∂z

2
(β ∈ R
∗
) và tiếp xúc với mầm
siêu mặt thực nhẵn lớp C
1
được xác định bởi phương trình ρ(z) := ρ(z
1
, z
2
) =
Rez
1
+ P (z
2
) + Imz
1
Q(z
2
, Imz
1
) = 0, trong đó P, Q thoả mãn các điều kiện sau:
(1) P, Q là các hàm nhẵn lớp C
1
với P (0) = Q(0, 0) = 0,
(2) P (z
2
) > 0 với bất kỳ z
2
= 0, và

(3) P (z
2
), P

(z
2
) là phẳng tại z
2
= 0.
Khi đó H = 0.
Định lý 3.2.4. GGiả sử (M, 0) là một mầm siêu mặt thực nhẵn lớp C
1
tại 0 được
xác định bởi phương trình ρ(z) := ρ(z
1
, z
2
) = Rez
1
+P (z
2
)+Imz
1
Q(z
2
, Imz
1
) = 0,
trong đó P, Q thoả mãn các điều kiện sau:
(1) P, Q nhẵn lớp C

1
với P (0) = Q(0, 0) = 0,
(2) P (z
2
) > 0 với bất kỳ z
2
= 0
(3) P (z
2
), P

(z
2
) phẳng tại z
2
= 0.
Khi đó dim
R
hol
0
(M, 0) ≤ 1.
Nhận xét: Khi P là các hàm nhẵn lớp C
∞
thì điều kiện (3) của Định lý 3.2.4
được nói đơn giản là P triệt tiêu bậc vô hạn tại 0. Ngoài ra 0 còn là điểm kiểu
vô hạn D’Angelo.
23
Trong trường hợp M là siêu mặt đối xứng trong z
2
, có nghĩa là P(z

2
) = P (|z
2
|)
và Q(z
2
, t) = Q(|z
2
|, t) với bất kỳ z
2
và t, ta đã biết iz
2
∂
∂z
2
là tiếp xúc với M
(xem chứng minh trong [?]). Vì vậy, theo Định lý 3.2.4 chúng tôi đã nhận được
Hệ quả 3.2.5.
Hệ quả 3.2.5. Giả sử (M, 0) là mầm siêu mặt thực nhẵn lớp C
1
tại 0 được xác
định bởi phương trình ρ(z) := ρ(z
1
, z
2
) = Rez
1
+ P(z
2
) + Imz

1
Q(z
2
, Imz
1
) = 0,
trong đó P, Q thoả mãn các điều kiện sau:
(1) P, Q nhẵn lớp C
1
với P (0) = Q(0, 0) = 0,
(2) P (z
2
) = P (|z
2
|) và Q(z
2
, t) = Q(|z
2
|, t) với bất kỳ z
2
và t,
(3) P (z
2
) > 0 với bất kỳ z
2
= 0,
(4) P (z
2
), P


(z
2
) phẳng tại z
2
= 0.
Khi đó hol
0
(M, 0) = {iβz
2
∂
∂z
2
: β ∈ R}.
Theo Định lý 3.2.4 và Định lý 3.1.4 ta có Hệ quả 3.2.6.
Hệ quả 3.2.6. hol
0
(M(a, α, p, q), 0) = {βH
a,α
: β ∈ R}.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Các kết quả đạt được của luận án:
Luận án đã đạt được một số kết quả chính sau:
• Chứng minh định lý Eastwood cho tính hyperbolic modulo một tập con giải
tích của không gian phức.
• Chứng minh điều kiện cần và đủ cho tính hyperbolic modulo S × C
m
của
miền kiểu Hartogs Ω
H
(X).

• Chứng minh điều kiện cần và đủ cho tính taut modulo S × C
m
của miền
kiểu Hartogs Ω
H
(X).
• Chứng minh giả thuyết về tính Zalcman cho trường hợp đạo hàm của đường
cong chỉnh hình g : C → X trong định nghĩa về không gian Zalcman là bị
chặn.
• Chứng minh một tổng quát hóa định lý của Brody và định lý của Zalcman
cho tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến vào không gian
phức Hermit không đầy.
24
• Chứng minh không gian vectơ thực của các mầm trường vectơ tiếp xúc chỉnh
hình với một siêu mặt thực nhẵn M ⊂ C
2
kiểu vô hạn tại p ∈ M và triệt
tiêu tại p có chiều thực không vượt quá 1.
2. Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo:
Luận án có thể tiếp tục phát triển theo những hướng sau:
• Nghiên cứu tính hyperbolic đầy modulo một tập con giải tích của miền
Hartogs.
• Nghiên cứu tính đúng đắn của định lý Brody về tính hyperbolic modulo một
tập con giải tích của không gian phức compact.
• Chứng minh giả thuyết về tính Zalcman của C
n
(n ≥ 2).
• Tìm kiếm thêm các lớp siêu mặt thực kiểu vô hạn trong C
2
mà ta có thể mô

tả được tường minh các tự đẳng cấu CR vi phân giải tích thực của các lớp
các siêu mặt đó.
Do thời gian nghiên cứu còn hạn hẹp nên chúng tôi chưa giải quyết được các
câu hỏi trên. Chúng tôi hy vọng rằng các câu hỏi trên sẽ được giải quyết trong
thời gian tới.