50 đề thi vào lớp 10 chuyên có đáp án

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.51 MB, 45 trang )

hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

2
Một số đề ôn thi vào chuyên toán ( có đáp án)

Đề 1
Bài 1: (8 điểm)
Cho parabol
2
1
( ):
3
P y x
.
1. Viết ph-ơng trình các tiếp tuyến của (P), biết các tiếp tuyến này đi qua điểm
(2;1)A
.
2. Gọi d là đ-ờng thẳng đi qua điểm
(2;1)A
và có hệ số góc m. Với giá trị nào của m
thì đ-ờng thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N, khi đó tìm quĩ tích trung
điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi.
3. Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến của parabol (P) và
hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.

Bài 2: (4điểm)
Giải hệ ph-ơng trình:
22
19
7
x y xy

x y xy

Bài 3: (8 điểm)
Cho nửa đ-ờng tròn đ-ờng kính AB cố định. C là một điểm bất kì thuộc nửa
đ-ờng tròn. ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ các hình vuông BCDE và ACFG. Gọi Ax,
By là các tiếp tuyến của nửa đ-ờng tròn.
1. Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đ-ờng tròn đã cho thì đ-ờng thẳng
ED luôn đi qua một điểm cố định và đ-ờng thẳng FG luôn đi qua điểm cố định
khác.
2. Tìm quĩ tích của các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đ-ờng tròn đã cho.
3. Tìm quĩ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đ-ờng tròn đã cho.

Hết

Đáp án và thang điểm:

hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

3
Bài 1
ý
Nội dung
Điểm
1.

8,0

1.1
(2,0 điểm)

Ph-ơng trình đ-ờng thẳng d
1
đi qua A(2; 1) có dạng: y = ax + b và 1 = 2a
+ b, suy ra b = 1 - 2a, do đó d
1
: y = ax - 2a+1.
0,50

Ph-ơng trình cho hoành độ giao điểm của d
1
và (P) là:
22

1
2 1 3 6 3 0
3
x ax a x ax a

0.50

Để d
1
là tiếp tuyến của (P) thì cần và đủ là:

'
2
2
9 24 12 0
2
3
a
aa
a

2,0

Vậy từ A(2; 1) có hai tiếp tuyến đến (P) là:
12
21
: 2 3; :
33
d y x d y x

0,50

1.2
(4,0 điểm)

Ph-ơng trình đ-ờng thẳng d đi qua A(2; 1) có hệ số góc m là:
12y mx m

0,50

Ph-ơng trình cho hoành độ giao điểm của d và (P) là:
22
1
2 1 3 6 3 0 (2)
3
x mx m x mx m

0,50

Để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì cần và đủ là:
22
84
9 24 12 0 9 0
33
m m m m

2
4 4 4 2
0
3 9 3 3
mm

4
3
42
2
33
(*)
3
4

2
3
42
33
m
m
m
m
m
m

1,5

hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

4

Với điều kiện (*), d cắt (P) tại 2 điểm M và N có hoành độ là x
1
và x
2
là 2

nghiệm của ph-ơng trình (2), nên toạ độ trung điểm I của MN là:
12
2
2 2 2 2
; 2 1; 3
3
3 3 3 3
22
24
12
1
33
x x x
m x x
xx
m
x
I
y mx m
y x x

1,0

Vậy khi m thay đổi, quĩ tích của I là phần của parabol
2
24
1
33
y x x
,
giới hạn bởi
1; 3xx
.
0,50

1.3
(2,0 điểm)

Gọi

0 0 0
( ; )M x y
là điểm từ đó có thể vẽ 2 tiếp tuyến vuông góc đến (P).
Ph-ơng trình đ-ờng thẳng d' qua M
0
và có hệ số góc k là:
y kx b
,
đ-ờng thẳng này đi qua M
0
nên
0 0 0 0
y kx b b y kx
, suy ra pt của
d':
00
y kx kx y
.
0,50

Ph-ơng trình cho hoành độ giao điểm của d và (P) là:
22
0 0 0 0
1
3 3 3 0
3
x kx kx y x kx kx y
(**)
0,50

Để từ M
0
có thể kẻ 2 tiếp tuyến vuông góc tới (P) thì ph-ơng trình:
2
00
9 12 12 0k kx y
có 2 nghiệm phân biệt
12
,kk
và
12
1kk

0
0
12
3
1
94
y
y

0,50

Vậy quĩ tích các điểm M
0
từ đó có thể vẽ đ-ợc 2 tiếp tuyến vuông góc của

(P) là đ-ờng thẳng
3
4
y

0,50
2.

(4,0 điểm)

2
2 2 2
19 3 19
3 19
77
7
S x y
x y xy S P
x y xy
P xy
x y xy S P
x y xy

(1)
1,0

Giải hệ (1) ta đ-ợc:
( 1; 6), ( 2; 5)S P S P

1,0

Giải các hệ ph-ơng trình tích, tổng:
1
6
xy
xy

và
2
5
xy
xy

ta có các
nghiệm của hệ ph-ơng trình đã cho là:

3 2 1 6 1 6
; ; ;
23
1 6 1 6
x x x x
yy
yy

2,0

hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

5
3.

8,0

3.1

Gọi K là giao điểm của
Ax và GF, I là giao điểm
của By và ED. Ta có:
0
90BEI BCA

EBI CBA
(góc có các
cạnh t-ơng ứng vuông
góc)
BE BC
,

Do đó:
BEI BCA BI BA
mà By cố định, suy ra
điểm I cố định.
+ T-ơng tự, K ccố định.
+ Vậy khi C di chuyển
trên nửa đ-ờng tròn (O) thì d-ờng thẳng ED đi qua điểm I cố định và
đ-ờng thẳng GF đi qua điểm K cố định.
3,0

3.2
Suy ra quĩ tích của I là nửa đ-ờng tròn đ-ờng kính BI (bên phải By,
,C A E I C B E B
); quĩ tích của K là nửa đ-ờng tròn đ-ờng
kính AK(bên trái Ax,
,C A G A C B G K
).
2,0

3.3
Xét 2 tam giác BEI và BDK,
ta có:
1
2
BE BI
BD BK

0
45EBI IBD KBD IBD

EBI KBD

Do đó:
0
90
BEI BDK
BDK BEI

+ Vậy: Quĩ tích của D là nửa
đ-ờng tròn đ-ờng kính BK.
+ T-ơng tự, quĩ tích của F là nửa đ-ờng tròn đ-ờng kính AI.
3,0

hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

6

Đề 2
Bài 1: (7 điểm)
1. Giải ph-ơng trình:
44
1 2 9 6 2x x x x

2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng của a
và c thì ta có:
1 1 2
a b b c c a

Bài 2: (6 điểm)
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2
2
35
1
xx
y
x

.

2. Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:
22
2 3 2 4 3 0x y xy x y

Bài 3: (7 điểm)
Cho đ-ờng tròn tâm O, bán kính R, hai đ-ờng kính AB và CD vuông góc với nhau.
E là điểm bất kì trên cung AD. Nối EC cắt OA tại M, nối EB cắt OD tại N.
1. Chứng minh rằng tích
OM ON
AM DN

là một hằng số. Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng
OM ON
AM DN

, khi đó cho biết vị trí của điểm E ?
2. Gọi GH là dây cung cố định của đ-ờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GH
không phải là đ-ờng kính. K là điểm chuyển động trên cung lớn GH. Xác định vị
trí của K để chu vi của tam giác GHK lớn nhất.

Hết

hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

7
Đáp án và thang điểm:
Bài
ý
Nội dung
Điểm
1.

7,0

1.1
(2,0 điểm)

44
1 2 9 6 2x x x x

22
44
1 3 2xx

4 4 4
1 3 2 (1) 1 3 2 0; 0 (2)x x y y y x x
(1)
1,0

0 1: 1 0, 3 0y y y
, nên
(2) 1 3 2 1y y y
(thoả
ĐK)
1x
là một nghiệm của ph-ơng trình (1)

1 3: 1 0, 3 0y y y
, nên pt (2)
1 3 2 0 0y y y

do đó pt (2) có vô số nghiệm y (
13y
), suy ra pt (1) có vô số nghiệm x
(
1 81x
).
1,0

3: 1 0, 3 0y y y
, nên pt (2)
1 3 2 3y y y
, pt vô
nghiệm.
Vậy tập nghiệm của pt (1) là:

1; 81S

1,0

1.2
(3,0 điểm)

1 1 2
1 1 1 1
(*)
a b b c c a
a b c a c a b c

0,50

Ta có:

11 cb
A
a b c a
a b c a
cb
a b c a b c

0,50

Theo giả thiết:
2
2
ac
b a c b b a c b

, nên:

b a b a
ba
A
a b b c c a a b b c c a

1,0

11
b a b c c a
A
c a b c
b c c a b c c a

Đẳng thức (*) đ-ợc nghiệm đúng.

1,0

hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

8
2.

6,0

2.1
(3,0 điểm)

2
2
35
1
xx
y
x

(xác định với mọi
x
)

2

1 3 5 0 (**)y x x y

0,5

1:y
pt (**) có nghiệm
4
3
x

1:y
để pt (**) có nghiệm thì:
2
9 4( 1)( 5) 4 24 11 0y y y y

1,0

2
25 5 5 5 1 11
3 0 3 3 1
4 2 2 2 2 2
y y y y y

1,0

Vậy tập giá trị của y là
1 11
;
22

, do đó
11 1
;
22
Max y Min y

0,5

2.2
(3,0 điểm)

2 2 2 2
2 3 2 4 3 0 3 2 2 4 3 0x y xy x y x y x y y
(***)
0,5

Để pt (***) có nghiệm nguyên theo x, thì:

2
22
3 2 4 2 4 3 4 8y y y y y
là số chính ph-ơng.

2
2 2 2
4 8 2 12y y k k y k
( 2 )( 2 ) 12 ( )y k y k a

1,0

Ta có: Tổng

2 ( 2 ) 2( 2)y k y k k
là số chẵn, nên

2 ; ( 2 )y k y k
cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Mà 12 chỉ có thể bằng tích
1.12 hoặc 2.6 hoặc 3.4, nên chỉ có các hệ ph-ơng trình sau:
2 2 2 6 2 6 2 2
; ; ; ;
2 6 2 2 2 2 2 6
y k y k y k y k
y k y k y k y k

0,5

Giải các hệ pt trên ta có các nghiệm nguyên của pt (a):

2; 2 , 2; 2 , 6; 2 , 6; 2y k y k y k y k

0,5

Thay các giá trị
2; 6yy
vào pt (***) và giải pt theo x có các nghiệm
nguyên (x; y) là:
( 1; 2), ( 3; 2);( 11; 6),( 9; 6)x y x y x y x y

0,5
3.

7,0
(4 đ)
3.1

Ta có:
COM CED
vì:

0
90OE
;
C
chung. Suy ra:
.
(1)
OM CO ED CO
OM
ED CE CE

Ta có:
AMC EAC
vì:
C chung
,
0
45AE
. Suy ra:
.
(2)
AM AC EA AC
AM
EA EC CE

Từ (1) và (2):
.
(3)

.
2
OM OC ED ED
AM AC EA
EA

1,0

ONB EAB

0
90 ;O E B chung
.
(4)
ON OB OB EA
ON
EA EB EB

1,0
hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

9
0
.
( , 45 ) (5)
DN DB DB ED

DNB EDB B chung D E DN
ED EB EB

Từ (4) và (5):
.
(6)
.
2
ON OB EA EA
DN DB ED
ED

. Từ (3) và (6):
1
2
OM ON
AM DN

Đặt
,
OM ON
xy
AM DN

. Ta có: x, y không âm và:

2
1
2 0 2 2 2
2
x y x y xy x y xy

Dấu "=" xẩy ra khi:
1
1
2
2
xy
xy
xy

1,0

Vậy: Tổng
min
1
2

22
OM ON OM ED
khi EA ED
AM DN AM
EA

E là trung điểm của dây cung
AD
.
1,0

3.2
(3,0 điểm)

GKH
có cạnh GH cố định, nên chu vi của nó lớn nhất khi tổng
KG KH
lớn nhất.
Trên tia đối của tia KG lấy
điểm N sao cho KN = KH.
Khi đó,
HKN
cân tại K.
Suy ra

1
2
GNH GKH
và
KG KH KG KN GN

mà
1
2
GKH GH
(góc nội
tiếp chắn cung nhỏ
GH
cố
định), do đó
GNH
không
đổi. Vậy N chạy trên cung
tròn (O') tập hợp các điểm
nhìn đoạn GH d-ới góc
1
4
GOH

không đổi.
1,5

GN là dây cung của cung tròn (O') nên GN lớn nhất khi GN là đ-ờng

kính của cung tròn, suy ra
GHK
vuông tại H, do đó
KGH KHG
(vì
lần l-ợt phụ với hai góc bằng nhau). Khi đó, K là trung điểm của cung
lớn
GH
. hoctoancapba.com
Vậy: Chu vi của
GKH
lớn nhất khi K là trung điểm của cung lớn
GH
.
1,5

hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

10

Đề 3

Bài 1: (8 điểm)
Cho ph-ơng trình
22
2 2 2 0 (1).x mx m
.
4. Tìm các giá trị của
m
để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm d-ơng phân biệt.
5. Tìm các giá trị của
m
để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1
x
và
2
x
thoả
mãn hệ thức
33
12
5
2
xx
.
6. Giả sử ph-ơng trình (1) có hai nghiệm không âm. Tìm giá trị của
m
để nghiệm
d-ơng của ph-ơng trình đạt giá trị lớn nhất.

Bài 2: (4điểm)

Giải ph-ơng trình:
22
4 3 4x x x x
(2)
Bài 3: (8 điểm)
Cho tam giác ABC có
0
60 ; ;ABC BC a AB c
(
,ac
là hai độ dài cho tr-ớc), Hình
chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đ-ợc
gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
1. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất.
Tính diện tích lớn nhất đó.
2. Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng th-ớc kẻ và com-pa.
Tính diện tích của hình vuông đó.

Hết

hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

11

Đáp án và thang điểm:
Bài 1
ý
Nội dung
Điểm
1.

8,0

1.1
(2,0 điểm)

Để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm d-ơng phân biệt, cần và đủ là:
2
2
' 4 0
2

0
2
0
m
m
P
Sm

hoctoancapba.com
0.5

2
2 2 2
0
m
mm
m

1.5

1.2
(3,0 điểm)

Ph-ơng trình có 2 nghiệm phân biệt
2
' 4 0 2 2mm
(*)
0,50

2
33
1 2 1 2 1 2 1 2
55
3
22
x x x x x x x x

0,50

2
23
3( 2) 5
6 5 0
22
m
m m m m

0,5

2
1 2,3
1 21
1 5 0 1;
2
m m m m m

0,5

Ta có:
2
1 21 3 21 1 21
2 0 2
2 2 2
x

3
1 21
02
2
x

và
33
5 21
2 0 2
2
xx

0,5

Vậy: Có 2 giá trị của m thoả điều kiện bài toán:
1 21
1;
2
mm

0,5

1.3
(3,0 điểm)

Ph-ơng trình có hai nghiệm không âm khi và chỉ khi:
2
2
' 4 0
2
0 2 2 (**)
2
0
m
m
Pm

Sm

0,50

hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

12

Khi đó 2 nghiệm của ph-ơng trình là:

22
1 2 1 2
44
; 0 2;2
22
m m m m
x x x x m

0,50

Hai nghiệm này không thể đồng thời bằng 0, nên nghiệm d-ơng của
ph-ơng trình là
2
2
4
0
2
mm
x

. Suy ra:

22
2 2 2
2
2
4 2 4
2 4 4
44
mm
m m m m
x

0,50

Theo bất đẳng thức Cô-si:

2 2 2 2 2 2
4 2 4 2 4 4m m m m m m

0,50

Suy ra:
2
22
22xx
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
22
4 2 2;2m m m

.
0,5

Vậy nghiệm d-ơng của ph-ơng trình đạt giá trị lớn nhất là
22khim

0,5
2.

(4,0 điểm)

2
22
2
22
40
4 3 4
4 3 4
xx
x x x x
x x x x

(2)

2
2
2
2
40
04
4 2 4
30
3
t x x
t
tx
tt
tt

(3)

0,5

1,0

Gii phng trỡnh theo t, ta cú:
1
1 13
0
2
t

(loại);
2
1 13
0
2
t

22
13 9
4 0 4
2

tt

. Suy ra nghiệm của (3) là
2
t
.
1,0

Giải ph-ơng trình
1
22
22
2
9 13
2
2
4 4 0
9 13
2
2
x
x x t x x t
x

Vậy: ph-ơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:
1,2
9 13
2
2
x

1,0

0,5

hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

13
3.

8,0

3.1
+ Đặt
(0 )AM x x c
.
Ta có:

MN AM ax
MN
BC AB c

0
3
sin60
2
cx
MQ BM

.
Suy ra diện tích của MNPQ
là:

3

3
22
ax c x
a
S x c x
cc

2,0

+ Ta có bất đẳng thức:
2
( 0, 0)
22
a b a b
ab ab a b

áp dụng, ta có:
2
2
()
24
x c x c

x c x

.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
2
c
x c x x
.
Suy ra:
2
33
2 4 8
a c ac
S
c

.
Vậy:
max
3
8
ac
S
khi
2
c

x
hay M là trung điểm của cạnh AC.
2,0

hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

14

3.2
+ Giả sử đã dựng đ-ợc hình vuông
EFGH nội tiếp trong tam giác ABC.
Nối BF, trên đoạn BF lấy điểm F'.
Dựng hình chữ nhật:
E'F'G'H'
( ' ; ', ' )E AB G H BC
.
Ta có: E'F'//EF và F'G'//FG, nên:
' ' ' ' ' 'E F BE BF F G
EF BE BF FG

' ' ' 'E F F G
. Do đó E'F'G'H' là
hình vuông.
1,0

+ Cách dựng và chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình
vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC). Dựng tia BF' cắt AC tại F. Dựng
hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh t-ơng tự trên,

ta có EF = FG, suy ra EFGH là hình vuông.
1,0

+ Ta có:
0
'1
cot 60
''
3
BH
g
EH

;
' ' ' ' ' 1
cot ' 1 1
' ' ' ' ' '
3
BG BH H G BH
gF BC
F G F G E H

.
Suy ra: Tia BF' cố định khi E' di động trên AB, cắt AC tại một điểm F
duy nhất.
Tr-ờng hợp hình vuông E'F'G'H' có đỉnh F' ở trên cạnh AC; G' và H' ở
trên cạnh BC, lý luận t-ơng tự ta cũng có tia CE' cố định, cắt AB tại E.
Vậy bài toán có một nghiệm hình duy nhất.

1,0

+ Đặt
AE x
. Ta có
EF AE ax
EF
BC AB c

;

( ) 3
sin
2
cx
HE c x B

EFGH là hình vuông, nên
2
( ) 3 3
2
23
ax c x c
EF EH x
c
ac

Suy ra diện tích hình vuông EFGH là:

22
2
2
3
23
ac
S EF
ac

1,0

hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

15

Đề 4
Bài 1: (7 điểm)
3. Giải hệ ph-ơng trình:
4
4
34
34
xy
yx

4. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thoả mãn các bất đẳng thức:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c c a b b c a
a b b c c a a b b c c a a b b c c a

Thì
| | | | | |abc

Bài 2: (6 điểm)
3. Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích cũng là số nguyên
gồm 4 chữ số, trong đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống
nhau.
4. A, B, C là một nhóm ba ng-ời thân thuộc. Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậy
con gái của B và ng-ời song sinh của C cũng ở trong nhóm đó. Biết rằng C và
ng-ời song sinh của C là hai ng-ời khác giới tính và C không phải là con của B.
Hỏi trong ba ng-ời A, B, C ai là ng-ời khác giới tính với hai ng-ời kia ?

Bài 3: (7 điểm)
Cho đ-ờng tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đ-ờng kính AB và CD vuông góc với
nhau. Đ-ờng tròn (O
1
) nội tiếp trong tam giác ACD. Đ-ờng tròn (O
2
) tiếp xúc với 2
cạnh OB và OD của tam giác OBD và tiếp xúc trong với đ-ờng tròn (O). Đ-ờng tròn
(O
3
) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OC của tam giác OBC và tiếp xúc trong với đ-ờng tròn
(O). Đ-ờng tròn (O
4
) tiếp xúc với 2 tia CA và CD và tiếp xúc ngoài với đ-ờng tròn
(O

1
). Tính bán kính của các đ-ờng tròn (O
1
), (O
2
), (O
3
), (O
4
) theo R.

Hết

hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

16

Đáp án và thang điểm:
Bài

ý
Nội dung
Điểm
1.

7,0

1.1
(4,0 điểm)

4
4
34
34
xy
yx

. Điều kiện để hệ có nghiệm là:
3
4
3
4
x

y

(*)
0,5

Với điều kiện (*), ta có:
44
4 4 4
3 4 3 4 ( )
3 4 4( ) 0( )
x y x y a
y x x y x y b

1,0

22
( ) 4 0b x y x y x y

0x y x y

(vì
3
,0
4
xy
nên

22
40x y x y
).
1,0

Thay vào (a):

4 4 4
3 4 4 3 0 1 4 1 0x y x x x x

2
3 2 2
1 3 0 1 2 3 0 1x x x x x x x x

vì

2
2
2 3 1 2 0x x x
.
So với điều kiện (*), ta có:
3
1
4
xy
.
Vậy hệ ph-ơng trình có nghiệm duy nhất :
1
1
x
y

1,5

1.2
(3,0 điểm)

Điều kiện:
;;a b b c c a

0,50

Ta có
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c b c a a b b c c a
a b b c c a a b b c c a a b b c c a

0a b b c c a

0,50

Suy ra:
2 2 2 2 2 2

a b c b c a
a b b c c a a b b c c a

Do đó:
2 2 2 2 2 2
a b c c a b
a b b c c a a b b c c a

2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2 2 2 2
00
a c a b c b a b c
a c b a c b
a b b c c a a b b c c a

1,0

hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

17

2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2 2
0
2
a c a b c b a b c
a b b c c a

4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2
2 2 2
0
2
a a c c a a b b b b c c
a b b c c a

22
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

Theo giả thiết diện tích của hình vuông có dạng

2
0,S abbb k k k

0,5

2
1000 9999 33 99kk
, nên k chỉ gồm 2 chữ số:
10k xy x y

2 2 2
100 20 3 9;0 9k x xy y x y
.
1,0

Nếu y lẻ:
2
1;3;5;7;9 1;9;25;49;81 1;5;9y y b
. Khi đó
2xy
có chữ
số tận cùng là số chẵn, nên chữ số hàng chục của

2
k
phải là số chẵn khác
với 1; 5; 9, do đó S không thể là
abbb
.
1,0

Nếu y chẵn:
2
0;2;4;6;8 0;4;16;36;64 0;4;6y y b

Với y = 0:
2
k
chỉ có thể là 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100 không thoả
điều kiện bài toán.
Với y = 2:
22
100 40 4k x x
. Khi đó x chỉ có thể là 6 thì chữ số hàng
chục của k
2
mới là 4, suy ra
2
3600 244 3844k abbb
.
Với y = 4; 6:
2

16;36y
, khi đó 20xy có chữ số hàng chục là số chẵn, nên
chữ số hàng chục của k
2
phải là số lẻ, do đó không thể bằng 4 hoặc 6,
nghĩa là
2
k abbb
.
Với y = 8: y
2
= 64;
22
100 160 64k x x
, khi đó x chỉ có thể là 3 hoặc 8
thì chữ số hàng chục của k
2
mới bằng 4, suy ra
22
38 1444k
hoặc
22
88 7744k
(không thoả điều kiện bài toán).
Vậy: bài toán có một lời giải duy nhất: Hình vuông cần xác định có cạnh
38k
và diện tích
1444S
.

0,5

0,5

0,5

2.2
(2,0 điểm)

Theo giả thiết, cha của A có thể là B hoặc C:
Nếu B là cha của A thì C không thể song sinh với A, vì nếu nh- thế
thì C là con của B, trái giả thiết, do đó C và B là song sinh và khác
giới tính (gt), nên C là phái nữ. Mặt khác, con gái của B không thể
là C nên phải là A, do đó A là phái nữ. Vậy B khác giới tính với hai
ng-ời còn lại là A và C (cùng là phái nữ).
1,0

Nếu C là cha của A thì C chỉ có thể là song sinh với B, theo giả
thiết B phải là phái nữ. Mặt khác, con gái của B không thể là C
(gt) nên phải là A, suy ra C và B là vợ chồng chứ không phải là
0,5
hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

18
song sinh, dẫn đến mâu thuẫn.

Vậy chỉ có duy nhất tr-ờng hợp B là cha của A và B khác giới tính với hai
ng-ời còn lại là A và C (cùng là phái nữ).
0,5
3.

7,0

+ Gọi
r
là độ dài bán kính
đ-ờng tròn (O
1
). Ta có:
ACD
S pr

2
1
2
2
R AC CD r

2
21R R r

12
R
r

1,0

+ Đ-ờng tròn (O
2
) tiếp xúc với OB và OD nên tâm O
2
ở trên tia phân giác
của góc
BOD
, (O
2

) lại tiếp xúc trong với (O) nên tiếp điểm T của chúng ở
trên đ-ờng thẳng nối 2 tâm O và O
2
, chính là giao điểm của tia phân giác
góc
BOD
với (O).
+ Đ-ờng thẳng qua T vuông góc với OT cắt 2 tia OB và OD tại B' và D' là
tiếp tuyến chung của (O) và (O
2
). Do đó (O
2
) là đ-ờng tròn nội tiếp
''OB D
.
+
''OB D
có phân giác góc O vừa là đ-ờng cao, nên nó là tam giác vuông
cân và
' ' 2 2 , ' ' 2B D OT R OB OD R
, suy ra:
''OB D ACD
.
+ Vậy: Bán kính của (O
2
) cũng bằng
12
R
r

.
2,0

+ Hai hình quạt OBC và OBD đối xứng với nhau qua AB nên (O
3
) cũng
bằng (O
2
), nên bán kính của (O
3
) cũng bằng
12
R
r

.
1,0

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

19

+ §-êng trßn (O
4
) cã hai tr-êng
hîp:
a) Tr-êng hîp 1: (O
4

) ë bªn tr¸i
(O
1
):
KÎ tiÕp chung cña (O
4
) vµ (O
1
)
t¹i tiÕp ®iÓm K c¾t AC vµ AD
t¹i E vµ F.
CO vµ CA lµ cßn lµ 2 tiÕp tuyÕn
cña (O
1
), nªn chu vi cña
CEF
b»ng 2CO, suy ra nöa
chu vi cña nã lµ p = R.
Ta cã:
22
1
4 2 2
12
R
CO R r

  




11
4 2 2 1
4 2 2
1 2 1 2 1 2
R
RR
CK CO O K


    
  



 
0
1
2
4 2 2 1
1
22 30'
12
12
R
OO
KF

tg KF
KC CO

    





 
2
3
4 2 2 1
12
CEF
R
S CK KF

  

.
Suy ra b¸n kÝnh cña ®-êng trßn (O
4
) lµ:


 
2
4
3

4 2 2 1
12
R
r




2,0

hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

20

b) Tr-ờng hợp 2: (O'
4
) ở bên phải (O
1
):

Khi đó: K' là tiếp điểm của 2 đ-ờng tròn, tiếp tuyến chung cắt CA và CD
tại E' và F', CD tiếp xúc với (O'
4
) tại H.

11
4 2 2 1
4 2 2

''
1 2 1 2 1 2
R
RR
CK CO O K

0
2
4 2 2 1
' ' ' ' 22 30'
12
R
F H K F CK tg

1
2
1

4 2 2 1 4 2 2
'
'
'
'
12
R
CK CO
CK CO
CF
CF CO CO

22
4 2 2 1 4 2 2 4 2 2 1
''
1 2 1 2
RR
CH CF F H

2
2
4 2 2 1
12
R
CH

Suy ra: Bán kính của đ-ờng tròn (O'
4
) là:

2
' ' 0
44
3
4 2 2 1
22 30'
12
R

r O H CHtg

2,0

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

21

§Ò 5
Câu 1: (1,5 điểm). So sánh các số thực sau ( Không dùng máy tính gần đúng).
32
và
23

Câu 2: (3 điểm). Giải phương trình sau:
22
x 1 x 1 0   

Câu 3: (1,5điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của

2
2
x1
A
x1




Câu 4: (2 điểm). Giải hệ phương trình:
2x
2
+ 3y = 1
3x
2
- 2y = 2

Câu 5: (4 điểm). Lớp 9A có 56 bạn, trong đó có 32 bạn nam. Cô giáo chủ nhiệm dự
kiến chia lớp thành các tổ học tập:
- Mỗi tổ gồm có các bạn nam, các bạn nữ.
- Số các bạn bạn nam, các bạn nữ được chia đều vào các tổ.
- Số người trong mỗi tổ không quá 15 người nhưng cũng không ít hơn chín
người.
Em hãy tính xem cô giáo có thể sắp xếp như thế nào và có tất cả mấy tổ ?
Câu 6: (5điểm). Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với
nhau. Trong đoạn AB lấy điểm M khác 0. Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại
điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn
(O) tại N ở điểm P. Chứng minh rằng:
a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.

c) CM.CN = 2R
2

d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ?
hoctoancapba.com

Câu 7: ( 3điểm). Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. C là điểm trên đường tròn
(O, R). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB. Khi C chuyển động trên
đường tròn (O, R) thì D chuyển động trên đường nào?

Hết

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

22
Câu
Nội dung – yêu cầu
Điểm
1
(1,5đ)

Giả sử
32
>
23





22
3 2 2 3

   
22
3 2 2 3 3 2 2 3 18 12     
(BĐT đúng)

0,5

1,0
2
(3đ)
     
   
2 2 2 2
22
22
2 2 2 2

22
22
x 1 x 1 0 x 1 x 1
x 1 0 x 1
x 1 x 1 x 1 x 1 0
x 1 hay x 1
x 1 hay x 1
x 1 x 1 1 0
x 1 0hay x 2 0
x 1 hay x 1
x 1 hay x 1 hay x 2 hay x 2
       

  



      


  

  





   
   





  




     



0,5

1,0

1,0

0,5
3
(1,5đ)
Ta có
22
2 2 2
2

22
x 1 x 1 2 2
A1
x 1 x 1 x 1
12
Do x 1 1 1 2
x 1 x 1
Suy raA 1
A 1 x 0
  
   
  

      


  

Vậy GTNN của A bằng 1 khi x = 0

0,5

0,5

0,5

4
(2đ)
. Đặt u = x
2


0, ta có:
2u + 3y = 1
8
13
u 

3u - 2y = 2
1
13
y 

Do đó:
2
8
13
x 

1
13
y 

Hệ PT có 2 nghiệm là:
0,25

0,75

0,25

0,5

0,25




2 2 2 26
13 13
x    

1
13
y 

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

23

2 26 1 2 26 1
( , ) ( , );( , )
13 13
13 13
xy

  

5
(4đ)
* Gọi số bạn nam được chia vào tổ là x,
số bạn nam được chia vào tổ là y,
x, y nguyên dương.

Theo đề ra ta có hệ:
32 24
xy

(1)
9

x + y

15 (2)
Từ (1) ta có: 3x – 4y = 0 =>
4

3
xy

Đặt y = 3t, t > 0 và t

z, ta có: x = 4t
Từ (2), ta có: 9

3t + 4t

15 hay 9

7t

15
=>
9
7
< t


15
7
=>
22
12
77
t

Vì t


z nên giá trị t cần tìm là t = 2, ta tính ra x = 8; y = 6
Như vậy, mỗi tổ có 8 bạn nam, 6 bạn nữ.
Số tổ được chia là:
56
4
68


tổ
0,5

0,75

0,5
0,25
0,5

0,5

0,5

0,5

6
(5đ)

C

a)

A B

N
E P D F
* Tam giác OMP vuông tại M nên O, M, P thuộc đường tròn
đường kính OP.
* Tam giác ONP vuông tại N nên O, N, P thuộc đường tròn
đường kính OP.
* Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP.

b) MP//OC (vì cùng vuông góc với AB)

0,5

0,25

0,25

0,25

0,5
M
O
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

24
NMP NCD
(hai góc đồng vị)

ONC OCN
(hai góc đáy của tam giác cân ONC)

NMP NOP
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP)
Suy ra
MNO NOP
; do đó, OP//MC.
Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành.

c)
( . )CND COM g g

Nên
OC CM
CN CD

hay CM.CN = OC.CD = 2R
2

d) Vì MP = OC = R không đổi.
Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB. Do M chỉ chạy
trên đoạn AB nên P chỉ chạy trên EF thuộc đường thẳng song
nói trên.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,5

0,5

0,5

0,5
7
(3đ)

*
90
o
ACB 
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> AC vuông góc với BD
CD = CB (gt)
 Tam giác ABC cân tại A
 AD = AB = 2R (không đổi)
AD = AB = 2R (không đổi) và A cố định. Do đó D chuyển
động trên đường tròn (A; 2R).

0,5

0,5

0,5
0,5
0,5
0,5

A
B
D
C
O
hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

25

Đề 6
Baỡi 1 (2 õióứm):
Cho bióứu thổùc
1 3 2
A = - +
x +1 x x +1 x - x +1

a) Ruùt goỹn bióứu thổùc A
b) Tỗm giaù trở nhoớ nhỏỳt vaỡ giaù trở lồùn nhỏỳt cuớa bióứu thổùc A

Baỡi 2 (2 õióứm):
Cho haỡm sọỳ y = - 2x + 2 coù õọử thở (D) vaỡ haỡm sọỳ
-4
y=
x
coù õọử thở (H)
a) Tỗm toaỷ õọỹ giao õióứm cuớa (D) vaỡ (H)
b) Tỗm trón (H) õióứm A(x
A
, y
A
) vaỡ trón (D) õióứm B(x
B
, y
B
) thoaớ maợn caùc
õióửu kióỷn: x
A
+ x
B
= 0 vaỡ 2y
A
- y
B
= 15
Baỡi 3 (2 õióứm):

Tỗm caùc cỷp sọỳ nguyón (x , y) sao cho:

2
1
2 2 1
2
x x y x

Baỡi 4 (4 õióứm):
Cho õổồỡng troỡn (O , R) vaỡ õióứm A vồùi OA = 2R. Tổỡ A veợ 2 tióỳp tuyóỳn
AE vaỡ AF õóỳn (O). (E, F laỡ 2 tióỳp õióứm). ổồỡng thúng OA cừt (O) taỷi C vaỡ D
(O nũm giổợa A vaỡ C)
a) Tờnh dióỷn tờch tổù giaùc AECF theo R.
b) Tổỡ O veợ õổồỡng thúng vuọng goùc vồùi OE cừt AF taỷi M. Tờnh tyớ sọỳ
dióỷn tờch hai tam giaùc OAM vaỡ OFM.
c) ổồỡng thúng keớ tổỡ D vuọng goùc vồùi OE cừt EC taỷi Q. Chổùng minh caùc
õổồỡng thúng AC, EF vaỡ QM õọửng qui.

HặẽNG DN CHM ệ THI HOĩC SINH GIOI NM 2007-
2008
Mọn: Toaùn - Lồùp 9
Baỡi 1(2 õióứm)
a) (0,75 õ)
ióửu kióỷn xaùc õởnh: x

0 (0,25 õ)

x - x +1-3+ 2 x +2 x + x
A = =
x x +1 x x +1
(0,25 õ)
hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn

26
=

x x +1
x
=
x - x +1
x +1 x - x +1
(0,25 õ)
b) (1,25 õ)
Vồùi x

0 thỗ

2
x
A = 0

13
x - +
24
(0,5 õ)
Do õoù A
min
= 0 khi x = 0

2
22
x -1
x -x + x -1
A -1= = - 0
1 3 1 3
x + + x - +
2 4 2 4
(0,75 õ)
Suy ra
1A
. Do où A
max
= 1 khi x = 1
Baỡi 2 (2 õióứm)
a) (0,75 õ)
Hoaỡnh õọỹ giao õióứm cuớa (D) vaỡ (H) laỡ nghióỷm cuớa

phổồng trỗnh: -2x + 2 =
-4
x

hay -2x
2
+ 2x + 4 = 0 (x

0) (0,25 õ)
x
2
- x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0 (0,25 õ)
x = -1 ; x = 2
Vồùi x = -1

y = 4 ; vồùi x = 2

y = -2
Vỏỷy toaỷ õọỹ giao õióứm cuớa (D) vaỡ (H) laỡ (-1 ; 4) vaỡ
(2 ; -2) (0,25 õ)
b) (1,25 õ)
A (x
A
, y
A
)

(H) nón y
A