Mở rộng định lý forell cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ THẮM
MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ FORELLI CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO
KHÔNG GIAN PHỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học TS. Lê Tài Thu
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Tài Thu, người đã định hướng chọn đề tài và
tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao
học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều
kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động
viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận
văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 20lị T á c g i ả
Nguyễn Thị Thắm
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Tài Thu, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành
Toán giải tích với đề tài: “ M Ở R Ộ NG Đ Ị N H L Ý F O R E L L I C H O Á N H X Ạ
C H Ỉ N H H Ì N H V À O KH Ô N G GI A N P H ỨC ” được hoàn thành bởi nhận thức của
bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 20lị T á c g i ả
Nguyễn Thị Thắm
Mục lục
Mở đầu.
Định lý Hartogs cho hàm chỉnh hình
Chương 1.

1.1.
5
5
1
Hàm chỉnh hình
Định lý Hartogs cho hàm chỉnh hình
1.2
Định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào không
Chương 2.
gian phức
2
0
2
0
2
Hàm đa điều hòa dưới và tập đa cực
2.1
Hàm đa điều hòa dưới
2.1.
1.
Tập đa cực
Định lý Forelli đối với hàm chỉnh hình và ánh xạ chỉnh hình vào
2.2
không gian phức kiểu Stein
2
Định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức
2.3
.
Kết luận
4

4
Tài liệu tham khảo
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết định lý cổ điển của Hartogs nói rằng nếu một hàm xác
định trên một miền trong C
n
, chỉnh hình theo từng biến riêng rẽ thì chỉnh hình
trên cả miền đó. về trực giác hình học, điều này có nghĩa là nếu một hàm chỉnh
hình trên giao của miền với từng đường thẳng song song với trục tọa độ thì sẽ
chỉnh hình trên cả miền đó. Một vấn đề rất tự nhiên được đặt ra là nếu chúng ta
thay họ đường thẳng song song với trục tọa độ bởi họ đường thẳng kiểu khác
thì định lý Hartogs có còn đúng không? Nói cách khác có hay không những
định lý Hartogs đối với những họ đường thẳng không nhất thiết song song với
trục tọa độ?
Xuất phát từ những ý tưởng trên vào cuối những năm bảy mươi của thế kỷ hai
mươi F. Forelli đã chứng minh một định lý đẹp đẽ nói rằng định lý Hartogs vẫn
còn đúng đối với họ đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Cụ thể ông đã chứng minh
định lý sau: G I Ả S Ử F : B
n
—»• с L À H À M S AO C H O F C H Ỉ N H
H Ì N H Ở T RÊ N G I AO C Ủ A B
n
V Ó I M Ỗ I Đ ƯỜ NG TH Ẳ N G P H Ứ C
I Đ I QU A G Ố C T Ọ A ĐỘ , V À F L À H À M Ỉ Ớ P C
00

T R O N G M Ộ T
L Ă N C Ậ N C Ủ A Đ I Ể M G Ố C . T H Ế T H Ì F C H Ì N H H Ì NH T R ON G
B

n
. Lưu ý một điều rằng điều kiện / là nhẵn trong một lân cận của điểm gốc là
không thể bỏ được.
Một vấn đề được đặt ra là xem xét định lý Forelli nói trên cho lớp ánh xạ chỉnh
hình vào không gian phức. Thật vậy vấn đề này là hoàn toàn
1
rất tự nhiên bởi lẽ đã có nhiều kết quả của các nhà toán học trên thế giới đề cập
đến việc mở rộng định lý Hartogs cổ điển cho lớp ánh xạ chỉnh hình vào không
gian phức. Năm 2003 Đỗ Đức Thái và Phạm Ngọc Mai đã chứng tỏ định lý
Forelli vẫn còn đúng đối với lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức kiểu
Stein.
Với những lý do trên và mong muốn tìm hiểu sâu hơn về định lý Forelli được
sự định hướng của người hướng dẫn tôi đã chọn đề tài: “ M Ở R Ộ N G Đ Ị NH
L Ý F O R EL L I C HO ÁN H XẠ C H Ỉ N H HÌ NH V À O K HÔ N G G IA N
P H Ứ C ” để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo Thạc sĩ
chuyên ngành Toán giải tích.
Nội dung chính của luận văn là mở rộng định lý Forelli cho lớp ánh xạ chỉnh
hình vào không gian phức tùy ý.
Đề tài đã chỉ ra được rằng trong trường hợp tổng quát thì ánh xạ / là chỉnh hình
ngoài một tập đa cực trên mặt cầu. Trong đề tài này, chúng tôi đưa vào lớp
không gian phức có tính chất Forelli và chứng tỏ rằng những không gian phức
kiểu Hartogs đều có tính chất Forelli. Đồng thời khẳng định ngược lại cũng
đúng đối với lớp không gian phức Káhler lồi chỉnh hình. Một phản ví dụ được
cho sau đó chỉ ra rằng điều kiện Káhler là không thể bỏ được.
Cuối cùng, chúng tôi muốn bình luận đôi điều về sự so sánh giữa hai định lý
Hartogs và định lý Forelli. Chúng ta thấy, trong định lý Hartogs thì hàm đã cho
chỉnh hình trên họ các đường thẳng song song với trục tọa độ. Ta cũng có thể
xem họ đường thẳng này cùng đi qua điểm vô cùng. Điều này cũng tương đồng
với giả thiết về tính chỉnh hình của hàm trên họ đường thẳng đi qua gốc tọa độ
trong định lý Forelli. Mặt khác khó khăn cơ bản trong chứng minh định lý

7
Hartogs là ta không có được tính liên tục của hàm đã cho. Bù lại họ các đường
thẳng song song với trục tọa độ là rất nhiều. Trong định lý Forelli thì ngược lại,
tính liên tục tại gốc tọa độ của hàm đã được giả thiết nhưng họ đường thẳng đi
qua gốc tọa độ thì không nhiều. Trong định lý Forelli nhờ vào tính nhẵn của
hàm tại gốc nên cách chứng minh là không khó như trong định lý Hartogs.
Đề tài này gồm hai chương:
Chương 1 dành cho việc nhắc lại một số khái niệm cơ bản và các kết quả đã
biết về hàm biến số phức và các kết quả có liên quan tới đề tài. Phần cuối của
chương dành cho việc nhắc lại một số kết quả đã biết về định lý cổ điển của
Hartogs.
Chương 2 dành cho việc mở rộng định lý Forelli từ lớp hàm chỉnh hình lên lớp
ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý.
2. Mục đích nghiên cứu
Mở rộng định lý Forelli cho lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu định lý Hartogs cổ điển;
- Nghiên cứu định lý Forelli cho hàm chỉnh hình;
- Mở rộng định lý Forelli cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là định lý Hartogs cổ điển và mở rộng định lý Forelli
cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý. Phạm vi nghiên cứu của
luận án là lớp ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức tùy ý.
8
5. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết nhiệm vụ của đề tài chúng tôi đã vận dụng một cách linh hoạt
các kết quả của hình học giải tích phức, giải tích phức nhiều biến.
6. Đóng góp mới của luận văn
Hệ thống lại cách chứng minh định lý Hartogs cổ điển. Mở
rộng định lý Forelli cho lớp ánh xạ chỉnh hình vào không

gian phức tùy ý. Luận văn chỉ ra được rằng trong trường
hợp tổng quát thì ánh xạ / là chỉnh hình ngoài một tập đa
cực trên mặt cầu. Chúng tôi đưa vào lớp không gian phức
có tính chất Forelli và chứng tỏ rằng những không gian
phức kiểu Hartogs đều có tính chất Forelli.
9
Chương 1 Định lý Hartogs cho hàm chỉnh
hình
Trong chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị nhằm phục vụ cho
chương sau. Nội dung của chương trình bày một số kiến thức về hàm chỉnh
hình, tiếp sau trình bày về định lý Hartogs cổ điển, hàm đa điều hòa dưới và
tập đa cực trong mặt phẳng phức.
1.1. Hàm chỉnh hình
Cho Z = ( Z Ị , Z
2
, . . . , Z
N
) E c
n
. Với mỗi Z E c
n
hai chuẩn trên c
n
thường
được sử dụng là chuẩn Euclide
I I 2 I I =

(ZịZị -Ị f

z

n
z
n
ý
và chuẩn max
\ Z\ = maxd^iỊ, , \ Z
N
\ } .
Dễ thấy rằng hai chuẩn này là tương đương vì ta có
\ Z\ < \ \ Z \\ < \/rĩỊ,
2

:Ị V Z e C".
Cho A e c
n
và r > 0. Một Đ A Đ Ĩ A mở tâm tại A bán kính r là tập hợp
D(a,r) =

{z €

c
n
:

\z — a\ < r } .
5
Đa đĩa đóng tâm A bán kính R là tập hợp
D(a, r) = { Z e c
n
: Ị Z — a| < r}.

Trước tiên, chúng tôi nhắc lại định nghĩa hàm R
2n
-khả vi.
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 1 .

Giả sử íì là tập mở trong c
n
và cho điểm a G
í ỉ .

Hàm f : r i —

>

С gọi là M.
2n
-khả vi (hay khả vi) tại điểm а

€
nếu tồn tại vi phân
df = ir-dxị + f ^-dx
2n
- (1.1)
Nếu hàm f là M.
2 n
-khả vi tại mọi điểm a G

f ĩ

thì hàm f được gọi

là R

2 n
-khả vi trong r i .
Với các số phức Z
V
, Z Y ta đặt
z
v
+ z
v
z
u
+ z
u
- -

,x
n + v
-
2 ị
.
Khi đó, ta có thể viết lại (1.1) dưới dạng
df df df df
D F = — D Z I + • • • + — D Z
N
+ T — D Z I + • • • + T —
D Z
N :
Ờ Z \ O z

n
Ờ Z \ Ở z
n
trong đó, với V = 1,. . . , n ta đặt
d ĩ _ l , d f , d f
л
dz
v
2

dx
v
dx
D Ị
=
1 . D Ị
Ị
■ D F
dz
v
2

dx
v
dx
n+ v
Sau đây, chúng tôi nhắc lại định nghĩa hàm c
n
-khả vi.
Đ ị n h

n g h ĩ a

1 . 2 .

Giả sử r i

là tập mởtrong

c
n
vàcho
điểm а €

f ỉ .

Hàm
f : í ỉ

—>С

gọi ỉà C
n
-khả vi tại điểm a nếu f là hàm
R

2n
-khả vi tại а
và tại điểm này
тгг- = 0, V = 1, ,71, (1.2)

dz„
n + v
Nếu hàm f là c
n
-khả vi tại mọi điểm a e

thì hàm f được gọi là c

n
-
khả vi trong í ỉ .
Ta cũng nhớ lại khái niệm hàm chỉnh hình qua định nghĩa dưới đây.
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 3 .

Hàm c
n
-khả vi tại mỗi điểm của lăn cận nào đó
của điểm z
0
€ C

n



,

được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm ZQ. Hàm
chỉnh hình tại mỗi điểm của tập mở í ỉ

nào đó được gọi là chỉnh
hình trên í ĩ .
Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình
nhiều biến.
Kí hiệu:
Hàm / liên tục trong miền D cC" theo tập hợp các biến và tại mỗi
điểm Z ° E D hàm / chỉnh hình theo từng tọa độ.
Chú ý rằng, sau khi chứng minh định lý Hartogs cổ điển thì tính chất liên tục
của hàm / được suy ra từ tính chỉnh hình theo mỗi biến.
M ệ n h đ ề 1 . 1 .

Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện ( Q

trong u =

{z
G

c
n
:

\z
v
— a
v
\ < r „ } ,

thì tại mỗi điểm z G

u hàm f được
biểu diễn dưới dạng tích phãn bội Cauchy
tức ỉà vi phẫn có
n
I
/( z) =

Ẹầỹ
r
trong đó trong đó

r là khung của đa tròn, tức là tích của các vòng

tròn biên


7
„ = {|C„ - a

v

I = r

v

}.
C H Ứ N G M I N H . Với bất kì Z e u gọi ' Z và ' U tương ứng là hình chiếu
trong không gian c
n_1
của Z và [/, ta có ' Z € ' U .

Hàm F ( Z ) — F ỰZ , Z
N
) chỉnh hình theo biến Z
N
trong hình tròn {|Z
N
—
A
N
\ < R } . Do đó, áp dụng công thức tích phân đối với hàm một biến ta thu
được
\

_
1
í

/C^Cn)
f(z ) =

7)T / 77 —

,đ(

n

.

2
i

7
ĩi
J z
n
)
In
Với Cn ẽ
7

n
và ' Z G ' U tùy ý, hàm dưới dấu tích phân có thể biểu diễn bởi tích
phân Cauchy theo biến Z
n
-
1

. Hơn nữa, do / liên tục theo tập hợp biến, nên tích
phân lặp có thể biểu diễn như tích phân bội theo tích ln
-1


x
7n- Tiếp tục lặp lại
lý luận như trên cho tới biến Z\ ta thu được
công thức (1.3).
M ệ n h đ ề

1.2 . Nếu hàm f ỉiên tục trong đa tròn đóng u cC " theo
tập các biến và tại mỗi z
0

G £ / ,

chỉnh hình theo mỗi tọa độ, thì
tại mỗi điểm z £ u hàm f được biểu diễn bởi chuỗi lũy thừa
00
f (
z
) = Ỵ^
c
h { z - a )
k
| f c | = o
với cấc hệ số
□
(1.
f ( 0
- d i ,
C
(27 TĨ)

n



J (C — a

)
k+1
T
trong đó

r
là khung của đa tròn, tức là tích của các vòng tròn biên ly
—

{|C -a«/| = r„}, k =

(kị,.k
n
), k

v

>

0, Ư =

1, ,71 và (z-a)

h



= {zi -
Cii)

k l

{z

n

- a

n

)

K



.
M
J c-
1
CHỨNG MINH. Từ công thức tích phân Cauchy (1.3), ta có thể viết dưới
dạng đơn giản hơn
^ _
1
Í /(0
F (
Z
)
=
/ 7~
d
í’

(2i7 ij J Q — ĩ Z
T
trong đó D £ = D C I .
D (
N
và —= —

1
—
Bây giờ ta
C-Z
(Cl
-
z
l
) . .
.
(Cn -
z
n
)
khai triển nhân trong
tích phân (1.5) thành
tích cấp số nhân bội:
1 1
1
T-Z
C-A{
1 -
“ì íl

- 7^)
’ ’
v
Ci
—
Q
1
v
C N -
A
N
>
- 00
= — ỹ ( c-a “ c-a
^ | fc | =o ^
,z —

a
C
— Z
z
—' (C — A
)

k+ 1


(1.5
)
_ ^1

a
l^fci ^
Z
N
A
N^K.
(1.6
Ha
trong đó k G N

n



và \k\ = ki + + k

n

, vầ
'Zị -

«1
'Ci ~

a



i
cn

(z - a)

k

'C - a'
trong đó K + 1 = (&!
+ 1, +
1). Mặt khác, với bất kì
Z € U chuỗi
(1.6) hội tụ tuyệt đối
và đều trên r theo Nhân
chuỗi (1.6) với hàm
/(0
, hàm này liên tuc trên r
nên bi chăn trên r. Sau
đó, lấy tích
( 2 7

ĩi)
n
phân từng phần ta thu
được biểu diễn (1.4). □
M ệ n h đ ề 1 . 3 .

Nếu
hàm f chỉnh hình
tại điểm a ,

được
khai triển thành

chuỗi lũy thừa
dạng ( 1 . 4 ) ,

thì
các hệ số của chuỗi
này được xác định
theo công thức
Taylor
1
Qk i
+
. +
k
n
Q\ h
\ỹ
(1.7)
C
h
k
1
\
.
.
.
k
J
d
z
ì

{
1

.
.
.
d
z
n
n
k
\
d
z
k
t
r
o
n
g
đ
ó
k
\
=

k
i
\
.

.
.
k
n
\
.
M ệ n h đ ề 1 . 4 .
( B ấ t đ ẳ n g t h ứ c
C a u c h y )

Nếu f là
hàm chỉnh hình
trong đa tròn đóng
u — {\z
u
— a „ | <
r „ }

và l / l <

M
trên khung r

của
nó, thì các hệ số
trong khai triển
Taylor của f tại
điểm a thỏa mãn
các bất đẳnq thức
I I

M
l
C f c
l - 7ÃT’
trong đó r
k
=

rị
1

r*
n
.
Đ ị n h l ý 1 . 1 .

Hàm
f bất kì chỉnh hình
trong tích các vòng
tròn n =

{z ẽ C

n



:
r
v

\z
v
— a
v
\ < R
v
} có
thể biểu dễn trong
n

dưới dạng chuỗi
Laurent
00
ỉ(
z
)
=
^2
c
k
(z
-
a
)

k

,

(

1
.
8
)
I I = — 00
trong đó tổng được
lấy theo mọi k —
k
n

) € N

n



,

còn hệ số
/(CK
1

[
f(Qdi

Ck
{
2
iĩi)
n

J ( £ —
a
)
k+1

r
trong đó r

là tích
các vòng tròn

7j, =
=
a
v
+
p
v
e
u
}
V
=
1

,n;
r
u
p
v

< R„, 0 <

t <
2iĩ.
C H Ứ N G M I N H . Giả
sử Z ° là điểm tùy ý của
D , khi đó đa tròn u =
{ \ Z
V
—
< \
Z
V ~
A
A }
c
D .
Áp dụng Mệnh đề 1.3,
hàm / biểu diễn được
trong u bởi khai triển
Taylor tâm A . Các hệ
số của chuỗi này tính
được qua các đạo hàm
của / tại điểm A , tức là
trùng với các Cỵ. Tức
là ta nhận được khai
triển
00
f(
z

)
=
c
k
{z
-
a
)
k
.
\k \ = — oo
□
Đ ị n h l ý 1 . 2 .
( T í n h d u y n h ấ t )
Nếu f chỉnh hình
trên tập mở liên
thông í ỉ c C

n



,

và f
triệt tiêu cùng với
mọi đạo hàm riêng

tại điểm z° nào đó
của miền f ỉ ,

thì
f(z)

= 0

với mọi
điểm z € í ỉ .
C H Ứ N G M I N H . Giả
sử Z
Ữ
e íỉ là điểm tùy
ý. Khi đó, mọi hệ số
khai triển Taylor của /
tại Z ° bằng 0. Do đó, /
= 0 trong lân cận nào
đó của điểm Z ° này.
Đặt E = Ị Z G : F ( Z )
= 0} và E là phần trong
của E . Tập E là tập
mở và khác rỗng vì nó
chứa Z
Ữ
. Ta cũng thấy
rằng E là tập đóng
trong D và do đó E =
0. □
Đ ị n h l ý 1 . 3 .

( L i o u v i l l e )

Nếu /
chỉnh hình trong c
n
và Ị / l

là hàm bị
chặn thì f là hàm
hằng trên C

n



.
C H Ứ N G M IN H . Ta
chứng minh bằng quy
nạp theo N . Với N = 1,
định lý đã được chứng
minh cho hàm một
biến. Giả sử định lý
đúng cho hàm ( N —
1) biến. Ta chọn các
điểm tùy ý A , B G C
n
,
do theo giả thiết quy
nạp nên hàm F Ự Z, A
n

)
là hàm hằng. Do đó,
F (A ) = F ( ' B ,A
N
) .
Mặt khác, hàm
F ỰB , A
N
) cũng là
hằng số, như vậy
F ỰB , A
N
) = F ( B) .
Do đó F ( A ) = F ( B ),
nghĩa là định lý đúng
cho hàm N biến. □
Đ ị n h l ý 1 . 4 .
( N g u y ê n l ý
m ô d u n c ự c đ ạ i )
Nếu f chỉnh hình
trên tập mở liên
thông Q c c

n



,

và

l / Ị

đạt cực đại tại
điểm a

€

D nào đó,
thì f là hàm hằng
trong í ĩ .
C H Ứ N G M I N H . Xét
đường thẳng giải tích
tùy ý
•Ể(c)
=
ữ +
đi qua A . Hạn chế của /
trên đường thẳng này là
hàm
<MC) = /°^(C),
hàm này chỉnh hình
trong hình tròn {|£| <
P } nào đó, còn \ I P
U
\
chỉ đạt cực đại khi £ =
0. Theo nguyên lý
môdun cực đại đối với
hàm một biến phụ
thuộc vào hằng số U ),

<Puj{0 = c(w).
Mặt khác, <^u(0) =
F (
a
) không phụ thuộc
vào Ù J , nên C ( Ù J )
=const trong
lân cận của điếm A . Ap
dụng Định lý L2 ta có /
=const trong D . □
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 4 .
( T á c h c h ỉ n h
h ì n h )

Giả sử í ỉ

là
một tập mở trong
c
n
,n > 2. Hàm f : íì —
>• c gọi là tách
chỉnh hình nếu f
chỉnh hình theo mỗi
biến khi ta cố định
các biến còn lại.
1.2. Định lý
Hartogs cho hàm
chỉnh hình
Trong mục này chúng

tôi trình bày các kết
quả đã biết về định lý
cổ điển của Hartogs.
Với mỗi R > 0 ta đặt
B
N
R
=
B
N
{0,R) =
{Z E c
n
:
||
2
|| <
iỉ},B
n
=
B?.
r
z
— Z
0
Z
Với A
1
là ánh xạ
ngược u —»• u

r
và xét
hàm
<p = ^
l
p
O X - K
Hàm này thỏa mãn các
điều kiện của bổ đề
Schwarts thông
thường, do đó
№ {
Z
) \ < \
Z
\ khắp nơi
trong u.
Cuối cùng ta thay Z
bởi A(z) ta thu được
\z - Z o \
r
2
— ZQZ Ì
Bổ đề được chứng
minh. □