Phương trình parabolic trong miền không trơn (LV01218)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
HÀ THIÊN ĐỒNG
PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC TRONG MIỀN KHÔNG TRƠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
TS. Phạm Triều Dương
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Phạm Triều Dương, thầy
đã tận tình chỉ bảo, định hướng, chọn đề tài và truyền đạt kiến thức để
tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong khoa
Toán, phòng Sau đại học đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu
và học tập.
Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ cho tôi trong quá trình học
tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Hà Thiên Đồng
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề
tài “Phương trình parabolic trong miền không trơn” được hoàn
thành dưới sự hướng dẫn của TS. Phạm Triều Dương và bản thân
tác giả.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả
Hà Thiên Đồng
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . 7
1.1. Công thức Green trên đa tạp Riemann . . . . . . 7
1.2. Hàm điều hòa và hàm Green. . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Toán tử Laplace trên đa tạp mẫu M
σ
. . . . . . . . 12
Chương 2. Phân loại các miền theo ý nghĩa xác suất . 13
2.1. Nửa nhóm nhiệt trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . 13
2.1.1. Toán tử Laplace trong metric Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2. Nhân nhiệt và chuyển động Brown trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Dung lượng, tập dày, xác suất va chạm và miền ngoài của một
tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1. Dung lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2. Dung lượng trong miền không trơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3. Dung lượng của hình cầu trên mô hình đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.4. Tập dày . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.5. Xác suất va chạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.6. Miền ngoài của một tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Danh sách các kí hiệu
M đa tạp Riemann liên thông trơn;
dist(x, y) khoảng cách trác địa trên M giữa điểm x, y ∈ M;
µ thể tích Riemann trên M;
µ


độ đo Riemann có số đối chiều bằng 1 trên siêu diện trong M;
V (x, r) hàm tăng thể tích;
∆ toán tử Laplace trên M;
p(x, y, t) nhân nhiệt tương ứng với toán tử
1
2
∆;
p
Ω
(x, y, t) nhân nhiệt trong miền Ω với điều kiện biên Dirichlet trên ∂Ω;
G(x, y) nhân Green của ∆ trên M;
G
Ω
(x, y) nhân Green của ∆ trong miền Ω;
X
t
chuyển động Brown trên M;
P
x
, E
x
độ đo và kì vọng tương ứng trên không gian quỹ đạo của chuyển
động Brown bắt đầu từ điểm x ∈ M;
b
Ω
, s
Ω
thế vị điều hòa dưới và trên của tập mở Ω;
e
F

, h
F
là các xác suất va chạm;
C
∞
0
tập các hàm giá trị thực trơn trên Ω với giá compact trong Ω;
{//
k
} dãy vét cạn trên M;
flux
Γ
f thông lượng của hàm f xuyên qua siêu mặt trơn định hướng Γ;
ω
d
diện tích của mặt cầu đơn vị trong R
d
.
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace





∆u(x) = 0, x ∈ Ω
u(x) = ϕ(x) x ∈ ∂Ω
(0.0.1)
được nghiên cứu từ khá lâu trong các miền tùy ý. Như ta đã biết, trong

trường hợp Ω là miền có biên trơn, bài toán có nghiệm với mọi dữ kiện
liên tục trên biên theo phương pháp biến phân qua khái niệm nghiệm
yếu. Tuy nhiên, phương pháp Perron khẳng định sự tồn tại nghiệm (hàm
điều hòa) của bài toán này đối với một lớp các miền rộng hơn rất nhiều.
Với việc khảo sát sự tồn tại các hàm điều hòa trên và điều hòa dưới
trong miền Ω, điều kiện đủ đối với tính giải được là "Mọi điểm trên biên
là điểm đều". Điều kiện này có thể được thay bởi "điều kiện mặt cầu
ngoài" - hay là tại mọi điểm x
0
trên biên ∂Ω tồn tại hình cầu đóng B
r
sao cho B
r
∩ ∂Ω = {x
0
}.
Việc thay cách tiếp cận qua biến phân bởi phương pháp hàm chắn tại
biên đã cho ta tính giải được với các miền tổng quát dạng H¨older hay
biên Lyapunov. Các miền này không có biên khả vi (trơn) thông thường.
Đồng thời ta cũng thấy các miền nón lồi cũng thỏa mãn điều kiện về
mặt cầu ngoài. Khó khăn duy nhất gặp phải là các miền gấp khúc, hoặc
chứa các điểm xoay lùi vào bên trong, vì tại các điểm đó, ta không kiểm
1
2
tra được sự tồn tại của hàm chắn.
Câu hỏi đặt ra là, ta có thể nêu một đặc trưng khá tổng quát về miền
Ω tùy ý sao cho trên đó các bài toán biên Dirichlet đều giải được duy
nhất? Hay nói cách khác, theo phương pháp Perron, những miền nào
trong R
n

cho phép ta tìm được các hàm điều hòa trên chấp nhận được?
Các nghiên cứu gần đây cho ta thấy tính giải được của bài toán
Dirichlet trong một miền chỉ phụ thuộc hoàn toàn vào Đánh giá đẳng
chu (cùng chu vi) của các miền con G ⊂⊂ Ω. Ta đều biết, bất đẳng thức
Poincare là một công cụ quan trọng để chứng minh bất đẳng thức liên
hệ về thể tích của các miền con G trong Ω qua chu vi cho trước của G.
Do đó, đây cũng là một hướng nghiên cứu không cần các điều kiện về
biên trơn đối với ∂Ω cho sự tồn tại nghiệm đối với (0.0.1).
Bản luận văn này sẽ cố gắng trả lời câu hỏi thú vị này thông qua
mối liên hệ chặt chẽ về giải tích của khái niệm hàm điều hòa trên và
dưới trong một miền và khái niệm tồn tại một quá trình ngẫu nhiên đủ
tốt trên miền đó. Trong chương chính của luận văn, chúng tôi sẽ trình
bày một trường hợp tổng quát khi Ω là một miền con của một đa tạp
Riemann M tùy ý (ví dụ R
n
). Chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm cơ
sở về nhân nhiệt, hàm Green, dung lượng và một số tính toán cho các
ví dụ. Kết quả chính trong chương này là trình bày lại điều kiện về tính
luân chuyển của các chuyển động ngẫu nhiên Brown thông qua tính khác
0 của các dung lượng trong mọi miền con compact của M. Chúng ta sẽ
thấy rõ hàm điều hòa trên tốt nhất theo nghĩa nghiệm Perron đối với
(0.0.1) chính là xác xuất va chạm của chuyển động Brown xuất phát từ
3
điểm đang xét đạt tới biên của miền Ω.
Chúng tôi cũng chỉ ra đánh giá Đẳng chu liên hệ chặt chẽ với tính
đầy đủ ngẫu nhiên của đa tạp M. Trong các kết quả trình bày ở chương
này, công cụ của Nguyên lí cực trị đối với các hàm điều hòa trên (hoặc
dưới) cho phép ta sử dụng được phương pháp xấp xỉ miền bằng một dãy
vét cạn các miền có biên trơn, thông qua việc chuyển qua giới hạn trong
các tích phân. Đồng thời cách tiếp cận của giải tích ngẫu nhiên cũng cho

thấy sự quan trọng của các tập mức của hàm điều hòa. Chúng tôi cũng
chỉ ra công thức tính các hàm Green trong các trường hợp này và nêu
lên được bản chất về lan truyền trong công thức tìm ra. Qua các liên
hệ trực tiếp này, chúng ta sẽ thấy về mặt giải tích ngẫu nhiên, các mặt
cong hay các đa tạp nói chung được chia thành 2 loại chính: loại mặt
parabolic (đa tạp parabolic) không cho phép các chuyển động Brown di
chuyển tự do linh động trong toàn miền (độ cong của đa tạp đủ lớn), và
loại thứ hai là không parabolic - về mặt luân chuyển là tốt hơn (độ cong
nhỏ) và cho phép tồn tại các hàm điều hòa trên chấp nhận được khác
hằng số.
Cần ghi nhớ là các kết quả trong chương này mới chỉ phát biểu cho
đa tạp (hay mặt) có tính khả vi. Tuy nhiên để ý thấy các đánh giá về
dung lượng trong các miền có điểm cực (một điểm kì dị tách biệt) chỉ phụ
thuộc vào các tích phân của các hàm xác định biên và độ đo về thể tích và
chu vi của các miền con, trong những năm gần đây Maz’ya đã phát triển
phương pháp trên đây với trường hợp biên chứa các điểm dạng cusps
(đỉnh nhọn) hoặc những miền chứa gấp vô hạn (miền Nikodym). Khi
4
nghiên cứu bài toán biên, phương trình được nghiên cứu có thể chứa các
hệ số không hằng (hệ số biến thiên). Bằng phương pháp symmetrization
(thay các miền bởi miền đối xứng xuyên tâm) và các Sắp xếp lại (re-
arrangement), Maz’ya đã chứng minh được các kết quả tương tự về tính
giải được của bài toán phi tuyến elliptic điều kiện biên Dirichlet dạng





−div(a(x, ∇u)) = f(x), x ∈ Ω
u(x) = ϕ(x) x ∈ ∂Ω

(0.0.2)
Kết quả nhận được cho một số lớp hệ số a(x) chỉ ra biên của Ω không
có vai trò thực sự trong tính giải được của (0.0.2).
Trong một số ví dụ, chúng tôi sẽ chỉ ra một số miền cho phép giải
được bài toán biên Neumann.





−div(a(x, ∇u)) = f(x), x ∈ Ω
a(x, ∇u).n = 0 x ∈ ∂Ω
(0.0.3)
Qua đó, chúng ta thấy phương pháp nghiên cứu dung lượng và hằng số
đẳng dung đưa ra các kết quả về giải được với phần lớn các miền khối
dạng tròn xoay mà không cần bất kì tính chất khác của đạo hàm đối với
hàm số xác định biên.
Với mong muốn có thể nghiên cứu được toán tử elliptic bất kỳ với
phương pháp đã đặt ra của các tác giả trên. Chúng tôi chọn đề tài
“Phương trình parabolic trong miền không trơn” để thực hiện
luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán
giải tích.
5
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng trong miền không trơn trên góc
độ của lý thuyết xác suất.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Vai trò của một phương trình parabolic quyết định đến sự tồn tại của
hàm Green trong miền không trơn.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương trình đạo hàm riêng liên hệ với giải tích ngẫu nhiên. Bài toán
được áp dụng với một lớp rộng các miền chứa điểm kì dị.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi muốn áp dụng phương pháp Hàm điều hòa trên (còn được gọi
là phương pháp Perron) trong trường hợp miền không Euclide: tìm ra
các đánh giá tương tự bất đẳng thức Poincare liên hệ tới giá trị riêng
dương bé nhất của toán tử, áp dụng Phương pháp thế vị để nghiên cứu
sự tồn tại hàm Green trong M.
6
6. Đóng góp mới của luận văn
Tìm hiểu sâu sắc đặc trưng diện tích–chu vi của miền cho tính giải được
của bài toán biên Dirichlet.
Chương 1
Kiến thức bổ trợ
1.1. Công thức Green trên đa tạp Riemann
Giả sử U miền tiền compact bất kì trong R
n
và với các hàm bất kì
u, v ∈ C
2
0
(U) thì

U
v∆udµ = −

U
∇v∇udµ,
trong đó, ∇v∇u là tích vô hướng của 2 véc tơ:
∇v∇u =

d

i,j=1
G
ij
(∇u)
i
(∇v)
j
=
d

i,j=1
G
ij
∂u
∂x
i
∂v
∂x
j
và dµ là phần tử thể tích Riemann được xác định bởi công thức:
dµ =
√
Gdx
1
dx
2
. . . dx
d

.
1.2. Hàm điều hòa và hàm Green
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử Ω là một miền trong R
n
và u là hàm thuộc
lớp C
2
(Ω). Hàm u(x) thỏa mãn phương trình Laplace
∆u = 0,
với mọi x thuộc Ω được gọi là hàm điều hòa trong Ω.
7
8
Dạng không thuần nhất của phương trình Laplace được gọi là phương
trình Poisson, tức là phương trình dạng
∆u = f(x).
Nghiệm của phương trình poisson trong miền Ω là hàm u thuộc lớp C
2
(Ω)
sao cho.
∆u = f(x)
với bất kì x thuộc Ω.
Nghiệm như thế còn được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình
Poisson trong miền Ω.
Với một hàm điều hòa u và tập mở tiền compact Ω bất kì trong miền
xác định của hàm u thì thông lượng của hàm u xuyên qua biên ∂Ω là
bằng 0, tức là
flux
∂Ω
u :=


∂Ω
∂u
∂ν
dµ

= o, (1.2.1)
trong đó, ν là véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị trên ∂Ω (giả sử biên ∂Ω
đủ trơn). Hơn nữa, phương trình (1.2.1) tương đương với tính điều hòa
của u. Thật vậy, ta có

Ω
∆udµ = 0,
với bất kì Ω là miền xác định của u, do đó ∆u = 0.
Một hàm v xác định trong miền Ω ⊂ M được gọi là hàm điều hòa
trên nếu v liên tục và trên miền tiền compact bất kì U ⊂⊂ Ω, hàm điều
hòa bất kì u ∈ C
2
(U) ∩ C(
¯
U), v ≥ u trên ∂Ω thì ta có v ≥ u trên U.
Hàm u được gọi là hàm điều hòa dưới nếu −u là hàm điều hòa trên.
9
Định nghĩa 1.2.2. Cho tập mở Ω ⊂ M, ta nói rằng hàm u ≥ 0 là một
hàm điều hòa dưới chấp nhận được đối với Ω nếu u là hàm điều hòa dưới
bị chặn trên M, và sao cho u = 0 trong M\Ω và sup
Ω
u > 0.
Định nghĩa 1.2.3. Thế vị điều hòa dưới b
Ω
của một tập mở Ω là cận

trên đúng của tất cả các hàm điều hòa dưới chấp nhận được u đối với Ω
sao cho u ≤ 1. Thế vị điều hòa trên s
Ω
của Ω là cận dưới đúng của tất
cả các hàm điều hòa trên chấp nhận được đối với Ω.
Nếu không có hàm điều hòa trên (điều hòa dưới) chấp nhận được thì
ta coi b
Ω
≡ 0 (tương ứng s
Ω
≡ 0). Từ đó, ta luôn có đẳng thức sau
b
Ω
+ s
Ω
= 1,
và hàm b
Ω
tăng trên mở rộng của Ω ngược lại, hàm s
Ω
giảm trên mở
rộng của Ω.
Định nghĩa 1.2.4. Hàm b
Ω
được gọi là độ đo điều hòa của tập
F := M\Ω.
Hàm s
Ω
được gọi là hàm thoái vị (hoặc tối giản) của F.
Khi xây dựng hạt nhân nhiệt, ta đưa vào hàm Green G(x, y) với

G(x, y) =
1
2
∞

0
p(t, x, y)dt.
Một định nghĩa khác của G(x, y) là, G(x, y) là nghiệm cơ bản dương nhỏ
nhất của phương trình Laplace trên M. Ta quy ước G ≡ +∞ nếu không
10
có nghiệm cơ bản dương, điều này có được khi tích phân trên phân kỳ.
Nếu G = ∞ thì với mỗi y cố định ta có,
∆G(·, y) = −∂y.
Ví dụ 1.2.1. Trong R
d
, d > 2, hàm Green được cho bởi
G(x, y) =
Cd
|x − y|
d−2
,
trong đó Cd = (ω
d
(d − 2)
−1
). Trong R
2
, ta có G ≡ ∞.
Một cách khác xây dựng hàm Green G là bằng cách sử dụng dãy vét
cạn. Một dãy {ε

k
} của tập M được gọi là dãy vét cạn nếu:
i) Mỗi ε
k
là một miền tiền compact với biên trơn nhẵn;
ii) ε
k
⊂⊂ ε
k+1
;
iii)

k
ε
k
= M.
Trước tiên xây dựng trong mỗi ε
k
một hàm Green G
ε
k
(x, y) của bài
toán Dirichlet trong ε
k
, hàm này liên tục đến biên (như là hàm của x,
với mỗi y ∈ ε
k
) và triệt tiêu trên ∂ε
k
. Bằng nguyên lí cực đại, dãy {G

ε
k
}
tăng theo k, và giới hạn khi k → ∞ (hữu hạn hay vô hạn) là hàm Green
toàn cục G(x, y). Giới hạn này không phụ thuộc vào sự lựa chọn của dãy
vét cạn.
Nếu M là đa tạp với biên trơn thì hàm Green G và G
Ω
được giả thiết
tương ứng là thỏa mãn điều kiện biên Neumann trên ∂M và ∂M ∩ Ω.
Ta có các tính chất sau hàm Green thường sử dụng tới:
11
1. Hàm Green G(x, y) hoặc hữu hạn với x = y hoặc vô hạn ∀x, y.
Trong trường hợp đầu, ta sẽ nói rằng G là hữu hạn. Giá trị của G(x, y)
trên đường chéo x = y luôn là vô hạn. Hơn nữa, do tính kì dị của G(x, y)
khi x → y có cùng bản chất hàm Green tương ứng trong R
d
, đó là:
G(x, y) =



r
2−d
, d > 2,
log
1
r
, d = 2,
với r = dist(x, y) → 0. (1.2.2)

2. Tính dương nghĩa là G(x, y) > 0;
3. Tính đối xứng, G(x, y) = G(y, x);
4. G(·, y) là hàm điều hòa theo y. Thật vậy, G(·, y) là điều hòa trên
M nếu như coi +∞ là một giá trị của hàm;
5. Nếu Ω là một miền tiền compact với biên trơn thì thông lượng của
G(·, y) qua ∂Ω bằng −1 nếu y ∈ Ω và bằng 0 nếu y /∈ Ω, nghĩa là
flux
∂Ω
G =

∂Ω
∂G(x, y)
∂ν
dµ

(x) =



−1, y ∈ Ω
0, y /∈ Ω
(1.2.3)
ở đây ν là véc tơ pháp tuyến đơn vị ngoài trên ∂Ω. Hơn nữa (1.2.3)
tương đương với G là nghiệm cơ bản. Dòng thứ hai trong (1.2.3) suy
từ tính điều hòa (harmonicity) của G xác định y trong khi từ dòng thứ
nhất của (1.2.3) ta có ∆G = −δ
y
;
6. G(x, y) là nghiệm cơ bản dương bé nhất của bài toán Dirichlet trên
M và

inf
x∈M
G(x, y) = 0.
12
1.3. Toán tử Laplace trên đa tạp mẫu M
σ
Đa tạp M với điểm cực o được goi là đa tạp đối xứng cầu hay đa tạp
mẫu nếu metric Riemann trên S
p
cho bởi:
A
ij
(ρ, θ)dθ
i
dθ
j
= σ
2
(ρ)dθ
2
.
Trong đó, dθ
2
là metric Eucluid chuẩn S
d−1
và σ(ρ) là hàm dương trơn
của ρ. Toán tử Laplace trên M
σ
có thể được viết dưới dạng như sau:
∆ =

∂
2
∂
2
ρ
+ (d −1)
σ

σ
∂
∂ρ
+
1
σ
2
∆
θ
hay
∆ =
∂
2
∂
2
ρ
+
S

S
∂
∂ρ

+
1
σ
2
∆
θ
ở đó, ∆
θ
là toán tử laplace trên hình cầu S
d−1
, toán tử laplace này không
phụ thuộc vào biến ρ.
Chương 2
Phân loại các miền theo ý nghĩa
xác suất
2.1. Nửa nhóm nhiệt trên đa tạp Riemann
Cách đơn giản để xây dựng chuyển động Brown trên đa tạp Riemann
M là đầu tiên xây dựng nhân nhiệt nó sẽ có vai trò như mật độ của xác
suất. Nhân nhiệt được định nghĩa là một hàm p(t, x, y) trong đó x, y là
các điểm trên M, theo đó, xác suất chuyển động xuất phát từ điểm x đi
vào một tập đo được Ω ⊂ M tới thời gian t là

Ω
p(t, x, y)dµ(y).
Trong R
d
, nhân nhiệt được tính bằng công thức
p(t, x, y) =
1
(2πt)

d/2
exp

−
|x − y|
2
2t

,
và nó thỏa mãn phương trình nhiệt
∂p
∂t
−
1
2
∆p = 0, (2.1.1)
ở đây cặp biến (t, x) (y được coi là cố định) và điều kiện ban đầu
p(t, ·, y)
→
t→0
+
δ
y
, (2.1.2)
trong đó δ
y
là hàm delta Dirac.
13
14
2.1.1. Toán tử Laplace trong metric Riemann

Cho g
ij
là metric Riemann trên M. Cụ thể trong bất kì hệ tọa độ
(x
1
, x
2
, , x
d
) trên M, ta có ds
2
= g
ij
dx
i
dx
j
là phần từ độ dài, trong
đó ta đã giả thiết tổng lấy trên các chỉ số lặp. Kí hiệu g
ij
là các phần
tử của ma trận nghịch đảo g
ij

−1
và đặt g := det g
ij
. Khi đó, toán tử
Laplace ∆ liên kết với metric g
ij

được xác định bởi
∆ =
1
√
g
∂
∂x
i

√
gg
ij
∂
∂x
j

. (2.1.3)
Đây là toán tử eliptic cấp 2 trên M, có thể chứng tỏ (2.1.3) xác định
cùng một toán tử trong các tọa độ khác nhau.
Đôi khi ta biểu diễn toán tử laplace dưới dạng
∆ = div∇,
trong đó gradient ∇ tác động trên hàm f
(∇f)
i
= g
ij
∂f
∂x
j
,

và dạng divergence, div tác động trên trường véc tơ F = F
i
∂
∂x
i
với
divF =
1
√
g
∂
∂x
i

√
gF
i

.
Áp dụng công thức Green ta có với bất kì miền tiền compact U và với
bất kì các hàm u, v ∈ C
2
0
(U),

U
v∆udµ = −

U
∇v∇udµ,

trong đó ∇v∇u là tích vô hướng của các véc tơ
∇v∇u = g
ij
(∇u)
i
(∇v)
i
= g
ij
∂u
∂x
i
∂u
∂x
j
,
15
và dµ là phần tử thể tích Riemann xác định bởi
dµ =
√
gdx
1
dx
2
dx
d
.
Nếu biên ∂U là đủ trơn (thuộc C
1
) và u, v ∈ C

2
(U) ∩ C
1
(
¯
U), khi đó ta
có

U
v∆udµ =

∂U
v
∂u
∂ν
dµ

−

U
∆v∆udµ,
trong đó dµ

theo tích phân trung bình là phần tử thể tích Riemann trên
đa tạp con ∂U và v là véc tơ đơn vị ngoài ∂U.
2.1.2. Nhân nhiệt và chuyển động Brown trên đa tạp
Với bất kì hàm xác định trên thỏa mãn (2.1.1) và (2.1.2) được gọi là
nghiệm cơ bản của phương trình nhiệt trên M. Dodziuk đã chứng minh
rằng nhân nhiệt luôn luôn tồn tại và là trơn theo (t, x, y). Hơn nữa, nhân
nhiệt có các tính chất sau:

1. Nhân nhiệt có tính chất đối xứng theo x và y, tức là
p(t, x, y) = p(t, y, x).
2. Nhân nhiệt thỏa mãn đẳng thức nửa nhóm, tức là với bất kì s ∈ (0, t)
p(t, x, y) =

M
p(s, x, z)p(t − s.z.y)dµ(z). (2.1.4)
3. Với mọi t > 0 và x ∈ M,

M
p(t, x, y)dµ(y) ≤ 1. (2.1.5)
16
Từ (2.1.4) và (2.1.5), một quá trình Markov X
t
trên M có thể được
xây dựng với mật độ xác suất p, bằng cách sử dụng các công cụ xác suất
quá trình X
t
thực ra là tán xạ và được gọi là chuyển động Brown hoặc
quá trình Wiener trên M. Độ đo tương ứng trong không gian các hàm
của các đường xuất phát từ x được kí hiệu là P
x
.
Cho trước một tập mở Ω ⊂ M, có thể coi Ω là một đa tạp. Ta kí hiệu
p
Ω
là nhân nhiệt của Ω.
Tính cực tiểu của nhân nhiệt dẫn đến p
Ω
triệt tiêu trên biên ∂Ω (nếu

∂Ω đủ trơn). Hay p
Ω
tăng theo các mở rộng của miền.
Nhân nhiệt toàn cục có các tính chất sau: trước tiên xác định p
Ω
với
các tập tiền compact Ω và sau đó đặt
p := lim
k→∞
p
Ω
k
,
trong đó {Ω
k
} là một dãy tăng của các tập mở tiền compact với biên
trơn.
Từ (2.1.4) và (2.1.5), nhân nhiệt p(t, x, y) có thể được xét như nhân
của một nửa nhóm toán tử Markov con P
t
mà tác động trên các hàm
xác định trên M
P
t
f :=

M
p(·, y, t)f(y)dµ(y).
Nửa nhóm tương ứng với p
Ω

được kí hiệu là P
Ω
t
. Nếu f là một hàm liên
tục bị chặn trên M thì hàm u(x, t) := P
t
f(x) là nghiệm của bài toán
Cauchy trong M × (0, ∞) :



∂u
∂t
=
1
2
∆u,
u(·, 0) = f.
17
Hơn nữa, nếu f ≥ 0 thì P
t
f là nghiệm không âm nhỏ nhất của bài toán
này.
Định nghĩa 2.1.1. Chuyển động Brown X
t
trên đa tạp M là hồi quy
nếu với bất kì tập mở không âm Ω và với bất kì x ∈ M, P
x
tồn tại một
dãy {t

k
} sao cho
P
x
= 1 khi t
k
→ ∞, X
t
k
∈ Ω,
trái lại X
t
là tức thời.
Định nghĩa 2.1.2. Chuyển động Brown X
t
là ngẫu nhiên hoàn toàn (tức
là có tính chất bảo toàn hoặc tính không bùng nổ) nếu với mọi x ∈ M
và t > 0,

M
p(t, x, y)dµ(y) = 1.
Hay nói cách khác P
x
là độ đo xác suất theo nghĩa khối lượng toàn phần
của nó bằng 1.
2.2. Dung lượng, tập dày, xác suất va chạm và miền
ngoài của một tập compact
2.2.1. Dung lượng
Định nghĩa 2.2.1. Cho Ω là một tập mở trên M và K là một tập
compact trong Ω. Ta gọi cặp (K, Ω) là một tụ và định nghĩa dung lượng

như sau
cap(K, Ω) = inf
φ∈L(K,Ω)

Ω
|∇φ|
2
dµ, (2.2.1)
18
trong đó, L(K, Ω) là tập các hàm Lipschitz địa phương φ trên M với giá
compact trong
¯
Ω sao cho



0 ≤ φ ≤ 1
φ|
K
= 1,
với một tập mở tiền compact K ⊂ Ω, dung lượng được định nghĩa như
sau:
cap(K, Ω) := cap(
¯
K, Ω).
Cho Ω là tập tiền compact. Tích phân (2.2.1) đạt cực tiểu khi φ là
hàm điều hòa. Do đó, cận dưới đúng trong (2.2.1) đạt được tại φ = u là
nghiệm của bài toán Drichlet trong Ω\K :










∆u = 0,
u|
∂Ω
= 0,
u|
∂K
= 0.
Hàm u được gọi là thế vị cân bằng hoặc thế vị dung lượng của tụ (K, Ω).
Ta có công thức của dung lượng
cap(K, Ω) =

Ω
|∇u|
2
dµ = −flux
∂K
u = −flux
∂K
u. (2.2.2)
Cho tập mở E ⊂ Ω, có thể định nghĩa dung lượng tương đối với E như
sau
cap
E

(K, Ω) = inf
φ∈L(K,Ω)

Ω∩E
|∇φ|
2
dµ. (2.2.3)
19
2.2.2. Dung lượng trong miền không trơn
Cho Ω là một miền liên thông tùy ý (không nhất thiết trơn) có độ đo
Lebesgue |Ω| hữu hạn. Ta định nghĩa
Định nghĩa 2.2.2. Cho E ⊂ Ω là một tập con tùy ý. Dung lượng bậc p
(p- dung lượng) của E được xác định với mọi p ≥ 1 bởi
C
p
(E) = inf


Ω
|∇u|
p
: u ∈ W
1,p
0
(Ω), u ≥ 1 trong một lân cận của E

trong đó W
1,p
0
(Ω) là bao đóng trong W

1,p
(Ω) của tất cả các hàm trơn có
giá compact trong Ω.
Ta nói một tính chất nào đó thỏa mãn C
p
− hầu khắp trong Ω nếu nó
thỏa mãn bên ngoài một tập có p- dung lượng bằng 0.
Định nghĩa 2.2.3. Cho trước E ⊂ G ⊂ Ω. Ta định nghĩa dung lượng
của bộ tụ (E, G) là C
p
(E, G) tương đối với Ω như sau
C
p
(E, G) = inf


Ω
|∇u|
p
: u ∈ W
1,p
(Ω), u ≥ 1 C
p
− hầu khắp trong E,
u ≤ 0 C
p
− hầu khắp trong Ω\G

.
Theo đó, hàm p- đẳng dung ν

p
: [0, |Ω|/2) −→ [0, ∞) trong Ω được cho
bởi
ν
p
(s) = inf{C
p
(E, G) : E, G là các tập con đo được của Ω sao cho
E ⊂ G ⊂ Ω, s ≤ |E|, |G| ≤ |Ω|.2}
với s ∈ [0, |Ω|/2].
20
Các dung lượng định nghĩa ở phần trước với toán tử Laplace tương
ứng p = 2 hay là các 2− dung lượng.
Hàm p− đẳng dung có thể thay thế hàm p− đẳng chu trong các phép
nhúng Sobolev và nghiên cứu bài toán đạo hàm riêng.
Ví dụ, đối với bài toán p− Laplace





−div(a(x, ∇u)) = f(x), x ∈ Ω
a(x, ∇u).n = 0 x ∈ ∂Ω
(2.2.4)
trong bất kỳ miền Ω (liên thông, mở) đã nhận được điều kiện giải được
(tồn tại nghiệm) bởi Maz’ya qua định lý sau.
Định lí 2.2.1. (Alvino, Cianchi, Maz’ya, Mercaldo,)
Giả thiết f ∈ L
q
(Ω) thỏa mãn điều kiện tương thích


Ω
f(x)dx = 0.
Hơn nữa các hệ số a(x, ξ) thỏa mãn:
a(x, ξ).ξ ≥ |ξ|
p
, ξ ∈ R
n
(2.2.5)
a(x, ξ) ≤ C(|ξ|
p−1
+ h(x)) (2.2.6)
|a(x, ξ) − a(x, η)|.(ξ − η) > 0, ξ, η ∈ R
n
, ξ = η (2.2.7)
với hàm h ∈ L
p

(Ω), p

:=
p
p−1
, C = const > 0.
Khi đó bài toán (2.2.4) có nghiệm duy nhất (tới một hằng số cộng)
nếu
(i) 1 < q ≤ ∞ và

|Ω|/2
0


s
ν
p
(s)

q

p
ds < ∞, (2.2.8)