Quy tắc nhân tử hóa mờ của bài toán tối ưu có ràng buộc và ứng dụng (LV01221)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN
QUY TẮC NHÂN TỬ HÓA MỜ CỦA BÀI TOÁN
TỐI ƯU CÓ RÀNG BUỘC VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60.46.01.02
Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận văn, tác giả
đã nhận được sự động viên, giúp đỡ của các bạn bè, đồng nghiệp, người
thân, của các thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, các thầy, cô phòng Sau đại
học và của các thầy, cô trực tiếp giảng dạy. Tôi xin được bày tỏ lòng
biết ơn tất cả mọi người đã hỗ trợ tôi để hoàn thành Luận văn này.
Đặc biệt, tôi xin cảm ơn TS. Trần Văn Bằng, người thầy đã định
hướng và chỉ bảo tận tình để tôi có thể hoàn thành Luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, 20 tháng 11 năm 2014
Tác giả
Đặng Thị Thanh Huyền
Lời cam đoan
Luận văn này là kết quả của bản thân em đạt được trong quá trình
học tập và nghiên cứu, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng và sự
giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 và
của các Thầy, Cô đã trực tiếp giảng dạy chúng em.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này em đã tham
khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Quy tắc nhân tử hóa mờ

của bài toán tối ưu có ràng buộc và ứng dụng” không có sự trùng
lặp với kết quả của các đề tài khác.
Hà Nội, 20 tháng 11 năm 2014
Tác giả
Đặng Thị Thanh Huyền
Mục lục
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Một số khái niệm về không gian Banach. . . . . . . . . . 5
1.2. Hàm trên không gian Banach . . . . . . . . . . 7
1.3. Dưới vi phân Fréchet . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Quy tắc tổng mờ . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 2. Quy tắc nhân tử hóa mờ và ứng dụng. . . . . . . . 22
2.1. Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Quy tắc nhân tử hóa mờ và ứng dụng . . . . . . . . 28
2.2.1. Bài toán cực tiểu với hữu hạn ràng buộc . . . . 28
2.2.2. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.3. Bài toán cực tiểu với vô hạn ràng buộc . . . . . 38
2.2.4. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích không trơn ra đời trong những năm 70 của thế kỷ 20 khi
những nhà điều khiển học muốn tìm điều kiện cần tối ưu cho bài toán
với dữ kiện không trơn, như với các dữ kiện Lipschitz hay với các dữ
kiện chỉ nửa liên tục.
Cho tới nay đã có nhiều khái niệm “đạo hàm suy rộng” đã được đưa
ra và thường được gọi dưới cái tên “dưới vi phân” như: dưới vi phân suy
rộng của Clark, dưới vi phân Fréchet, dưới vi phân Mordukhovich,
Các đạo hàm suy rộng đó đã đáp ứng được phần nào các yêu cầu đặt ra.

Tuy nhiên vẫn còn rất nhiều vấn đề liên quan tới chúng cần được tiếp
tục tìm hiểu và khai thác. Đặc biệt là việc mở rộng các tiêu chuẩn, quy
tắc đã biết đối với đạo hàm cổ điển sang cho các đạo hàm suy rộng này.
Toán học tính toán là để tìm ra cái “tối ưu” nhằm phục vụ con người.
Một trong những bài toán tối ưu quan trọng nhất là tìm cực trị có điều
kiện của một hàm vô hướng. Đối với trường hợp hàm mục tiêu và các
ràng buộc trơn, Lagrange đã cho chúng ta một quy tắc nhân tử hóa rất
tuyệt vời để chuyển bài toán cực trị có điều kiện về bài toán cực trị tự
2
do. Vấn đề đặt ra là khi hàm mục tiêu và các dữ kiện không trơn, nói
cách khác là khi sử dụng dưới vi phân thì quy tắc nhân tử hóa sẽ là như
thế nào?
Được sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng, tôi mạnh dạn chọn đề
tài nghiên cứu:
“Quy tắc nhân tử hóa mờ của bài toán tối ưu có ràng buộc
và ứng dụng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về dưới vi phân Fréchet, quy tắc nhân tử hóa mờ của bài
toán tối ưu có ràng buộc và ứng dụng của chúng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống, tổng hợp các kiến thức về dưới vi phân Fréchet cùng một
số ứng dụng của nó vào lý thuyết tối ưu.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng: Dưới vi phân Fréchet và ứng dụng.
Phạm vi: Nghiên cứu trong lớp hàm nửa liên tục dưới.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm và lý thuyết
tối ưu.
3
6. Những đóng góp của Luận văn

Trình bày hệ thống một số kết quả về dưới vi phân Fréchet, quy tắc
nhân tử hóa mờ và ứng dụng.
4
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản về không
gian Banach, hàm trên không gian Banach, dưới vi phân Fréchet và quy
tắc tổng mờ.
1.1. Một số khái niệm về không gian Banach
Trong luận văn này, khi nói tới không gian Banach chúng ta luôn hiểu
đó là một không gian Banach thực, thường kí hiệu là X, với chuẩn
.
X
hay đơn giản là .. Cho X là không gian Banach. Kí hiệu hình
cầu đơn vị (đóng) và mặt cầu đơn vị trong X lần lượt là các tập hợp
B
X
:= {x ∈ X : x ≤ 1}, S
X
:= {x ∈ X : x = 1}.
Ví dụ 1.1 ([1],[4],[8]). Ta có:
1. Không gian tuyến tính R
k
với chuẩn x =

k
i=1
|x
i
| là không gian

Banach.
2. Cho Ω ⊂ R
k
là tập con đo được Lebesgue. Khi đó không gian tuyến
tính L
p
(Ω) (1 ≤ p < ∞) tất cả các hàm số thực đo được x = x(t)
5
trên Ω sao cho

Ω
|x(t)|
p
dt < ∞ với chuẩn x =


Ω
|x(t)|
p
dt

1/p
là
không gian Banach. Không gian tuyến tính L
∞
(Ω) tất cả các hàm
số thực đo được x = x(t) trên Ω sao cho esssup
Ω
|x(t)| < +∞ với
chuẩn x = sup

Ω
|x(t)| là không gian Banach.
3. Không gian tuyến tính l
p
(1 ≤ p < ∞) tất cả các dãy số thực x =
(x(i)) sao cho chuỗi
∞

i=1
|x(i)|
p
hội tụ với chuẩn x =

∞

i=1
|x(i)|
p

1/p
là không gian Banach. Không gian tuyến tính l
∞
tất cả các dãy số
thực x = (x(i)) sao cho sup
i
|x(i)| < +∞ với chuẩn x = sup
i
|x(i)|
là không gian Banach.
4. Không gian tuyến tính C[a, b] các hàm thực liên tục trên một đoạn

[a, b] với chuẩn x = max
[a,b]
|x(t)| là không gian Banach.
Với không gian định chuẩn X, kí hiệu X
∗
là tập hợp tất cả các phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên X và gọi là không gian đối ngẫu của X.
Nếu x
∗
∈ X
∗
và x ∈ X thì giá trị của x
∗
tại x được kí hiệu là x
∗
, x.
Định lý 1.2 ([1], Định lý 2.6, trang 78 ). Không gian đối ngẫu X
∗
của
không gian định chuẩn X với chuẩn xác định bởi
x
∗
 = sup
x=0
|x
∗
, x|
x
là một không gian Banach.
Ví dụ 1.3 ([1], trang 108, 110). Không gian đối ngẫu của L

p
(Ω),
l
p
(1 < p < ∞) lần lượt là không gian L
q
(Ω), l
q
với q là số mũ liên hợp
của p, tức là 1/p + 1/q = 1. Đặc biệt không gian đối ngẫu của L
1
(Ω), l
1
tương ứng là L
∞
(Ω), l
∞
.
6
Định nghĩa 1.4. Không gian liên hợp của không gian X
∗
gọi là không
gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và kí hiệu X
∗∗
. Như
vậy X
∗∗
= (X
∗
)

∗
.
Định nghĩa 1.5. Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ,
nếu X = X
∗∗
.
Ví dụ 1.6 ([1, 8]). Các không gian L
p
(Ω), l
p
(1 < p < ∞) là các không
gian phản xạ.
Theo Định lý 1.2, nếu X phản xạ thì X là một không gian Banach.
Định nghĩa 1.7. Không gian Banach X được gọi là tách được nếu nó
có một tập con đếm được trù mật.
Ví dụ 1.8 ([8], trang 103). Các không gian L
p
(Ω) (1 ≤ p < ∞), C[a, b]
là không gian tách được; các không gian L
∞
(Ω), l
∞
là không tách được.
1.2. Hàm trên không gian Banach
Cho X, Y là các không gian Banach, f : X → Y là một ánh xạ.
Định nghĩa 1.9. Ánh xạ f được gọi là khả vi Fréchet (hay đơn giản
là khả vi) tại x ∈ X nếu tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục
A : X
∗
→ Y

∗
sao cho
lim
h→0
f(x + h) −f(x) −Ah
h
= 0.
Khi đó A được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x và kí hiệu là Df(x)
hay ∇f(x).
7
Khi Y = R thì đạo hàm (nếu tồn tại) của hàm f được xác định bởi
một phần tử của x
∗
∈ X
∗
và biểu thức định nghĩa thường được viết là:
lim
h→0
f(x + h) −f(x) −x
∗
, h
h
= 0.
Định nghĩa 1.10 ([9], trang 2). Ta nói chuẩn . của X là khả vi Fréchet
hay là chuẩn trơn Fréchet nếu . là hàm khả vi Fréchet tại mọi x ∈ S
X
(nhờ tính thuần nhất của chuẩn ta suy ra chuẩn trơn Fréchet sẽ khả vi
Fréchet tại mọi x = 0).
Ví dụ 1.11. Chuẩn Euclide trên một không gian Hilbert H là chuẩn
trơn Fréchet. Thật vậy, do

lim
h→0
x + h
2
− x
2
− 2x, h
h
= lim
h→0
h
2
h
= 0
nên .
2
là hàm khả vi Fréchet tại mọi x ∈ H. Theo quy tắc đạo hàm
hàm hợp ta có . khả vi tại mọi x = 0 và
D x =
x
x
, x = 0.
Định lý 1.12 (Smulyan, [9], Định lý 1.4, trang 3). Cho (X, .) là
không gian Banach với không gian đối ngẫu X
∗
. Khi đó chuẩn . khả
vi Fréchet tại x ∈ S
X
khi và chỉ khi với mọi dãy f
n

, g
n
∈ S
X
∗
, f
n
(x) → 1
và g
n
(x) → 1 ta đều có f
n
− g
n
 → 0.
Ví dụ 1.13. Chuẩn x =

∞
i=1
|x(i)| trong không gian Banach l
1
không
trơn Fréchet.
Thật vậy, với mọi x = (x(i)) ∈ S
l
1
. Ta định nghĩa f
n
, g
n

∈ S
l
∞
bởi:
f
n
(x)(i) =





sign(x(i)), nếu i = n
1, nếu i = n,
8
g
n
(x)(i) =





sign(x(i)), nếu i = n
−1, nếu i = n.
Khi đó f
n
(x) → 1, g
n
(x) → 1 và f

n
− g
n

l
∞
= 2. Theo Định lý 1.12
chuẩn trên l
1
không khả vi Fréchet tại x. Từ đây ta có điều phải chứng
minh.
Định lý 1.14 ([9], Hệ quả 3.3, trang 51). Cho X là không gian Banach
tách được. Khi đó X có chuẩn tương đương trơn Fréchet khi và chỉ khi
X
∗
tách được.
Ví dụ 1.15. Các không gian L
p
(Ω) (1 < p < ∞) là không gian có chuẩn
tương đương trơn Fréchet vì nó và không gian đối ngẫu của nó tách
được.Tổng quát hơn, mọi không gian Banach phản xạ tách được đều có
chuẩn tương đương trơn Fréchet.
1.3. Dưới vi phân Fréchet
Từ đây về sau ta luôn giả thiết X là không gian Banach có chuẩn
tương đương trơn Fréchet và trên X ta luôn giả thiết chuẩn nói đến
là chuẩn trơn Fréchet. Do vậy, ta nói X là không gian có chuẩn trơn
Fréchet. Hơn nữa chúng ta cũng xét các hàm với giá trị thực mở rộng,
tức là có giá trị trong
R := R ∪ {+∞}.
Cho hàm f : X → R. Ta gọi

domf := {x ∈ X : f(x) ∈ R},
epif := {(x, λ) ∈ X × R : x ∈ X, λ ≥ f(x)}
9
tương ứng là miền hữu hiệu và trên đồ thị của f.
Hàm f được gọi là chính thường (proper) nếu domf = ∅.
Định nghĩa 1.16 ([8], trang 10). Hàm f : X → R được gọi là nửa liên
tục dưới (l.s.c.) nếu với mọi λ ∈ R, tập {x ∈ X : f(x) ≤ λ} là tập đóng.
Định lý 1.17 ([8], trang 10). Cho X là không gian Banach, f là hàm
chính thường trên X. Khi đó ta có các khẳng định a) - d) sau đây là
tương đương
a) Hàm f nửa liên tục dưới.
b) Trên đồ thị epif là tập đóng trong X ×R.
c) Với mọi x ∈ X, với mọi ε > 0 đều tồn tại một lân cận V của x
sao cho f(y) > f(x) −ε với mọi y ∈ V.
d) Với mọi dãy (x
n
) hội tụ tới x trong X ta đều có lim inf
n→∞
f(x
n
) ≥
f(x).
Hơn nữa ta có:
e) Nếu f
1
, f
2
nửa liên tục dưới thì f
1
+ f

2
cũng nửa liên tục dưới.
f) Nếu (f
i
)
i∈I
là một họ các hàm l.s.c. thì f(x) = sup
i∈I
f
i
(x) cũng
l.s.c
g) Nếu f l.s.c. và E ⊂ X là tập compact thì f đạt giá trị lớn nhất
trên E.
Ví dụ 1.18. i) Mọi hàm liên tục đều nửa liên tục dưới.
ii) Hàm
f(x) =





x
2
−4
x−2
, nếu x = 2
a, nếu x = 2
10
nửa liên tục dưới khi và chỉ khi a ≤ 4.

Định nghĩa 1.19 ([6], Định nghĩa 1.3). Cho f : X → R là hàm l.s.c.,
S ⊂ X là tập con đóng. Ta nói, f là dưới khả vi Fréchet với dưới đạo
hàm Fréchet x
∗
tại x nếu tồn tại C
1
- hàm, lõm g sao cho ∇g(x) = x
∗
và f − g đạt cực tiểu địa phương tại x. Tập mọi dưới đạo hàm Fréchet
gọi là dưới vi phân Fréchet của f tại x và ký hiệu là D
−
f(x).
Nón pháp Fréchet của S tại x là tập hợp
N(S, x) := D
−
δ
S
(x),
trong đó δ
S
là hàm chỉ của tập S, xác định bởi
δ
S
(x) :=





0, nếu x ∈ S,

+∞, nếu x ∈ S.
Định lý 1.20 ([6], trang 5). Cho X là không gian Banach với chuẩn
trơn Fréchet, f là hàm l.s.c. trên X. Khi đó x
∗
∈ D
−
f(x) khi và chỉ khi
lim inf
h→0
f(x + h) −f(x) −x
∗
, h
 h 
≥ 0.
Nhận xét 1.21. Khái niệm dưới vi phân trong Định nghĩa 1.19 được
gọi là định nghĩa theo nghĩa nhớt. Định lý 1.20 cho thấy, trong lớp không
gian Banach với chuẩn trơn Fréchet thì định nghĩa đó tương đương với
định nghĩa dưới vi phân theo giới hạn trong [10]. Do vậy theo [10] chúng
ta có rất nhiều tính chất của dưới vi phân Fréchet, mối liên hệ của dưới
vi phân Fréchet và các loại dưới vi phân khác như dưới vi phân Gâteaux,
dưới vi phân Clarke, Chẳng hạn
i) Nếu f khả vi Fréchet tại x thì D
−
f(x) = {Df(x)};
11
ii) Nếu f lồi trên X thì
D
−
f(x) = {x
∗

∈ X
∗
: f(y) − f(x) −x
∗
, y −x ≥ 0, ∀y ∈ X}.
Ví dụ 1.22. i) Cho hàm f(x) = |x|, x ∈ R. Khi đó, tại x > 0 thì
f khả vi nên D
−
f(x) = {Df(x)} = {1}; tại x < 0 thì f khả vi nên
D
−
f(x) = {Df(x)} = {−1}. Tại x = 0 hàm f không khả vi. Do f lồi
nên ta có thể sử dụng Nhận xét 1.21 ii) để tính dưới vi phân. Cụ thể
D
−
f(0) = {p ∈ R : |y| −py ≥ 0, ∀y ∈ R}.
Chọn y = −1 và y = 1 ta suy ra −1 ≤ p ≤ 1. Với p ∈ [−1, 1] ta luôn có
py ≤ |py| ≤ |y| nên D
−
f(0) = [−1, 1].
ii) Tương tự ta có nếu X là không gian Hilbert và f(x) = x thì ta
cũng có
D
−
f(x) =







x
x

, nếu x = 0
B
X
, nếu x = 0.
Định lý 1.23 (Nguyên lý biến phân trơn Borwein và Preiss,[6], Định lý
1.6). Cho f : X → R l.s.c, ε > 0 và λ > 0. Giả sử u ∈ X thoả mãn:
f(u) < ε + inf
X
f.
Khi đó tồn tại C
1
- hàm lồi g trên X và v ∈ X sao cho:
( i ) Hàm x → f(x) + g(x) đạt cực tiểu toàn cục tại x = v.
( ii ) ||u −v|| < α.
( iii )f(v) < ε + inf
X
f.
( iv) ||∇g(v)|| <
2ε
λ
.
12
Nhận xét 1.24. Ta hình dung u là điểm cực tiểu của f (hoặc thuộc
một dãy cực tiểu). Khi đó có thể nhiễu f bởi một hàm lồi, trơn, nhỏ
do ( ∇g(v) <
2ε

λ
) thì ta nhận được một điểm v bên cạnh u ( vì
 u − v < λ ) là cực tiểu của hàm nhiễu f + g mà giá trị của f tại đó
(f(v)) vẫn không thay đổi so với f(u) theo nghĩa
inf
X
f ≤ f(v) < ε + inf
X
f.
1.4. Quy tắc tổng mờ
Để phát triển các công cụ của giải tích qua khái niệm dưới vi phân, ta
có thể dựa trên một kết quả mang tính chất nền tảng đó là quy tắc tổng
mờ. Quy tắc này có hai phiên bản: không địa phương và địa phương. Kí
hiệu đường kính của tập S ⊂ X là số
diam(S) := sup {x − y : x, y ∈ S}.
Định lý 1.25 (Quy tắc tổng mờ không địa phương, [6], Định lý 2.1).
Cho f
1
, , f
N
: X → R là các hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới với
lim
η→0
inf

N

n=1
f
n

(y
n
) : diam(y
1
, , y
N
) ≤ η

< +∞.
Khi đó, với bất kì ε > 0, tồn tại x
n
, n = 1, , N và x
∗
n
∈ D
−
f
n
(x
n
) thỏa
mãn
diam(x
1
, , x
N
) ·max(1, x
∗
1
, , x

∗
N
) < ε (1.1)
và
N

n=1
f
n
(x
n
) < lim inf
η→0

N

n=1
f
n
(y
n
) : diam(y
1
, , y
N
) ≤ η

+ ε (1.2)
13
sao cho

0 ∈
N

n=1
x
∗
n
+ εB
X
∗
. (1.3)
Nhận xét 1.26. Các điều kiện f
1
, , f
N
: X → R là các hàm bị chặn
dưới và
lim
η→∞
inf

N

n=1
f
n
(y
n
) : diam(y
1

, , y
N
) ≤ η

< ∞
không thể thiếu trong quy tắc tổng mờ không địa phương. Điều này có
thể chỉ ra thông qua các hàm trên R. Hai hàm f
1
(x) = x và f
2
(x) = 0
không thỏa mãn quy tắc tổng mờ không địa phương bởi vì f
1
không bị
chặn dưới. Hai hàm f
1
(x) = δ
{0}
(x) và f
2
(x) = δ
{1}
(x) cũng không thỏa
mãn quy tắc tổng mờ không địa phương bởi vì thiếu điều kiện
lim
η→0
inf {f
1
(y
1

) + f
2
(y
2
) : y
1
− y
2
 ≤ η} < ∞.
Kết quả (1.3) trong quy tắc tổng mờ không địa phương là tương tự
như trong quy tắc tổng mờ địa phương. Tuy nhiên, kết quả (1.1) chỉ cho
chúng ta biết các điểm x
n
là gần nhau, điều này khác với quy tắc tổng
mờ địa phương, ở đó khẳng định rằng, các điểm này gần với điểm cực
tiểu của tổng (với một số giả thiết bổ sung). Lưu ý rằng, kết quả (1.1)
còn cho phép ta kiểm soát “cỡ” của các dưới đạo hàm tham gia trong
tổng. Điều này rất hữu ích trong các ứng dụng. Kết luận (1.2) cho ta
điểm tựa vào giá trị của các hàm nửa liên tục dưới. Trong các ứng dụng,
điều này thường mang lại thông tin gián tiếp về việc xác định vị trí các
điểm x
n
. Ta sẽ minh họa điều này qua ví dụ sau.
Ví dụ 1.27 (Tính trù mật của các điểm dưới khả vi). Cho f : X → R
là một hàm nửa liên tục dưới, x ∈ domf và ε ∈ (0, 1). Áp dụng Định lý
14
1.25 đối với f
1
= f + δ
x+B

X
và f
2
= δ
{x}
ta có: tồn tại x
1
và x
2
sao cho
x
1
− x
2
 < ε, 0 ∈ D
−
f
1
(x
1
) + D
−
δ
{x}
(x
2
) + εB
X
∗
và

f
1
(x
1
) + δ
{x}
(x
2
) < f(x) + ε.
Bất đẳng thức cuối suy ra x
2
= x và do đó x
1
phải thuộc phần trong của
x + B
X
nên D
−
f
1
(x
1
) = D
−
f(x
1
). Chứng tỏ, dom(D
−
f) trù mật trong
domf.

Đây là một kết quả khá mạnh. Cụ thể vì dưới đạo hàm của hàm lõm
tự động là đạo hàm nên từ đây suy ra các hàm lõm liên tục trên các
không gian trơn Fréchet là khả vi Fréchet trù mật.
Tiếp theo ta đề cập tới quy tắc tổng mờ địa phương, một kết quả quan
trọng trong lý thuyết các bài toán tối ưu hóa và là cơ sở để xây dựng
các quy tắc tính dưới vi phân. Như đã đề cập từ trước, quy tắc tổng mờ
địa phương cần phải có các giả thiết bổ sung.
Định nghĩa 1.28 (Nửa liên tục dưới đều, [6], Định nghĩa 2.4). Cho
f
1
, , f
N
: X → R là các hàm nửa liên tục dưới và E là một tập con
đóng của X. Ta nói bộ (f
1
, , f
n
) là nửa liên tục dưới đều trên E nếu
inf
x∈E
N

n=1
f
n
(x) ≤
lim
η→0
inf


N

n=1
f
n
(x
n
) : x
n
− x
m
 ≤ η, x
n
, x
m
∈ E, n, m = 1, , N

.
Chúng ta nói (f
1
, f
N
) là nửa liên tục dưới đều địa phương tại
x ∈
N
∩
n=1
domf
n
nếu (f

1
, f
N
) là nửa liên tục dưới đều trên mọi hình cầu
đóng tâm trong lân cận nào đó của x .
15
Nhận xét 1.29. Có hai trường hợp đơn giản đảm bảo hệ (f
1
, f
N
) là
nửa liên tục dưới đều địa phương tại x là
(a) Tất cả, chỉ trừ ra một trong các hàm f
n
liên tục đều trong một
lân cận của x;
(b) Có ít nhất một trong các hàm f
n
có các tập mức compact trong
một lân cận của x.
Định lý 1.30 (Quy tắc tổng mờ địa phương mạnh, [6], Định lý 2.6). Cho
f
1
, f
N
: X → R là các hàm nửa liên tục dưới. Giả sử (f
1
, f
N
) nửa liên

tục dưới đều địa phương tại x và
N

n=1
f
n
đạt cực tiểu địa phương tại x. Khi
đó, với mọi ε > 0, tồn tại x
n
∈ x + εB và x
∗
n
∈ D
−
f
n
(x
n
), n = 1, , N
sao cho
|f
n
(x
n
) −f
n
(x)| < ε, diam(x
1
, , x
N

).max(x
∗
1
, , x
∗
N
) < ε,
n = 1, 2, , N và





N

n=1
x
∗
n





< ε.
Kết quả này là quy tắc “mạnh” vì nó khẳng định các dưới đạo hàm
gần nhau theo chuẩn.
Quy tắc tổng mờ yếu sau chỉ yêu cầu các hàm thành phần nửa liên
tục dưới nhưng kết luận thì liên quan đến tôpô yếu
∗

và các giả thiết về
tính cực tiểu được nới lỏng.
Định lý 1.31 (Quy tắc tổng mờ địa phương yếu, [6], Định lý 2.7).
Cho f
1
, , f
N
: X → R là các hàm nửa liên tục dưới. Giả sử x
∗
∈
D
−
(

N
n=1
f
n
)(x). Khi đó với bất kì ε > 0 và bất kì lân cận yếu
∗
V của
16
0 trong X
∗
, đều tồn tại x
n
∈ x + εB, x
∗
n
∈ D

−
f
n
(x
n
), n = 1, , N sao
cho |f
n
(x
n
) −f
n
(x)| < ε, x
∗
n
diam({x
1
, , x
N
}) < ε, n = 1, 2, , N và
x
∗
∈
N

n=1
x
∗
n
+ V.

Định nghĩa 1.32 (Tính nửa liên tục dưới đều theo dãy, [6], Định nghĩa
2.9). Cho f
1
, , f
N
: X → R là các hàm nửa liên tục dưới. Ta nói hệ
(f
1
, , f
N
) là nửa liên tục dưới đều theo dãy tại x nếu tồn tại một hình
cầu đóng x + ηB với tâm tại x sao cho với mỗi N, các dãy {x
nr
}, n =
1, 2, , N, r = 1, 2, thuộc x+ηB
X
và x
nr
− x
mr
 → 0 khi r → ∞, tồn
tại một dãy {u
r
} các phần tử thuộc hình cầu sao cho x
nr
− u
r
 → 0 và
lim
r→∞

inf
N

n=1
(f
n
(x
nr
) −f
n
(u
r
)) ≥ 0.
Để ý rằng, điều kiện của Định nghĩa 1.28 mà chúng ta sử dụng ở đây
mang tính tô pô hơn điều kiện về tính nửa liên tục đều theo dãy trong
Định nghĩa 1.32. Không khó để nhận ra rằng: tính nửa liên tục dưới đều
theo dãy suy ra tính nửa liên tục dưới đều địa phương. Hơn nữa, tính
nửa liên tục dưới đều địa phương thực sự yếu hơn tính nửa liên tục dưới
đều theo dãy. Điều này được khẳng định qua ví dụ dưới đây.
Ví dụ 1.33. Cho X là một không gian Banach vô hạn chiều và lấy một
dãy e
k
trong X sao cho e
k
 = 1 và e
k
− e
l
 ≥ 1/2 khi k = l. Đặt
A := {e

k
/l : k, l = 1, 2, } ∪{0},
B := {(e
k
+ e
1
/k)/l : k, l = 1, 2, } ∪{0}.
Khi đó cả A và B đều là các tập con đóng và A ∩B = {0}. Đặt f
1
:= δ
A
và f
2
:= δ
B
. Ta chứng tỏ rằng, với bất kì η > 0, (f
1
, f
2
) không là nửa liên
17
tục dưới đều địa phương trên ηB. Thật vậy, nếu l là một số nguyên sao
cho 2/l < η và cho x
1r
= e
r
/l; x
2
r = (e
r

+ e
1
/r)/l thì x
1r
− x
2r
 → 0 và
f
1
(x
1r
) = f
2
(x
2r
) = 0 ∀r. Nếu u
r
là dãy sao cho x
nr
− u
r
 → 0, n = 1, 2
thì ta phải có u
r
= 0 với r đủ lớn. Vì thế có ít nhất một trong hai giá
trị f
1
(u
r
), f

2
(u
r
) bằng ∞ và do đó
lim
r→∞
inf
2

n=1
(f
n
(x
nr
) −f
n
(u
r
)) = −∞ < 0.
Tuy nhiên, (f
1
, f
2
) là nửa liên tục dưới đều địa phương, theo Định nghĩa
1.28 bởi vì vế phải luôn không âm trong khi vế trái bằng 0.
Ví dụ 1.34. Lấy X := l
2
và e
k
là một cơ sở trực chuẩn trong X. Khi

đó x ∈ X có thể biểu diễn duy nhất x =

∞
k=1
x(k)e
k
. Đặt P
n
(x) :=

n
k=1
x(k)e
k
, ta có P
m
(x) ≤ P
n
(x) với m ≤ n, nói riêng P
n
 ≤ 1
với mọi n.
Do x
k
→ 0 khi k → ∞ nên x
∞
:= max {|x
k
(k)| : 1 ≤ k < ∞} tồn
tại. Hơn nữa, với k

0
sao cho |x(k
0
)| = x
∞
, ta có
|x(k
0
)| = P
k
0
+1
(x) −P
k
0
(x) ≤ 2 x.
Do vậy ·
∞
là hàm Lipschitz với hằng số Lipschitz bằng 2.
Đặt F
n
= {x : x ≤ 3, x(i) ≥ 0 và x(i) = 0 khi i mod 3 = 0 và
khi i ≤ 3n}. Ta xét hai hàm
f
1
(x) :=














0 nếu x = 0;
−
1
√
n
− y
∞
nếu x =
1
n
e
3n−1
+ y, y ∈ F
n
;
+∞ nếu trái lại
18
và
f
2
(x) :=














0 nếu x = 0;
−
1
√
n
− y
∞
nếu x =
1
n
e
3n−2
+ y, y ∈ F
n
;
+∞ nếu trái lại.
Rõ ràng domf

1
∩domf
2
= {0} nên theo tính duy nhất của biểu diễn
qua cơ sở suy ra f
1
+ f
2
đạt cực tiểu tại 0. Từ định nghĩa ta thấy f
1
và
f
2
đều bị chặn dưới bởi −7 vì  · 
∞
là Lipschitz với hằng số Lipschitz
bằng 2.
Bây giờ chúng ta chỉ ra f
1
là nửa liên tục dưới. Giả sử x
n
∈ domf
1
và
x
n
→ x.
Nếu x = 0 chúng ta có thể giả sử x
n
= 0 và do đó x

n
=
1
k
n
e
3k
n
−1
+
y
n
, y
n
∈ F
k
n
. Do k
n
→ ∞ và y
n
→ 0 nên −
1
√
k
n
− y
n

∞

→ 0.
Nếu x = 0 thì k
n
→ ∞. Thật vậy, nếu k
n
→ ∞ thì với mỗi i ta có
x
n
(i) → 0 khi n → ∞ vì x
n
(i) = 0 với mọi i ≤ 3k
n
− 1.
Do giới hạn theo chuẩn và giới hạn theo từng tọa độ phải trùng nhau
nếu cả hai tồn tại, nên x
n
→ 0 theo chuẩn.
Do k
n
→ ∞ nên k
n
= n
0
với mọi n đủ lớn (bởi vì, khi n = m,




1
n

e
3n−1
+ y
n
− (
1
m
e
3m−1
+ y
m
)




≥ max

1
n
,
1
m

với y
m
∈ F
m
, y
n

∈ F
n
). Vì thế nên x
n
=
1
n
0
e
3n
0
−1
+ y
n
, y
n
∈ F
n
0
với mọi
n đủ lớn. Điều này chứng tỏ y
n
→ y ∈ F
n
0
. Từ đây và tính liên tục của
chuẩn .
∞
ta suy ra
f

1
(x
n
) = −
1
√
n
0
− y
n

∞
→ −
1
√
n
0
− y
∞
= f
1
(x).
19
Điều này chứng tỏ f
1
là nửa liên tục dưới. Tương tự, ta cũng có f
2
nửa
liên tục dưới.
Tiếp theo, ta chứng minh rằng với mọi x

i
∈ B và x
∗
i
∈ D
−
f
i
(x
i
) ta đều
có x
∗
1
+ x
∗
2
 ≥ 1. Thật vậy, gọi g
i
là các hàm tương ứng với x
∗
i
, i = 1, 2
như trong định nghĩa dưới đạo hàm Fréchet. Để ý rằng D
−
f
1
(0) = ∅ vì
n


f
1
(0 +
1
n
e
3n−1
) −f
1
(0)

≤ n

−
1
√
n

− 0 = −
√
n.
Tương tự D
−
f
2
(0) = ∅. Do đó ta có thể viết x
1
=
1
m

e
3m−1
+ y
1
và
x
2
=
1
n
e
3n−1
+ y
2
, trong đó y
1
=
∞

k=m
a
k
e
3k
∈ F
m
và y
2
=
∞


k=n
b
k
e
3k
∈ F
n
.
Ta sẽ chứng minh x
∗
1
+ x
∗
2
 ≥ 1 trong trường hợp m ≤ n (chứng minh
cho trường hợp m ≥ n là tương tự). Đặt b
k
0
= max
k≥n
{b
k
} thì 0 ≤ b
k
0
≤
2x
2
 ≤ 2, do đó y

2
+ te
3k
0
∈ F
n
với 0 ≤ t ≤ 1 và
y + te
3k
0

∞
= y
∞
+ t.
Do đó,
g
2
(x
2
+ te
3k
0
) −g
2
(x
2
)
t
≤

f
2
(x
2
+ te
3k
0
) −f
2
(x
2
)
t
= −1.
Do m ≤ n, nên y
1
+te
3k
0
∈ F
m
, và do a
3k
0
≥ 0 nên y
1
+ te
3k
0


∞
≥ y
1

∞
.
Hệ quả là
g
1
(x
1
+ te
3k
0
) −g
1
(x
1
)
t
≤
f
1
(x
1
+ te
3k
0
) −f
1

(x
1
)
t
≤ 0.
Chứng tỏ x
∗
2
, e
3k
0
 ≤ −1 và x
∗
1
, e
3k
0
 ≤ 0. Vậy x
∗
1
+ x
∗
2
 ≥ 1.
Ví dụ sau cho thấy, điều kiện về tính nửa liên tục dưới đều là chưa
chặt.
20
Ví dụ 1.35. Cho X là một không gian Banach vô hạn chiều và e
i
∈

X, i = 1, 2, thỏa mãn e
i
 = 1 và e
i
− e
j
 > 1/2 với i = j. Đặt
f
1
(x) :=













0 nếu x = 0,
−
1
l
nếu x =
e
i

l
,
+∞ nếu trái lại
và
f
2
(x) :=













0 nếu x = 0,
−
1
l
nếu x =
(e
i
+e
1
/i)

l
,
+∞ nếu trái lại,
trong đó l = 1, 2,
Khi đó (f
1
, f
2
) không nửa liên tục dưới đều địa phương tại 0. Thật
vậy, với mọi h > 0, gọi l là một số nguyên dương nhỏ nhất sao cho
1
l
< h.
Ta có
0 = inf
x∈hB
(f
1
+ f
2
)(x)
> lim inf
η→0
{f
1
(x
1
) + f
2
(x

2
) : x
1
− x
2
 < η, x
1
, x
2
∈ hB} =
−2
l
Dễ thấy rằng D
−
f
1
(e
i
/l) = D
−
f
2
((e
i
+ e
1
/i)/l) = X
∗
nên quy tắc tổng
mờ địa phương thỏa mãn tại x = 0.

21
Chương 2
Quy tắc nhân tử hóa mờ và ứng
dụng
2.1. Bài toán tối ưu
Bài toán tối ưu thường được phát biểu dưới dạng: Tìm nghiệm tối ưu
của bài toán
min
x∈D
f(x), (2.1)
trong đó D là một tập con nào đó của không gian định chuẩn X, f là
một hàm xác định trên D.
Nếu tìm được điểm x
0
∈ D sao cho
f(x
0
) ≤ f(x), ∀x ∈ D
thì ta viết
f(x
0
) = min
x∈D
f(x)
và gọi x
0
là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (2.1). Nếu tìm được
điểm x
0
∈ D sao cho tồn tại lân cận U của x

0
để
f(x
0
) ≤ f(x), ∀x ∈ U ∩ D
22