Tìm hiểu về phổ năng lượng và ứng dụng

BÀI TẬP LỚN
QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ỨNG DỤNG
Đề tài: Tìm hiểu về phổ năng lượng và ứng dụng
Sinh viên thực hiện:
Nguyễn Đức Hiệp - 20091077
Nguyễn Nam Thắng - 20092528
Nguyễn Hồng Lam - 20091535
Đào Hà Thanh - 20092378
Vũ Anh Vũ - 20093331
Nguyễn Ngọc Tân - 20092348
Hà Nội, tháng 11 năm 2011
Lời nói đầu
Trong khảo sát trạng thái của tín hiệu và quá trình ngẫu nhiên, bên cạnh
việc khảo sát trạng thái của chúng qua miền thời gian, người ta còn khảo
sát chúng qua miền tần số. Đôi khi, việc quan sát một quá trình ngẫu nhiên
trên miền tần số lại dễ dàng hơn là quan sát trên miền thời gian, hoặc quan
sát trên miền tần số cho thấy rõ tính chất của quá trình ngẫu nhiên mà ta
đang xét hơn là quan sát quá trình đó trên miền thời gian. Ngoài ra, trong
truyền thông, việc nghiên cứu tín hiệu trên miền tần số rất quan trọng vì từ
đó ta có thể rút ra được năng lượng mà tín hiệu đó mang, phương thức điều
chế, tỉ lệ nhiễu v.v
Để khảo sát một quá trình ngẫu nhiên trên miền tần số, một thứ công cụ
có thể nói là gắn chặt với công việc này là biến đổi Fourier. Biến đổi Fourier
giúp ta nhanh chóng chuyển sự quan sát từ miền thời gian sang miền tần số
và ngược lại. Các giá trị được thể hiện trên miền tần số được gọi là phổ. Đối
với tín hiệu tất định, biến đổi Fourier có thể chuyển hàm tín hiệu sang dạng
đa thức trên miền tần số. Đối với quá trình ngẫu nhiên, khái niệm phổ có
2 hướng nghiên cứu: một hướng có liên quan đến sự biến đổi của các giá trị
trung bình, các giá trị này có thể đoán được. Một hướng khác nghiên cứu sự
biểu diễn của quá trình ngẫu nhiên sang miền tần số mà ở đó ta có thể coi nó
có dạng hàm đa thức với các đặc trưng ngẫu nhiên. Hướng nghiên cứu thứ

nhất xoay quanh phổ công suất, là biến đổi Fourier của hàm tự tương quan
của quá trình ngẫu nhiên trong 1 khoảng thời gian τ nào đó. Còn hướng
nghiên cứu thứ hai xoay quanh biểu diễn phổ của quá trình ngẫu nhiên trên
miền tần số, và phổ năng lượng.
Trong quá trình thực hiện bài tập lớn đề tài này, chúng em đã nhận được
những ý kiến đóng góp quý báu của giảng viên hướng dẫn - PGS.TS Nguyễn
Thị Hoàng Lan, Bộ môn Truyền thông và mạng máy tính, Viện CNTT&TT
Trường ĐHBK Hà Nội. Những ý kiến này đã giúp chúng em hoàn thiện hơn
nữa các kiến thức có liên quan đến đề tài mà chúng em đang nghiên cứu.
i
Những người thực hiện
Bản báo cáo bài tập lớn này được thực hiện với sự nỗ lực của tất cả các
thành viên trong nhóm. Trong đó:
• Bạn Nguyễn Nam Thắng soạn nội dung cho phần 1.1 và 1.2.
• Bạn Nguyễn Hồng Lam soạn nội dung cho phần 1.3.
• Bạn Đào Hà Thanh soạn nội dung cho phần 2.1.
• Bạn Nguyễn Ngọc Tân soạn nội dung cho phần 2.2.
• Bạn Vũ Anh Vũ soạn nội dung cho phần 2.3.
• Bạn Nguyễn Đức Hiệp tổng hợp nội dung, chỉnh sửa lỗi sai, đánh
máy và mô phỏng một số tình huống trên Matlab.
Cuối cùng, trong quá trình thực hiện, do thời gian gấp rút và kiến thức còn
hạn hẹp, chắc chắn bản báo cáo này không tránh khỏi nhiều sai sót. Rất
mong cô giáo có thể đóng góp ý kiến, xây dựng để giúp cho bản báo cáo này
hoàn thiện hơn, truyền tải hết nội dung của đề tài.
Chúng em xin chân thành cảm ơn!
ii
Mục lục
1 Biểu diễn phổ của quá trình ngẫu nhiên, phổ năng lượng và
các đặc trưng liên quan 1
1.1 Biểu diễn phổ của quá trình ngẫu nhiên, phổ năng lượng . . . 1

1.2 Biến đổi Fourier 2 chiều của hàm tự tương quan, hàm tự tương
quan trên miền tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Tự hiệp phương sai của phổ năng lượng . . . . . . . . . . . . . 3
2 Một số ứng dụng 5
2.1 Biến đổi Fourier của quá trình ổn định . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Quá trình thời gian rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Hàm cửa sổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Một số kịch bản mô phỏng trên Matlab 10
3.1 Các hàm sử dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
iii
Chương 1
Biểu diễn phổ của quá trình
ngẫu nhiên, phổ năng lượng và
các đặc trưng liên quan
1.1 Biểu diễn phổ của quá trình ngẫu nhiên,
phổ năng lượng
Ta có: Phổ của một quá trình ngẫu nhiên đơn giản là phép biến đổi Fourier
của chính quá trình đó từ miền thời gian sang miền tần số:
X(ω) =

+∞
−∞
x(t)e
−jωt
dt (1.1)
Phép biến đổi ngược của X(ω) như sau:
x(t) =
1
2π


+∞
−∞
X(ω)e
jωt
dω (1.2)
Phổ năng lượng là bình phương module của phép biến đổi Fourier X(ω)
của quá trình ngẫu nhiên x(t). Phổ năng lượng cho biết giá trị năng lượng
tức thời của quá trình ngẫu nhiên tại một tần số ω nào đó.
Φ(ω) =





+∞
−∞
x(t)e
−jωt
dt




2
= X(ω)X ∗ (ω) (1.3)
1
1.2 Biến đổi Fourier 2 chiều của hàm tự tương
quan, hàm tự tương quan trên miền tần
số

Cho quá trình ngẫu nhiên x(t), biến đổi Fourier của nó là X(ω). Ta có thể
tính kỳ vọng của X(ω) bằng cách biến đổi Fourier kỳ vọng của x(t).
E{X(ω)} =

+∞
−∞
E{x(t)}e
−jωt
dt (1.4)
Bây giờ ta sẽ xét đến hàm tự tương quan của X(ω). Trước hết, ta có R(t
1
, t
2
)
là hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên x(t). Biến đổi Fourier 2 chiều
hàm này, ta được
Γ(u, v) =

+∞
−∞

+∞
−∞
R(t
1
, t
2
)e
−j(ut
1

+vt
2
)
dt
1
dt
2
(1.5)
Từ công thức (1.4), ta có hàm tự tương quan của X(ω) như sau:
E{X(u)X ∗ (v)} =

+∞
−∞

+∞
−∞
E{x(t
1
)x ∗ (t
2
)}e
−j(ut
1
−vt
2
)
dt
1
dt
2

Như vậy
E{X(u)X ∗ (v)} = Γ(u, −v) (1.6)
Định lý: Cho quá trình x(t) là quá trình nhiễu trắng không ổn định với công
suất trung bình q(t), biến đổi Fourier X(ω) của x(t) là quá trình ổn định với
hàm tự tương quan là biến đổi Fourier Q(ω) của q(t).
Chứng minh: Với x(t) là quá trình nhiễu trắng, ta có R(t
1
, t
2
) = q(t
1
)δ(t
1
−
t
2
).
Biến đổi Fourier hai chiều R(t
1
, t
2
), ta được
Γ(u, v) =

+∞
−∞

+∞
−∞
q(t

1
)δ(t
1
− t
2
)e
−j(ut
1
+vt
2
)
dt
1
dt
2
Nhưng ta có

+∞
−∞

+∞
−∞
q(t
1
)δ(t
1
− t
2
)e
−j(ut

1
+vt
2
)
dt
1
dt
2
=

+∞
−∞
q(t
2
)e
−j(u+v)t
2
dt
2
2
Vậy
Γ(u, v) =

+∞
−∞
q(t
2
)e
−j(u+v)t
2

dt
2
= Q(u + v)
Từ (1.4) ta có
E{X(ω + α)X ∗ (α)} = Γ(ω + α, −α) = Q(ω + α − α) = Q(ω) (1.7)
Công thức (1.7) cho thấy điều phải chứng minh.
1.3 Tự hiệp phương sai của phổ năng lượng
Xét quá trình ngẫu nhiên thực x(t), biến đổi Fourier của nó là X(ω). Từ
công thức (1.4), ta có
E{X(u)X(v)} = Γ(u, v) (1.8)
Ta có thể biểu diễn X(ω) và Γ(u, v) thành 2 thành phần thực và ảo như sau:
X(ω) = A(ω) + jB(ω); Γ(u, v) = Γ
r
(u, v) + jΓ
i
(u, v) (1.9)
Kết hợp với công thức (1.8) ta được
2E{A(u)A(v)} = Γ
r
(u, v) + Γ
r
(u, −v)
2E{A(u)B(v)} = Γ
i
(u, v) − Γ
i
(u, −v)
2E{B(u)A(v)} = Γ
i
(u, v) + Γ

i
(u, −v)
2E{B(u)B(v)} = Γ
r
(u, v) − Γ
r
(u, −v)
(1.10)
Định lý: Cho x(t) là quá trình thực thông thường (normal) với kỳ vọng 0.
Ta có hàm tự phương sai của phổ năng lượng
Cov{|X(u)|
2
, |X(v)|
2
} = Γ
2
(u, −v) + Γ
2
(u, v) (1.11)
Chứng minh: Trước hết ta có công thức tính hàm tự phương sai của quá
trình ngẫu nhiên là
Cov{|X(u)|
2
, |X(v)|
2
} = E{|X(u)|
2
|X(v)|
2
} − E{|X(u)|

2
}E{|X(v)|
2
}
= E{[A
2
(u) + B
2
(u)][A
2
(v) + B
2
(v)]}
−E{[A
2
(u) + B
2
(u)]+}E{[A
2
(v) + B
2
(v)]}
= 2E
2
{A(u)A(v)} + 2E
2
{B(u)B(v)}
+2E
2
{A(u)B(v)} + 2E

2
{B(u)A(v)} (1.12)
3
Thay nhóm công thức (1.10) vào phần trên, ta thu được (1.9).
Tự hiệp phương sai của phổ năng lượng giúp cho ta biết quan hệ giữa giá trị
năng lượng ở các tần số khác nhau của quá trình ngẫu nhiên. Để biết giá trị
tự hiệp phương sai này, bình thường chúng ta phải tìm moment bậc 4 của
X(ω), đây là một việc làm khó khăn. Tuy nhiên với quá trình ngẫu nhiên
x(t) thường và là quá trình thực với kỳ vọng 0, thì việc này chỉ cần xác định
qua hàm tự tương quan 2 chiều Γ(u, v).
4
Chương 2
Một số ứng dụng
2.1 Biến đổi Fourier của quá trình ổn định
Ở phần 1.1, chúng ta đã chứng minh được một quá trình không ổn định,
nhiễu trắng theo thời gian qua biến đổi Fourier là một quá trình ổn định.
Bây giờ ta sẽ xét biến đổi Fourier của quá trình ổn định theo thời gian.
Xét quá trình ngẫu nhiên ổn định x(t). Như chúng ta đã biết, với x(t) là quá
trình ổn định thì R(t
1
, t
2
) = R(t
1
− t
2
). Đặt t
1
− t
2

= τ , ta có phép biến đổi
Fourier hai chiều của hàm tự tương quan R(t
1
, t
2
) là

+∞
−∞

+∞
−∞
R(t
1
−t
2
)e
−j(ut
1
+vt
2
)
dt
1
dt
2
=

+∞
−∞

e
−j(u+v)t
2
dt
2

+∞
−∞
R(τ )e
−juτ
dτ
hay
Γ(u, v) = S(u)

+∞
−∞
e
−j(u+v)t
2
dt
2
Lại có

e
−jωt
dt = 2πδ(ω), kết hợp với biến đổi ở trên ta có
Γ(u, v) = 2πS(u)δ(u − v) (2.1)
Như vậy, từ các biến đổi ở trên ta thấy: Biến đổi Fourier của một quá trình
ổn định theo miền thời gian là quá trình nhiễu trắng và không ổn định, công
suất trung bình của quá trình là 2πS(u). Có thể chứng minh được điều ngược

lại: một quá trình khi biểu diễn trên miền tần số là quá trình nhiễu trắng
không ổn định thì khi biến đổi Fourier ngược về miền thời gian, nó trở thành
một quá trình ngẫu nhiên ổn định (theo nghĩa rộng).
Định lý: Cho quá trình nhiễu trắng X(ω) với kỳ vọng không và hàm tự
hiệp phương sai Q(u)δ(u − v). Chứng minh rằng biến đổi Fourier ngược x(t)
5
của quá trình X(ω) là quá trình ổn định theo nghĩa rộng (WSS) với phổ công
suất là
Q(ω)
2π
.
Chứng minh
Từ công thức (1.4) ta có phép biến đổi Fourier ngược
E{x(t)} =
1
2π

+∞
−∞
E{X(ω)}e
−jωt
dt = 0 (2.2)
(vì E{X(ω)} = 0 theo đề bài)
Hàm tự hiệp phương sai của X(ω) có dạng
C(u, v) = E{X(u)X ∗ (v)} − E{X(u)}E{X ∗ (v)} = E{X(u)X ∗ (v)}
Dẫn tới E{X(u)X ∗ (v)} = Q(u)δ(u − v).
Ta có hàm tự tương quan của x(t) là
R(t
1
, t

2
) = E{x(t
2
)x ∗ (t
1
)}
=
1
2π

+∞
−∞

+∞
−∞
E{X(v)X ∗ (u)}e
j(vt
1
−ut
2
)
dudv
=
1
2π

+∞
−∞

+∞

−∞
Q(v)δ(v − u)e
j(vt
1
−ut
2
)
dudv
=
1
2π

+∞
−∞
Q(v)e
jv(t
1
−t
2
)
=
q(t
1
− t
2
)
2π
= R(t
1
− t

2
) (2.3)
Từ (2.2) và (2.3) ta có được x(t) là quá trình ổn định. Tiếp tục xét hàm tự
tương quan R(τ ) =
q(τ)
2π
, ta có phổ công suất của x(t) được xác định là
S(ω) =

+∞
−∞
R(τ )e
−jωτ
dτ
=

+∞
−∞
q(τ)
2π
e
−jωτ
dτ
=
Q(ω)
2π
(2.4)
Vậy ta có điều phải chứng minh. Từ đó ta kết luận: một quá trình được gọi
là ổn định theo nghĩa rộng khi và chỉ khi biến đổi Fourier của nó là quá trình
nhiễu trắng không ổn định với kỳ vọng 0.

6
2.2 Quá trình thời gian rời rạc
Từ đầu đến giờ, chúng ta đã xét đến quá trình ngẫu nhiên liên tục và biến
đổi Fourier của quá trình ngẫu nhiên liên tục sang miền tần số. Xét quá trình
ngẫu nhiên rời rạc trên miền thời gian x(n). Biến đổi Fourier của nó sang
miền tần số là
X(ω) =
+∞

n=−∞
x(n)e
−jωn
(2.5)
Biến đổi Fourier ngược của nó
x(n) =
1
2π

+π
−π
X(ω)e
jωn
dω (2.6)
Điều này cho chúng ta thấy, đối với quá trình ngẫu nhiên thời gian rời rạc,
khi biến đổi sang miền tần số thì nó là quá trình có chu kỳ 2π. Ý nghĩa của
việc này rất lớn, thay vì chúng ta phải khảo sát quá trình ngẫu nhiên trên
toàn miền thời gian, thì chúng ta chỉ cần quan sát chính quá trình đó trong
1 khoảng chu kỳ 2π trên miền tần số là có thể biết được toàn bộ tính chất
của quá trình.
Ở phần 2.1, chúng ta đã biết rằng một quá trình ổn định x(t) khi biến đổi

sang miền tần số X(ω) là quá trình nhiễu trắng không ổn định. Bây giờ ta
sẽ kiểm chứng điều đó với quá trình rời rạc trên miền thời gian x(n).
Định lý: Cho quá trình ổn định với thời gian rời rạc x(n). Biến đổi Fourier
của x(n) là X(ω) là quá trình nhiễu trắng không ổn định với hàm tự hiệp
phương sai
E{X(u)X ∗ (v)} = 2πS(u)δ(u − v); −π < u, v < π (2.7)
Chứng minh
Ta có
E{X(u)X ∗ (v)} =
+∞

n=−∞
+∞

m=−∞
E{X(n + m)X ∗ (m)}e
−j[u(n+m)−nv]
=
+∞

m=−∞
R(m)e
−jum
+∞

n=−∞
e
−j(u−v)n
(2.8)
Lại có

+∞

n=−∞
e
−jωn
= 2πδ(ω); |ω| < π (2.9)
7
Thay (2.9) vào (2.8) ta được (2.7). Như vậy ta có điều phải chứng minh.
2.3 Hàm cửa sổ
Về lý thuyết, phép biến đổi Fourier của một tín hiệu không tuần hoàn rời rạc
luôn luôn tạo ra phổ liên tục. Tuy nhiên, do tính phức tạp của việc định trị
một hàm liên tục trên một máy tính, phổ của phép biến đổi Fourier rời rạc
(DFT-Discrete Fourier Transform) được giả thiết là lấy từ chuỗi Fourier rời
rạc của tín hiệu, và giả thiết rằng tín hiệu không tuần hoàn gốc thực chất là
một chu kỳ của một tín hiệu tuần hoàn, có chu kỳ vô cùng lớn.
Định nghĩa của DFT giả thiết dữ liệu lấy mẫu là một chuỗi tuần hoàn. Nếu
dữ liệu lấy mẫu không thực sự tuần hoàn, thông tin phổ tần số sẽ bị trải ra
toàn bộ phạm vi tần số. Không may là điều này thường xảy ra với các tín
hiệu liên tục theo thời gian được lấy mẫu không đủ chu kỳ. Tuy nhiên, chúng
ta có các phương pháp khắc phục vấn đề này, trong số đó có kỹ thuật cửa sổ
(windowing).
Kỹ thuật cửa sổ là một phương pháp điều chỉnh dữ liệu có chiều dài hữu hạn
để dữ liệu trở nên thích hợp hơn nhiều cho xử lý số tín hiệu. Một cửa sổ mô
tả một số hệ số nhân được áp đặt vào các phần tử rời rạc của một chuỗi dữ
liệu.
Trong xử lí tín hiệu, hàm cửa sổ là một hàm toán học, trong đó có một
khoảng giá trị khác 0, phần còn lại bằng 0. Ví dụ, một hàm có giá trị là hằng
số trong một khoảng, các giá trị còn lại bằng 0, được gọi là cửa sổ chữ nhật
- dạng cửa sổ đơn giản nhất.
Khi một tín hiệu hoặc một hàm khác được nhân với hàm cửa sổ, tại những

khoảng bằng 0 của hàm cửa sổ sổ ta cũng sẽ thu được kết quả bằng 0, ta sẽ
thu được phần còn lại không bị che bởi hàm cửa sổ, việc này giống như ta
đang “nhìn qua cửa sổ”.
Với những tính chất như vậy, hàm cửa sỗ được ứng dụng trong phân tích
phổ. Xét với trường hợp phổ năng lượng, nếu ta có một quá trình ổn định
rộng (WSS) x(t) và hàm cửa sổ w(t) với biến đổi Fourier là W (ω). Mục đích
của chúng ta là tìm phổ của tín hiệu sau khi được “nhìn” qua hàm cửa sổ.
Ta đặt quá trình y(t) = w(t)x(t). Quá trình này sẽ không ổn định với hàm
tự tương quan:
R
yy
(t
1
, t
2
) = w(t
1
)w ∗ (t
2
)R(t
1
− t
2
)
Ta có phép biến đổi Fourier của R
yy
(t
1
, t
2

) là
Γ
yy
(u, v) =

+∞
−∞

+∞
−∞
w(t
1
)w(t
2
)R(t
1
− t
2
)e
−j(ut
1
+vt
2
)
dt
1
dt
2
(2.10)
8

Như đã chứng minh ở phần trước, nếu x(t) là một quá trình ổn định thì X(ω)
là quá trình nhiễu trắng không ổn định với hàm tự tương quan Γ(u, v) =
2πS(u)δ(u − v). Từ đó ta thu được
Γ
yy
(u, v) =
1
2π

+∞
−∞
W (u − β)W ∗ (−v − β)S(β)dβ
Cùng với công thức hàm tự tương quan của phép biến đổi Fourier quá trình
ngẫu nhiên, ta có
E{Y (u)Y ∗ (v)} = Γ
yy
(u, −v) =
1
2π

+∞
−∞
W (u − β)W ∗ (v − β)S(β)dβ
Điều này dẫn đến
E{|Y (ω)|
2
} =
1
2π


+∞
−∞
|W (ω − β)|
2
S(β)dβ (2.11)
Công thức (2.11) cho biết năng lượng trung bình của quá trình x(t) được
nhân với hàm cửa sổ.
9
Chương 3
Một số kịch bản mô phỏng trên
Matlab
3.1 Các hàm sử dụng
• fft: Biến đổi Fourier rời rạc. Ta dùng hàm này để tìm ra phổ của quá
trình ngẫu nhiên.
• fft2: Biến đổi Fourier 2 chiều rời rạc.
• fftshift: Dịch phổ về tần số trung tâm.
• ifft: Biến đổi Fourier ngược rời rạc.
• ifft2: Biến đổi Fourier 2 chiều ngược rời rạc.
• abs: Trả lại giá trị tuyệt đối nếu là số thực, trả lại module của số phức
nếu là số phức. Trong phân tích phổ, sử dụng hàm này sẽ cho ta biết
biên độ phổ của tín hiệu. Nếu lấy bình phương của hàm, ta nhận được
phổ năng lượng của tín hiệu.
• wgn(m,n,p): Phát sinh ma trận nhiễu trắng kích thước mxn, với p là
công suất trung bình.
• awgn: Bổ sung thêm tín hiệu nhiễu trắng vào tín hiệu sẵn có.
• corr2: Hàm tự tương quan 2 chiều.
• plot: Vẽ đồ thị.
10
3.2 Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho tín hiệu hình sin với tần số 10 Hz, trong 3.4 giây (từ 0 đến 1)

lấy 10000 mẫu tín hiệu này. Sau đó biểu diễn phổ năng lượng.
Dưới đây là đoạn chương trình Matlab thể hiện ví dụ này:
N = 10000; %% số lượng mẫu lấy
T = 3.4; %% định thời gian
t = [0:N-1]/N; %% lượng tử hóa thời gian
t = t*T; %% nhân thời gian được lượng tử hóa với lượng thời gian lấy mẫu
f = sin(2*pi*10*t); %% biểu diễn hàm sin tần số 10 Hz
plot(f); % vẽ đồ thị của f trên miền thời gian
p = abs(fft(f)); %% biến đổi Fourier của tín hiệu và lấy mô đun phổ
p = p(1:N/2).^2 %% lấy 1 nửa số mẫu tín hiệu, bình phương mô đun lên
%% đây chính là phổ năng lượng
freq = [0:N/2-1]/T; %% xác định lại miền tần số
semilogy(freq,p); %% vẽ đồ thị với tín hiệu và khoảng tần số tương ứng
axis([0 20 0 1]); %% phóng to trục tần số từ 0 đến 20 Hz, biên độ từ 0 đến 1
11
Hình minh họa của tín hiệu trên miền thời gian:
12
Phổ năng lượng của nó:
Ví dụ 2: Với tín hiệu như trên, nhưng ta trộn thêm thành phần nhiễu trắng.
Hãy thử biểu diễn trên cả 2 miền tần số và thời gian xem có sự khác biệt gì
không.
Giả sử ta thêm vào f một thành phần nhiễu trắng với công suất trung bình
là 1W. Cú pháp thêm vào như sau:
f = f + wgn(1,N,1);
13
Lúc này trên miền thời gian, tín hiệu như sau:
Nhưng khi biểu diễn phổ năng lượng, ta có tín hiệu như thế này:
14
Như vậy, ta có thể thấy rằng mặc dù tín hiệu đã bị nhiễu trắng rất mạnh,
tuy nhiên khi biểu diễn phổ năng lượng ta vẫn có thể thấy phần tín hiệu

hình sin có tần số 10 Hz tương đối mạnh. Từ đó ta thấy rõ: Biểu diễn phổ
năng lượng giúp chúng ta thấy rõ được đặc tính của tín hiệu mà chúng ta
có, điều mà nhiều khi nhìn vào miền thời gian ta không thấy được.
15
Tài liệu tham khảo
[1] Bài giảng môn Quá trình ngẫu nhiên và ứng dựng, PGS.TS Nguyễn Thị
Hoàng Lan, Bộ môn Truyền thông và mạng máy tính, Viện Công nghệ
thông tin và truyền thông, Trường đại học Bách khoa Hà Nội, năm 2011.
[2] Athanasios Papoulis, Probability, Random Variables and Stochastic Pro-
cesses, McGraw-Hill, 3rd Edition, 2002.
16