Tìm hiểu về quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
BÀI TẬP LỚN
MÔN: Quá trình ngẫu nhiên và ứng
dụng
ĐỀ TÀI: Tìm hiểu về quá trình ngẫu nhiên ổn định có
chu kỳ và ứng dụng
Giảng viên hướng dẫn: NGUYỄN THỊ HOÀNG LAN

November , 2014 Đề tài 14: Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ và ứng dụng
HÀ NỘI – 11/2014
Lời mở đầu
Tầm quan trọng của một quá trình ngẫu nhiên trong thực tế là
không thể phủ nhận. Chính vì thế việc nghiên cứu về quá trình
ngẫu nhiên và ứng dụng của nó vẫn đang còn được rất nhiều người
quan tâm. Và một trong những vấn đề của việc nghiên cứu đó
chính là quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ.
Thuật ngữ viết tắt:
QTNN: Quá trình ngẫu nhiên
Page 2
November , 2014 Đề tài 14: Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ và ứng dụng
MỤC LỤC
Trang
Phần I: QTNN ổn định và QTNN có chu kỳ 4
Phần II: Quá trình ổn định có chu kỳ
1. Quá trình ổn định có chu kỳ theo nghĩa hẹp
2. Quá trình ổn định có chu kỳ theo nghĩa rộng
6
7
Phần III: Ứng dụng
1.Điều chế xung biên độ

2. Nhiễu trắng và ví dụ
8
10
Phần IV: Thử nghiệm dùng phần mềm Matlab 11
Kết luận 15
Lời cảm ơn 15
Tài liệu tham khảo 16
Page 3
November , 2014 Đề tài 14: Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ và ứng dụng
Phần I: Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên ổn định và quá trình
ngẫu nhiên có chu kỳ
1. Quá trình ngẫu nhiên ổn định :
• Khái niệm và định nghĩa
-Quá trinh ngẫu nhiên được coi là ổn định là quá trình ngẫu nhiên không thay đổi
theo chỉ số thời gian
-Quá trình ngẫu nhiên ổn định bậc 1 nếu tính chất thống kê của X(t
i
) và X(t
i
+c) là
như nhau với bất kỳ hằng số nào
-Quá trình ổn định bâc 2 nếu tính chất thống kê của cặp { X(t
1
),X(t
2
)} và
{X(t
1
+c),X(t
2

+c)} là như nhau với bất kỳ hằng số nào
* Định nghĩa: Một quá trình được gọi là ổn định theo nghĩa hẹp bậc n(nth-
order Strict-Sense Stationary - S.S.S) nếu thỏa mãn điều kiện sau với mọi t
i
và hằng số
c bất kỳ :
), ,;, ,(), ,,;, ,,(
21212121
ctctctxxxftttxxxf
nnxnnx
+++≡
( 1-1 )
Với
x
f
là hàm mật độ đồng thời của các biến
)(
11
txx
=
,… ,
)(
ii
txx
=
)(
'
ctxx
ii
+=

,…… ,
)(
'
ctxx
nn
+=
-Tính chất của quá trình ổn định theo nghĩa hẹp bậc 1:
Từ (1-1) ta có:
f
x
(x,t) f
x
(x,t+c) (1-2)
Với bất kỳ c=-t có được:
f(x,t)=f
x
(x) (1-3)
Nghĩa là hàm bậc 1 của X(t) la phụ thuộc t. như vậy
E[X(t)]= (1-4)
Tương tự đối với quá trình ổn định bậc 2 theo nghĩa hẹp,ta có từ quan hệ (1-1) như sau:
f(x
1
,x
2,
t
1,
t
2
) f(x
1,

x
2,
t
1
+c,t
2
+c)
Với c nào đó, c=-t2 ta đạt được:
Page 4
November , 2014 Đề tài 14: Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ và ứng dụng
f
x
(x
1,
x
2,
t
1,
t
2
) f(x
1
,x
2,
t
1
-t
2
)
Như vậy hàm mật độ bậc 2 của quá trình ngẫu nhiên ổn định theo nghĩa hẹp chỉ

phụ thuộc vào sự khác nhau của các chỉ số thời gian -t1=t
Trong trường hợp này hàm tương tư quan được xác định bởi:
R
xx
(t
1,
t
2
)=E{X(t
1
)X
*
(t
2
)}
= xxf
x
(x
1,
x
2, 1
-t
2
)dx
1
dx
2

=R
XX

(t
1
-t
2
)=R
*
XX
(- )
Nghĩa là hàm tương tự quan của quá trình ngẫu nhiên ổn định theo nghĩa hẹp chỉ
phụ thuộc vào sự khác nhau của các chỉ số thời gian
Mặt khác, các điều kiện cơ bản đối với ổn định bậc 1 và bậc 2 của quá trình ngẫu
nhiên ổn định thường khó khăn để kiểm chứng.
*Độ ổn định theo nghĩa rộng (W.S.S)
Định nghĩa: một quá trình x(t) được gọi là ổn định theo nghĩa rộng nếu thỏa mãn
(i)E{X(t)}=
µ
(1-5)
Và (ii)E{X(t
1
)X
*
(t
2
)}=
)(
21
ttR
xx
−
(1-6)

Với quá trình ngẫu nhiên ổn định theo nghĩa rộng có trung bình là hằng số thì
hàm tương tư quan chỉ phụ thuộc vào sư sai khác giữa hai chỉ số thời gian.
Từ các quan hệ (1-5),(1-6) cho thấy sự ổn định theo nghĩa hẹp luôn ngầm định
thỏa mãn điều kiện độ ổn định theo nghĩa rộng. Tuy nhiên chiều ngươc lại không phải lúc
nào cũng đúng.
Xét X(t) là quá trình ngẫu nhiên Gauss thì ta suy ra quan hệ:
Độ ổn định theo nghĩa rộng kéo theo thỏa mãn độ ổn định theo nghĩa hẹp,với các
biến đồng thời Xi và các chỉ số ti bất kỳ như sau:
X
1
=X(t
1
),X
2
=X(t
2
),… X
n
=X(t
n
)
2. Quá trình có chu kỳ
Định nghĩa: quá trình có chu kỳ là quá trình ngẫu nhiên ổn định có hàm tư tương
quan là hàm có chu kỳ T, nghĩa là
R
x
(t)=R
x
(t+T) với mọi t
Page 5

November , 2014 Đề tài 14: Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ và ứng dụng
Suy ra X(t)=X(t+T)
Ta có quan hệ:
E[(X(t)-X(t+T))
2
]=2R
x
(0)-2R
x
(T)=0
Như vậy xác suất để X(t)=X(t+T) là 1
Quá trình có chu kỳ rất có ý nghĩa đối với quá trình ngẫu nhiên phụ thuộc thời
gian vô hạn.


Phần II : Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ :
1. Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kì định nghĩa theo nghĩa hẹp :
Một quá trình x(t) được gọi là quá trình ổn định theo nghĩa hẹp (SSCS) với chu kì
T nếu
các thuộc tính của nó là bất biến với sự thay đổi của biến ban đầu bởi sự tách rời của T
hoặc tương đương nếu
với mỗi số nguyên m.
Định lý sau sẽ cho thấy sự kết nối chặt chẽ giữa quá trình ổn định với quá trình ổn định
có chu kì.
Đinh lý :Nếu x(t) là một quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kì và (tetra-kí tự) là một
biến ngẫu nhiên thống nhất trong khoảng thời gian (0, T) và phụ thuộc x(t) , và quá trình:
(2.0)
có được từ một sự thay đổi ngẫu nhiên của biến ban đầu là ổn định theo nghĩa hẹp bậc n
và nó tuân theo phân phối đều:
(2.1)

Chứng minh: Để CM công thức trên, nó đủ để cho thấy rằng xác suất của sự kiện
(2.2)
Page 6
November , 2014 Đề tài 14: Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ và ứng dụng
là phụ thuộc vào c và nó bằng với vế phải của (1.1). Như chúng ta đã biết :

(2.3)
Hơn nữa,
(2.4)
Và since tetra phụ thuộc vào x(t), do đó ta đi đến kết luận:
(2.5)
Thế vào CT (2.3) và sử dụng CT 1(phần định nghĩa) ta thu được CT (2.1) !
2. Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ định nghĩa theo nghĩa rộng :
*Định nghĩa : Một quá trình x(t) được gọi là quá trình ổn định theo nghĩa rộng
(WSCS) với chu kì T nếu:
với mỗi số nguyên m.
 Đinh lý 2: Nếu X(t) là một quá trình ổn định theo nghĩa rộng,khi đó quá trình X-
(t) được biến đổi thành WSS với :

Và tự tương quan :
Chứng minh : Từ và sự độc lập của
θ
theo x(t) theo
đó :
Page 7
( ) ( )t mT t
η η
+ =
1 2 1 2
( , ) ( , )R t mT t mT R t t+ + =

0
1
( )
T
t dt
T
η η
=
∫
0
1
( ) ( , )
T
R R t t dt
T
τ τ
= +
∫
( ) ( )
|x yf y x dy
ϕ
∞
=
∫
−∞
November , 2014 Đề tài 14: Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ và ứng dụng
0
1
{ ( )} { ( )}= ( )
T

E x t E t t d
T
θ η θ η θ θ
− = − −
∫
Và vì tuần hoàn. Tương tự ta có :
( )
{ }
( )
{ }
( )
0
( ,
1
,
T
E x t x t E R t t
R t t d
T
τ θ θ τ θ θ
τ θ θ θ
+ − − = + − −
= + − −
∫
Do đó bởi vì là một hàm độc lập của t.
Phần III : Ứng dụng điều chế xung biên độ (PAM)
1. Điều chế xung biên độ
Một ví dụ quan trọng của quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ là tín hiệu ngẫu nhiên

∑

∞
−∞=
−=
n
n
nTthctx )()(
(3-1)
ở đây h(t) là một hàm có được nhờ phép biến đổi fourie của
)(
ω
h
và
n
c
là một trình tự
tĩnh của chuỗi các biến ngẫu nhiên (RVs) với tự tương quan
}{][ ccEmR
nmnc +
=
và
phổ công suất

∑
∞
−∞=
−
=
m
jm
c

j
c
emReS
ωω
][)(
(3-2)
Định lý :
phổ công suất
)(
ω
S
của quá trình đã được biến đổi
)(tx
là :

2
|)(|)(
1
)(
ωω
ω
HeS
T
S
j
cx
=
(3-3)
Page 8
( )

0
1
T
t dt
T
η η
=
∫
( )
t
η
0
1
( ) ( , )
T
R R t t dt
T
τ τ
= +
∫
( )
,R t t
τ
+
November , 2014 Đề tài 14: Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ và ứng dụng
Chứng minh : Rõ ràng z(t) là một dẫn xuất của quá trình w(t) của sung .
Quá trình w(t) ổn định có chu kỳ với tự tương quan :
∑∑
−−−=
n r

cw
rTtUnTtUrnRttR )()()(),(
2121
Ta có :
∑∑
−−−=
∂∂
∂
=
n r
c
w
z
rTtnTtrnR
tt
ttR
ttR )()(][
),(
),(
21
21
21
2
21
δδ
Suy ra :
∑ ∑
∞
−∞=
∞

−∞=
+−+=+
m r
cz
TrmtmRttR ])([][),(
τδτ
(3-4)
Chúng ta có thể tìm thấy trước tiên tự tương quan
)(
τ
z
R
và phổ công suất
)(
ω
z
S
của quá
trình đã được biến đổi
)()(
θ
−= tztz
thêm 3-4 vào 11-114 và dùng đồng nhất thức ta có :
∫
−=−+−+
T
mTdtrTtTrmt
0
)()(])([
τδδτδ

Ta có được
Page 9
November , 2014 Đề tài 14: Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ và ứng dụng
∑
∞
−∞=
−=
m
c
z
mTmR
T
R )(][
1
)(
τδτ
(3-5)
Theo đó :
)(
1
][
1
)(
ωω
ω
c
n
jmT
cz
S

T
emR
T
S
∑
∞
−∞=
−
==
(3-6)
Quá trình x(t) là đầu ra của hệ thống tuyến tính với đầu vào là z(t) do đó :
)(*)()( thtztx =
)(*)()( thtztx =
Vậy định lý đã được chứng mình (xem 3-6) quá trình điều chế sung biên độ được cho bởi
công thức 3-3
2. Nhiễu trắng và ví dụ
Hệ quả : nếu quá trình
n
C
là nhiễu trắng với
qS
c
=)(
ω
ta có :
2
|)(|)(
ωω
H
T

q
S
x
=

)(*)()( thth
T
q
R
x
−=
τ
(11-123)
Ví dụ 11-4 : Giả sử h(t) là một xung và
n
c
là một quá trình nhiễu trắng lấy các giá trị
1±

với xác xuất là
{
][][)(01
0
)(
mmRnTxcTt
otherwise
cn
th
δ
==≤≤

=
Page 10
November , 2014 Đề tài 14: Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ và ứng dụng
Kết quả của quá trình x(t) được gọi là chuyển sang nhị phân .Nó là một quá trình ổn định
có chu kỳ theo nghĩa hẹp lấy các giá trị
1±
trong khoảng thời gian (nT-T,nT) và quá trình
đã được biến đổi
)()(
θ
−= txtx
là tĩnh .
Từ 3-3 ta có :
2
2
)2/(sin4
)(
ω
ω
ω
T
T
S
x
=
Bởi vì
1)( =zS
c
. Do đó
)(

τ
x
R
là một hình tam giác trong xung
Phần VI : Mô phỏng phương pháp điều chế số bằng Matlab
Tín hiệu tin: V0(t) = 0.005 cos (2π*106) t
Tín hiệu điều chế VΩ = 0.01 cos (2π*104) t

Tìm tín hiệu sau khi điều chế
Tín hiệu tin: V0(t) = 0.005 cos (2π*106) t
Page 11
November , 2014 Đề tài 14: Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ và ứng dụng
Tìm tín hiệu sau khi điều chế
*Điều chế ask :
Page 12
November , 2014 Đề tài 14: Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ và ứng dụng
 Lí thuyết: tín hiệu số dưới dạng chuổi bít nhị phân (0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0) sau khi
kết hợp với sóng mang sẻ làm thay đổi biên độ của sóng mang.
 Dạng điều chế biên độ
ask
Dạng tín hiệu điều chế này sẻ được biểu diển bằng mô phỏng MATLAB như sau:
-Giải thích câu lệnh :
 - nargin :có nghĩa là số đầu vào
 - Đối vơí bài lập trình này thì chỉ chỉ được đưa 2 tham số đầu vào g và f “function
ask(g,f)”
 -g là chuổi bít nhị phân đầu vào bạn co thể nhập một chuổi số nhị phân bất kì.
 - f là tần số của sóng mang.( Chú ý f>1)
 Để sư dụng mô phỏng này từ cứa sổ lệnh nhập theo cú pháp:
 ask([0 1 1 0 1 1 0 1 0],2)
 -các giá trị trên có thể thay đổi

-Điều chế biên độ :
 cp=[];sp=[];
 mod=[]; bit=[];
 có thể hiểu là khai báo các ma trận để sử dụng.
 Chẳn hạn: cp=[] Nó sẽ định nghĩa một ma trận có tên là cp và rỗng, tương tự
cho sp, mod, mod1
 length(g): lấy độ dài của chuổi bít nhị phân g
 ones(1,100): tạo ma trận 100 cột giá trị 1. (cái này phải là ước hoặc bội của pi/99).
 c=sin(f*t) sóng mang
 cp=[cp die] Đây là phép gộp 2 ma trận, yêu cầu là cp và die phải cùng kích
thước, tuy nhiên nếu là vector 1 chiều thì không cần (cái giá trị pi/99 và 100 đó)
 cp1=[cp1 die1]
 mod=[mod c]
 bit=[bit se]
 cp=[];sp=[];
 mod=[]; bit=[];
 có thể hiểu là khai báo các ma trận để sử dụng.
Page 13
November , 2014 Đề tài 14: Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ và ứng dụng
 Chẳn hạn: cp=[] Nó sẽ định nghĩa một ma trận có tên là cp và rỗng, tương tự
cho sp, mod, mod1
 length(g): lấy độ dài của chuổi bít nhị phân g
 ones(1,100): tạo ma trận 100 cột giá trị 1. (cái này phải là ước hoặc bội của pi/99).
 c=sin(f*t) sóng mang
 cp=[cp die] Đây là phép gộp 2 ma trận, yêu cầu là cp và die phải cùng kích
thước, tuy nhiên nếu là vector 1 chiều thì không cần (cái giá trị pi/99 và 100 đó)
 cp1=[cp1 die1]
 mod=[mod c]
 bit=[bit se]
* Kết quả :

Page 14
November , 2014 Đề tài 14: Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ và ứng dụng
KẾT LUẬN
Page 15
November , 2014 Đề tài 14: Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ và ứng dụng
Hiện nay trong thực tế có rất nhiều ứng dụng quan trọng của quá
trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ. Chính vì thế đây vẫn đang là
một vẫn đề được nhiều người quan tâm .
LỜI CẢM ƠN
Chúng em rất cảm ơn cô đã cho chúng em có cơ hội tìm hiểu sâu
hơn về chủ đề Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ, và những
ứng dụng quan trọng của nó, cùng với việc mô phỏng trên phần
mềm Matlab.
Page 16
November , 2014 Đề tài 14: Quá trình ngẫu nhiên ổn định có chu kỳ và ứng dụng
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Nguyễn Thị Hoàng Lan, Slide môn học Quá trình ngẫu nhiên
ứng dụng (Applied Stochastic Processes)
2. Papoulis. A , Probability, Random Variables and Stochastic
Processes, McGraw Hill 1991, 2002 (Text book)
3. Tống Đình Quỳ, Giáo trình xác suất thống kê, NXB Giáo dục
1991
Page 17