Biến đổi zak và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THANH
BIẾN ĐỔI ZAK VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. BÙI KIÊN CƯỜNG
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
2
LỜI CÁM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại Học Sư
Phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của TS. Bùi Kiên Cường,
người đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu
trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin
bầy tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với Thầy.
Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2, Phòng Sau đại học, khoa toán và tổ giải tích cùng các quý Thầy Cô đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao
học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các bạn trong lớp K16 Toán Giải tích
đợt 2 đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành tốt luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Phương Thanh
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn Biến đổi Zak và một số ứng dụng là
kết quả học tập và nghiên cứu của riêng tôi. Đó là kết quả của sự tìm tòi,
tổng hợp từ các tài liệu tham khảo dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên
Cường. Những tài liệu tham khảo trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn

gốc. Luận văn chưa được công bố trên bất kì phương tiện thông tin nào.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Phương Thanh
MỘT SỐ KÝ HIỆU
R: Tập hợp các số thực
C: Tập hợp các số phức
z: số phức liên hợp của số phức z
C
∞
(Ω): Không gian các hàm khả vi vô hạn trong Ω
f
p
: Chuẩn trong không gian L
p
(Ω)
L
p
: không gian các hàm đo được Lebesgue có chuẩn L
p
hữu hạn.
sup pf: Giá của hàm f ∈ L
p
(Ω)
ϕ
α
(x): Là hàm Gauss với ϕ
α
(x) = e
−πx

2
/
α
C
∞
0
(Ω): Không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω
V
g
f: Biến đổi Fourier thời gian ngắn của hàm f đối với hàm cửa sổ g
X
[a,b]
: Hàm đặc trưng trên [a, b]

f, F (f) : Biến đổi fourier của hàm f với

f(ω) =

R
d
f (x) e
−2πi.x
dx,
F
−1
(f) : Biến đổi fourier ngược của hàm f
T
x
f : Phép tịnh tiến theo x của hàm f và T
x

f (t) = f (t −x)
M
ω
f : Sự điều biến theo w của hàm f và M
ω
f (t) = e
2πiω.t
f (t)
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Kiến thức chuẩn bị 9
1.1 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Giải tích thời gian- tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Hàm cửa sổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Cửa sổ thời gian - tần số của biến đổi Fourier thời
gian ngắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Lý thuyết khung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Biến đổi Zak 24
2.1 Định nghĩa và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Một số ứng dụng đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Phương trình sai phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2 Dãy số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3 Phương trình sai phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.4 Nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.5 Phương trình sai phân cấp 2 không thuần nhất. . . 38
2.2.6 Đa thức chebyshev. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Ứng dụng biến đổi Zak trong giải tích thời gian- tần số 40

3.1 Mở rộng định nghĩa biến đổi Zak . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Ứng dụng trong lý thuyết khung Gabor . . . . . . . . . . . 46
5
6
Kết luận 50
Tài liệu tham khảo 51
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Biến đổi Zak là một mở rộng của biến đổi Laplace rời rạc và Chuỗi
Fourier. Nó có nhiều tính chất đẹp, hữu ích và được phát hiện nhiều ở
những lĩnh vực rất khác nhau, chẳng hạn trong giải hệ phương trình sai
phân (W. Hurewicz, 1947). Nó cũng được gọi là ánh xạ Weil-Brezin, và
Gauss đã tìm ra một số tính chất của nó. Biến đổi Zak cũng được Gel’fand,
J. Zak phát hiện ra nó một cách độc lập và nghiên cứu nó có hệ thống,
lần đầu tiên cho các ứng dụng trong vật lý trạng thái rắn, sau đó có nhiều
ứng dụng rộng lớn. Một bài báo thú vị có hướng ứng dụng trong giải tích
tín hiệu là Janssen (1988), từ đây đánh dấu những ứng dụng vào giải tích
thời gian – tần số. Trong giải tích thời gian – tần số, biến đổi Zak cung
cấp một công cụ thuận tiện cho một giải pháp đối xứng hơn của hệ Gabor.
Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về biến đổi Zak và những ứng dụng của
nó, dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường tôi lựa chọn đề tài "Biến
đổi Zak và một số ứng dụng" làm luận văn tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
+ Nắm được các dạng của biến đổi Zak và những tính chất của nó.
+ Hệ thống hóa những kết quả và ứng dụng cơ bản của biến đổi Zak
trong một số lĩnh vực.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày tổng quan về biến đổi Zak và những ứng dụng cơ bản của

biến đổi này trong giải phương trình sai phân, trong giải tích thời gian –
tần số.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
8
+ Đối tượng nghiên cứu: Giải tích thời gian – tần số, khung Gabor, biến
đổi Zak.
+ Hệ thống hóa những kết quả và ứng dụng cơ bản của biến đổi Zak
trong một số lĩnh vực.
5. Phương pháp nghiên cứu
+ Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận
vấn đề.
+ Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài
báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập đến.
6. Đóng góp của luận văn
Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về biến đổi Zak và
một số ứng dụng trong giải tích thời gian - tần số, trong đó, tác giả làm
chi tiết hơn một số tính chất đã nêu trong các tài liệu tham khảo.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Chuỗi Fourier
Hàm tuần hoàn được phân tích một cách thuận tiện bởi chuỗi Fourier.
Giả sử rằng một hàm f trên R
d
là Z
d
-tuần hoàn, có nghĩa là f (x) =
f (x + k) với mọi k ∈ Z
d
. Một hàm như vậy được xác định duy nhất bởi
hạn chế của nó trên khối [0, 1)

d
và do đó có thể đồng nhất với một hàm
trên [0, 1]
d
. Một hàm tuần hoàn cũng có thể được coi là một hàm trên
thương R
d
/Z
d
gọi là hình xuyến, ký hiệu T
d
. Chúng ta sẽ đồng nhất một
hàm Z
d
-tuần hoàn trên R
d
bởi hạn chế của nó trên [0, 1]
d
và với phép chiếu
của nó đến T
d
.
Định nghĩa 1.1. Giả sử f ∈ L
2
(T
d
). Ta định nghĩa
ˆ
f bởi công thức


f (n) =

[0,1]
d
f (x) e
−2πin.x
dx n ∈ Z
d
Hàm
ˆ
f được gọi là biến đổi Fourier rời rạc của f, đôi khi ta còn dùng kí
hiệu F
T
f.
ˆ
f(n) được gọi là hệ số Fourier thứ n của f.
Họ các hàm mũ e
2πin·x
, n ∈ Z
d
trên T
d
hoặc trên [0, 1]
d
là một cơ sở
trực chuẩn của L
2
(T
d
). Đó là định lý Plancherel:

Định lí 1.1 (Plancherel). Cho f ∈ L
2
(T
d
). Khi đó f có thể khai triển
được thành chuỗi Fourier
f =

n∈Z
d

f (n)e
2πin·x
9
10
với sự hội tụ như một khai triển trực chuẩn và ta có:

[0,1]
d
|f (x)|
2
dx = f
2
L
2
(T
d
)
=


n∈Z
d




f (n)



2
.
Tiếp theo chúng ta thảo luận về hàm với sự tuần hoàn khác bằng khái
niệm về một lưới.
Định nghĩa 1.2. Một lưới Λ ⊆ R
d
là một nhóm con rời rạc của R
d
có
dạng Λ = AZ
d
, trong đó A là một ma trận d × d khả nghịch trên R.
Thể tích của Λ được định nghĩa là V ol((Λ)) = |det A| =



A[0, 1]
d




. Lưới
Λ
⊥
=

A
−1

T
Z
d
được gọi là lưới đối ngẫu của Λ.
Một hàm f trên R
d
là tuần hoàn đối với Λ, hoặc đơn giản là Λ -tuần
hoàn, nếu f (x + λ) = f (x) với mọi x ∈ R
d
và λ ∈ Λ.
Chúng ta sẽ đồng nhất một Λ -tuần hoàn hàm f với giới hạn của nó
trên khối A[0, 1]
d
và với phép chiếu của nó trên hình xuyến R
d
/

AZ
d

.

Để có được chuỗi Fourier của một hàm Λ-tuần hoàn, Chúng ta lưu ý rằng
các hàm h (x) = f (Ax) là Z
d
-tuần hoàn và có chuỗi Fourier h (x) =

n∈Z
d

h (n)e
2πin.x
, với các hệ số Fourier được cho bởi:

h (n) =

[0,1]
d
f (Ax) e
−2πin.x
dx
=
1
|det A|

A[0,1]
d
f (x) e
−2πi
(
A
T

)
−1
n.x
dx
:=

f (µ) .
(1.1)
Sau khi thay thế x → A
−1
x, chuỗi Fourier của f có thể được viết như là
một chuỗi trên lưới đối ngẫu Λ
⊥
theo cách sau:
f (x) = h

A
−1
x

=

n∈
d

h (n)e
2πi
(
A
−1

)
T
n.x
=

µ∈Λ
⊥

f (µ)e
2πiµ.x
.
(1.2)
Để cho rõ ràng chúng ta viết công thức này cho lưới hình chữ nhật với
α > 0. Trong trường hợp này, (1.2) trở thành:
f (x) =

n∈Z
d

f (n)e
2πin.x/α
11
với hệ số Fourier

f (n) = α
−d

[0,α]
d
f (x) e

−2πin.x/α
dx.
Hơn nữa, L
2
- chuẩn trong một chu kỳ [0, α]
d
của f được cho bởi:
f
2
2
=

[0,α]
d
|f (x)|
2
dx = α
d

n∈Z
d




f (n)



2

. (1.3)
Mệnh đề 1.1 (Công thức tổng Poisson). Giả sử rằng tồn tại các số dương
 và C sao cho |f(x)| ≤ C(1 + |x|)
−(d+)
và



ˆ
f(ξ)



≤ C(1 + |ξ|)
−(d+)
. Khi
đó

n∈Z
d
f(x + n) =

n∈Z
d
ˆ
f(n)e
2πin·x
. (1.4)
Dấu bằng xảy ra từng điểm tại mọi x ∈ R
d

và cả hai tổng đều hội tụ tuyệt
đối với mọi x ∈ R
d
.
Hệ quả 1.1 (Công thức tổng Poisson cho trường hợp Λ-lưới). Với các giả
thiết như Mệnh đề trên, ta có

λ∈Λ
f(x + λ) =
1
V ol(Λ)

µ∈Λ
⊥
ˆ
f(µ)e
2πiµ·x
. (1.5)
1.2 Một số không gian hàm
Định nghĩa 1.3 (Không gian Schwartz S(R
d
)). Không gian Schwartz
S(R
d
) bao gồm các hàm f ∈ C
∞
(R
d
) thỏa mãn
sup

x∈R
d


D
α
X
β
f (x)


< ∞ ∀α, β ∈ Z
d
+
trong đó
X
α
f (x) = x
α
f (x) và D
α
=
∂
α
1
∂
α
1
x
1

∂
α
d
∂
α
d
x
d
Tô pô trên S(R
d
) xác định bởi khái niệm hội tụ như sau: dãy {ϕ
k
}
∞
k=1
⊂
S

R
d

được gọi là hội tụ tới ϕ ∈ S

R
d

trong S

R

d

nếu
lim
k→∞
sup
x∈R
d


x
α
D
β
ϕ
k
(x) − x
α
D
β
ϕ (x)


= 0, ∀α, β ∈ Z
d
+
.
Không gian đối ngẫu của S(R
d
) kí hiệu là S


(R
d
).
12
Định nghĩa 1.4 (Không gian L
p,q
m
(R
2d
)). Giả sử m là một hàm trọng trên
R
2d
và 1 ≤ p, q ≤ ∞. Khi đó không gian trọng chuẩn hỗn hợp L
p,q
m
(R
2d
)
bao gồm cả các hàm đo được Lebesgue trên R
2d
sao cho chuẩn
F 
L
p,q
m
=





R
d



R
d
|F (x, ω)|
p
m(x, ω)
p
dx


p/q
dω



1/q
là hữu hạn.
Nếu p = ∞ với mọi q = ∞ thì p-chuẩn tương ứng thay bởi supremum.
Do đó :
F 
L
∞,q
m
=




d

ess sup
x∈R
d
|F (x, ω)|m (x, ω)

q
dω


1/q
và
F 
L
p,∞
m
= esssup
ω∈R
d



R
d
|F (x, ω)|
p
m(x, ω)

p
dx


1/p
.
Vì ω → F (., ω) m (., ω) có giá trị trong L
p
, nên không gian chuẩn hỗn
hợp L
p,q
m
có thể thấy như một không gian giá trị vectơ trong L
p
.
Nếu p = q thì L
p,q
m
= L
p
m
là không gian L
p
trọng thông thường. Hơn nữa
L
∞
m
(R
2d
) bao gồm tất cả các hàm (đo được ) f sao cho

esssup |{f (z)|m (z)} ≤ c
hay
|f (z)| ≤ cm(z)
−1
với z ∈ R
2d
.
Chuẩn f
L
∞
m
là infimum của tất cả các hằng số c trong bất đẳng thức
trên.
Định nghĩa 1.5 (Không gian l
p,q
m

Z
2d

). bao gồm tất cả các dãy a =
(a
kn
)
k,n∈Z
d
(các hàm từ Z
2d
tới C ) với chuẩn
a

l
p,q
m
=


n∈Z
d
(|a
kn
|
p
m(k, n)
p
)
p/q

1/q
là hữu hạn.
13
Ta ký hiệu [0, α]
d
bởi Q
α
và viết Q thay cho Q
1
= [0, 1]
d
; ký hiệu χ
A

là hàm đặc trưng của tập A.
Định nghĩa 1.6 (Không gian Wiener). Một hàm g ∈ L
∞

R
d

thuộc về
không gian Wiener W = W

R
d

nếu
g
W
=

n∈Z
d
ess sup
x∈Q
|g (x + n)| < ∞.
Các không gian con của W gồm các hàm liên tục được ký hiệu là W
0

R
d

.

Chuẩn trên cũng có thể được viết như sau:
g
W
=

n∈Z
d
g · T
n
χ
Q

∞
.
Không gian Wiener chứa tất cả các hàm bị chặn với giá compact và do
đó là một không gian con trù mật của L
p

R
d

, 1 ≤ p ≤ ∞ . Phép nhúng
W

R
d

→ L
p


R
d

được suy ra từ
f
p
=


n∈Z
d

n+Q
|f (x)|
p
dx

≤


n∈Z
d
f · T
n
χ
Q

p
∞


1/p
≤

n∈Z
d
f · T
n
χ
Q

∞
= f
W
.
Mệnh đề 1.2. Nếu f,
ˆ
f ∈ W(R
d
) thì công thức tổng Poisson (1.5) thỏa
mãn tại từng điểm với sự hội tụ là tuyệt đối ở cả hai vế.
Cho x, ω ∈ R
d
ta định nghĩa các toán tử:
T
x
f (t) = f (t −x)
M
ω
f (t) = e
2πiωt

f (t) .
1.3 Giải tích thời gian- tần số
Mặc dù biến đổi Fourier có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác
nhau, nhưng nó lại trở nên không thực sự thỏa đáng khi cần phân tích địa
phương kết hợp cả miền thời gian và miền tần số của tín hiệu là cần thiết
để đạt được sự phân tích thời gian – tần số của tín hiệu, bởi muốn biết
14
thông tin về tần số của tín hiệu cần biết toàn bộ thông tin của tín hiệu
đó, điều này là bất hợp lý bởi những tín hiệu thời gian thực, chẳng hạn là
bản nhạc đang được chơi, hình ảnh đang được chiếu, Khắc phục nhược
điểm này thì cần làm thế nào để chúng ta có một cửa sổ thời gian thực soi
được tần số của tín hiệu. Đây chính là nội dung của giải tích thời gian -
tần số.
1.3.1 Hàm cửa sổ
Định nghĩa 1.7. Ta gọi hàm ϕ ∈ L
2
(R
n
) triệt tiêu bên ngoài một khoảng
hữu hạn là hàm cửa sổ.
Giả sử φ (t) ∈ L
2
(R) là một hàm cửa sổ giá trị thực. Khi đó ta có
tích f (t) φ (t −b) =: f
b
(t) sẽ chứa đựng thông tin của f (t) gần t = b.
Đặc biệt nếu φ (t) = χ
[−τ,τ)
(t) thì:
f

b
(t) =

f (t) , t ∈ [b − τ, b + τ)
0, t /∈ [b −τ, b + τ)
(1.6)
Bằng cách thay đổi tham số b chúng ta có thể trượt hàm cửa sổ theo
trục thời gian để phân tích dáng điệu địa phương của hàm f (t) trong các
khoảng khác nhau.
Hai tham số quan trọng nhất của một hàm cửa sổ là tâm và chiều rộng
của nó. Với một hàm cửa sổ tổng quát φ (t) , chúng ta định nghĩa tâm t
∗
của nó như sau:
t
∗
:=
1
φ
2

∞
−∞
t|φ (t)|
2
dt (1.7)
Và căn bậc hai bán kính (RMS) ∆
φ
như sau:
∆
φ

:=
1
φ


∞
−∞
(t − t
∗
)
2
|φ (t)|
2
dt

1/2
(1.8)
Hàm φ (t) mô tả ở trên với ∆
φ
hữu hạn được gọi là một cửa sổ thời gian.
Tương tự chúng ta cũng có một cửa sổ tần số

φ (ω) với tâm ω
∗
và bán
kính RMS ∆

φ
định nghĩa tương tự (1.7) và (1.8) như sau:
ω

∗
:=
1




φ



2

∞
−∞
ω




φ (ω)



2
dω (1.9)
15
Với hàm Gauss
g
α

(t) =
1
2πα
e
−t
2
/
4α
, α > 0. (1.10)
như hàm cửa sổ. Biến đổi Fourier của (1.10) là

g
α
(ω) = e
−αω
2
, α > 0.
Với hàm cửa sổ g
α
(t), ta có t
∗
= ω
∗
= 0, ∆
g
α
=
√
α và ∆


g
α
=
1
2
√
α.
Chú ý rằng ∆
g
α
∆

g
α
=
1
2
đạt được cận dưới theo nguyên lý không chắc
chắn.
Định nghĩa 1.8. Cố định một hàm cửa sổ g = 0, khi đó biến đổi Fourier
thời gian ngắn của hàm f đối với g, kí hiệu V
g
f được định nghĩa như sau
V
g
f (x, ω) =

R
n
f (t) g (t − x)e

−2πitω
dt, ∀x, ω ∈ R
n
. (1.11)
Nhận xét 1.1.
1. Nếu g có giá compact với tâm của giá đặt tại gốc, thì V
g
f (x, ·) là biến
đổi Fourier của f trên một đoạn với tâm là x. Khi x biến thiên, cửa sổ
trượt dọc theo trục x đến những vị trí khác nhau. Do đó biến đổi Fourier
thời gian ngắn được gọi là " Biến đổi cửa sổ trượt". Với một vài ứng dụng,
V
g
f (x, ω) có thể coi như là công cụ đo biên độ của dải tần số gần ω tại
thời điểm x. Theo nghĩa này V
g
f (x, ·) là phép đo phổ tần số tức thời tại
x mà biến đổi Fourier không thể có được.
2. Biến đổi Fourier thời gian ngắn là tuyến tính theo f và tuyến tính liên
hợp theo g. Thông thường hàm cửa sổ g được giữ cố định, và V
g
f được
xem như là một ánh xạ tuyến tính từ các hàm xác định trên R
n
tới các
hàm trên R
2n
. Rõ ràng hàm V
g
f và các tính chất của ánh xạ f → V

g
f phụ
thuộc chủ yếu vào việc chọn cửa sổ g.
Bổ đề 1.1. Nếu f, g ∈ L
2
(R
n
) thì V
g
f là liên tục đều trên R
2n
và
V
g
f (x, ω) = (f.T
x
g)(ω) (1.12)
= f, M
ω
T
x
g (1.13)
=


f, T
ω
M
−x


g

(1.14)
= e
−2πixω


f.T
ω

g

(−x) (1.15)
16
= e
−2πixω
V

g

f (ω, −x) (1.16)
= e
−2πixω
(f ∗ M
ω
g
∗
) (x) (1.17)
=



f ∗ M
−x

g
∗

(ω) (1.18)
= e
−πixω

R
n
f

t +
x
2

g

t −
x
2

e
−πitω
dt, (1.19)
trong đó g
∗

(x) = g (−x).
1.3.2 Cửa sổ thời gian - tần số của biến đổi Fourier thời gian
ngắn
Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) của hàm f (t) đối với cửa sổ
φ (t) biểu thị ở vị trí (b, ξ) trong mặt phẳng thời gian- tần số như sau :
G
φ
f (b, ξ) := V
φ
f (b, ξ)

∞
−∞
f(t)φ
b,ξ
(t)dt. (1.20)
Ở đây φ
b,ξ
(t) := φ (t − b) e
jξt
.
Nếu t
∗
là tâm và ∆
φ
là bán kính của hàm cửa sổ, thì (1.20) đưa đến
thông tin về hàm f (t) trong cửa sổ thời gian :
[t
∗
+ b −∆

φ
, t
∗
+ b + ∆
φ
] . (1.21)
Để có được các cửa sổ tương ứng trong miền tần số, áp dụng đẳng thức
Parseval
f (t) , g (t) =
1
2π


f (ω) ,

g (ω)

(1.22)
cho (1.20) ta có :
G
φ
f (b, ξ) =

∞
−∞
f(t)φ (t −b)e
−jξt
dt
=
1

2π
e
−jξb

∞
−∞

f(ω)

φ (ω −ξ)e
jbω
dω
= e
−jξb


f(ω)

φ (ω −ξ)

(1.23)
17
1.4 Khung Gabor
1.4.1 Lý thuyết khung
Định nghĩa 1.9. Một dãy {e
j
: j ∈ J} trong không gian Hilbert H được
gọi là một khung nếu tồn tại các số A, B > 0 sao cho với mọi f ∈ H
Af
2

≤

j∈J
|f, e
j
|
2
≤ Bf
2
(1.24)
Các hằng số A, B gọi là các cận khung. Nếu A = B thì (1.24) trở thành
đẳng thức và khung được gọi là khung chặt.
Nhận xét 1.2. Một khung là cơ sở trực giao khi và chỉ khi A = B = 1.
Định nghĩa 1.10. Đối với bất kỳ tập con {e
j
: j ∈ J} ⊆ H. Toán tử hệ
số hay toán tử phân tích C được cho bởi:
Cf = {f, e
j
 : j ∈ J}
Toán tử tổng hợp hoặc toán tử tái tạo D được xác định đối với dãy hữu
hạn c = (c
j
)
j∈J
bởi:
Dc =

j∈J
c

j
e
j
∈H.
Và toán tử khung S được định nghĩa trên H bởi:
Sf =

j∈J
f, e
j
e
j
.
Định lí 1.2. Giả sử rằng {e
j
: j ∈ J} là một khung của H. Khi đó
(a) C là một toán tử bị chặn từ H vào 
2
(J) với miền đóng.
(b) Các toán tử C và D là liên hợp với nhau, nghĩa là D = C
∗
. Do đó
D thác triển đến một toán tử bị chặn từ 
2
(J) vào H và thỏa mãn:








j∈J
c
j
e
j






≤ B
1/2
c
2
.
(c) Toán tử khung S = C
∗
C = DD
∗
ánh xạ H lên H và là toán tử dương
khả nghịch thỏa mãn AI
H
≤ S ≤ BI
H
và B
−1
I

H
≤ S
−1
≤ A
−1
I
H
.
Đặc biệt {e
j
: j ∈ J} là một khung chặt khi và chỉ khi S = AI
H
.
18
(d) Cận khung tối ưu là B
opt
= S
op
và A
opt
=


S
−1


−1
op
.

Chứng minh.
(a) Khẳng định này tương đương với bất đẳng thức khung (1.24).
(b) Giả sử c = (c
j
)
j∈J
là một chuỗi hữu hạn. Ta có
C
∗
c, f = c, Cf =

j∈J
c
j
f, e
j
 =


j∈J
c
j
e
j
, f

= Dc, f.
Từ C là bị chặn trên H và ta có toán tử chuẩn C
op
≤ B

1/2
của (1.24),
theo đó D = C
∗
: 
2
(J) → H cũng bị chặn với cùng toán tử chuẩn. vì vậy
có (b)
(c) Rõ ràng là các toán tử khung S = C
∗
C = DD
∗
và do đó S là tự liên
hợp và dương. Từ
Sf, f =

j∈J
|f, e
j
|
2
bất đẳng thức toán tử AI ≤ S ≤ BI chỉ là viết lại (1.24). S là khả nghịch
trên H vì các bất đẳng thức được bảo toàn theo phép nhân với các toán
tử dương giao hoán, do đó AS
−1
≤ SS
−1
≤ BS
−1
như đã cho.

(d) Theo đó các bất đẳng thức khung (1.24) và thực tế là toán tử chuẩn
của toán tử dương được xác định bởi S
op
= sup {Sf, f : f ≤ 1}.
Chứng minh cho A
opt
là tương tự.
Hệ quả 1.2. Giả sử {e
j
: j ∈ J} là một khung trên H. Nếu f =

j∈J
c
j
e
j
đối với c ∈ 
2
(J) nào đó, thì với mọi  > 0 tồn tại một tập con hữu hạn
F
0
= F
0
() ⊆ J sao cho







f −

j∈F
c
j
e
j






<  (1.25)
với mọi tập con hữu hạn F ⊇ F
0
. Ta nói rằng các chuỗi

j∈J
c
j
e
j
hội tụ
tuyệt đối tới f ∈ H.
Chứng minh. Chọn F
0
⊆ J sao cho

j /∈F

|c
j
|
2
< 

B
1/2
với F ⊇ F
0
.
Giả sử c
F
= c.χ
F
∈ 
2
(J) là dãy hữu hạn với các điều kiện c
F,j
= c
j
nếu
19
j ∈ F và c
F,j
= 0 nếu j /∈ F. Khi đó

j∈F
c
j

e
j
= Dc
F
và :






f −

j∈F
c
j
e
j






= Dc − Dc
F
 = D (c − c
F
) ≤ B
1/2

c − c
F

2
< .
Hội tụ tuyệt đối là khái niệm quan trọng nhất của hội tụ cho các chuỗi
không trực giao tổng quát.
Hệ quả 1.3. Nếu {e
j
: j ∈ J} là một khung với cận khung A, B > 0 thì

S
−1
e
j
: j ∈ J

là một khung với cận khung B
−1
, A
−1
> 0 và gọi là khung
đối ngẫu. Mọi f ∈ H có khai triển không trực giao :
f =

j∈J

f, S
−1
e

j

e
j
(1.26)
và
f =

j∈J
f, e
j
S
−1
e
j
(1.27)
Ở đây các tổng đều hội tụ tuyệt đối trong H.
Chứng minh. Ta có:

j∈J



f, S
−1
e
j




2
=

j∈J



S
−1
f, e
j



2
=

S

S
−1
f

, S
−1
f

=

S

−1
f, f

.
Định lý 1.2 (c) cho ta :
B
−1
f
2
≤

S
−1
f, f

=

j∈J



f, S
−1
e
j



2
≤ A

−1
f
2
.
Vì vậy hệ

S
−1
e
j
: j ∈ J

là một khung với các cận khung B
−1
và A
−1
.
Sử dung đẳng thức I
H
= S
−1
S = SS
−1
chúng ta có được chuỗi mở rộng:
f = S

S
−1
f


=

j∈J

S
−1
f, e
j

e
j
=

j∈J

f, S
−1
e
j

e
j
.
Và
f = S
−1
Sf =

j∈J
f, e

j
S
−1
e
j
. Bởi vì {f, e
j
} và

f, S
−1
e
j

đều nằm trong 
2
(J), đều hội tụ tuyệt
đối bởi hệ quả 1.2.
20
Định lí 1.3. Nếu {e
j
: j ∈ J} là một khung của H và f =

j∈J
c
j
e
j
với
hệ số c ∈ 

2
(J) nào đó, thì

j∈J
|c
j
|
2
≥

j∈J



f, S
−1
e
j



2
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
c
j
=

f, S
−1

e
j

Với mọi j ∈ J.
Chứng minh. Kí hiệu a
j
=

f, S
−1
e
j

ta có f =

j
a
j
e
j
và

f, S
−1
f

=

j∈J
a

j

e
j
, S
−1
f

=

j∈J
|a
j
|
2
.
Mặt khác :

f, S
−1
f

=

j
c
j

e
j

, S
−1
f

=

j
c
j
a
j
= c, a.
Vì vậy a
2
2
= c, a, ta thấy rằng :
c
2
2
= c − a + a
2
2
= c − a
2
2
+ a
2
2
+ c −a, a+ a, c − a
= c − a

2
2
+ a
2
2
≥ a
2
2
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c = a.
Định lí 1.4. Giả sử rằng {e
j
: j ∈ J} là một khung của H. Khi đó các
điều kiện sau là tương đương
(i) Các hệ số c ∈ 
2
(J) trong chuỗi (1.26) là duy nhất.
(ii) Toán tử phân tích C ánh xạ lên 
2
(J).
(iii) Tồn tại các hằng số A

, B

> 0 sao cho bất đẳng thức
A

c
2
≤








j∈J
c
j
e
j






≤ B

c
2
(1.28)
Xảy ra cho tất cả các chuỗi hữu hạn c = (c
j
)
j∈J
.
(iv) {e
j

: j ∈ J} là ảnh của một cơ sở trực giao {g
j
: j ∈ J} dưới một
toán tử khả nghịch T ∈ B (H).
21
(v) Ma trận Gram G được cho bởi G
jm
= e
m
, e
j
, m, j ∈ J xác định một
toán tử dương khả nghịch trên 
2
(J).
Định nghĩa 1.11. Một khung thỏa mãn các điều kiện của định lý 1.4
được gọi là một cơ sở Riesz của H.
Bổ đề 1.2. (a) Nếu {e
j
: j ∈ J} là một khung chặt của H với cận khung
A =B =1 và nếu e
j
 = 1 với mọi j ∈ J thì {e
j
} là một cơ sở trực
chuẩn.
(b) Nếu {e
j
} là một khung, thì


S
−1/2
e
j

là một khung chặt với cận khung
là A = B = 1.
(c) Nếu {e
j
} là một khung thì toán tử khung nghịch đảo S
−1
xác định bởi
:
S
−1
f =

j∈J

f, S
−1
e
j

S
−1
e
j
(1.29)
Do đó S

−1
là toán tử khung với khung đối ngẫu

S
−1
e
j
: j ∈ J

.
Chứng minh.
(a) Do (1.24) ta có :
1 = e
m

2
=

j∈J
|e
m
, e
j
|
2
= 1+

j=m
|e
m

, e
j
|
2
,
Vì vậy e
m
, e
j
 = δ
jm
.
(b) Chú ý S là toán tử dương vì vậy toán tử S
−1/2
xác định và dương.Ta
viết f như sau :
f = S
−1/2
S

S
−1/2
f

=

j∈J

f, S
−1/2

e
j

S
−1/2
e
j
Ta thu được f, f =

j∈J



f, S
−1/2
e
j



2
. Do đó

S
−1/2
e
j
: j ∈ J

là khung chặt. Các véc tơ S

−1/2
e
j
nói chung không chuẩn hóa. Do đó

S
−1/2
e
j

không cần thiết phải là cơ sở trực giao.
(c) Có được từ :
S
−1
f = S
−1
S

S
−1
f

=

j∈J

f, S
−1
e
j


S
−1
e
j
.
22
1.4.2 Khung Gabor
Định nghĩa 1.12. Cho một hàm cửa sổ khác không g ∈ L
2

R
d

và các
hệ số α, β > 0, tập các hàm dịch chuyển thời gian tần số
G (g, α, β) =

T
αk
M
βn
g : k, n ∈ R
d

Được gọi là một hệ Gabor. Nếu G(g, α, β) là một khung trong L
2

R
d


,
thì nó được gọi là một khung Gabor hoặc khung Weyl - Heisenberg. Toán
tử khung liên kết, hay toán tử khung Gabor, có dạng:
Sf =

k,n∈Z
d

f, T
αk
M
βn
gT
αk
M
βn
g
=

k,n∈Z
d

V
g
f(αk, βn)M
βn
T
αk
g

(1.30)
Chúng ta viết S
α,β
g,g
hoặc S
g,g
cần thiết để nhấn mạnh sự phụ thuộc của
toán tử khung vào g, α, β.
Một vấn đề quan tâm đầu tiên là cấu trúc khung đối ngẫu của khung
Gabor.
Định lí 1.5. Nếu G (γ, α, β) là một khung của L
2

R
d

thì có một cửa sổ
đối ngẫu γ ∈ L
2

R
d

, sao cho khung đối ngẫu của G (g, α, β) là G (γ, α, β).
Do đó, mỗi f ∈ L
2

R
d


có biểu diễn:
f =

k∈Z
d

n∈Z
d
f, T
αk
M
βn
gT
αk
M
βn
γ (1.31)
=

k∈Z
d

n∈Z
d
f, T
αk
M
βn
γT
αk

M
βn
g. (1.32)
hội tụ không điều kiện trong L
2

R
d

. Hơn nữa,
A f
2
2
≤

k∈Z
d

n∈Z
d
|V
g
f(αk, βn)|
2
≤ B f
2
2
.
B
−1

f
2
2
≤

k∈Z
d

n∈Z
d
|f, T
αk
M
βn
γ|
2
≤ A
−1
f
2
2
.
Chứng minh. Toán tử khung Gabor S = S
α,β
g,g
giao hoán với các chuyển
mạch thời gian tần số T
αk
M
βn

. Do đó, với f ∈ L
2

R
d

và r, s ∈ Z
d
,
(T
αr
M
βs
)
−1
ST
αr
M
βs
f =

k,n∈ Z
d
T
αr
M
βs
f, T
αk
M

βn
g(T
αr
M
βs
)
−1
T
αk
M
βn
g
(1.33)
23
Bởi T
x
M
ω
= e
−2πix.ω
M
ω
T
x
, ta có:
(T
αr
.M
βs
)

−1
(T
αk
.M
βn
) = e
−2πiαβ(k−r)s
T
α(k−r)
M
β(n−s)
.
Các yếu tố pha e
2πiαβ(k−r)s
được giản ước trong (1.33) và bằng phép đổi
chỉ số, ta có được:
(T
αr
M
βs
)
−1
ST
αr
M
βs
f (1.34)
=

k∈Z

d

n∈Z
d

f, T
α(k−r)
M
β(n−s)
g

T
α(k−r)
M
β(n−s)
g = Sf
Do vậy S
−1
giao hoán với T
αr
M
βs
và các khung đối ngẫu gồm các hàm
S
−1
(T
αk
M
βn
g) = T

αk
M
βn
S
−1
g
Vì vậy chúng ta có thể lấy γ = S
−1
g như cửa sổ đối ngẫu.
Hệ quả 1.4. Nếu G (g, α, β) là một khung trong L
2

R
d

với cửa sổ đối
ngẫu γ = S
−1
g ∈ L
2

R
d

thì toán tử khung nghịch đảo được cho bởi
S
−1
g,g
f = S
γ,γ

f =

k∈Z
d

n∈Z
d
f, T
αk
M
βn
γT
αk
M
βn
γ (1.35)
Chứng minh. Kết hợp Bổ đề 1.2 và Định lý 1.5 ta có ngay điều phải chứng
minh.
Định lý 1.5 cung cấp một biểu diễn thời gian- tần số rời rạc của các tín
hiệu. Nếu G (g, α, β) là một khung thì cả hai công thức (1.31) và (1.32)
trong Định lý 1.5 là phiên bản rời rạc của công thức đảo cho các STFT:
f =
1
(γ, g)

R
2d

V
g

f (x, ω)M
ω
T
xγ
dωdx (1.36)
Ngoài ra công thức (1.32) trong định lý 1.5 cung cấp một khai triển Gabor
của f với các tập phù hợp với các hệ số được đưa ra bởi c
kn
= f, T
αk
M
βn
γ.
Chuỗi (1.31) trong định lý 1.5 viết lại như sau:
f =

k∈Z
d

n∈Z
d
V
g
f (αk, βn)M
βn
T
αk
γ (1.37)
Đây là một tái thiết lập của f từ các mẫu STFT của nó.
Chương 2

Biến đổi Zak
2.1 Định nghĩa và một số tính chất
Định nghĩa 2.1. Biến đổi Zak, ký hiệu Z của một dãy {f (n)} là hàm
F (z) của biến phức z được xác định bởi
Z{f(n)} = F(z) =
∞

n=0
f(n)z
−n
. (2.1)
Như vậy, Z là một biến đổi tuyến tính và có thể được coi như là toán
tử ánh xạ dãy vô hướng thành hàm của biến phức z. Giả sử tồn tại một
R mà (2.1)hội tụ khi |z| > R. Vì |z| = |exp (sT )|= |exp (σ + iµ) T| =
|exp (σT )|, suy ra rằng với σ < 0 (có nghĩa là, trong nửa bên trái của mặt
phẳng phức s), |z| < 1 nửa bên trái của mặt phẳng tương ứng với phần
trong của hình tròn đơn vị trong mặt phẳng phức z. Tương tự như vậy,
nửa bên phải của mặt phẳng s tương ứng với bên ngoài (|z| > 1) của hình
tròn đơn vị trong mặt phẳng z và σ = 0 trong mặt phẳng s tương ứng với
vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z .
Mệnh đề 2.1. Nghịch đảo biến đổi Z được cho bởi tích phân phức
Z
−1
{F (n) } =f(n) =
1
2πi

C
F (z)z
n−1

dz, (2.2)
trong đó C là một chu tuyến chứa gốc và nằm ngoài đường tròn |z| = R.
24
25
Chứng minh. Xét
F (z) =
∞

n=0
f(n)z
−n
= f(0) + f(1)z
−1
+ f(2)z
−2
+ + f(n)z
−n
+ f(n + 1)z
−(n+1)
+
Nhân cả hai vế của biểu thức với (2πi)
−1
z
n−1
và lấy tích phân dọc theo
chu trình C khép kín, bao gồm tất cả các điểm kỳ dị của F (z), chúng ta
thu được
1
2πi


C
F (z)z
n−1
dz =
1
2πi

C
f(0)z
n−1
dz +

C
f(1)z
n−2
dz
+ +

C
f(n)z
−1
dz +

C
f(n + 1)z
−2
dz +
Theo định lý Cauchy cơ bản tất cả các tích phân bên phải biến mất trừ
1
2πi


C
f(n)
dz
z
= f(n).
Suy ra
Z
−1
{F (z)} = f(n) =
1
2πi

C
F (z)z
n−1
dz.
Tương tự ta có thể xác định biến đổi Z hai phía bởi
Z {f (n)} = F (z) =
∞

n=−∞
f(n)z
−n
(2.3)
với tất cả các số phức z mà chuỗi (2.3) hội tụ. Biến đổi này thành biến
đổi Z một phía Z{f(n)} = F(z) =
∞

n=0

f(n)z
−n
nếu f (n) = 0 với n < 0.
Biến đổi Z ngược ở (2.3) có công thức tương tự như (2.2).
Thế z = re
iθ
trong (2.3) với r = 1 ta có
F {f (n)} = F (θ) =
∞

n=−∞
f(n)e
−inθ
(2.4)
Công thức (2.4) chính là biến đổi Fourier của chuỗi {f(n)}
∞
−∞
.