Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
VŨ THỊ HỒNG NHUNG
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN
TỬ h - CỰC TRỊ TÁC DỤNG
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
THỰC VỚI HAI NÓN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI-2014
Lời cảm ơn
Để hoàn thành luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới
thầy hướng dẫn PGS.TS, GVCC Nguyễn Phụ Hy - người thầy đã trực
tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình thực hiện
đề tài nghiên cứu.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô phòng Sau đại học Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2; các thầy, cô giáo dạy chuyên ngành toán giải
tích đã tận tình giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận
văn tốt nghiệp.
Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và người thân vì đã
luôn ủng hộ, động viên và tạo điều kiện cho em học tập, nghiên cứu,
hoàn thành luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội,tháng 8 - 2014
Học viên
Vũ Thị Hồng Nhung
1
Lời cam đoan
Luận văn tốt nghiệp: “Điểm bất động của toán tử h - cực trị

tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón” được hoàn
thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy giáo PGS.TS,
GVCC Nguyễn Phụ Hy.
Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không
trùng với bất kỳ kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác.
Hà Nội,tháng 8 - 2014
Học viên
Vũ Thị Hồng Nhung
2
Mục lục
Lời cảm ơn 1
Lời cam đoan 2
Mở đầu 5
1 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 8
1.1 Không gian Banach thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . . . . . 12
1.2.1 Định nghĩa nón và các tính chất . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực 18
1.2.3 Phần tử u
0
- đo được và không gian E
u
0
. . . . . 19
1.2.4 Phần tử thông ước và tập K
u
0
. . . . . . . . . . . 26
1.3 Không gian L
p

(p > 1) nửa sắp thứ tự . . . . . . . . . . . 28
1.3.1 Không gian tuyến tính thực L
p
. . . . . . . . . . 28
1.3.2 Không gian Banach L
p
. . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.3 Quan hệ thứ tự trong không gian L
p
. . . . . . . 34
1.3.4 Phần tử u
0
- đo được và không gian E
u
0
trong
không gian L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.5 Phần tử thông ước và tập K(u
0
) trong không gian
L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Toán tử h - cực trị trong không gian Banach thực nửa
3
sắp thứ tự với hai nón 38
2.1 Toán tử (K, u
0

) - Lõm chính qui . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.1 Định nghĩa và tính chất đơn giản . . . . . . . . . 38
2.1.2 Toán tử (K, u
0
) - Lõm chính qui trong không gian
L
p
với hai nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2 Toán tử h - cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.1 Định nghĩa và tính chất đơn giản . . . . . . . . . 46
2.2.2 Toán tử h cực trị trong không gian L
p
(p > 1) với
hai nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Sự tồn tại điểm bất động của toán tử h cực trị trong
không gian Banach thực với hai nón 52
3.1 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Kết luận 59
Tài liệu tham khảo 61
4
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của bộ môn giải
tích hàm phi tuyến, chính vì thế ngay từ đầu thế kỷ 20 các nhà toán
học trên thế giới đã rất quan tâm và phát triển nó hết sức sâu rộng và
trở thành công cụ để giải quyết nhiều bài toán do thực tế đặt ra.
Năm 1956 nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnoxelxki đã nghiên
cứu lớp toán tử phi tuyến: Toán tử lõm tác dụng trong không gian
Banach thực với một nón cố định. Năm 1962 ông mở rộng cho toán tử

lõm tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định, trong
đó một nón là tập con của nón kia [9].
Sau đó GS-TSKH I.A.Bkhatin đã mở rộng các kết quả trong công
trình [9] cho lớp toán tử phi tuyến (K, u
0
) - lõm lần lượt tác dụng trong
không gian Banach thực với một nón cố định và trong không gian Banach
thực với hai nón cố định giao nhau khác rỗng [10].
Các lớp toán tử được các nhà bác học Kraxnoxelxki và Bakhtin nghiên
cứu đều có tính chất u
0
- đo được.
Năm 1987 và những năm tiếp theo 2012, 2013 PSG-TS Nguyễn Phụ
Hy mở rộng các kết quả đối với lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi
tuyến mới: Toán tử lõm chính quy, trong đó không yêu cầu toán tử có
5
tính chất u
0
- đo được và toán tử tác dụng trong không gian Banach
thực nửa sắp thứ tự với một nón cố định [1,2,5,6].
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ
sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Thầy giáo, PGS-TS-GVCC Nguyễn
Phụ Hy, tôi đã mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "Điểm bất động
của toán tử h - cực trị tác dụng trong không gian Banach thực
với hai nón", trong đó toán tử được xét vừa có tính chất (K, u
0
) - lõm
chính qui vừa có tính chất h - cực trị, còn trong [7] toán tử được xét có
tính chất lõm chính qui và h - cực trị tác dụng trong không gian với một
nón cố định.

2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về điểm bất động của toán tử
h - cực trị tác dụng trong không gian Banach với hai nón cố định, trong
đó không yêu cầu toán tử có tính chất u
0
- đo được.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về không gian Banach nửa sắp thứ tự.
- Tìm hiểu về toán tử h - cực trị trong không gian Banach nửa sắp
thứ tự với hai nón.
- Tìm hiểu về sự tồn tại điểm bất động của toán tử h - cực trị trong
không gian Banach nửa sắp thứ tự với hai nón.
4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về
toán tử h - cực trị, điểm bất động của toán tử h - cực trị trong không
6
gian Banach với hai nón.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong nước và nước
ngoài liên quan đến điểm bất động của toán tử h - cực trị trong không
gian Banach thực với hai nón.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập tài liệu và các bài báo liên quan đến điểm bất động của
toán tử h - cực trị trong không gian Banach thực với hai nón.
- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.
- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
6. Những đóng góp của đề tài
Trình bày một hệ thống những kiến thức về không gian Banach nửa
sắp thứ tự, một số tính chất về điểm bất động và sự tồn tại điểm bất
động của toán tử h - cực trị trong không gian Banach thực nửa sắp thứ
tự với hai nón, các kết quả thu được có thể mở rộng một số lớp toán tử

khác. Áp dụng các kết quả đạt được trong không gian Banach thực tổng
quát vào không gian Banach thực L
p
(p > 1). Luận văn có thể sử dụng
làm tài liệu cho những vấn đề toán học tương tự khác.
7
Chương 1
Không gian Banach thực nửa sắp
thứ tự
1.1 Không gian Banach thực
Định nghĩa 1.1.1
Cho không gian tuyến tính thực E. Một chuẩn trên E là một ánh xạ
từ E vào tập hợp số thực R, kí hiệu là  .  (đọc là chuẩn), thỏa mãn
các tiên đề sau:
C
1
: ∀x ∈ E,  x ≥ 0,  x = 0 ⇔ x = θ
(θ là kí hiệu phần tử không của không gian E);
C
2
: ∀x ∈ E, ∀α ∈ R,  αx = |α|.  x ;
C
3
: ∀x, y ∈ E,  x + y ≤ x  +  y  .
Không gian tuyến tính thực E cùng với một chuẩn trên đó được gọi là
một không gian định chuẩn thực, kí hiệu (E,  . ) hay đơn giản là E
(nếu chuẩn đã rõ). Số  x  được gọi là chuẩn của phần tử x ∈ E.
Ví dụ 1.1.1
Xét không gian tuyến tính thực
R

n
= {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) : x
i
∈ R, i = 1, , n}, n ∈ N
∗
.
8
Với bất kỳ x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
ta đặt
 x =




n

i=1

x
2
i
. (1.1)
Ta sẽ chỉ ra công thức (1.1) cho một chuẩn trên R
n
. Thật vậy:
+) ∀x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
ta có:
 x =




n

i=1
x
2
i
≥ 0,
 x = 0 ⇔





n

i=1
x
2
i
= 0 ⇔
n

i=1
x
2
i
= 0
⇔ x
i
= 0 ∀i = 1, , n ⇔ x = θ;
+) ∀x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, ∀α ∈ R ta có:
 αx =





n

i=1
α
2
x
2
i
=




α
2
n

i=1
x
2
i
= |α|





n

i=1
x
2
i
= |α|.  x ;
+) ∀x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, ∀y = (y
1
, y
2
, , y
n
) ∈ R
n
ta có:
 x + y 
2
=
n

i=1

(x
i
+ y
i
)
2
=
n

i=1
x
2
i
+ 2
n

i=1
x
i
y
i
+
n

i=1
y
2
i
≤


n

i=1
x
2
i
+ 2




n

i=1
x
2
i
.




n

i=1
y
2
i
+
n


i=1
y
2
i

=





n

i=1
x
2
i
+




n

i=1
y
2
i


2
= ( x  +  y )
2
.
⇒ x + y ≤ x  +  y  ∀x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, ∀y =
(y
1
, y
2
, , y
n
) ∈ R
n
.
Vậy, công thức (1.1) là một chuẩn trên X.
Chuẩn (1.1) còn được gọi là chuẩn Eukleides, nên không gian tuyến tính
9
thực R
n
cùng với chuẩn (1.1) thường được gọi là không gian Eukleides
thực.
Định nghĩa 1.1.2

Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm {x
n
}
∞
n=1
⊂ E gọi là hội
tụ tới x ∈ E, nếu
lim
n→∞
 x
n
− x = 0
hay (∀ε > 0), (∀n
0
∈ N
∗
) sao cho (∀n ≥ n
0
) ta có  x
n
− x < ε,
kí hiệu
lim
n→∞
x
n
= x
hay x
n
→ x (n → ∞).

Định nghĩa 1.1.3.
Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm {x
n
}
∞
n=1
⊂ E gọi là dãy
cơ bản trong không gian E, nếu
lim
n,m→∞
 x
n
− x
m
= 0
hay (∀ε > 0), (∃n
0
∈ N
∗
) sao cho (∀n, m ≥ n
0
) ta có  x
n
− x
m
< ε.
Định nghĩa 1.1.4
Không gian định chuẩn E gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy
cơ bản trong E đều hội tụ.
Ví dụ 1.1.2

Không gian Eukleides R
n
, n ≥ 2 là không gian Banach (đối với
chuẩn
 x =




n

i=1
|x
i
|
2
.
+) Trước hết, ta sẽ chứng minh sự hội tụ của một dãy điểm trong không
gian R tương đương với sự hội tụ theo tọa độ.
Thật vậy, giả sử điểm x
(m)
= (x
(m)
1
, x
(m)
2
, , x
(m)
n

), m = 1, 2, hội tụ
10
tới điểm x = (x
1
, x
2
, , x
n
) trong R
n
. Theo định nghĩa,
∀ε > 0, ∃m
0
∈ N
∗
: ∀m ≥ m
0
sao cho
 x
(m)
− x =




n

i=1
(x
(m)

i
− x
i
)
2
< ε.
Suy ra
|x
(m)
− x
i
| < ε, ∀m ≥ m
0
, ∀i = 1, 2, , n.
Chứng tỏ rằng với mỗi i = 1, , n dãy số thực cơ bản (x
(m)
i
) hội tụ tới
x
i
khi m → ∞. Sự hội tụ đó gọi là sự hội tụ theo tọa độ.
Ngược lại, giả sử dãy điểm x
(m)
= (x
(m)
1
, x
(m)
2
, , x

(m)
n
), m = 1, 2, hội
tụ theo tọa độ tới điểm x = (x
1
, x
2
, , x
n
) trong R
n
. Theo định nghĩa,
∀ε > 0, với mỗi i = 1, 2, , n, ∃m
i
, ∀m ≥ m
i
, |x
(m)
i
− x
i
| ≤
ε
√
n
.
Đặt m
0
= max{m
1

, m
2
, , m
n
} thì
∀m ≥ m
0
, |x
(m)
i
− x
i
| <
ε
√
n
∀i = 1, 2, , n.
⇒ (x
(m)
i
− x
i
)
2
≤
ε
2
n
∀i = 1, 2, , n.
⇒

n

i=1
(x
(m)
i
− x
i
)
2
< ε
2
∀m ≥ m
0
.
⇒




n

i=1
(x
(m)
i
− x
i
)
2

< ε ∀m ≥ m
0
hay  x
(m)
− x < ε ∀m ≥ m
0
.
Do đó dãy điểm đã cho hội tụ theo chuẩn của không gian R
n
.
Bây giờ ta sẽ chứng minh không gian R
n
là không gian Banach.
Thật vậy, giả sử x
(m)
= (x
(m)
1
, x
(m)
2
, , x
(m)
n
), m = 1, 2, , là dãy cơ bản
tùy ý trong không gian R
n
. Theo định nghĩa dãy cơ bản
∀ε > 0, ∃m
0

∈ N
∗
: ∀m, p ≥ m
0
,  x
(m)
− x
(p)
< ε
11
hay




n

i=1
(x
m
i
− x
p
i
)
2
< ε ⇒ |x
m
i
− x

p
i
| < ε ∀m, p ≥ m
0
∀i = 1, 2, , n.
Các bất đẳng thức này chứng tỏ với mỗi i = 1, 2, , n dãy (x
(m)
i
) là dãy
số thực cơ bản, nên tồn tại giới hạn
lim
m→∞
x
(m)
i
= x
i
(i = 1, , n).
Đặt x = (x
1
, , x
n
) thì dãy (x
(m)
) ⊂ R
n
đã hội tụ theo tọa độ tới x,
nghĩa là dãy cơ bản đã cho hội tụ tới x trong không gian R
n
.

Vậy không gian R
n
là không gian Banach.
1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
1.2.1 Định nghĩa nón và các tính chất
Định nghĩa 1.2.1
Giả sử E là không gian Banach thực, K là tập con khác rỗng của
không gian E. Tập con K được gọi là nón, nếu tập K thỏa mãn các điệu
kiện sau
N
1
: K là tập đóng trong không gian E;
N
2
: Với x, y ∈ K ta có x + y ∈ K;
N
3
: Với x ∈ K, α ∈ R
+
ta có αx ∈ K;
N
4
: Với x ∈ K, và x = θ ta có −x /∈ K, (θ là kí hiệu phần tử
không của không gian E).
Định lý 1.2.1
K là một tập lồi
Chứng minh
∀x, y ∈ K, ∀t ∈ [0; 1] ⊂ R có
tx ∈ K, 1 − t ≥ 0, nên (1 −t)y ∈ K.
12

Do đó tx + (1 − t)y ∈ K.

Định lý 1.2.2
Giả sử F là một tập con khác rỗng trong không gian E. Nếu F
có các tính chất bị chặn, đóng, lồi và không chứa phần tử θ thì tập
K(F ) = {x ∈ E, x = tz, t ∈ R
+
, z ∈ F } là một nón.
Chứng minh
Rõ ràng F ⊂ K(F) nên K(F ) = ∅.
Từ giả thiết về tập F , ta luôn tìm được hai số dương m, M (m ≤ M)
sao cho
∀z ∈ F, m ≤ z ≤ M, ∀z ∈ F. (1.2)
Thật vậy bất đẳng thức thứ hai trong (1.2) nhận được từ tính bị chặn
của F.
Bất đẳng thức thứ nhất sẽ chứng minh như sau.
Nếu
inf
z∈F
 z = 0,
thì tồn tại một dãy
{z
n
}
∞
n=1
⊂ F, lim
n→∞
 z
n

= 0
hay
lim
n→∞
z
n
= θ trong E.
Khi đó ta có θ ∈ F ( do F đóng), trái với giả thiết F không chứa phần
tử không.
Vậy  z ≥ inf  z = m > 0, ∀z ∈ F.
và ta có bất đẳng thức thứ nhất trong (1.6).
Chứng minh K(F ) là một nón ta thực hiện các bước:
Ta chứng minh K(F ) là một tập đóng.
Lấy một dãy bất kỳ {u
n
}
∞
n=1
⊂ K(F ) sao cho
lim
n→∞
u
n
= u trong không gian E.
13
Hiển nhiên, nếu u = θ thì u = 0, z ∈ F , nên u ∈ K(F ). Giả sử u = θ.
Theo định nghĩa giới hạn, với
(ε =
1
2

 u > 0), (∃n
0
∈ N
∗
) sao cho ∀n ≥ n
0
,
 u
n
− u <
1
2
 u  .
Khi đó
|  u
n
 −  u  | ≤ u
n
− u <
1
2
 u ,
nên
1
2
 u ≤ u
n
<
3
2

 u , ∀n ≥ n
0
. (1.3)
Mặt khác, do u
n
∈ K(F ), nên u
n
= t
n
z
n
, t
n
≥ 0, z
n
∈ F (n = 1, 2, ).
Theo (1.3)
1
2
 u < t
n
z
n
= t
n
 z
n
<
3
2

 u ,
nên từ (1.2) ta nhận được
1
2M
 u < t
n
<
3
2m
 u , ∀n ≥ n
0
.
Do đó, tồn tại một dãy con (t
n
i
)
∞
i=1
⊂ (t
n
)
∞
n=1
sao cho
lim
i=1→∞
t
n
i
= t

0
,
Rõ ràng
1
2M
 u ≤ t
0
≤
3
2m
 u , tức là t
0
> 0
Xét dãy con (z
n
i
)
∞
i=1
ta có
 z
n
i
−
1
t
0
u  =

z

n
i
−
t
n
i
t
0
z
n
i

+

t
n
i
t
0
z
n
i
−
1
t
0
u


≤

1
t
0
| t
n
i
− t
0
| z
n
i
 +
1
t
0
 u
n
i
− u 
≤
M
t
0
| t
n
i
− t
0
| +
1

t
0
 u
n
i
− u → 0 (i → ∞).
14
Vậy
lim
i→∞
 z
n
i
−
1
t
0
u = 0.
Do đó
1
t
0
u ∈ F và u = t
0
(
1
t
0
u) ∈ K(F ).
Chứng tỏ K(F ) là tập đóng.

Với mọi u, v thuộc K(F ), α, β ∈ R
+
bất kỳ. Giả sử u = t
1
z
1
, v = t
2
z
2
,
với t
1
, t
2
∈ R
+
, z
1
, z
2
∈ F . Khi đó, nếu có ít nhất một trong hai số t
1
, t
2
bằng 0 hoặc một trong hai số α, β bằng 0 thì hiển nhiên
αu + βv = αt
1
z
1

+ βt
2
z
2
∈ K(F ).
Do đó ta chỉ cần xét trường hợp α, β, t
1
, t
2
đều là các số dương.
Lúc đó
αu + βv = αt
1
z
1
+ βt
2
z
2
= (αt
1
+ βt
2
)

αt
1
αt
1
+ βt

2
z
1
+
βt
2
αt
1
+ βt
2
z
2

.
Vì F là tập lồi và
αt
1
αt
1
+ βt
2
> 0,
βt
2
αt
1
+ βt
2
> 0,
αt

1
αt
1
+ βt
2
+
βt
2
αt
1
+ βt
2
= 1, αt
1
+ βt
2
> 0,
nên
αt
1
αt
1
+ βt
2
z
1
+
βt
2
αt

1
+ βt
2
z
2
∈ F,
do đó αu + βv ∈ K(F).
Để chứng tỏ K(F ) thỏa mãn điều kiện 4) về nón ta chứng minh bằng
phương pháp phản chứng.
Giả sử tồn tại u
0
∈ K(F ) sao cho u
0
= θ và −u
0
∈ K(F ).
Khi đó u
0
= t
,
1
z
,
1
, trong đó t
,
1
> 0, z
,
1

∈ F và −u
0
= t
,
2
z
,
2
,
với t
,
2
> 0, z
,
2
∈ F . Do
θ = u
0
+ (−u
0
) = t
,
1
z
,
1
+ t
,
2
z

,
2
= (
t
,
1
t
,
1
+ t
,
2
z
,
1
+
t
,
2
t
,
1
+ t
,
2
z
,
2
)(t
,

1
+ t
,
2
) ∈ K(F ).
15
Từ hệ thức đó và từ F là tập lồi,
t
,
1
t
,
1
+ t
,
2
> 0,
t
,
2
t
,
1
+ t
,
2
> 0,
t
,
1

t
,
1
+ t
,
2
+
t
,
2
t
,
1
+ t
,
2
= 1,
suy ra
θ =
t
1
t
1
+ t
2
z
1
+
t
2

t
1
+ t
2
z
2
∈ F (do t
1
+ t
2
> 0),
trái với giả thiết F không chứa phần tử không.
Vậy K(F ) thỏa mãn điều kiện 4) về nón và ta có K(F) là một nón trong
E.

Ví dụ 1.2.1
Trong không gian Banach R
n
cho tập K = {x = (x
i
)
n
i=1
: x
i
∈ R
+
},
ta chứng minh K là một nón.
Thật vậy

+) Hiển nhiên, θ = (0, 0, , 0
  
n số
) ∈ K.
+) Ta chỉ ra K là một tập đóng
Trong K lấy tùy ý dãy x
(m)
tùy ý, x
(m)
= (x
(m)
i
) m = 1, 2, 3, , trong
đó x
(m)
i
∈ R
+
, ∀i = 1, 2, , n, ∀m và x
(m)
→ x khi m → ∞, x = (x
i
)
n
i=1
.
Ta sẽ chứng tỏ x ∈ K. Vì sự hội tụ trong không gian R
n
tương
dương với sự hội tụ theo tọa độ, nên từ x

(m)
→ x khi m → ∞ ta có
x
(m)
i
→ x
i
khi m → ∞ và ∀i = 1, 2, , n. Nhưng vì mỗi i = 1, 2, , n ta
có x
m)
i
≥ 0, ∀m = 1, 2, do đó x
i
≥ 0 ∀i = 1, 2, , n ⇒ x ∈ K, nên K
là tập đóng.
+) ∀x, y ∈ K ta chỉ ra x + y ∈ K.
Do x, y ∈ K, x = (x
i
)
n
i=1
, y = (y
i
)
n
i=1
⇒ x
i
≥ 0, y
i

≥ 0, i = 1, 2, , n.
Ta có x + y = (x
i
+ y
i
)
n
i=1
.
Vì x
i
≥ 0, y
i
≥ 0 ∀i = 1, 2, , n.
⇒ x
i
+ y
i
≥ 0 ∀i = 1, 2, , n ⇒ x + y ∈ K.
+) ∀x ∈ K, ∀t ≥ 0 ta chỉ ra tx ∈ K.
Do x ∈ K, x = (x
i
)
n
i=1
⇒ x
i
≥ 0 ∀i = 1, 2, , n, lại do t ≥ 0 nên
16
tx

i
≥ 0 ∀i = 1, 2, , n mà (tx
i
)
n
i=1
nên tx ∈ K.
+) ∀x ∈ K, x
k
= 0 ⇒ ∃x
k
= 0, k = {1, 2, , n} hay x
k
> 0.
Mặt khác −x = (−x
i
)
n
i=1
, trong đó −x
k
< 0, nên −x /∈ K.
Vậy từ các điều kiện đã chỉ ra ở trên ta kết luận K là một nón.

Định nghĩa 1.2.2
Cho không gian Banach thực E với nón K. Nón K gọi là nón đặc
nếu K chứa điểm trong.
Định nghĩa 1.2.3
Cho không gian Banach thực E với nón K. Nón K gọi là nón chuẩn
tắc nếu ∃δ > 0 sao cho với e

1
, e
2
∈ K,  e
1
= e
2
= 1 thì  e
1
+e
2
≥ δ.
Ví dụ 1.2.2
Trước hết ta chứng minh K là nón đặc.
Thật vậy, giả sử x
(0)
= (x
(0)
i
)
n
∈ K sao cho x
(0)
i
> 0 ∀i = 1, 2, , n.
Khi đó
r = min
1≤i≤n
x
(0)

i
> 0.
Xét hình cầu
S = S(x
(0)
,
r
2
) : {x = (x
i
)
n
i=1
∈ R
n
: d(x, x
(0)
) <
r
2
}. Ta có:
Với phần tử bất kỳ y = (y
i
)
n
i=1
∈ S
d(y, y
(0)
) =





n

i=1
|y
i
− x
(0)
i
|
2
<
r
2
⇒ |y
i
− x
(0)
i
| <
r
2
(i = 1, 2, , n) ⇒ y
1
− x
(0)
i

> −
r
2
(i = 1, 2, , n).
⇒ y
1
> x
(0)
i
−
r
2
≥ r −
r
2
=
r
2
> 0 (i = 1, 2, , n)
⇒ y ∈ K. Nên S ⊂ K, do đó x
(0)
là điểm trong của nón K.
Vậy, K là nón đặc.
Tiếp theo ta chứng minh K là nón chuẩn tắc.
∀e
1
, e
2
∈ K, e
1

= (x
i
)
n
i=1
, e
2
= (y
i
)
n
i=1
: e
1
= e
2
= 1.
17
Khi đó




n

i=1
x
2
i
=





n

i=1
y
2
i
= 1
Ta có
 e
1
+ e
2
=




n

i=1
(x
i
+ y
i
)
2

≥




n

i=1
x
2
i
= 1 = δ.
Vậy nón K là một nón chuẩn tắc.
1.2.2 Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực
Giả sử E là không gian Banach thực, K là một nón trong không gian
E. Với hai phần tử x, y ∈ E ta viết x ≤ y, nếu y − x ∈ K.
Định lý 1.2.4
Quan hệ "≤" là một quan hệ sắp thứ tự trong không gian E.
Chứng minh
+) ∀x ∈ E. Ta chỉ ra x ≤ x. Do x − x = θ ∈ K nên x ≤ x ⇒ quan
hệ "≤" có tính chất phản xạ.
+) ∀x, y ∈ E mà x ≤ y và y ≤ x. Ta sẽ chỉ ra x = y.
Giả sử x = y. Do x ≤ y, y ≤ x và x = y, nên

y − x ∈ K\{θ},
x − y ∈ K\{θ},
⇒ Mâu thuẫn với tính chất của nón K :
nếu y − x ∈ K\{θ} ⇒ x − y /∈ K.
Còn nếu x − y ∈ K\{θ} ⇒ y − x /∈ K.
Do đó x = y. Suy ra quan hệ "≤" có tính chất phản đối xứng.

+) ∀x, y, z ∈ E, x ≤ y, y ≤ z ta sẽ chỉ ra x ≤ z. Do x ≤ y, y ≤ z nên

y − x ∈ K,
z − y ∈ K,
18
⇒ y − x + z − y ∈ K ⇔ z −x ∈ K ⇒ x ≤ z.
⇒ quan hệ "≤" có tính chất bắc cầu.
Do đó, quan hệ "≤" là một quan hệ sắp thứ tự trong không gian E với
nón K.

Định nghĩa 1.2.4
Không gian Banach thực E cùng với quan hệ "≤" gọi là một không
gian nửa sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ phận) theo nón K.
1.2.3 Phần tử u
0
- đo được và không gian E
u
0
Định nghĩa 1.2.5
Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E,
u
0
là phần tử khác không cố định thuộc nón K. Phần tử x ∈ E gọi là u
0
-
đo được, nếu tồn tại hai số thực không âm t
1
, t
2
sao cho −t

1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
.
Định lý 1.2.5
Tồn tại các số
α = α(x) = inf{t
1
≥ 0 : −t
1
u
0
≤ x},
β = β(x) = inf{t
2
≥ 0 : x ≤ t
2
u
0
}
sao cho −αu
0
≤ x ≤ βu
0
.
Chứng minh

u
0
∈ K\{θ}
Giả sử x ∈ E (∃t ∈ R
+
) − tu
0
≤ x.
Xét ánh xạ
f : R −→ E
t −→ f(t) = x + tu.
f liên tục nhờ tính liên tục của phép cộng hai vectơ và phép nhân vectơ
với một số thực trên E.
19
Do K là tập đóng trong không gian E nên f
−1
(K) là tập đóng trong
không gian R. Vì ta chỉ xét t ≥ 0 nên ∃inf f
−1
(K) = α và f
−1
(K) đóng
⇒ α ∈ f
−1
(K)
Vậy x + αu
0
≥ 0 hay −αu
0
≤ x.

Giả sử x ∈ E (∃t ∈ R
+
) x ≤ tu
0
Xét ánh xạ
f : R −→ E
t −→ f(t) = tu
0
− x.
f liên tục trên E.
Do K là tập đóng nên f
−1
(K) là tập đóng.Vì t ≥ 0 nên ∃inf f
−1
(K) = β
và f
−1
(K) đóng ⇒ β ∈ f
−1
(K)
Vậy βu
0
− x ≥ 0 hay βu
0
≥ x.
Định lý 1.2.6
Tập hợp E
u
0
= {x ∈ E : ∃t

1
∈ R
+
, ∃t
2
∈ R
+
, −t
1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
} là
không gian tuyến tính con của E.
Chứng minh
+) Với mọi x, y ∈ E
u
0
ta chứng minh x + y ∈ E
u
0
Do x, y ∈ E
u
0
nên tồn tại các số thực t
!
, t

2
, t
3
, t
4
∈ R
+
sao cho
−t
1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
và − t
3
u
0
≤ y ≤ t
4
u
0
, (1.4)
từ đó ta có −(t
1
+ t
3
)u

0
≤ x + y ≤ (t
2
+ t
4
)u
0
.
Vì vậy x + y ∈ E
u
0
.
+)Với ∀x ∈ E
u
0
, ∀λ ∈ R ta chứng minh λx ∈ E
u
0
Do x ∈ E
u
0
nên tồn tại các số thực dương t
1
, t
2
sao cho
−t
1
u
0

≤ x ≤ t
2
u
0
.
Nếu λ ≥ 0 thì (−λt
1
)u
0
≤ λx ≤ (λt
2
)u
0
.
Nếu λ < 0 thì −λ > 0 và
−(−λ)t
1
u
0
≥ (−λ)x ≥ (−λ)t
2
u
0
⇔ −(−λ)t
2
u
0
≤ λx ≤ (−λ)t
1
u

0
20
Do đó ∀x ∈ E
u
0
, ∀λ ∈ R ta luôn có λx ∈ E
u
0
.
Vậy E
u
0
là không gian tuyến tính con của E.
Định lý 1.2.7
Ánh xạ
 . : E
u
0
−→ R
x −→ x 
u
0
= max{α(x), β(x)}, (1.5)
là một chuẩn trong không gian tuyến tính E
u
0
trong đó
α(x) = inf {t
1
≥ 0 : −t

1
u
0
≤ x},
β(x) = inf {t
2
≥ 0 : x ≤ t
2
u
0
}.
Chứng minh
Ta nhận thấy ngay  . 
u
0
xác định một ánh xạ từ không gian E vào
R.
+) Với ∀x ∈ E
u
0
, ta có bất đẳng thức −α(x)u
0
≤ x ≤ β(x)u
0
(định lý
1.2.5)
và  x 
u
0
= max{α(x), β(x)} nên  x 

u
0
≥ 0,
 x 
u
0
= 0 ⇔ max{α(x), β(x)} = 0
⇔ α(x) = β(x) = 0 ⇔ x = θ.
+) Với ∀x ∈ E
u
0
, ∀λ ∈ R
Do x ∈ E
u
0
, ∃t
1
, t
2
∈ R
+
: −t
1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
.

Nếu λ ≥ 0 thì −λt
1
u
0
≤ λx ≤ λt
2
u
0
⇒ infλt
1
= λinft
1
= λα(x)
và infλt
2
= λinft
2
= λβ(x).
Từ đó
 λx 
u
0
= max{λα(x), λβ(x)} = λmax{α(x), β(x)}
= λ  x 
u
0
= |λ|  x 
u
0
.

Nếu λ < 0 thì −λ > 0 và
−(−λ)t
1
u
0
≤ (−λ)x ≤ (−λ)t
2
u
0
⇔ −(−λ)t
2
u
0
≤ λx ≤ (−λ)t
1
u
0
21
Ta có:
inf(−λt
2
) = −λinft
2
= −λβ(x)
inf(−λt
1
) = −λinft
1
= −λα(x)
nên suy ra

 λx 
u
0
= max{(−λ)β(x), (−λ)α(x)}
= (−λ)max{β(x), α(x)}
= (−λ)  x 
u
0
= |λ|  x 
u
0
.
Tóm lại, ∀x ∈ E
u
0
, ∀λ ∈ R ta có  λx 
u
0
= |λ|  x 
u
0
+) Với ∀x, y ∈ E
u
0
ta sẽ chứng minh  x + y 
u
0
≤ x 
u
0

+  y 
u
0
.
Do x, y ∈ E ⇒ ∃t
1
, t
2
, t
3
, t
4
∈ R
+
: −t
1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
, −t
3
u
0
≤ y ≤ t
4
u
0

,
Suy ra −(t
1
+ t
3
)u
0
≤ x + y ≤ (t
2
+ t
4
)u
0
.
Từ inf(t
1
+ t
3
) ≤ t
1
+ t
3
⇒ inf(t
1
+ t
3
) ≤ inft
1
+ inft
3

.
Tương tự ta có: inf(t
2
+ t
4
) ≤ inft
2
+ inft
4
.
Ta cũng có: max{inf(t
1
+ t
3
), inf(t
2
+ t
4
)} = x + y 
u
0
.
Giả sử  x + y 
u
0
= inf(t
1
+ t
3
) thế thì

 x + y ≤ inft
1
+ inft
3
≤ max{inft
1
, inft
2
} + max{inft
3
, inft
4
}.
Từ đó ta có  x + y 
u
0
≤ x 
u
0
+  y 
u
0
.
Tương tự cho trường hợp  x + y 
u
0
= inf(t
2
+ t
4

).
Nên ta có  x + y 
u
0
≤ x 
u
0
+  y 
u
0
∀x, y ∈ E
u
0
.
Vậy  x 
u
0
= max{α(x), β(x)}, ∀x ∈ E xác định một chuẩn trong E
u
0
.

Định nghĩa 1.2.6
Chuẩn xác định bởi công thức ở định lý 1.2.7 gọi là u
0
- chuẩn.
Định nghĩa 1.2.7
Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự theo nón K. Chuẩn
trên không gian E được gọi là nửa đơn điệu, nếu ∃N > 0, ∀x, y ∈ K mà
22

x ≤ y thì  x 
E
≤ N  y 
E
.
Định lý 1.2.8
Giả sử K là một nón trong không gian E. Khi đó nón K là nón chuẩn
tắc khi và chỉ khi ∃M > 0, ∀y ∈ K\{θ}, ∀x ∈ E
y
sao cho
 x 
E
≤ M  x 
y
 y 
E
. (1.6)
Chứng minh
Điều kiện cần: Giả sử K là nón chuẩn tắc, nhưng bất đẳng thức (1.6)
không xảy ra, nghĩa là (∀n ∈ N
∗
) (∃y
n
∈ K\{θ}) (∃x
n
∈ E
y
n
), sao cho
 x 

E
> n  x
n

y
n
 y
n

E
⇒ x
n
= θ và  x
n

y
n
<
 x
n

E
n  y
n

E
(1.7)
Theo định nghĩa chuẩn trên không gian E
y
n

 x
n

y
n
y
n
≤ x
n
≤ x
n

y
n
y
n
Và từ (1.7) ta có
−
 x
n

E
n  y
n

E
y
n
≤ x
n

≤
 x
n

E
n  y
n

E
y
n
 g
n

E
≥








x
n
 x
n

E









E
−








y
n
 y
n

E
n









E
= 1 −
1
n
> 0, ∀n ≥ 2
 h
n

E
≥








x
n
 x
n

E









E
−








y
n
n  y
n

E








E

= 1 −
1
n
> 0, ∀n ≥ 2
Do đó
g
n
=
x
n
 x
n

E
+
y
n
n  y
n

E
,
h
n
= −
x
n
 x
n


E
+
y
n
n  y
n

E
Suy ra g
n
∈ K và h
n
∈ K. Hơn nữa g
n
= θ và h
n
= θ (∀n ∈ N
∗
, n ≥ 2)
vì
Lúc này, ∀n ∈ N
∗
, n ≥ 2 ta có
g
n
 g
n

E
∈ K,

h
n
 h
n

E
∈ K
23
và








g
n
 g
n

E









E
= 1,








h
n
 h
n

E








E
= 1.
Do nón K là nón chuẩn nên ∃δ > 0 :









g
n
 g
n

E
+
h
n
 h
n

E








E
≥ δ (∀n ∈ N
∗

, n ≥ 2). (1.8)
Mặt khác, n ≥ 2
g
n
 g
n

E
+
h
n
 h
n

E
=
2y
n
n  y
n

E
 x
n

E
+
 g
n


E
−  h
n

E
 g
n

E
 h
n

E
 g
n

E
≥








x
n
 x
n


E








E
−








y
n
n  y
n

E









E
= 1 −
1
n
và
 h
n

E
≤








−
x
n
 x
n

E









E
+








y
n
n  y
n

E









E
= 1 +
1
n
⇒ g
n

E
−  h
n

E
≤
2
n
⇒








g
n
 g
n


E
+
h
n
 h
n

E








E
≤
4
n − 1
⇒ lim
n→∞









g
n
 g
n

E
+
h
n
 h
n

E








E
= 0,
Điều này mâu thuẫn (1.8)
Vì vậy, nếu K là nón chuẩn tắc thì  x 
E
≤ M  x 
y
 y 
E

.
Điều kiện đủ
Giả sử nón K thỏa mãn (1.6) nghĩa là tồn tại số M > 0 với mọi
y ∈ K\{θ}, với mọi x ∈ E
y
, sao cho  x 
E
≤ M  x 
y
 y 
E
ta sẽ chỉ ra
K là nón chuẩn. Thật vậy, xét các x, y ∈ K mà  x 
E
= y 
E
= 1, theo
giả thiết của định lý
∃M > 0,  x 
E
≤ M  x 
x+y
 x + y 
E
.
Do θ < x < x + y nên  x 
x+y
≤ 1
Suy ra  x 
E

≤ M  x + y 
E
⇒ x + y ≥
1
M
= δ.
24