Điểm bất động của toán tử h cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
VŨ THỊ HÒNG NHUNG
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ h - cực TRỊ TÁC DỤNG • • • TRONG KHÔNG
GIAN BANACH THỰC VỚI HAI NÓN
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người
hướng dẫn khoa học: PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy
LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2014
Lời cảm ơn
Để hoàn thành luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn
PGS.TS, GVCC Nguyễn Phụ Hy - người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình
cho em trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2; các thầy, cô giáo dạy chuyên ngành toán giải tích đã tận tình giảng dạy, tạo
điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và người thân vì đã luôn ủng hộ,
động viên và tạo điều kiện cho em học tập, nghiên cứu, hoàn thành luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội,tháng 8 - 2014 Học
viên Vũ Thị Hồng Nhung
Lời cam đoan
Luận văn tốt nghiệp: “Điểm bất động của toán tử h - cực trị tác dụng trong không
gian Banach thực với hai nón” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm
khắc của thầy giáo PGS.TS, GVCC Nguyễn Phụ Hy.
Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không trùng với bất kỳ
kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác.
Hà Nội,tháng 8 - 2014 Học viên Vũ Thị Hồng Nhung
Mục lục
2
1 Toán tử h -

cực trị trong không giãn Banach thực nửa

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của bộ môn giải tích hàm phi tuyến,
chính vì thế ngay từ đầu thế kỷ 20 các nhà toán học trên thế giới đã rất quan tâm và phát
triển nó hết sức sâu rộng và trở thành công cụ để giải quyết nhiều bài toán do thực tế đặt
ra.
Năm 1956 nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnoxelxki đã nghiên cứu lớp toán tử
phi tuyến: Toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định.
Năm 1962 ông mở rộng cho toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực với hai
nón cố định, trong đó một nón là tập con của nón kia [9].
Sau đó GS-TSKH I.A.Bkhatin đã mở rộng các kết quả trong công trình [9] cho lớp
toán tử phi tuyến (K , Mo) - lõm lần lượt tác dụng trong không gian Banach thực với một
nón cố định và trong không gian Banach thực với hai nón cố định giao nhau khác rỗng
[10].
Các lớp toán tử được các nhà bác học Kraxnoxelxki và Bakhtin nghiên cứu đều có
tính chất u
0
- đo được.
Năm 1987 và những năm tiếp theo 2012, 2013 PSG-TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng các
kết quả đối với lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử lõm chính quy,
trong đó không yêu cầu toán tử có tính chất u
0
- đo được và toán tử tác dụng trong không
gian Banach thực nửa sắp thứ tự với một nón cố định [1,2,5,6].
3
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ sự giúp đỡ, hướng
dẫn tận tình của Thầy giáo, PGS-TS-GVCC Nguyễn Phụ Hy, tôi đã mạnh dạn chọn
nghiên cứu đề tài: "Điểm bất động của toán tử h - cực trị tác dụng trong không gian
Banach thực với hai nón", trong đó toán tử được xét vừa có tính chất (K,u
0

) - lõm
chính qui vừa có tính chất h - cực trị, còn trong [7] toán tử được xét có tính chất lõm
chính qui và h - cực trị tác dụng trong không gian với một nón cố định.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về điểm bất động của toán tử h - cực trị tác
dụng trong không gian Banach với hai nón cố định, trong đó không yêu cầu toán tử có
tính chất Щ - đo được.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về không gian Banach nửa sắp thứ tự.
- Tìm hiểu về toán tử h - cực trị trong không gian Banach nửa sắp thứ tự với hai nón.
- Tìm hiểu về sự tồn tại điểm bất động của toán tử h - cực trị trong không gian Banach nửa
sắp thứ tự với hai nón.
4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán tử h - cực trị,
điểm bất động của toán tử h - cực trị trong không gian Banach với hai nón.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong nước và nước ngoài liên quan đến
điểm bất động của toán tử h - cực trị trong không gian Banach thực với hai nón.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập tài liệu và các bài báo liên quan đến điểm bất động của toán tử h - cực trị trong
4
không gian Banach thực với hai nón.
- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.
- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
6. Những đóng góp của đề tài
Trình bày một hệ thống những kiến thức về không gian Banach nửa sắp thứ tự, một số
tính chất về điểm bất động và sự tồn tại điểm bất động của toán tử h - cực trị trong
không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với hai nón, các kết quả thu được có thể mở rộng
một số lớp toán tử khác. Áp dụng các kết quả đạt được trong không gian Banach thực
tổng quát vào không gian Banach thực Lp (p > 1). Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu
cho những vấn đề toán học tương tự khác.

Chương 1
Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
1.1 Không gian Banach thực
Định nghĩa 1.1.1
Cho không gian tuyến tính thực E. Một chuẩn trên E là mộtánh xạ
từ E vào tập hợp số thực R, kí hiệu là II . II (đọc là chuẩn), thỏa mãn
các tiên đề sau:
C i : V x Ễ E , I I X Ị Ị > 0 , Ị Ị X 1 1 = 0 < = > X = 9
(9 là kí hiệu phần tử không của không gian E)\
C2 : Vx Ễ E, Va; € R, II a x 11= |a;|. ỊỊ X II;
c
3

:Vx,yeE, II X + y
||<|| X II + II y II .
5
Không gian tuyến tính thực E cùng với một chuẩn trên đó được gọi là một không gian
định chuẩn thực, kí hiệu (E, II . II) hay đơn giản là E (nếu chuẩn đã rõ). Số II X II
được gọi là chuẩn của phần tử X G E.
Ví dụ 1.1.1
Xét không gian tuyến tính thực
Rn = {
2
; = (xi, x
2
, x
n
) : X ị e R, ỉ = 1,
77
,}, n e N*.

6
Ta sẽ chỉ ra công thức (1.1) cho một chuẩn trên Rn . Thật vậy: +) \/x —
(xi,x
2
,xn) G Rn ta có:
n i=1
\\x + y\\
2
='Yj{xi + Vi )
2
= '52xì + 2ỵ2xiVi + ỵ2
\5’:+\l'í)
=HI £ + y ||<|| £ II + II y II Va: = (xị,x
2
, ,x
n
) e Rn, Vy
= {yi,V2, •••,2/n) e R".
Vậy, công thức (1.1) là một chuẩn trên X.
Chuẩn (1.1) còn được gọi là chuẩn Eukleides, nên không gian tuyến tính
thực Rn cùng với chuẩn (1.1) thường được gọi là không gian
Eukleides thực.
Định nghĩa 1.1.2
Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm {x
n
}“
=1
c E gọi là hội tụ tới X ẽ E , nếu
lim II x
n

— X 11= 0
ĩl—^oo
hay (Ve > 0), (Vn
0
G N*) sao cho (Vn > nữ) ta có II x
n
— X II < £, kí hiệu
(1.1
X =
\
n
Ẻ*?-
i= 1
Với bất kỳ X = ( x i , x
2
, x
n
) £ R
n
ta đặt
X =
\
-v=> X
T

1
II
*<s>
>
o

n <=>■ X = ớ;
=
{Xl,X2
i
,x
n
) <E
R
n
,
Vữ Ễ 1 ta có:
ax 11= ,
a 2 x 2
i
=
\
a
2
E
x
ĩ = H\ '52
x
ĩ = |a|- II 3 11
>
i=1 \ *=1 \ i= 1
X 11=
0
\
+) \/x = {xux
2

ì ,xn) <E R
n
, My = (yuy
2
, ,yn) e R
n
ta có:
n TI TI TI
n n
£>? = 0-»£>? = 0
i= 1 i= 1
V
= (II z II + II 2/ II)
2
-
lim x
n
= X
hay x n — > X ( n o o ) .
Định nghĩa 1.1.3.
Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm {a;
n
}^
Với bất kỳ X = ( x i , x
2
, x
n
) £ R
n
ta đặt