bất đẳng thức lượng giác

Chứng minh BĐT bằng phương pháp lượng giác
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
* Để học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống, em xin tríck dẫn tóm tắt từ quyển bất đẳng
thức của Khải và Thầy Phương. Lập bảng một số dấu hiệu nhận biết sau: ( Giả sử các hàm
số lượng giác sau đều có nghĩa)
Biểu thức đại số
Biểu thức lượng giác
tương tự
Công thức lượng giác
x
2
1+
t
2
1 tan+
t
t
2
2
1
1 tan
cos
+ =
x x
3
4 3−
t t
3
4cos 3cos−
t t t

3
4cos 3cos cos3− =
x
2
2 1−
t
2
2cos 1−
t t
2
2cos 1 cos2− =
x
x
2
2
1−
t
t
2
2tan
1 tan−
t
t
t
2
2tan
tan2
1 tan
=
−

x
x
2
2
1−
t
t
2
2tan
1 tan−
t
t
t
2
2tan
sin2
1 tan
=
−
x y
xy1
+
−
tan tan
1 tan .tan
α β
α β
+
−
tan tan

tan( )
1 tan .tan
α β
α β
α β
+
= +
−
x
2
1−
2
1
1
cos
α
−
2
2
1
1 tan
cos
α
α
− =

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
I. DẠNG 1: Sử dụng hệ thức
2 2

sin cos 1
α α
+ =
1. Phương pháp:
a) Nếu thấy
x y
2 2
1+ =
thì đặt
x
y
sin
cos
α
α

=

=

với α ∈ [0; 2π].
b) Nếu thấy
x y a
2 2 2
+ =
(a > 0) thì đặt
x a
y a
sin
cos

α
α

=

=

với α ∈ [0; 2π].
2. Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn:
a b c d
2 2 2 2
1+ = + =
. Chứng minh rằng:
S a c d b c d2 ( ) ( ) 2− ≤ = + + − ≤
(1)
• Đặt
a u
b u
sin
cos

=

=

và
c v
d v
sin

cos

=

=


⇒ S =
u v v u v vsin (sin cos ) cos (sin cos )+ + −
=
u v v u u v u v(sin cos sin cos ) (co s cos sin sin )+ − −
=
u v u vsin( ) cos( )+ − +
trang 1
Chứng minh BĐT bằng phương pháp lương giác
=
u v2 sin ( )
4
π
 
+ −
 
 
⇒
S a c d b c d2 ( ) ( ) 2− ≤ = + + − ≤
(đpcm).
Ví dụ 2: Cho
a b
2 2
1+ =

. Chứng minh rằng:
a b
a b
2 2
2 2
2 2
1 1 25
2
   
+ + + ≥
 ÷  ÷
   
(2)
• Đặt
a bcos , sin
α α
= =
với 0 ≤ α ≤ 2π.
VT (2) =
a b
a b
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
cos sin
cos sin
α α
α α
       

+ + + = + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
=
4 4
4 4
1 1
cos sin 4
cos sin
α α
α α
+ + + +
=
4 4
4 4
4 4
cos sin
cos sin 4
cos .sin
α α
α α
α α
+
+ + +
=
( )
4 4
4 4
1
cos sin 1 4

cos .sin
α α
α α
 
+ + +
 ÷
 
=
( )
2
2 2 2 2
4 4
1
cos sin 2cos sin 1 4
cos .sin
α α α α
α α
 
 
+ − + +
 
 ÷
 
 
=
2
4
1 16 1 17 25
1 sin 2 1 4 1 (1 16) 4 4
2 2 2 2

sin 2
α
α
    
− + + ≥ − + + = + =
 ÷ ÷  ÷
    
(đpcm)
Dấu "=" xảy ra ⇔
sin2 1
α
=
⇔
a b
2
2
= =
.
Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bước nữa để xuất hiện
a b
2 2
1+ =
.
Ví dụ 3: Cho
a b a b
2 2
2 4 4 0+ − − + =
. Chứng minh rằng:
A =
a b ab a b

2 2
2 3 2(1 2 3) (4 2 3) 4 3 3 2− + − + + − + − ≤
(3)
• Biến đổi điều kiện:
a b a b
2 2
2 4 4 0+ − − + =
⇔
a b
2 2
( 1) ( 2) 1− + − =
.
Đặt
a a
b b
1 sin 1 sin
2 cos 2 co s
α α
α α
 
− = = +
⇒
 
− = = +
 
.
⇒
A
2 2
sin cos 2 3sin cos

α α α α
= − +

3 1
3sin2 cos2 2 sin2 cos2 2 sin 2 2
2 2 6
π
α α α α α
 
= − = − = − ≤
 ÷
 
(đpcm)
Dấu "=" xảy ra ⇔
a
b
3
1
2
5
2

= +




=



hoặc
a
b
1
2
3
2
2

=




= +


.
Ví dụ 4: Cho a, b thoả mãn :
a b5 12 7 13+ + =
. Chứng minh rằng:
a b b
2 2
2( 1) 1+ + − ≥ −
(4)
trang 2
Chứng minh BĐT bằng phương pháp lượng giác
• Biến đổi bất đẳng thức (4) ⇔
a b
2 2

( 1) ( 1) 1− + + ≥
Đặt
a R
b R
1 sin
1 cos
α
α

− =

+ =

với R ≥ 0 ⇔
a R
a b R
b R
2 2 2
sin 1
( 1) ( 1)
cos 1
α
α

= +
⇔ − + + =

= −


Ta có:
a b R R5 12 7 13 5( sin 1) 12( cos 1) 7 13
α α
+ + = ⇔ + + − + =
⇔
R R R R R
5 12 5
5 sin 12 cos 13 1 sin cos sin arccos
13 13 13
α α α α α
 
+ = ⇔ = + = + ≤
 ÷
 
Từ đó suy ra
a b R
2 2 2
( 1) ( 1)− + + =
≥ 1 (đpcm).
Dấu "=" xảy ra ⇔
a
b
18
13
1
13

=




= −

hoặc
a
b
8
13
25
13

=



= −

.
II. DẠNG 2: Sử dụng tập giá trị
sin 1; cos 1
α α
≤ ≤
1. Phương pháp:
a) Nếu thấy
x 1≤
thì đặt
x khi
x khi
sin ;
2 2

cos 0;
π π
α α
α α π

 
= ∈ −

 
 

 
 = ∈
 

b) Nếu thấy
x m≤
(
m 0
≥
) thì đặt
x m khi
x m khi
sin ;
2 2
cos 0;
π π
α α
α α π


 
= ∈ −

 
 

 
 = ∈
 

2. Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
p p p
x x(1 ) (1 ) 2+ + − ≤
, với
x p1, 1≤ ≥
.
• Đặt x = cosα với α ∈ [0; π].
Khi đó
p p p p
x x(1 ) (1 ) (1 cos ) (1 cos )
α α
+ + − = + + −
=
p p
p p p p p2 2 2 2 2 2
2cos 2sin 2 cos sin 2 cos sin 2
2 2 2 2 2 2
α α α α α α
       

+ = + ≤ + =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
A a a a
2 2
3 2 2 3 2 1 3 2− ≤ = + − ≤ +
• Từ đk
a
2
1 0− ≥
⇔
a 1≤
nên đặt a = cosα với 0 ≤ α ≤ π ⇒
a
2
1−
= sinα.
Khi đó ta có:
A =
a a a
2 2 2
2 3 2 1 2 3 cos 2cos sin 3 (1 cos2 ) sin2
α α α α α
+ − = + = + +
trang 3
Chứng minh BĐT bằng phương pháp lương giác
=
3 1
2 cos2 sin2 3 2sin 2 3

2 2 3
π
α α α
 
 
+ + = + +
 
 ÷
 
 
 
A3 2 3 2⇒ − ≤ ≤ +
(đpcm)
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
a a a a
2 3 3 2
1 1 (1 ) (1 ) 2 2 2 2
 
+ − + − − ≤ + −
 
 
(1)
• Từ đk
a 1≤
nên đặt a = cosα với α∈[0, π]
⇒
a a a
2
1 2 sin ; 1 2 cos ; 1 sin
2 2

α α
α
− = + = − =
(1) ⇔
3 3
1 2sin cos .2 2 cos sin 2 2 2 2 sin cos
2 2 2 2 2 2
α α α α α α
 
+ − ≤ +
 
 
⇔
2 2
sin cos cos sin cos sin cos sin 1 sin cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
α α α α α α α α α α
   
+ − + + ≤ +
 ÷ ÷ ÷
   
⇔
2 2
sin cos cos sin cos sin cos 1
2 2 2 2 2 2
α α α α α α
α
  
+ − = − = ≤
 ÷ ÷

  
đúng ⇒ (đpcm)
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: S =
a a a a
2 3 3 2
4 (1 ) 3 1 2
   
− − + − − ≤
 ÷  ÷
   
Từ đk
a 1≤
nên đặt a = cosα với α ∈ [0, π] ⇒
a
2
1−
= sinα.
Khi đó: S =
3 3 3 3
4(sin cos ) 3(cos sin ) (3sin 4sin ) (4cos 3cos )
α α α α α α α α
− + − = − + −
=
sin3 cos3 2 sin 3 2
4
π
α α α
 
+ = + ≤
 ÷

 
⇒ (đpcm)
Ví dụ 5: Chứng minh rằng A =
a b b a ab a b
2 2 2 2
1 1 3 (1 )(1 ) 2
 
− + − + − − − ≤
 ÷
 
• Từ điều kiện:
a b
2 2
1 0, 1 0− ≥ − ≥
⇒
a b1, 1≤ ≤
nên:
Đặt a = sinα, b = sin β với α, β ∈
;
2 2
π π
 
−
 
 
Khi đó A =
sin cos cos sin 3 cos( )
α β α β α β
+ − +
=

1 3
sin( ) 3 cos( ) 2 sin( ) cos( )
2 2
α β α β α β α β
+ − + = + − +
=
2 sin ( ) 2
3
π
α β
 
+ − ≤
 
 
(đpcm)
trang 4
Chứng minh BĐT bằng phương pháp lượng giác
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: A =
[ ]
a a a a
3 2
4 24 45 26 1, 1;3− + − ≤ ∀ ∈
.
• Do a ∈ [1; 3] nên
a 2 1− ≤
nên ta đặt
a 2 cos
α
− =
⇔

a 2 cos
α
= +
.
Ta có: A =
3 2 3
4(2 co s ) 24(2 cos ) 45(2 cos ) 26 4cos 3cos
α α α α α
+ − + + + − = −
=
cos3 1
α
≤
(đpcm)
Ví dụ 7: Chứng minh rằng: A =
a a a a
2
2 3 3 2, [0;2 ]− − + ≤ ∀ ∈
• Do a ∈ [0; 2] nên
a 1 1− ≤
nên ta đặt
a 1 cos
α
− =
với α ∈ [0; π].
Ta có: A =
2 2
2(1 cos ) (1 cos ) 3(1 cos ) 3 1 cos 3 cos
α α α α α
+ − − − + + = − −

=
1 3
sin 3 cos 2 sin cos 2 sin 2
2 2 3
π
α α α α α
 
 
− = − = + ≤
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
(đpcm)
III. DẠNG 3: Sử dụng công thức:
2 2
2 2
1 1
1 tan tan 1
cos cos
α α
α α
+ = ⇔ = −

k( )
2
π
α π
≠ +

1. Phương pháp:
a) Nếu
x 1≥
hoặc bài toán có chứa biểu thức
x
2
1−
thì đặt
x
1
cos
α
=
với α∈
3
0; ,
2 2
π π
π
   
∪
÷ ÷
 
   
b) Nếu
x m≥
hoặc bài toán có chứa biểu thức
x m
2 2
−

thì đặt
m
x
cos
α
=
với α∈
3
0; ,
2 2
π π
π
   
∪
÷ ÷
 
   
2. Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng A =
a
a
a
2
1 3
2, 1
− +
≤ ∀ ≥
• Do
a 1≥
nên đặt

a
1
cos
α
=
với α∈
3
0; ,
2 2
π π
π
   
∪
÷ ÷
 
   
⇒
a
2 2
1 tan tan
α α
− = =
.
Khi đó:
A =
( )
a
a
2
1 3

tan 3 cos sin 3 cos 2 sin 2
3
π
α α α α α
 
− +
= + = + = + ≤
 ÷
 
(đpcm)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
a
A a
a
2
2
5 12 1
4 9, 1
− −
− ≤ = ≤ ∀ ≥
• Do
a 1≥
nên đặt
a
1
cos
α
=
với α∈
3

0; ,
2 2
π π
π
   
∪
÷ ÷
 
   
⇒
a
2 2
1 tan tan
α α
− = =
.
trang 5
Chứng minh BĐT bằng phương pháp lương giác
Khi đó: A =
a
a
2
2
5 12 1− −
=
2 2
(5 12tan )cos 5cos 12sin cos
α α α α α
− = −
=

5(1 cos2 )
6sin2
2
α
α
+
−

=
5 13 5 12 5 13 5
cos2 sin2 cos 2 arccos
2 2 13 13 2 2 13
α α α
   
+ − = + +
 ÷  ÷
   
⇒
A
5 13 5 13 5 5 13
4 ( 1) cos 2 arcco s .1 9
2 2 2 2 13 2 2
α
 
− = + − ≤ = + + ≤ + =
 ÷
 
(đpcm)
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: A =
a b

ab
2 2
1 1− + −
≤ 1,
a b, 1∀ ≥
.
• Do
a b, 1≥
nên đặt
a
1
cos
α
=
,
b
1
cos
β
=
với α, β∈
3
0; ,
2 2
π π
π
   
∪
÷ ÷
 

   
.
Khi đó ta có:
A =
(tan tan )cos cos sin cos sin cos sin( ) 1
α β α β α β β α α β
+ = + = + ≤
(đpcm)
Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
a
a
a
2
2 2
1
+ ≥
−
,
a 1∀ >
• Do
a 1>
nên đặt a =
1
cos
α
với α∈
0;
2
π
 

 ÷
 
⇒
a
a
2 2
1 1 1
.
cos sin
1 tan
α α
α
= =
−
.
Khi đó:
a
a
a
2
1 1 1 1 2 2
2. . 2 2
cos sin cos sin
sin2
1
α α α α
α
+ = + ≥ = ≥
−
(đpcm)

Ví dụ 5: Chứng minh rằng:
y x y xy
2 2
1 4 1 3 26− + − + ≤
,
x y; 1∀ ≥
(*)
• Bất đẳng thức (*) ⇔
y
x
x x y y
2
2
4 1
1 3
1
26 (1)
 
−
−
 ÷
+ + ≤
 ÷
 
Do
x y, 1≥
nên đặt
x
1
cos

α
=
,
y
1
cos
β
=
với α, β∈
0,
2
π
 
 ÷
 
.
Khi đó: (1) ⇔ S = sinα + cosα(4sinβ + 3cosβ) ≤
26
Ta có: S ≤ sinα + cosα
2 2 2 2
(4 3 )(sin cos ) sin 5cos
β β α α
+ + = +
≤
2 2 2 2
(1 5 )(sin cos ) 26
α α
+ + =
⇒ (đpcm)
trang 6

Chứng minh BĐT bằng phương pháp lượng giác
IV. DẠNG 4: Sử dụng công thức
2
2
1
1 tan
cos
α
α
+ =
1. Phương pháp:
a) Nếu x ∈ R và bài toán chứa
x
2
1+
thì đặt
x tan
α
=
với α ∈
,
2 2
π π
 
−
 ÷
 
b) Nếu x ∈ R và bài toán chứa
x m
2 2

+
thì đặt
x m tan
α
=
với α ∈
,
2 2
π π
 
−
 ÷
 
2. Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: S =
x x
x x
3
2 2 3
3 4
1
1 (1 )
− ≤
+ +
• Đặt
x tan
α
=
với α ∈
,

2 2
π π
 
−
 ÷
 
⇒
x
2
1
1
cos
α
+ =
.
Khi đó: S =
3 3 3
3tan .cos 4tan .cos 3sin 4sin sin3 1
α α α α α α α
− = − = ≤
(đpcm)
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A =
a a
a
2 4
2 2
3 8 12
(1 2 )
+ +
+

• Đặt
a 2 tan
α
=
với α ∈
,
2 2
π π
 
−
 ÷
 
thì ta có:
A =
2 4
2 2
3 4tan 3tan
(1 tan )
α α
α
+ +
+
=
4 2 2 4
2 2 2
3cos 4sin cos 3sin
(co s sin )
α α α α
α α
+ +

+
=
2 2 2 2 2
3(sin cos ) 2sin cos
α α α α
+ −
=
2
sin 2
3
2
α
−
A
2
5 1 sin 2 0
3 3 2 3
2 2 2 2
α
⇒ = − ≤ = − ≤ − =
Với
α
= 0 thì a = 0 ⇒ MaxA = 3 ; Với
α
=
4
π
thì
a
1

2
=
⇒ MinA =
5
2
.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
a b ab
a b
2 2
( )(1 ) 1
2
(1 )(1 )
+ −
≤
+ +
, ∀ a, b ∈ R
• Đặt
a btan , tan
α β
= =
.
Khi đó
a b ab
a b
2 2 2 2
( )(1 ) (tan tan )(1 tan tan )
(1 )(1 ) (1 tan )(1 tan )
α β α β
α β

+ − + −
=
+ + + +
=
2 2
sin( ) cos .cos sin .sin
cos cos . .
cos .cos cos .cos
α β α β α β
α β
α β α β
+ −
trang 7
Chứng minh BĐT bằng phương pháp lương giác
=
1 1
sin( )cos( ) sin 2( )
2 2
α β α β α β
 
+ + = + ≤
 
(đpcm)
Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
a b b c c a
a b c
a b b c c a
2 2 2 2 2 2
, , ,
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

− − −
+ ≥ ∀
+ + + + + +
• Đặt
a b ctan , tan , tan
α β γ
= = =
. Khi đó:
BĐT ⇔
2 2 2 2 2 2
tan tan tan tan tan tan
(1 tan )(1 tan ) (1 tan )(1 tan ) (1 tan )(1 tan )
α β β γ γ α
α β β γ γ α
− − −
+ ≥
+ + + + + +
⇔
sin( ) sin( ) sin( )
cos cos . cos cos . cos cos .
cos .cos cos .cos cos .cos
α β β γ γ α
α β β γ γ α
α β β γ γ α
− − −
+ ≥
⇔
sin( ) sin( ) sin( )
α β β γ γ α
− + − ≥ −

Biến đổi biểu thức vế phải ta có:
[ ]
sin( ) sin ( ) ( ) sin( )cos( ) sin( )cos( )
γ α α β β γ α β β γ β γ α β
− = − + − = − − + − −
≤
≤
sin( )cos( ) sin( )cos( )
α β β γ β γ α β
− − + − −

=
sin( ) . cos( ) sin( ) . cos( )
α β β γ β γ α β
− − + − −
≤
sin( ) sin( )
α β β γ
− + −
(đpcm).
Vi dụ 5: Chứng minh rằng:
ab cd a c b d a b c d( )( ), , , , 0+ ≤ + + ∀ >
(1)
• Ta có: (1) ⇔
ab cd
a c b d a c b d
1
( )( ) ( )( )
+ ≤
+ + + +

⇔
cd
ab
c d c d
a b a b
1
1
1 1 1 1
+ ≤
     
+ + + +
 ÷ ÷  ÷ ÷
     
(2)
Đặt
c
a
2
tan
α
=
,
d
b
2
tan
β
=
với α, β ∈
0,

2
π
 
 ÷
 
.
Ta có VT (2) =
2 2
2 2 2 2
tan .tan
1
(1 tan )(1 tan ) (1 tan )(1 tan )
α β
α β α β
+
+ + + +
=
cos cos sin sin
α β α β
+
=
cos( ) 1
α β
− ≤
⇒ đpcm.
Dấu bằng xảy ra ⇔
cos( ) 1
α β
− =
⇔ α = β ⇔

c d
a b
=
.
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A =
a a
a
2
2
6 4 1
1
+ −
+
trang 8
Chứng minh BĐT bằng phương pháp lượng giác
• Đặt
a tan
2
α
=
. Khi đó:
A =
2
2
2 2 2
6tan 4 an 1
t
2tan tan 1
2
2

2 2
3. 4.
tan 1 1 tan tan 1
2 2 2
α
α
α α
α α α
+ −
−
= +
+ + +
=
3sin 4 cos
α α
+
≥
3sin 4.0 3sin 3( 1) 3
α α
+ = ≥ − = −
(1)
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
A
2
=
( )
2
2 2 2 2
3sin 4 cos (3 4 )(sin cos ) 25
α α α α

+ ≤ + + =
⇒ A ≤ 5 (2)
Dấu "=" ở (1) xảy ra ⇔ sinα = –1 ⇔ a = –1 ⇒ minA = –3.
Đấu "=" ở (2) xảy ra ⇔
sin cos
3 4
α α
=
⇒ maxA = 5.
V. DẠNG 5: Đổi biến số đưa về bất đẳng thức tam giác
1. Phương pháp:
a) Nếu
x y z
x y z xyz
2 2 2
, , 0
2 1

>

+ + + =

thì
A B C
ABC
x A y B z C
, , 0;
:
2
cos ; cos ; cos

π
∆

 

∈
 ÷
∃

 

= = =

b) Nếu
x y z
x y z xyz
, , 0

>

+ + =

thì
A B C
ABC
x A y B z C
; ; 0;
:
2
tan ; tan ; tan

π
∆

 

∈
 ÷
∃

 

= = =

c) Nếu
x y z
xy yz zx
, , 0
1

>

+ + =

thì
A B C
x A y B z C
ABC
A B C
A B C
x y z

, , 0;
2
cot ; cot ; cot
:
, , (0; )
tan ; tan ; tan
2 2 2
π
∆
π


 

∈

 ÷

 


= = =

∃


∈





= = =



2. Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho x, y, z > 0 và zy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S =
x y z
x y z
1 1 1
3( )+ + − + +
• Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt
x tan
2
α
=
;
y tan
2
β
=
;
z tan
2
γ
=
với α, β, γ ∈
0,
2

π
 
 ÷
 
Do xy + yz + zx = 1 nên
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
α β β γ γ α
+ + =
⇔
tan cot
2 2 2
β γ α
 
+ =
 ÷
 
⇔
tan tan
2 2 2 2 2 2 2 2
β γ π α β γ π α
α β γ π
   
+ = − ⇔ + = − ⇔ + + =
 ÷  ÷
   
trang 9
Chứng minh BĐT bằng phương pháp lương giác
S =
x y z

x y z
1 1 1
3( )+ + − + +
=
cot cot cot 3 tan tan tan
2 2 2 2 2 2
α β γ α β γ
 
+ + − + +
 ÷
 
=
g tg g tgcot cot cot tan 2 tan tan tan
2 2 2 2 2 2 2 2 2
α α β β γ γ α β γ
       
− + − + − − + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
=
2(cot cot cot ) 2 tan tan tan
2 2 2
α β γ
α β γ
 
+ + − + +
 ÷
 
=
cot cot 2tan cot cot 2tan cot cot 2tan

2 2 2
γ α β
α β β γ γ α
     
+ − + + − + + −
 ÷  ÷  ÷
     
Để ý rằng:
sin( ) 2sin 2sin
cot cot
sin .sin 2sin .sin cos( ) cos( )
α β γ γ
α β
α β α β α β α β
+
+ = = =
− − +
≥
2
4sin cos
2sin 2sin
2 2
2tan cot cot 2tan 0
1 cos( ) 1 cos 2 2
2cos
2
γ γ
γ γ γ γ
α β
γ

α β γ
= = = ⇒ + − ≥
− + +
Từ đó suy ra S ≥ 0. Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z =
1
3
⇒ MinS = 0
Ví dụ 2: Cho 0 < x, y, z < 1 và
x y z xyz
x y z x y z
2 2 2 2 2 2
4
1 1 1 (1 )(1 )(1 )
+ + =
− − − − − −
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
S x y z
2 2 2
= + +
.
• Do 0 < x, y, z < 1 nên đặt
x tan
2
α
=
;
y tan
2
β

=
;
z tan
2
γ
=
với α, β, γ ∈
0,
2
π
 
 ÷
 
.
Khi đó
x
x
2
2
tan
1
α
=
−
;
y
y
2
2
tan

1
β
=
−
;
z
z
2
2
tan
1
γ
=
−

Và đẳng thức ở giả thiết trở thành:
x
x
2
2
1−
+
x
x
2
2
1−
+
x
x

2
2
1−
=
xyz
x y z
2 2 2
8
(1 )(1 )(1 )− − −

⇔
tan tan tan tan tan tan
α β γ α β γ
+ + =

⇔
tan tan tan (1 tan tan )
α β γ α β
+ = − −
⇔
tan tan
tan( )
1 tan .tan
α β
γ
α β
+
= −
−

⇔
tan( ) tan( )
α β γ
+ = −
(1)
Do α, β, γ ∈
0,
2
π
 
 ÷
 
nên từ (1) suy ra
α β π γ α β γ π
+ = − ⇔ + + =
. Khi đó ta có:
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
α β β γ γ α
+ + =
⇔
xy yz zx 1+ + =
trang 10
Chứng minh BĐT bằng phương pháp lượng giác
Mặt khác:
x y z xy yz zx x y y z z x
2 2 2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
2

 
+ + − + + = − + − + − ≥
 
⇒
S x y z
2 2 2
= + +
≥
xy yz zx 1+ + =
.
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z =
1
3
⇒ MinS = 1.
Ví dụ 3: Cho
x y z
x y z
, , 0
1

>

+ + =

. Chứng minh rằng: S =
x y z
x yz y zx z xy
9
4
+ + ≤

+ + +
Đặt
yz
x
tan
2
α
=
;
xz
y
tan
2
β
=
;
xy
z
tan
2
γ
=
với α, β, γ ∈
0,
2
π
 
 ÷
 
.

Suy ra:
x yz y zx z xy
x yz y zx z xy
cos ; cos ; cos
α β γ
− − −
= = =
+ + +
.
Do
yz zx zx xy xy yz
x y y z z x
. . . .+ +
= x + y + z = 1
nên
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
α β β γ γ α
+ + =
⇔
tan cot
2 2 2
β γ α
 
+ =
 ÷
 
⇔
tan tan
2 2 2 2

β γ π α
   
+ = −
 ÷  ÷
   
⇔
2 2 2 2
β γ π α
+ = −
⇔
2 2
α β γ π
α β γ π
+ +
= ⇔ + + =
S =
x y z x y z
x yz y zx z xy x yz y zx z xy
1 2 2 2 3
1 1 1
2 2
 
     
+ + = − + − + − +
 
 ÷  ÷  ÷
+ + + + + +
     
 
=

x yz y zx z xy
x yz y zx z xy
1 3
2 2
 
− − −
+ + +
 ÷
+ + +
 
=
1 3
(co s cos cos )
2 2
α β γ
+ + +
=
( )
1 3
cos cos (cos cos sin sin )
2 2
α β α β α β
 
+ − − +
 
≤
( )
2 2 2
1 1 1 3
(cos cos ) 1 (sin sin ) cos cos

2 2 2 2
α β α β α β
 
+ + + + − +
 
 
=
( )
( )
2 2 2 2
1 3
cos sin cos sin 1
2 2
α α β β
 
+ + + + +
 
=
3 3 9
4 2 4
+ =
(đpcm)
Chú ý: *
2
1
cos cos (cos cos ).1 (cos cos ) 1
2
α β α β α β
 
+ = + ≤ + +

 
*
2 2
1
sin .sin (sin sin )
2
α β α β
≤ +
trang 11
Chứng minh BĐT bằng phương pháp lương giác
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Cho
a b
2 2
1+ =
. Chứng minh rằng:
a a b b
3 3
20 15 36 48 13− + − ≤
.
Bài 2. Cho
a b
2 2
( 2) ( 1) 5− + − =
. Chứng minh rằng:
a b2 10
+ ≤
.
Bài 3. Cho
a b

a b
; 0
2

≥

+ =

Chứng minh rằng:
a b a b
4 2 3 3
+ ≥ +
Bài 4. Cho a, b, c ≥ 1. Chứng minh rằng:
a b c a b c
b c a a b c
1 1 1 1 1 1
       
− − − ≥ − − −
 ÷ ÷ ÷  ÷ ÷ ÷
       
Bài 5. Cho
x y z
x y z xyz
2 2 2
, , 0
2 1

>

+ + + =


. Chứng minh rằng:
a)
xyz
1
8
≤
b)
xy yz zx
3
4
+ + ≤
c)
x y z
2 2 2
3
4
+ + ≥
d)
xy yz zx xyz
1
2
2
+ + ≤ +
e)
x y z
x y z
1 1 1
3
1 1 1

− − −
+ + ≥
+ + +
Bài 6. Chứng minh rằng:
ab
a b
2 2
1 1 2
1
1 1
+ ≤
+
+ +
, ∀ a, b ∈ (0; 1]
Bài 7. Chứng minh rằng:
a b c ab bc ca
2 2 2
( 2)( 2)( 2) 9( )+ + + ≥ + +
, ∀ a, b, c > 0.
Bài 8. Cho
x y z
xy yz zx
, , 0
1

>

+ + =

. Chứng minh rằng:

x y z
x y z
2 2 2
3 3
2
1 1 1
+ + ≥
− − −
.
Bài 9. Cho
x y z
x y z xyz
, , 0

>

+ + =

. Chứng minh rằng:
x y z
x y z
2 2 2
3
2
1 1 1
+ + ≤
+ + +
Bài 10. Cho
x y z
xy yz zx

, , 0
1

>

+ + =

. Chứng minh rằng:
x y z
x y z x y z
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 1 1 1 1
+ + ≥ + +
+ + + + + +
.
=====================================
Tái bút: nếu cần bất đẳng thức dạng cơ bản, thi vào lớp 10 THPT( không chuyên) các bạn
nên tìm hiểu về kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức cauchy. Để lấy câu 1 điểm
ckứ nkể.
- mìnk thấy quyển Những sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán của Trần
Phương cũng khá là hay. Chúc các bạn thành công
Thân!
trang 12