Tuyệt đỉnh luyện đề thi môn toán THPT 2015

TUYỆT ĐỈNH LUYỆN ĐỀ THPT QUỐC GIA 2015 TỐN HỌC
2

Đề số 01 Mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
 
32
y 4x m 3 x mx   
(C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi
m1
.
b) Xác định
m
để hàm số đồng biến trên khoảng

0; 

.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
2
2 3cos x 6sinxcosx 3 3  
.
Câu 3 (1,0 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
x 1;x 2;y 0;y x 2x     
.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Gọi

1
z
và
2
z
là hai nghiệm của phương trình
2
z 2z 10 0  
. Tính giá trị của biểu thức
22
12
A z z
.
b) Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong
hộp. Tính xác suất của biến cố 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong khơng gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
 
4x 3y 1 0
d:
y 4z 3 0
  


  

và mặt phẳng
 
P :3x 4y z 8 0   

. Lập phương trình hình chiếu
vng góc của đường thẳng
 
d
lên mặt phẳng
 
P
.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình thang vng tại
A
và
D
,
AB AD 2a,CD a  
, góc giữa hai mặt phẳng
 
SBC
và
 
ABCD
bằng
0
60
. Gọi
I
là
trung điểm của cạnh
AD

. Biết hai mặt phẳng
 
SBI
và
 
SCI
vng góc với mặt phẳng
 
ABCD
. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD
theo
a
.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có đỉnh
 
C 4; 1
,
đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh
A
có phương trình lần lượt là:
 
1
d :2x 3y 12 0  
và
 

2
d :2x 3y 0
. Lập phương trình các cạnh của tam giác
ABC
.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải phương trình
22
11 3x 1 3x 6x x 11 3x     
.
Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực dương
x,y,z
thỏa mãn
 
x x y z 3yz  
. Chứng minh
GIẢI CHI TIẾT VÀ ƠN TẬP, TỰ LUYỆN

HẾT
         
3 3 3
x y x z 3 x y x z y z 5 y z        

hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
kho đề thi THPT quốc gia môn TOÁN, đề kiểm tra có đáp án file word, luyện thi môn Toán
TUYỆT ĐỈNH LUYỆN ĐỀ THPT QUỐC GIA 2015 TỐN HỌC
3

GIẢI CHI TIẾT VÀ ƠN TẬP, TỰ LUYỆN
Câu 1.a. Với

m1
hàm số trở thành
32
y 4x 4x x  

- Tập xác định:
DR
.
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
2
y' 12x 8x 1  
;
1
x
6
y' 0
1
x
2









.

11
y' 0, x ; ;
26
   
      
   
   
, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng
1
;
2

 


và
1
;
6

 


.
11
y' 0, x ;
26

    



, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
11
;
62




.
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
CD
1
x ;y 0
2
  
. Hàm số đạt cực tiểu tại
CT
12
x ;y
6 27
   
.
+ Giới hạn:
xx
lim y ; lim y
 
   
.
+ Bảng biến thiên

x



1
2


1
6




y'



0


0


y





0

2
27




- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Ox
tại điểm
 
0;0
và
1
;0
2




.
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Oy
tại điểm
 
0;0
.
hoctoancapba.com

hoctoancapba.com
kho đề thi THPT quốc gia môn TOÁN, đề kiểm tra có đáp án file word, luyện thi môn Toán
TUYỆT ĐỈNH LUYỆN ĐỀ THPT QUỐC GIA 2015 TỐN HỌC
4

+ Đồ thị hàm số nhận điểm uốn
11
I;
3 27




làm tâm đối xứng.
+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm
   
31
; 6 , 1; 1 , ;2 , 1;9
22
   
   
   
   
.
- Vẽ đồ thị:


Câu 1.b.
Cách1:Hàm số đồng biến trên khoảng


0; 

khi

y' 0, x 0;   

  
f x 0, x 0;    


 
 
2
2
m 3 0
' 0 m 3
m 3 0
' 0 m 3
m0
m3
S 0 m 3
0
6
P 0 m 0
m
0
12




  







  




    





  





















Kết luận
m0
.
Cách 2: Nhận thấy rằng, phương trình
y' 0
ln có nghiệm
1
x
2

và
m
x
6

.
hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
kho đề thi THPT quốc gia môn TOÁN, đề kiểm tra có đáp án file word, luyện thi môn Toán
TUYỆT ĐỈNH LUYỆN ĐỀ THPT QUỐC GIA 2015 TỐN HỌC

5

Từ đó, hàm số đồng biến trên khoảng

0; 

khi

y' 0, x 0;   

  
f x 0, x 0;    


0
m3
1m
0 0 m 3 m 0
26
m3
m1
0
62









         







   

.
Kết luận:
m0
.
Cách 3: Hàm số đồng biến trên khoảng

0; 

khi
   
2
y' 0, x 0; 12x 2 m 3 x m 0, x 0;           


  
2
m 2x 1 12x 6x, x 0;       




 
x 0;
m 6x, x 0; m max 6x 0 m 0

 

           

.
Kết luận:
m0
.
Nhận xét: Để xét tính đơn điệu của hàm số
 
y f x
, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm
y'
, rồi tìm các điểm tới hạn.
Bước 3: Tính các giới hạn (nếu cần).
Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số (có thể bỏ qua việc này nếu phương trình
 
f ' x 0
vơ
nghiệm.
Bài tập tương tự:
a. Tìm

m
để hàm số
   
32
1
y x m 1 x m 3 x 4
3
      
đồng biến trên khoảng
 
0;3
.
Đáp số:
m3
.
b. Tìm
m
để hàm số
32
y x 3x mx 4   
đồng biến trên khoảng
 
;0
.
Đáp số:
m3
.
hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
kho đề thi THPT quốc gia môn TOÁN, đề kiểm tra có đáp án file word, luyện thi môn Toán

TUYỆT ĐỈNH LUYỆN ĐỀ THPT QUỐC GIA 2015 TỐN HỌC
6

c. Tìm
m
để hàm số
 
 
2 3 2
1
y m 1 x m 1 x 2x 1
3
     
nghịch biến trên khoảng
 
2;
.
Đáp số:
1 m 1  
.

Câu 2.
Cách 1: Phương trình tương đương với:
 
1 3 3
3 1 cos2x 3sin2x 3 3 cos2x 3sin2x 3 cos2x sin2x
2 2 2
         

2x 2k

xk
3
36
4
cos 2x ,k
32
2x k2 x k
3 4 12




   
  




    



  



       





.
Phương trình có nghiệm:
x k ;x k ;k
4 12

      
.
Cách 2: Xét hai trường hợp
Trường hợp 1:
cosx 0 x k ,k
2

     
; khơng thỏa mãn.
Vậy
xk
2

  
khơng là nghiệm của phương trình.
Trường hợp 2:
cosx 0 x k ,k
2

     
.
Chia cả hai vế của phương trình cho
2
cos x

, ta được
 
 
 
22
2 3 6tanx 3 3 1 tan x 3 3 tan x 6tanx 3 3 0         

tanx 1
xk
,k
4
33
tanx tan
xk
33




  


  



  
   





.
hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
kho đề thi THPT quốc gia môn TOÁN, đề kiểm tra có đáp án file word, luyện thi môn Toán
TUYỆT ĐỈNH LUYỆN ĐỀ THPT QUỐC GIA 2015 TỐN HỌC
7

Phương trình có nghiệm:
x k ;x k ;k
4

       
, với
33
tan
33



.
Nhận xét:
Đối với phương trình:
22
asin x bsinxcosx ccos x d  
. (1)
Ta có các cách giải như sau:
Cách 1:
Bước 1: Xét

cosx 0 x k ,k
2

     
.
+ Nếu
ad
, thì (1) có nghiệm là
xk
2

  
.
+ Nếu
ad
, thì (1) khơng có nghiệm là
xk
2

  
.
Bước 2: Xét
cosx 0 x k ,k
2

     
.
Chia cả hai vế của phương trình (1) cho
2
cos x

, ta được
 
22
atan x btanx c d 1 tan x   
.
Đặt t = tanx, phương trình trở thành
 
2
a d t bt c d 0    
. (2)
Bước 3: Giải phương trình (2) theo
t
, rồi suy ra
x
.

Cách 2: Sử dụng các cơng thức:
22
1 cos2x 1 cos2x 1
sin x ;cos x ;sinxcosx sin2x
2 2 2

  
.
Ta được:
 
bsin2x c a cos2x d c a    
(đây là phương trình bậc nhất đối với
sinx
và

cosx
).
Bài tập tương tự:
a. Giải phương trình
22
2sin x 3sinxcosx cos x 0  
.
Đáp số:
1
x k ;x arctan k ;k
42


        


.
hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
kho đề thi THPT quốc gia môn TOÁN, đề kiểm tra có đáp án file word, luyện thi môn Toán
TUYỆT ĐỈNH LUYỆN ĐỀ THPT QUỐC GIA 2015 TỐN HỌC
8

b. Giải phương trình
22
3sin x sin2x cos x 3  
.
Đáp số:
x k ;x k ;k
24


      
.
c. Giải phương trình
22
4sin x 3 3sin2x 2cos x 4  
.
Đáp số:
5
x k ;x k ;k
26

       
.

Câu 3. Gọi S là diện tích cần xác định, ta có:
2
2
1
S x 2x dx



.
Xét dấu hàm số
 
2
f x x 2x
trên đoạn
 

1;2
, như sau:
x

1

0
2
 
fx



0



Vậy
   
02
02
2 2 3 2 2 3
10
10
1 1 8
S x 2x dx 2x x dx x x x x
3 3 3


   

        
   
   

(đvdt).
Nhận xét: Bài tốn “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
 
y f x
(liên tục
trên đoạn
 
a;b
), trục hồnh và hai đường thẳng
x a;x b
và trục
Ox
”, ta thực hiện các
bước sau:
Bước 1: Gọi S là diện tích cần xác định, ta có:
 
b
a
S f x dx

.
Bước 2: Xét dấu biểu thức
 
fx
trên
 

a;b
thành các đoạn nhỏ, ví dụ:
       
1 1 2 n
a;b a;c c ;c c ;b
.
Bước 3: Vậy
     
12
1k
cc
b
a c c
S f x dx f x dx f x dx   
  
.
hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
kho đề thi THPT quốc gia môn TOÁN, đề kiểm tra có đáp án file word, luyện thi môn Toán
TUYỆT ĐỈNH LUYỆN ĐỀ THPT QUỐC GIA 2015 TỐN HỌC
9

Chú ý: Đối với bài tốn phát biểu dưới dạng “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới đồ thị hàm
số
 
x f y
(liên tục trên đoạn
 
a;b
), hai đường thẳng

y a;y b
và trục
Oy
”, thì cơng
thức tính diện tích là:
 
b
a
S f y dy



Bài tập tương tự:
a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
y x 4x 3;x 0;x 3     
và trục
Ox
.
Đáp số:
8
S
3

(đvdt).
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
32
y x 11x 6;y 6x ;x 0    
và
x2

.
Đáp số:
5
S
2

(đvdt).
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y x;y 0
và
2
y 2 x
.
Đáp số:
S
4


(đvdt).

Câu 4.a: Ta có
2
' 1 10 9 9i     

Suy ra
1
z 1 3i  
và
2
z 1 3i  

.
Do đó
     
22
2 2 2
2
12
A z z 1 3 1 3 20
   
         
   
.
Bài tập tương tự:
a. Cho
12
z ,z
là các nghiệm của phương trình
2
2z 4z 11 0  
. Tính giá trị của biểu thức
 
22
12
2
12
zz
A
zz




.
b. Cho
12
z ,z
là các nghiệm của phương trình
2
z 2z 4 0  
. Tính giá trị của biểu thức
2 2 3
1 2 1 2
A z z 3 z z   
.
hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
kho đề thi THPT quốc gia môn TOÁN, đề kiểm tra có đáp án file word, luyện thi môn Toán
TUYỆT ĐỈNH LUYỆN ĐỀ THPT QUỐC GIA 2015 TỐN HỌC
10

c. Cho
12
z ,z
là các nghiệm của phương trình
 
 
2
1 i 2 z 3 2i z 1 i 0     
. Khơng
giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức
22

12
A z z
.
Câu 4.b. Số cách chọn 5 viên bi bất kỳ từ 18 viên bi đã cho là
5
18
C 8568  
.
Gọi
A
là biến cố “5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng”.
Ta có các trường hợp sau:
+ TH1: Trong 5 viên bi được chọn có 1 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng và 3 viên bi xanh. Có
1 1 3
6 7 5
C .C .C
cách chọn.
+ TH2: Trong 5 viên bi được chọn có 2 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng và 1 viên bi xanh. Có
2 2 1
6 7 5
C .C .C
cách chọn.
Do đó cách lấy được 5 viên bi có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng là:
1 1 3 2 2 1
A 6 7 5 6 7 5
C .C .C C .C .C 1995   
.
Xác suất của biến cố
A
là:

A
A
1995 95
P
8568 408

  

.

Bài tập tương tự:
a. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi
từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra khơng có đủ cả 3 màu.
Đáp số: 645 cách.
b. Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng có kích thước đơi một khác nhau. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.
Đáp số: 3045 cách.
c. Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ơ
trống. Hỏi có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên
bi xanh xếp cạnh nhau.
Đáp số: 36 cách.
Câu 5. Đường thẳng
 
d
có một vtcp
 
a 3;4;1
. Mặt phẳng
 
P

có một vtpt
 
n 3;4;1
.Suy ra
   
a / /n d P
, do đó hình chiếu vng góc của
 
d
lên
 
P
chính là giao điểm
H
của
 
d
và
 
P
có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình
 
4x 3y 1 0 x 1
y 4z 3 0 y 1 H 1;1;1
3x 4y x 8 0 z 1
   


     



    

.
hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
kho đề thi THPT quốc gia môn TOÁN, đề kiểm tra có đáp án file word, luyện thi môn Toán
TUYỆT ĐỈNH LUYỆN ĐỀ THPT QUỐC GIA 2015 TỐN HỌC
11

Nhận xét: Với u cầu “Viết phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng
 
d
trên mặt
phẳng
 
P
”, chúng ta lựa chọn phương pháp thực hiện tùy thuộc vào vị trí tương đối của
 
d
và
 
P
như sau:
a. Nếu
   
dP
thì hình chiếu vng góc của
 
d

lên
 
P
chính là
 
d
.
b. Nếu
   
dP
thì hình chiếu vng góc của
 
d
lên
 
P
chính là giao điểm của
 
d
và
 
P
.
c. Nếu
   
d / / P
thì có các cách giải như sau:
Cách 1: ta thực hiện các bước:
Bước 1: Lấy điểm
 

Ad
, từ đó xác định tọa độ điểm
A
H
là hình chiếu vng góc của
A
lên
 
P
.
Bước 2: Phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng
 
d
lên mặt phẳng
 
P
là
đường thẳng
 
1
d
được cho bởi:
 
   
A
1
1
qua H
d:
d / / d






.
Cách 2: Thực hiện các bước:
Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng
 
Q
chứa
 
d
và vng góc với
 
P
.
Bước 2: Khi đó, hình chiếu vng góc của đường thẳng
 
d
lên mặt phẳng
 
P
chính là
giao điểm của
 
P
và
 
Q

.
d. Nếu
 
d
cắt
 
P
thì có các cách giải sau:
Cách 1: Thực hiện các bước:
Bước 1: Xác định tọa độ giao điểm
I
của
 
d
và
 
P
.
Bước 2: Lấy điểm
 
Ad
, từ đó xác định tọa độ điểm
A
H
là hình chiếu vng góc của
A
lên
 
P
.

Bước 3: Phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng
 
d
lên mặt phẳng
 
P
là
đường thẳng
 
1
d
được cho bởi:
 
1
A
A
qua
d:
vtcpI
H
H






.
Cách 2: Thực hiện như ở phần b).

Bài tập tương tự:
a. Trong khơng gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
 
x 2z 0
d:
3x 2y z 3 0



   

và
mặt phẳng
 
P : x 2y z 5 0   
. Lập phương trình hình chiếu vng góc của đường
thẳng
 
d
lên mặt phẳng
 
P
.
hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
kho đề thi THPT quốc gia môn TOÁN, đề kiểm tra có đáp án file word, luyện thi môn Toán
TUYỆT ĐỈNH LUYỆN ĐỀ THPT QUỐC GIA 2015 TỐN HỌC

12

Đáp số:
11
y
x 4 z 2
2
:
16 13 10


  
.
b. Trong khơng gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
 
x 1 y 1 z 2
d:
2 1 3
  

và
mặt phẳng
 
P : x 3y 2z 5 0   
. Lập phương trình hình chiếu vng góc của đường
thẳng
 
d

lên mặt phẳng
 
P
.
Đáp số:
x 1 y 2 z 5
:
23 29 32
  
  
.
c. Trong khơng gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
 
2x y z 5 0
d:
2x z 3 0
   


  

và
mặt phẳng
 
P : x y z 7 0   
. Lập phương trình hình chiếu vng góc của đường
thẳng
 

d
lên mặt phẳng
 
P
.
Đáp số:
6x y 5z 7 0
:
z y z 7 0
   



   

.

Câu 6.
Vì
 
SBI
và
 
SCI
cùng vng góc với mặt phẳng
 
ABCD

nên
 

SI ABCD
, suy ra
S.ABCD ABCD
1
V .SI.S
3

. (1)
Ta có
 
2
ABCD
1
S AB CD .AD 3a
2
  
. (2)
Gọi
K
là hình chiếu vng góc của
S
trên
BC
, suy ra:
IK BC
.
Suy ra
   



0
SBC ; ABCD SKI 60
.
Ta có:
 
22
2
IBC ABCD IAB ICD
3a 3a
S S S S 3a
22
   
     
.
Mặt khác:
 
 
2
2
IBC
IBC
2
2
2S
1 1 3a 5
S IK.BC IK AB CD AD IK
2 2 5
AB CD AD



      

.
hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
kho đề thi THPT quốc gia môn TOÁN, đề kiểm tra có đáp án file word, luyện thi môn Toán
TUYỆT ĐỈNH LUYỆN ĐỀ THPT QUỐC GIA 2015 TỐN HỌC
13

Trong tam giác
SIK
, ta có:
0
3a 5 3a 15
SI IK.tanSKI .tan60
55
  
(3).
Thay (2), (3) vào (1), ta được
3
S.ABCD
3a 15
V
5

.
Nhận xét: Đây là bài tốn về hình học khơng gian có u cầu nhiều về kiến thức ở lớp 11, cụ
thể:
+ Vì
 

SBI
và
 
SCI
cùng vng góc với mặt phẳng
 
ABCD
nên:
 
S.ABCD ABCD
1
SI ABCD V SI.S
3
  
.
+ Góc giữa hai mặt phẳng cụ thể là
 
SBC
và
 
ABCD
. Khi đó, chúng ta cần chỉ ra được một
điểm thuận lợi
K
trên giao tuyến
BC
sao cho:
 
 
0

SBC Kx BC
xKy 60
ABCD Ky BC








.
Điểm
K
chính là hình chiếu vng góc của
S
(hoặc
I
) trên
BC
bởi định lý ba đường vng
góc. Nhiệm vụ còn lại là chúng ta sử dụng các hệ thực trong tam giác để tính
SI
và
ABCD
S
.
Bài tập tương tự:
a. Cho hình chóp
S.ABC

có đáy
ABC
là tam giác vng cân tại
B
,
AB BC 2a
, hai
mặt phẳng
 
SAC
và
 
SBC
cùng vng góc với mặt đáy
 
ABC
. Gọi
M
là trung
điểm cạnh
AB
, mặt phẳng qua
SM
song song với
BC
cắt
AC
tại
N
. Biết góc tại bởi

 
SBC
và
 
ABC
bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp
S.BCNM
và khoảng cách giữa
hai đường thẳng
AB
và
SN
theo
a
(ĐH – A – 2011).
Đáp số:
3
S.BCNM
V 3a
(đvtt);
 
2 39
d AB;SN a
13

.
b. Cho hình chóp

S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình vng cạnh
a
. Gọi
H
là trung điểm
cạnh
AB
; hai mặt phẳng
 
SHC
và
 
SHD
cùng vng góc với mặt đáy
 
ABCD
.
Tính thể tích khối chóp nếu hình chóp có ba mặt bên là tam giác vng.
Đáp số:
3
S.ABCD
a
V
6

(đvtt).
c. Cho hình chóp

S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang cân, hai đường chéo
AC
và
BD

vng góc với nhau,
AD 2 2a,BC 2a
. Hai mặt phẳng
 
SAC
và
 
SBD
cùng
vng góc với mặt đáy
 
ABCD
; góc giữa hai mặt phẳng
 
SCD
và
 
ABCD
bằng
hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
kho đề thi THPT quốc gia môn TOÁN, đề kiểm tra có đáp án file word, luyện thi môn Toán

TUYỆT ĐỈNH LUYỆN ĐỀ THPT QUỐC GIA 2015 TỐN HỌC
14

0
60
. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD
và khoảng cách từ trung điểm
M
của
AB
đến
mặt phẳng
 
SCD
theo
a
.
Đáp số:
3
S.ABCD
3 15
Va
5

(đvtt) và
 
 
9 15
d M, SCD a

20

.
Câu 7.
Vì
 
1
BC d
nên BC có phương trình:
3x 2y m 0   
(1); vì
C BC
nên
   
3 .4 2. 1 m 0 m 10      
.
Thay
m 10
vào (1), ta được
BC:3x 2y 10 0  
.
Điểm
12
A d d
, suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
 
2x 3y 12 0
A 3;2
2x 3y 0
  






.
Phương trình cạnh AC là
x 3 y 2
4 3 1 2


  
hay
AC:3x 7y 5 0  
.
Gọi
M
là trung điểm cạnh
BC
, khi đó điểm
2
M d BC
. Suy ra tọa độ điểm
M
là nghiệm
của hệ phương trình:
 
3x 2y 10 0
M 6; 4
2x 3y 0

  





.
Vì
M
là trung điểm của
BC
nên ta có:
B C M B M C
B
B C M B M C B
x x 2x x 2x x
x8
y y 2y y 2y y y 7
   




  
    


.
Phương trình cạnh
AB

là:
x 8 y 7
3 8 2 7


  
hay
AB:9x 11y 5 0  
.
Phương trình ba cạnh của tam giác
ABC
là:
AB:9x 11y 5 0;BC:3x 2y 10 0;AC:3x 7y 5 0        
.
Bài tập tương tự:
a. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có chân đường cao kẻ từ
C
tới
AB
là điểm
 
H 1; 1
, đường phân giác trong góc
A
có phương trình
x y 2 0  

và đường cao kẻ từ
B
có phương trình
4x 3y 1 0  
. Xác định tọa độ đỉnh
C
của tam
giác.
Đáp số:
10 3
C;
34




.
hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
kho đề thi THPT quốc gia môn TOÁN, đề kiểm tra có đáp án file word, luyện thi môn Toán
TUYỆT ĐỈNH LUYỆN ĐỀ THPT QUỐC GIA 2015 TỐN HỌC
15

b. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có đỉnh
 

A 1;0
và hai đường
thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ từ
B
và
C
có phương trình
x 2y 1 0  
và
3x y 1 0  
. Xác định tọa độ đỉnh
B
và
C
.
Đáp số:
   
B 5; 2 ,C 1;4  
.
c. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có đỉnh
 
A 2;3
và hai đường
thẳng
1
d : x y 5 0  

và
2
d :x 2y 7 0  
; biết tam giác
ABC
có trọng tậm
 
G 2;0
. Xác định tọa độ điểm
B
trên
1
d
và
C
trên
2
d
.
Đáp số:
   
B 1; 4 ,C 5;1
.
Câu 8.
Định hướng: Nhận thấy phương trình là mối liên hệ giữa
11 3x
và
x
, đồng thời
 

2
11 3x 3x 11  
, vì vậy ta sử dụng phép đặt
a 11 3x
bx







để đưa phương trình đã cho
về hệ phương trình hữu tỷ.
Lời giải:Điều kiện:
11
x
3

. Đặt
22
a 11 3x;a 0
a 3b 11
11
b x;b
3

  

  





.
Ta có hệ phương trình
 
 
2
22
2 2 2 2
3b 11 a 1
a 3b 11
a 1 3b 6b ab a 1 ab 3b 2.3b 2







       




.
Thay (1) vào (2), ta được
 
 

2 2 2 2 2
a 1 ab 3b 2 11 a b a 3 2a a 21 0          

 
 
 
2
2
a3
a 3 b 2a 7 0
b 2a 7 0 vn


     

  

.
Phương trình
2
b 2a 7 0  
vơ nghiệm vì
a0
.
Với
a3
, ta được
2
11 3x 3 x
3

   
.
Phương trình có nghiệm:
2
x
3

.


hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
kho đề thi THPT quốc gia môn TOÁN, đề kiểm tra có đáp án file word, luyện thi môn Toán
TUYỆT ĐỈNH LUYỆN ĐỀ THPT QUỐC GIA 2015 TỐN HỌC
16

Bài tập tương tự:
a. Giải phương trình
32
3
x 15x 78x 141 5 2x 9    
(Olympic 30 – 4 lần thứ XVII,
năm 2011).
Hướng dẫn: Đặt
3
a x 5
b 2x 9








. Đáp số:
11 5 11 5
S 4; ;
22







.
b. Giải phương trình
      
33
33
3
2 x 7 x 3 2 x 7 x      
.
Hướng dẫn: Đặt
3
3
a 2 x
b 7 x








. Đáp số:
 
S 1; 6
.
c. Giải phương trình
22
4x 5x 1 2 x x 1 9x 3      
.
Hướng dẫn: Đặt
2
2
a 4x 5x 1;a 0
3
b 2 x x 1;b
2

   


   


. Đáp số:
1 56
S 0; ;

3 65




.
Câu 9.
Định hướng: Trước tiên, chúng ta nhìn vào bất đẳng thức cần chứng minh để khẳng định nó
được xây dựng dựa trên ba hạng tử là:
x y,x z
và
yz
.
Như vậy, để giảm độ phức tạp của bất đẳng thức cần chứng minh thì chúng ta nghĩ ngay tới việc
đặt ẩn phụ:
a x y
b x z
c y z








và khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
 
 
3 3 3 2 2 3

a b 3abc 5c a b a b ab 3abc 5c        
. (1)
Tiếp đến, chúng ta cần chuyển biểu thức điều kiện theo
a,b,c
bằng việc giải hệ đặt ẩn phụ ở
trên, nhận được:
     
1 1 1
x a b c ;y a b c ;z a b c
2 2 2
         
.
Khi đó điều kiện
 
x x y z 3xzy  
trở thành
2 2 2
c a b ab  
. (2)
Sử dụng triệt để (2) để chứng minh (1).
hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
kho đề thi THPT quốc gia môn TOÁN, đề kiểm tra có đáp án file word, luyện thi môn Toán
TUYỆT ĐỈNH LUYỆN ĐỀ THPT QUỐC GIA 2015 TỐN HỌC
17

Lời giải: Đặt
 
 
 

1
x a b c
2
a x y
1
b x z y a b c
2
c y z
1
z a b c
2

  





     





   


.
Khi đó, điều kiện
 

x x y z 3yz  
trở thành
2 2 2
c a b ab  
(1)
       
2 2 2 2
2
31
c a b 3ab a b a b a b a b 2c
44
            
. (2)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
 
 
3 3 3 2 2 2
a b 3abc 5c a b a b ab 3abc 5c        

 
   
1
2 2 2
a b c 3abc 5c a b c 3ab 5c       
. (3)
Từ (2), ta có
 
2
a b c 2c
. (4)

Mặt khác
   
22
22
11
ab a b 2c c 3ab 3c
44
     
. (5)
Cộng theo vế (4) và (5) ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2 2 2
c a b ab
x y z
a b c

  
  



.
Bài tập tương tự:
a. Cho các số dương
x,y,z
thỏa mãn
x y z 1  
. Chứng minh rằng
x y z
1

x x yz y y zx z z xy
  
     
.
Hướng dẫn: sử dụng giả thiết và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz để biến đổi, sau đó đặt
a x;b y;c z  
để đưa bài tốn về đơn giản hơn.
b. Cho
x y 1,x 3,xy 6,xy 6z    
. Chứng minh rằng
x y z 4  
.
Hướng dẫn: Đặt
a x 1;b y 1;c z 1     
.

hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
kho đề thi THPT quốc gia môn TOÁN, đề kiểm tra có đáp án file word, luyện thi môn Toán