Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
• • • TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ NGÀ
ÁP DỤNG GIẢI TÍCH THỜI GIAN - TẦN SỐ TRONG
NGHIÊN cứu TOÁN TỬ TÍCH PHÂN
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC
• • •
Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS. Bùi Kiên Cường
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, các thầy giáo, cô giáo, cùng toàn thể các
anh chị em học viên khóa 16 chuyên ngành Toán giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2 đã động viên, giúp đỡ để tác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình hoàn thành luận
văn.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS. Bùi Kiên Cường đã định hướng chọn
đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 201Ậ Tác giả
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường, luận văn Thạc sĩ chuyên
ngành Toán giải tích với đề tài “Áp dụng Giải tích thời gian - tần số trong nghiên cứu toán
tử tích phân” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả.
Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Nguyễn Thị Ngà
Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả
Nguyễn Thị Ngà
Mục lục
Áp dụng giải tích thời
gian - tần số trong nghiên
cứu toán tử

tích phân
Hầu chéo hóa toán tử tích
phân đối với khung Gabor
Tính liên tục của toán tử tích
phân trên không gian biến
điệu
Tính liên tục của toán tử tích
phân trên Mp
Tính liên tục của toán tử tích
phân trên không gian biến
điệu M
p
’
q
Tài liệu tham khảo
1
Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh và biến đổi Fourier
3
3
9
9
1
9
2
6
1.
1.
1.
2.
1.

3.
1.
Biểu diễn Wigner
Hàm trọng và không gian hỗn hợp chuẩn
Không gian biến điệu
Khung Gabor
Không gian Wiener amalgam
Toán tử tích phân Fourier
Chương 2.
3
2
3
2
3
7
2
.
1
.
2.2.
1.
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Toán tử tích phân (FIO) là một công cụ toán học để nghiên cứu rộng rãi các
bài toán sinh ra trong phương trình đạo hàm riêng. Nguồn gốc của lý thuyết
toán tử tích phân là do Peter Lax giới thiệu năm 1957 khi nghiên cứu xây dựng
hầu khả nghịch của bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbol, sau đó các
nhà toán học đã sử dụng rộng rãi mô hình này để biểu diễn nghiệm của bài
toán Cauchy, trong cả toán học lý thuyết và toán ứng dụng. Đặc biệt, Helffer và
Robert đã ứng dụng toán tử tích phân để nghiên cứu tính chất phổ của một lớp

toán tử elliptic toàn cục.
Những năm gần đây, nhờ có sự phát triển của lý thuyết giải tích thời gian -
tần số mà một số lớp toán tử tích phân được giải hầu chéo hóa và nghiên cứu
trong khung cảnh của không gian biến điệu.
Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về giải tích thời gian - tần số và toán tử
tích phân, những nghiên cứu mới về giải toán tử tích phân trong không gian
biến điệu, dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường, tôi lựa chọn đề tài “Áp
dụng Giải tích thời gian - tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân” làm luận
văn tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
+ Nắm được những khái niệm cơ bản, những tính chất của giải tích thời
gian - tần số và toán tử tích phân trong không gian biến điệu.
+ Hệ thống hóa những ứng dụng của giải tích thời gian - tần số trong
nghiên cứu giải phương trình tích phân.
5
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày tổng quan về giải tích thời gian - tần số, không gian biến điệu và
ứng dụng vào toán tử tích phân,
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: giải tích thời gian - tần số, toán tử tích phân.
+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liên
quan đến đối tượng nghiên cứu.
5. Phương pháp nghiên cứu
+ Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn
đề.
+ Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo
mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập đến.
6. Đóng góp của đề tài
Luận văn là một tài liệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu của đề tài.
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này tôi sẽ sử dụng một số ký hiệu và khái niệm sau:
1.1. Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh và biến đổi
Fourier
6
Ta ký hiệu 11\
2
= T ■ T, với T e R
d
và XY =
X

■ Y là tích vô hướng trên
R
d
. Với A = (cci, A
2
,A
d
), /3 = (/?!, /?
2

, A ỉ ) € zị, ta nhắc lại ký hiệu
D
A
và X
13
đối với phép lấy vi phân và phép nhân toán tử
d d
D“F = n
và

*"/(*) = n ^/(*)’
j=l j=l
d
trong đó T = Ta viết DX Ỉ\ DỊ — Ỵ2 DXJ A đối với 2-dạng
j=1
đối ngẫu.
Định nghĩa 1.1. Không gian các hàm giảm nhanh, ký hiệu là S (R
d
) là tập hợp
s (R
d
) = {^r (R
d
) 11 X
a
D
p
ip (x) I < C
a>/J
, Va; e Va, /3 <E zị }
với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau:
Dãy trong S (M
d
) được gọi là hội tụ đến IP € S (M
d
) nếu
lim sup IX
a
D^ ifỵ (X ) — X
a

D^ ip (a;)| = 0, Vcc,/3 € zị.
00
7
Ký hiệu S_ lim Ự)
K
= IP.
k— >00
Định lý 1.1. Không giãn s (M
d
) là đầy đủ.
Định nghĩa 1.2. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm, ký hiệu bởi S' (R
d
) là
không gian đối ngẫu của «S(M
á
), tức là không gian tất cả các phiếm hàm tuyến
tính liên tục trên S (R
d
) với tô pô yếu*.
Với / € S' (M
d
) , <F € S(R
D
), ta viết (/, <P) thay cho F(<P) khi nói đến giá
trị của phiếm hàm / tại (P.
Định nghĩa 1.3. Dãy {U
K
}™
=L
trong íS'(M

d
) được gọi là hội tụ về 0 trong S'{R
d
)
nếu
u
k( ụ
J
) —>■ 0 khi K — >
0 0

, với mọi IP e
Khi đó ký hiệu UỊỊ —^ 0.
Định lý 1.2. KHÔNG GIAN S' (M
d
) là ĐẦY ĐỦ.
Chúng ta sử dụng dấu ngoặc (/, G) để ký hiệu mở rộng của
tích vô hướng (/, G) — J Ỉ{T)G{T)DT trên L
2
(lR
d
) lên S (M
d
)
X

S' (M
d
).
Nhận xét 1.1.

1. Từ
(ỊTTĨỊ)

ta suy ra / < ỊỊ/||
r
00
2. Ta dùng ký hiệu ^
r
(/) để nhấn mạnh rằng phép biến đổi Fourier là một
toán tử tuyến tính tác động trên một không gian hàm.
8
Định nghĩa 1.4. Biến đổi Fourier chuẩn hóa của hàm / € íS(M
á
) được định nghĩa bởi
(1.1
2 , 2
F(UJ) / F là mật độ xác suất của động lượng. Do đó
2
J |/ (co) DUÚ là xác suất của chất điểm trong trạng thái / có động lượng của nó
trong miền I c K
á
.
Bổ đề 1.1. (Riemann - Lebesgue) NẾU F e L
1
(R
d
) THÌ / LIÊN TỤC ĐỀU
VÀ lim
|w|—>00
Ký hiệu CQ (R

d
) là không gian Banach của các hàm liên tục triệt tiêu tại vô
hạn. Khi đó Bổ đề Riemann - Lebesgue diễn đạt tính chất ánh xạ của biến đổi
Fourier như sau
T : ứ (:R
d
) -> c
0
(:R
d
) .
Nếu bỏ đi điều kiện mà biến đổi Fourier được định nghĩa theo từng điểm
bởi công thức (
1

.
1

), chúng ta có thể thác triển nó lên các không gian hàm khác.
Kết quả cơ bản là Định lý Plancherel mà chúng ta sẽ nghiên cứu sau đây.
Định lý 1.3. (Plancherel) Cho f € L
1
n L
2
(R
d
). Khi đó
ỉ
Biến đổi T mở rộng thành toán tử unita trên L
2

(R
d
) vằ thoẩ mãn
công thức Paseval
(f, à) = (/, 9) ■
Định nghĩa 1.5. Cho / G L
1
(K
d
). Biến đổi Fourier ngược của hàm /,
9
3. Nếu / là một tín hiệu, đối với một kĩ sư UJ là một tần số và / (cư) được

hiểu là biên độ của tần số UJ của tín hiệu /. Trong vật lý, UJ là biến động
lượng và
/
/M
=
ký hiệu T
1

(/) được định nghĩa bởi
T~
x
(/) (x) =
Ị
f (u) e
2 7ĩixU)
duj, € R
d

. ( 1.2)
jR
d
Từ định nghĩa trên ta có T~
L
(/) = / với F(X) = F(—X).
Định lý 1.4. Nếu f £ L
1
(R
d
) vầ f £ L
1
(R
d
) thì
f(x)= [ f (u) e
2
*
ix
“du), Vx G R
d
jR
d
nghĩa lầ T~
x
và T lầ cấc toán tử ngược của nhau.
Định nghĩa 1.6. Cho / € S' (R
d
). Biến đổi Fourier của hàm suy rộng /, ký hiệu là
T J là hàm suy rộng tăng chậm xác định bởi

ựf,
v
>) = (f,T
v
>), í-eS(R')
và biến đổi Fourier ngược của hàm /, ký hiệu là J-
_1
F là hàm suy rộng tăng
chậm xác định bởi
(7-7,^) = f > e S ( R ' ) .
Ký hiệu phép đối hợp G* là G*(T) = G(—T). Khi đó biến đổi Fourier ngược
là
ĩiỵí) ■= -T
7
“
1
/^) =
và ta có = Ệ*,VIP € <S(K
n
).
Phép tịnh tiến và phép biến điệu (dịch chuyển thời gian - tần số) được định
nghĩa lần lượt bởi
T
x
f{t) = f(t-x)
1
Ta có công thức
(ĩ;/)
a
= M.J, (M„/)

A
= TJ và M,T, =
Lấy biến đổi Fourier của đạo hàm cấp A của / ta được
(D‘fỴ (u) = (2 ma))“/M (1.3)
và
(((-2tt ixỴ)ỉ)\ù) = D‘ỉ(u) (1.4)
hoặc viết d ư ớ i dạng toán tử T D
a
= (27XÌỶ^X
01
? và T X
a
= (^-)'
a
'D
A
T .
Định nghĩa 1.7. Biến đổi Fourier thời gian ngắn của một hàm suy rộng
/ ẽ S'(M
d
) đốivới một hàm cửa sổ G G s (R
d
) khác khôngđược định
nghĩa bởi
Vgf(x, rì) = (/, M
v
T
x
g) = í f(t)g(t - x)e~
2nirỊt

dt.
J R
á
Biến đổi Fourier thời gian ngắn xác định trên M
d
nhiều cặp của các không
gian Banach. Chẳng hạn, nó ánh xạ L
2
(M
d
) X L
2
(M
d
) thành L
2
(M
2d
) và s (M
d
)
X s (M
d
) thành s (M
2d
). Hơn nữa, nó có thể thác triển thành một ánh xạ từ < S '
(R
d
) X S' (M
d

) vào S
1
(]R
2d
).
Bổ đề 1.2. Nếu f,g € L
2
(M
d
) thì Vgf là liên tục đều trên K
2d
và
v
g
f(x,u>) = (f.T
x
g)
A
(íd)
= (/, м
ы
т
х
д)
= Ụ,T
u
M-,g)
= e"
2
"“ Ự.TjỴ (-x)

= е-
2
”^/(
Ш
, -x)
= e-
2
"” (/ * M
U
G*) (ì)
v
1
= (/ * м_*г*) M
=
e
"
r i
” I
/
(
í +
2

>(
í
-|)
e
'“"‘
e
-

Đị nh l ý 1. 5. G iả s ử / i , / 2, <7 1 , 02 ẽ L
2
( M
d
), iciii đó Vg. f j G L
2
( R
2 d
) v ới j = 1,2 và
( V
9
l
f i , v
92
f
2
)
L
2
(R
2 d
) {ỈU ỉĩ) {91,92)- (1-5)
Ta nhắc lại bất đẳng thức sau
Bổ đề 1.3. ([ZỊ, Bổ đề 11.3.3) Cho go, gi, 7 € »s (M
d
) sao cho (7,01) 7^ 0
vầ / <E <S' (M
d
). Khi đó,
\V

G
J(X,R))\ < -
1

(|y
gi
/| * |V^
0

7

Ị) (æ,
7 7

),
với mọ i ( x, 77) G R
2d
.
1.2. Biểu diễn Wigner
Định nghĩa 1.8. Biểu diễn Wigner của một hàm / € L
2
(K
d
), ký hiệu là Wig/ và
xác định bởi
e
-2 *iwt
ó t
'
Biểu diễn Wigner chéo tương ứng của F

:
G € L
2
(M
á
) được định nghĩa
bởi
Wigự,g)(x,w) = J f L + g (x - (1.7)
Phân phối Wigner chéo là một biến đổi Fourier thời gian ngắn ở dạng
1.3. Hàm trọng và không gian hỗn hợp chuẩn
Trong mục này chúng ta tìm hiểu về không gian hỗn hợp chuẩn (mixed-
norm spaces) một lớp mở rộng của các không gian L
P
(R
D
) và là nền tảng để xây
dựng không gian hỗn hợp chuẩn có trọng.
v
1
Định nghĩa 1.9. Cho 1 < P,Q < oo, không gian hỗn hợp chuẩn, ký hiệu L
P,Q
là
tập hợp tất cả các hàm F(X,UJ) đo được Lebesgue trên K
2d
sao cho
Trong trường hợp P = oo hoặc Q = oo thì chuẩn trên được thay thể bởi chuẩn
cốt yếu, nghĩa là ta có
v
1
ll-^lliP,» = esssup ( / \F(X,UJ)\

P
DX j .
weK
d
\J K
d
/
Mệnh đề 1.1. Khồng gian L
p ,q
với 1 < p, q < oo vối chuẩn được định
nghĩa trong Định nghĩa\l.9\

lầ không gian định chuẩn.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh với mọi F,G G L
P,Q
thì
\\F + G\\LP’V - ll-^IL™ + II^IL™ •
Thật vậy, với P, Q < oo chúng ta có
IF +
Q \
1
/l
< ( [ ( [ +( í ( í \G\
p
dxỴ
/P
duj
\JR
d
\JR

d
J J \JR
d
\JR
d
J
— II-^IL™ + II^IIlí í ■
Với P = oo hoặc Q — oo tương tự chúng ta cũng có
\\F + G\\
L
^<\\F\\
l
^ + \\G\\
l
^
và
\\F + ^11 LP.°° — II-^IIlp
-

0 0

+ •
Vậy L
P,Q
là không gian định chuẩn.
Mệnh đề được chứng minh. □
Hơn thế nữa, chúng ta còn có:
Mệnh đề 1.2. Với mọi 1 < p, q < oo thì L
p,9
(R

2d
) lầ không giãn Bãnach.
v
1
Mệnh đề được chứng minh tương tự như chứng minh L
P
(R
d
) là không gian
Banach.
Định nghĩa 1.10. [Hàm trọng] Hàm trọng là một hàm khả tích địa phương và
không âm trên R
2d
.
Định nghĩa 1.11. Một hàm trọng V trên M
2d
được gọi là dưới tính nhân
(submultiplicative), nếu
v ( z i + z
2
) < v ( z i ) v ( z
2
) với mọi Z i , Z 2 ẽ M
2d
. (
1
.
8
)
Một hàm trọng M trên M

2d
được gọi là
1 7 - 0 1 1

hòa (^-moderate) nếu tồn tại hằng
số C >
0

sao cho
m(zi + z
2
) < Cv(zi )m(z 2) với mọi Zi, Z 2 G M
2d
. (1.9)
Hai hàm trọng m i , m
2

được gọi là tương đương và viết là
7 7 7 , 1


x
^
7 , 2

nếu có hằng
số C >
0

sao cho

C~
1
m,i(z) < m
2
(z) < Cm,i(z) với mọi z G M
2d
. (1-10)
Chú ý:
1. Từ đây về sau, chúng ta gọi V là một hàm trọng d ư ớ i tính nhân và M
là hàm trọng
1 7 - 0 1 1

hòa. Từ (1.8) ta có t>(0) > 1 vì + 0) <
1

?
2

(
0

).
2. Trong luận văn này giả thiết rằng V(X,U;) thỏa mãn
v(x, uj) = v(—X, UI) = v(x, —cư) = v(—x, —uj).
v
1
3. Nếu v là một hàm trọng dưới tính nhân bất kì và FP > 0 là hàm số liên tục
có giá compact thì V * ĨỊJ là liên tục và tương đương với V. Hơn nữa trọng
v ( x , u ;) = max{v(x, U J), v(—X , ( J j ) , v(x, —OJ), V(—X , — 6ư)}
là đối xứng.

4. Xét hàm (X) = ^1 + |a;|
2
^ và lũy thừa của nó là (X)
S
, s e l ,
Ta có
7

^
7

- —>■ 1, |x| —>
0 0

. Chúng ta chú ý rằng với M e N*
|x|
v
»(
z
)

=
(1 + M)
s =
/
J
=
(*
+ +
với mọi Z = (X, C(j) e R

2d
; s >
0

.
Chúng ta thấy rằng V
A
(Z) là tương đương với những trọng
(1
H- |rc| H- \cú\Ỵ và
^1
+ Ịz|
2
)
2
= (l + X
2
+ ÙJ
2
)* .
Ví dụ 1.2. Hàm trọng mũ kiểu
V(Z) = E
A
^ với a > O v à O < / 3 < l .
v
1
Ví dụ 1.3. Những hàm trọng chỉ phụ thuộc vào thời gian hoặc chỉ phụ thuộc vào
tần số kiểu
M(X,UJ) =
( 1

+ |x|)
s
hoặc M(X,UJ) —
( 1

+ M)
s
-
Bổ đề 1.4. a) Nếu m la một v-ôn hòa, thì ta có
1 m(z)
< m(z — t) < Cv(t)m(z).
c v(t)
b) Những trọng đa thức v
a
ỉầ dưới tính nhẫn vầ 0 < t < s thì cả Vị vầ
Vị
1
lầ v
s
-ôn hòa.
c) Nếu s > 2 d,
thì
i f ì (Z) < C,Ị(4
,v
s
V
S
J v
s

Chứng minh, a) Từ M(Z—T) < CV(T)M(Z) thÌM(Z—T+T) < CV(T)M(Z— T) và
Định nghĩa 1.11, viết Z = L + Z
!
với Z' E [0, l]
2n
, chúng ta có
m(z' + l) < Cm{l)v(z') và m{l) < Cmịl + z').v(z').
Chúng ta chọn hằng số C' 1 Ầ c
1
= c max ,
e
j
0 1
j2n V(Z
R
). b) Vì 1 +
\ZI + Z
2
Ị < (1 + \ZIỊ) + (1 + 1^21) nên với 0 < T < 5,
v
t
{zi + z
2
) < v
(
z
1
)v
t
(z

2
) < v
s
(zi)v
s
(z
2
).
Đặt Z
2

= WỊ + W
2
và ZỊ = —W
1

trong (1.14) thì
V
t
(Wị +w
2
)
1
< v
s
(wị)v
t
(w
2
)

v
1
< m(z) < Cv(z) và với mọi z £ l + [0, l]
2n
và l ẽ K
2
—m(l) < m(z) < c'm{ĩ).
c
Đặc
Cv(z
(1.1
(1.13
(1.14
-1
c) Chúng ta cần chứng minh rằng
ị (1 + |í|)
-s
(l + \x - t\)~
s
dt < c
s
(l + |z|)
_s
. (1-15)
JR
2 đ
Mà X & M
2d
, chia M
2d

thành những miền
N
x
= {t:\t-xI < và Nị = {t:\t-x\>
Nếu Ị E N
X
thì Ịí| < và do (1 + |í|)-
s
< (1 +
L
-Ệ-)~
A
< 2
S
(1 + \X\)~
S
nên
í (1 + |í|)
-s
(l + \x - t\)~
s
dt < 2
S
(1 + |;c|)
_s
í (1 + \x - t\Ỵ
s
dt.
JN
X

JN
X
Tương tự, với T G N£ chúng ta có (1 + \T — x|)
_s
< (1 + y-)
_s
và
Í (1 + |í|)
_s
(l + \X - T\)~
S
DT < 2
S
(1 + |z|)“
s
Í (1 + \X - T\)~
J
N
c J
N
c
Nếu S > 2D thì tích phân hội tụ và hằng số C
S
=
2

S + 1

/(1 + IT\)~
S

DT.
Vậy định lý được chứng minh. □
Định nghĩa
1

.
1 2

. Cho M là một hàm trọng trên M
2d
và 1 < P, Q <
0 0

. Không gian
hỗn hợp chuẩn có trọng L^
Q
(M.
2D
) gồm tất cả những hàm đo được (Lebesgue) trên
M
2d
, sao cho chuẩn
||F||
iM
= ( [ (í \F(x, uj)\
p
m(x, uiỴdx1 duj 1
v
1
'd

Vậy L^
9
xác định bởi không gian định chuẩn L
P
theo X, và một L
Q
theo
0 0

. Vì hàm
UJ !-»■ lấy giá trị trong L
Q
nên không gian L™
có thể xem như một không gian L
Q
với các phần tử thuộc Ư.
Nếu P — Q, thì L™ = L
P
M
là không gian Ư có trọng thông thường. Hơn nữa, L™
(M
2d
) bao gồm tất cả những hàm / (đo được) thỏa mãn
esssup
1

/(
2

)

1 7 7 1

(
2

) < c hay
1

/(
2

:)I < CM(Z)~
1
,
X

e M
2d
. (1-16) Theo định nghĩa về
chuẩn của toán tử, ta có ll/L«, = supơ với mọi c
771
thỏa mãn (1.16). Mệnh đề sau đây cho thấy không gian L™ cũng có các tính chất
tương tự như Ư.
Mệnh đề 1.3. Giả sử m lầ v-ôn hòa và 1 < p, q < 00 thì
a) LỰ(R
2d
) lầ một không gian Banach.
b) L
p
n

\
q
lầ bất biến qua phép tịnh tiến T
z
,z e R
2d
, và với mọi F e L
p
n
\
q
ta có
\\T,F\\^,<Gv(z)\\F\\í
ư
.,. (1.17)
c) Bất đẳng thức Hôỉder:
Nếu F € L™{R
2 d
),H <E Ly
9
'(M
2d
) với
Ấ
+ \ = 1 thì F.H e L
1
(R
2á
) và I
[ F(z)Hự)dz < ||F||

16
, \\HII . (1.18)
\J-^2i 1/m
d) Tính đối ngẫu: Nếu p, q < 00, thì (Lự)* = ư['
q
với phép toấn
m
(F, H)= 1 F{z)H{z)dz với F eưj vầH e ư
x
f.
J R
2đ
Chứng minh, a) Trước hết bằng cách chứng minh tương tự như trong
v
1
Mệnh đề 1.1 ta cũng có L™ là không gian định chuẩn. Ta sẽ chứng minh L™ là
không gian Banach. Giả sử {Ffc}, K = 1, 2 , . . . là dãy Cauchy trong
v
2
L™. Khi đó dãy {MF
K
}, К = 1 , 2 , . . . là dãy Cauchy trong L
P,G
. Do L
P,G
là không
gian Banach nên tồn tại hàm G G L
p , q
sao cho lim mFỵ = G
К—Ị oo

thì F E L
P
’
Q
. Hơn nữa
m(z)
\\
F
k -
F
\\L™ = II
m F
k -
m F
\\LP,4 = IImFk - G\\L->■
0 k h i
k
°
0
-
Do đó FỴ —> F trong LVA khi К —> oo hay L™ là không gian Banach.
b) Với 2 = (U,ĨJ), thì
Mí'=Ị/ (y \F{x - и,ш - rj)\
p
m(x,u)
p
dxỴ duj^J
=
í
í

(
í
\F{x,uj)\
p
m(x +U,ÜJ + T])
p
dxj du) I
\JR
d
R
d
) )
< С ( í (í\F(X,UJ)\
P
v(u,rjỴm(x,uj)
p
dx\ (ũư|
\j Rđ \ J
R
d J J
= Cv(z) ||F||
tb

c) Ta c ó
I F{z)H{z)dz < I
\jR
2 d
J R
v
2

trong L
P , Q
. Đặt F(Z) =
m(x, UJ)F(X,
dxd
Áp dụng bất đẳng thức Hổlder trong L
P
ta có:
[ ( Ị
\m(x ,uj)F( x,uj ).—7 oj )\d x ) d u)
F ^ C
H
{ F ) = [ F(z)G(z)dz
J R2d
là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên U^. Điều này có được từ
(1.18). Ngược lại, giả sử C là một phiếm hàm tuyến tính tùy ý xác định trên
Lnghĩa là £, e {LFA
Q
Ỵ Bằng cách chứng minh tương tự như trong không gian
Ư ta cũng suy ra tồn tại G e Ư^J
Q
' sao cho
Cự) = [ F(z)G(z)dz.
J R
2 d
Vậy chứng tỏ {L^
9
Y = Ư^J
Q
'. Mệnh đề được chứng minh. □

Mở rộng quan hệ tích chập sau L
1
* L
P
c L
P
cho những không gian hỗn hợp
chuẩn và sẽ được sử dụng thường xuyên.
Mệnh đề 1.4. a) Nếu m lầ v-ôn hòa, F e Ll(R
2d
) và G € L^
l
q
(R
2d
) thì
nghĩa là, Lị * L™ C I%*.
b) Nếu s>2d thì L“ * L°° c L°° vầ
/ U g ưg U g
I I F. G I U <C,||F|| IIGII,
Vg
v
s
Chứng minh, a) Giả sử H € LY
9
(M
2d
). Ta có
F(w)G(Z-w)H(z) R
2d

),
nên theo Định lý Fubini
\ ( F * G , H ) \ = ị f Ị F(w)G(z — w)H(z)dwdz
|-/r
2<ì
JR
2d
< ị \F(w)\( í \T
w
G{z)\\H(z)\dz)dw
theo(1.18)
jR
2d
JwL
2d
I

< Ị \F(w)\\\T
w
G\\
L
,
m
,\\Hf;f
m
dw
jR
2đ
< c Ị \F{w)\v{w)dw\\TwG\\
LV

\\H\\Ự
m
.
J R
2á
X I /
Theo tính đối ngẫu, ta có
F*G ||
IS
, = sup | < F * G , / í > | < C | | F | |
i i
| | G | |
I t
.
II u IIp' 'V' ^ 1
\\ H\\K .
,y
<1
J
l / m
và (1.19) được chứng minh.
b) Giả sử rằng F,G ẽ L^°(M
2d
). Khi đó
|f(z)l < IIFIU (1 + N1)-' và \G(z)ị < ||G||
(1
+
|z|)-,
V g V g
suy ra

IF * G(Z)\ < ỊỊ-P^slloo llơv.ll loo [ (1 + M) "í
1

+
\
Z
-
W
\)
J R
2 đ
(1.2
< c
s
Il-Fvj IIGvJoo
( 1

+ \Z\)
S
theo
(1.13)
Do đó F * G Ễ L£°(M
2d
) và
(1.20) được chứng minh. Mệnh
đề được chứng minh.
□
Định nghĩa 1.13. Không gian LỰ = L
Q
ỈP, với trọng M,

là không gian Banach của các dãy {A
M
n
} , sao cho
1 / p
Khi P = OO hoặc Q = OO thì chuẩn được chuyển thành
cận trên đúng.
Ta ký hiệu c
0

là không gian các dãy triệt tiêu tại vô
cùng.
Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng ký hiệu A <
B để chỉ A < CB với một hằng số c > 0 thích hợp và ký
hiệu A X B nếu C~
X
B < A < CB với c >
0

thích hợp.
1.4. Không gian biến điệu
Cố định một hàm Schwartz g Ỷ 0 và xét biến đổi
Fourier thời gian ngắn V gf của hàm / e /S"(M
d
) đối với
g
VJ Or, n) = (ỉ, M„T
x
g) = í -
x)e~

2
'
i
'<
t
dt
với một biểu diễn thời gian - tần số của / cho trước.
Không gian biến điệu M
P,Q
là bao đóng của lớp
Schwartz với chuẩn
ll/IU™ = \\Vgf\\
L
™ = ( [ ( [ \
V
gf (
x
^)\
p
dx)
.
\jR
d
\JR
d
J
)
Khi P = Q ta viết đơn giản M
P,P
= M

P
.
/ / y/A
|am,n||,M := ị 2J I zJ \
a
rn,nị
rm
(
m
’
n
Y I I < °
0
-
7 1 \ m /