Luận văn một số phương pháp biến phân và ứng dụng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
• • • •
NGUYỄN THỊ SEN ■
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN VÀ
ỨNG DỤNG
Chuyền ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
• • •
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Nguyễn Văn
Tuấn HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của
TS. Nguyễn Văn Tuấn.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Tuấn, người thầy đã
luôn tận tình chỉ bảo, động viên và khuyến khích tác giả trong những ngày đầu làm quen với
nghiên cứu khoa học và trong quá trình thực hiện bản luận văn. Đồng thời, tác giả cũng xin
được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2 cùng với các thầy cô tham gia giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải
tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập từ những năm còn là sinh viên cho đến
ngày hôm nay. Thêm nữa, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong trường
THPT Hàm Long, Bắc Ninh (nơi tác giả đang công tác) đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác
giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Tác giả
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của T.s Nguyễn Văn Tuấn.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Một số kết quả đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố
trong bất kì công trình khoa học nào của ai khác.
Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Tác giả

Mục lục
3
4
4
Tài liệu tham khảo 71
BẢNG KÍ HIỆU
Luận văn sử dụng những kí hiệu với ý nghĩa xác định trong bảng dưới
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong khoa học, kỹ thuật chúng ta thường gặp rất nhiều bài toán liên quan
tới giải bài toán biên với phương trình toán tử vi phân, vi tích phân.
Việc giải tìm nghiệm đúng của các bài toán này nhiều trường hợp không
giải được hoặc nghiệm đúng không có ý nghĩa thiết thực. Bởi vậy người ta
dùng nhiều phương pháp khác nhau để giải bài toán biên với phương trình toán
tử vi phân tuyến tính. Trong đó phương pháp biến phân có nhiều ưu điểm đã và
đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
đây:
N Tập số tự nhiên
N* Tập số tự nhiên khác không
z Tập số nguyên
Q Tập số hữu tỷ
R Tập số thực
c Tập số phức
C[a; 6] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, 6]
C

K

[A-B] Tập tất cả các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục đến
cấp K

trên [A,

6]
L
2
[a; B] Tập tất cả các hàm bình phương khả tích trên [A,

6]
SPAN(A
)
Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính các phần tử trong A
0
Tập hợp rỗng.
6
Do vậy, nhờ sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Văn Tuấn
tôi đã chọn và nghiên cứu đề tài:
“ Một số phương pháp biến phân và ứng dụng”.
Bố cục của luận văn gồm 3 chương:
Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm của giải tích hàm, khái
niệm không gian hàm spline đa thức, sai số và khái niệm về phương trình tích
phân.
Chương 2 của luận văn tập trung trình bày phương pháp Galerkin và
phương pháp collocation.
Chương 3 của luận văn trình bày ứng dụng của phương pháp Galerkin và
phương pháp collocation giải phương trình vi phân bậc cao, phương trình vi
tích phân Fredholm - Volterra và ứng dụng giải số bằng lập trình Maple 14.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu khái niệm và các tính chất cơ bản của hai phương pháp biến phân:
phương pháp Galerkin và phương pháp collocation.

- Nghiên cứu ứng dụng của hai phương pháp biến phân trên trong việc giải
phương trình vi phân, phương trình vi tích phân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu khái niệm và các tính chất của hai phương pháp biến phân ở trên.
- Nghiên cứu ứng dụng của hai phương pháp biến phân ở trên trong giải phương
trình vi phân và phương trình vi tích phân.
- Nghiên cứu về lập trình Maple để ứng dụng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiền cứu
- Đối tượng nghiên cứu: "phương pháp Galerkin và phương pháp collocation".
- Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm, tính chất, ứng dụng vào giải phương trình
vi phân, phương trình tích phân. Lập trình Maple để giải các bài toán đặt ra.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp và phương pháp lấy ý kiến
chuyên gia.
6. Giả thuyết khoa học
Áp dụng phương pháp Galerkin và phương pháp collocation
cho một lớp phương trình vi phân, vi tích phân bậc cao
thu được nghiệm xấp xỉ với độ chính xác cao.
8
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
[Kiến thức trong chương này được trích dẫn từ tài liệu [1 ]

và [4])
1.1. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm
1.1.1. Không gian tuyến tính
Định nghĩa 1.1.1.

Cho tập hợp X

7
^ 0

cùng với một phép toán hai
ngôi viết theo lối cộng (+ )

và một ánh xạ :

K X

X
—> X. Với mỗi a E

K
và mỗi X e

X thì phần tử ip (a,

X)

được gọi là tích
của số a với phần tứ
X và được kí hiệu là ax. Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:
1) X + y = y + X, Va;, y e X;
2) X + (y + z) = (x + y) + z, Vx, y, z e X;
3) Trong X tồn tại phần tử 9 sao cho X +

9 =

9 +

x,\/x € X;
4) Với mỗi phần tử X E

X, tồn tại phần tử đối (— x)

£ X sao cho
X + (-à?) = 6;
5) l.x =

X, \fx G

X ;
6) a (

ßx) =

(aß) X, Va,

ß G K,Vx G X;
7) (a + ß) X = ax + ßx, Va, ß €: X, Vx G X;
8) o; (:r + y) =
0:2
+ ay, Vqí €: ÜT, V:r, y £ X .
9
Khi đó ta nói rằng X

là một không gian tuyến tính trên trường K, K

là

trường số thực R hoặc trường số phức c và mỗi phần tử X

e X

được gọi là một
vectơ; còn các điều kiện trên được gọi là các tiên đề về không gian tuyến tính.
VÍ DỤ

1.1.1. Dễ dàng kiểm tra C

[a, B]

là một không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.2.

Cho X là một không gian tuyến tính trên trường
K.
n
Các vectơ Xị, x
2

,

x
n
G

X gọi là độc lập tuyến tính nếu Ỵ2
a
i

x
i =

ỡ
i
=1
kéo theo OLị =

0
=

1
,

2
,

n.
Các vectơ Xi, X
2
, ■■■ x
n
e

X gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu chúng
không độc lập tuyến tính.
Định ngh ĩa 1.1 .3.

Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường
K.

Một hệ vectơ trong X gọi là hệ sinh của X nếu mọi vectơ của X đều
biểu thị tuyến tính theo hệ đó.
Nếu X có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì X được gọi là một
không gian tuyến tính hữu hạn sinh.
Một hệ vectơ trong X gọi là một cơ sở của X nếu mọi vectơ của X đều
biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó.
Định nghĩ a 1.1. 4.

Giả sử X là không gian tuyến tính hữu hạn sinh.
Khi đó X có cơ sở hữu hạn và số phần tử của các cơ sở trong X đều như
nhau. Số đó được gọi là số chiều của không gian tuyến tính X.
Nếu X là một không gian tuyến tính trên trường K có số chiều n ta
viết
dimX = n hoặc dim^x =

n
1
Định nghĩa 1 .1.5.

Một tập con khấc rỗng M của không gian tuyến tính
X gọi là một không gian con tuyến tính của X nếu nó ổn định với hai
phép toán của X, nghĩa là thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Vx, y G -M, X + y G M;
2) ẼM,VaẼ K,AX

G M.
1.1.2. Không gian metric
Cho X

là một tập tùy ý.

Định nghĩa 1.1.6.

Một metric trong X là một ánh xạ
D

: X X X R
của tích X X X vào đường thẳng thực thỏa mãn các điều kiện sau đẫy:
1) D (X, Y

) > 0, Va;, Y

e X;
2) d {x, y) = 0 <=> X = y;
3) d (

X, y) = d (

y, x),Vx, y e

X;
4) d (X, y) < d (X, z) + d (z, y), Vx, y, z G X.
Một không gian metric là một tập hợp cùng với một metric trong tập hợp
ấy. Các phần tử của một không gian metric được gọi làđiểmcủa
không gian ấy; số d (X, y) được gọi là khoảng cách giữa các điểm X và y.
Định n ghĩa 1.1.7.

Một dãy điểm (

x
n

),

n = 1,2 ,

trong không gian
metric X gọi là hội tụ đến điểm a & X nếu:
lim D

(A

, X

N

)

= 0.
n—¥ 00
Khi đớ

;



ta kí hiệu
lim

x
n

= a hoặc x
n
a khi n oo.
1
n
—>00
Định nghĩa 1.1.8. -Dãy điể m (x

n

)

được gọi là dãy cơ bản trong không
gian metric X nếu với mọi £ > 0

cho trước, đều tồn tại một số n
ữ
sao
cho với mọi n > n
0
và m > n
ữ
ta đều có
d(x
n
, x
m
) < e.
Nói cách khác, ta có
lim

d(x
n
,x
m
) =

0
.
n, m-¥0o
Định nghĩ a 1.1.9.

Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu
mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X.
Định nghĩa 1.1 .10.

Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ
f : X Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số a với 0 <

a < 1 sao
cho với mọi x,x' G

X ta đều có
d (/ (x), f (x')) < ad (x, X
1
).
Định lý 1.1.1.

(Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X là không gian metric
đầy đủ, và f : X Y là ánh xạ co của X vào chính nó. Khi đó tồn tại một

và chỉ một điểm X* & X sao cho f (

X*) = X*.
1.1.3. Không gian định chuẩn
Giả sử X

là một không gian tuyến tính trên trường K.
Định nghĩa 1.1 .11.

Một chuẩn, kí hiệu ||.||

;



trong X là một ánh xạ đi
từ X vào M

thỏa mãn các điều kiện:
ll^ll > 0 với mọi X e X;
2) ||x|| =0 khi và chỉ khi X = 6;
3) ||Ax|| = |A| ||a;|| VỚI MỌI SỐ X

e K VÀ MỌI X

G X;
4) IIX + Y

II < ||x|| + II//II VỚI MỌI

X, Y

G X.
1
Số ||a:|| gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ X £ X.

Một không gian tuyến
tính X

cùng với chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là một không
gian tuyến tính định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo K

là thực hay phức).
Định lý 1.1.2.

Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi X,

y €
X, đặt
d(x, y) =

\\x - y\\.
Khi đó, d là một metric trên X.
Định nghĩ a 1.1. 12.

Dãy (

x
n

)

trong không gian định chuẩn X được gọi
là hội tụ đến x
0
€

X nếu l im II

x
n
— Xo II = 0.
n—¥QO
Khi đó, ta kí hiệu
lim x
n
= XQ h o ặ c x
n
— > XQ, k hi n — > oo.
n—¥ 00
Định nghĩ a 1.1. 13.

Dãy (

x
n

)

trong không gian định chuẩn X được gọi

là một dãy cơ bản nếu
lim \\X

M

— £„11 = 0.
ra, n—>00
Định nghĩa 1.1.14.

Giả sử không gian định chuẩn X ỉà một không gian
metric đầy đủ (với khoảng cách d (

X,

y) = II a; —

y\\). Khi đó X được
gọi là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi ỉà không gian
Banach.
Định nghĩa 1.1. 15.

Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường
K. Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính
nếu thỏa mãn:
1) A(x + y) =

Ax + Ay với mọi X, y e

X;
2) A{ax) =

aAx với mọi X €

X, a €

K.
1
A

cũng được gọi là toán tử tuyến tính. Khi đó, nếu A

chỉ thỏa mãn 1) thì A


được gọi là toán tử cộng tính; nếu A

chỉ thỏa mãn 2) thì A

được
gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = K

thì toán tử tuyến tính A

được gọi
là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.1 .16 .

Cho không gian định chuẩn X và Y. Toán tử tuyến
tính Ả từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng
số c >

0


sao cho:
||^4x|| < c ||.r|| , với mọi X & X.
1.1.4. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.17.

Cho X là không gian tuyến tính trên trường K. Ta
gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X X
X vào trường K, kí hiệu (.,.)>

thỏa mãn cấc tiên đề:
1) (y, X) = (X, y) với mọi x,y E X;
2) ( x + y, z ) — (X , z ) + (y , z ) v ớ i m ọ i X , y, z E X ;
3)

(ax, y) = a (X, y) với mọi x,y € X, vồ raọi số a; €
(x, x) >0 nế« X Ỷ 0 với mọi X e X;
5) (x,x) = 0 nế« X = d vói mọi X £ X.
Các phần tử X,Y,

Z

.

gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (X, Y

)

gọi là tích vô hướng của hai nhân tử X và y; các tiên đề 1),2), 3), 4), 5)
gọi là hệ tiên đề tích vô hướng.
Định ng hĩa 1 .1.18.

Không gian tuyến tính X trên trường K cùng với
một tích vô hướng trên X gọi là không gian tích vô hướng.
1
Định lý 1 .1. 3.

Cho X là không gian tích vô hướng. Với mỗi X G

X, ta
đặt | |xỊỊ =

y/(

X, X) .

Khi đó, ta có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳng
thức Schwarz )
|(z, y)I < INI . \\y\\ , Vx, y G X
Từ bất đẳng thức trên có thể chứng minh được rằng mọi không gian tích vô
hướng đều là không gian định chuẩn, với chuẩn ||a;|| = y/(X, X)
Định ngh ĩa 1.1.19.

Ta gọi không gian tuyến tính H ^ 0

trên trường K
là không gian Hilbert H thỏa mẫn các điều kiện:
1) H là không gian tích vô hướng;

2) H là không gian Banach với chuẩn ||a ;|| =

y/(

X,

X)

với X G

X.
Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H

là
không gian Hilbert con của không gian H.
1.2. Spline đa thức bậc ba
Xét phân hoạch 7r trên đoạn [A,

B

] với các mốc nội
suy
a = t
0
< tị < t
2
< < t
n
= b
Kí hiệu HI

= TỊ—TỊ

-1 , nếu HI

= H

= CONST

thì các mốc nội suy T

ữ
, TI,
£
n
gọi là các mốc nội suy cách đều.
Định nghĩa 1.2 .1.

Một spline đa thức bậc ba trên đoạn [a,b] với phăn
h o ạ c h 7 T l à h à m s ố y — s ( t ) t h ỏa m ã n h a i đ i ề u k i ệ n s a u :
1) s (t ) e c
2
[ a , b ] ;
2) Hạn chế của s(t)

trên mỗi khoảng Aj =

[tị, tị
+
1

]

là đa thức đại số (s(t)|
A

J

với deg (s(í )|

A i

) < 3,Vi = 0,1,2,
1
Không gian gồm tất cả các hàm số S(T

) thỏa mãn hai điều kiện trên kí hiệu
là 63 (7ĩ) .
Mện h đề 1.2.1 .

Không gian S
3
(tĩ) là không gian tuyến tính và không
gian đó chứa tất cả các đa thức có bậc nhỏ hơn bằng 3.
Bài toán 1.

Tồn tại duy nhất hàm s(t) € ^(tt)

thỏa mẫn điều kiện
s' {to) = ỉ' (to)
< s(tị) = f(ti), 0 < i < n (1.1)

(tn) = ỉ' (t
n
)
Khi đó, s(t)

được gọi là spline đa thức bậc ba nội suy của hàm số f(t).
Xây dựng sự tồn tại của hàm S(T)

với các mốc nội suy cách đều TỊ

=
ỉ (b — a)


z
, ,
t
0
H băng cách bố sung thêm bôn môc nội suy í_2 < í-1 < t
0
,
n
1
T

n+
2 > Í
n+
1 > T

N

,

và định nghĩa lớp hàm -Sj(í) như sau /
(í - íi-
2
)
3
, nếu T

<E [íi_2, íi-i]
/ỉ,
3
+ 3/i
2
(í - íj_i) + 3h { t - íj-i)
2
- 3( t - íj_i)
3
,nếut e
[ t ị _ 1, íj]
/i
3
+ 3/ì
2
(íị+1 - T)

+ 3/i(íị
+

i - í)
2
- 3(T

I +

I

-

í)
3
, nếu T

£

[TỊ, T

I +

1]
(T

i+
2 - í)
3
, nếu í e [T

I +

1,í
i+2
]
0 nếu T

không thuộc các trường hợpbên trên
Mệnh đề 1.2.2. BỊ(T) € S
3
(ĨT).
Mệnh đề 1.2.3. Tạp 'B =

{£_ 1, B
0
, -Bn+i} /àđộc LẬP

TUYẾN TÍNH VÀ

B3 (tt)
=
span^B là không gian tuyến tính n + 3chiều.
Định lý

1.2 .1.

Tồn tại duy nhất hàm s (

t)

E B
3

(

7
r) /à

nghiệm bài toán
1
Định lý 1.2.2.
5
3
(7t) = B
3
(ĩr).
Hệ quả 1.1.

53
(

7
r) /à

không gian tuyến tính n + 3

chiều với hệ cơ sở
!B = {.B-1, i?0, •••5 -Sn+i} •
Hệ quả 1.2. Tồn

tại duy nhất spline bậc ba s(t) /à

nghiệm của bài toán

1
.
-í/ ara

s(t)

như vậy gọi là spline đa thức bậc ba nội suy của f(t).
1.3. Sai số và xấp xỉ tốt nhất
1.3.1. Sai số
Định nghĩa 1.3.1 .

số a được gọi là số gần đúng của số a* nếu a sai khác
với a* không nhiều.
Kí hiệu: a «

a*.
BI

(í) -
ft
3 í
Định nghĩa 1.3.2 .

Đại ỉượng

A

=

(a*

—

a) được gọi là sai số thực sự của a.
Nói chung, ta không biết được A*

nên không biết Л . Tuy nhiên ta có thể ước lượng sai số
thực sự của A

bằng số dương A
0
> 0 sao cho
\a* -a\<A
a
(
1
.
2
)
Định nghĩa 1 .3. 3.

số A
a
nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (1.2)

gọi là sai số tuyệt đối
của a.
Khi đó a* = a

±

A
a
.
Đinh nghĩa 1.3.4 .

số ỏa = —^

đươc дог là sai số tương đối của a.
M
Rõ ràng A
a
và Ỗ

A

càng nhỏ càng tốt.
1.3.2. Xấp xỉ tốt nhất
Định nghĩa 1.3.5.

Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn ll- ỊỊ,

M

С
X là một tập con của X và p €

X. Điểm y
ữ
e

M được gọi là xấp xỉ tốt nhất tới p từ M
nếu
\\p-vo\\ < \\p-y\\ ,Vy e M.
xấp xỉ tốt nhất có thể tồn tại, có thể không tồn tại.
Định lý 1.3 .1.

Nếu X là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn | |.||

và X
N
là
k h ô n g gian con hữu hạn chiều của X thì với mỗi X e

X tồn tại xấp xỉ tốt nhất Xn

g
Xn; do đó
||æ — Æivll = min ||æ — Y

II .
y£X?f
Định lý

1.3 .2.

Xấp xỉ tốt nhất từ không gian con hữu hạn chiều (đóng) của không
gian tích vô hướng là duy nhất.
1.3.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ
Cho đoạn [a, B],

chia đoạn [A, B]

thành N

phần bằng nhau bởi các điểm chia tị, i = 0, n
thỏa mãn:
t
0
= a < ti < t
2
< < t
n
= b
Đặt
6 — A
h =
n
Giả sử X là nghiệm đúng và X
N
là nghiệm xấp xỉ của phương trình đã cho (theo phương pháp
xấp xỉ nào đó). Nếu có:
Ị|z —
XN\\
<
MH
K
với M

là hằng số dương không phụ thuộc vào H

và K

thì ta nói nghiệm xấp xỉ Xỵ đạt tốc độ
hội tụ bậc k tới nghiệm đúng X.
1.4. Ma trận đường chéo trội
Định nghĩa 1.4.1 .

Cho ma trận vuông A

= (DIJ)
N
.
=R
Ma trận A có tính chất đường chéo trội nếu nó thỏa mãn một trong hai tính chất
sau:
!) Ề l
ữ
ijl < |a«l , Vi =
1
,
2
, n;
2
) Ề kjl < Kjl , Vj = 1,2,n.
Định lý 1.4.1.

Ma trận A có tính chất đường chéo trội thì A không suy biến.
Khi đó hệ phương trình AX = Y

luôn có nghiệm.
1.5. Khái niệm về phương trình tích phân
1.5.1. Phương trình toán tử
Cho A

là toán tử từ không gian định chuẩn X

vào chính nó.
Định nghĩa 1.5.1. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
Au = f (1.3)
trong đó, f E

X cho trước được gọi là phương trình toán tử loại I. Phương trình
dạng
u = X Au + f (1-4)
trong đó, f £ X cho trước, tham số X € K được gọi là phương trình toán tử loại II.
Nếu A

không giả thiết tuyến tính tức A

phi tuyến thì các phương trình (1.3) và (1.4) gọi là
các phương trình toán tử phi tuyến.
1.5.2. Phương trình tích phân
Định nghĩa 1.5.2. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
b
Ị K (t, s)u(s)ds = f (í),

(1.5)

a

với K(t , s) là hàm số hai biến (t, 5) € [a, b] X [a, 6] cho trước, u là hàm
số liêntục trên đoạn [a, b\, được gọi là phương trình tíchphân tuyến tính
loại I.
Phương trình dạng
b
u(t) = X I K (t, s)

u (

5
)

ds + f (

t),

(1.6)

với K(t,s)

là hàm hai biến (

t,

5) € [a, 6 ] X [a, 6]

cho trước, u(s) /à

hàm liên tục
trên đoạn [a,b]; tham số X E K, được gọi là phương trình tích phân tuyến tính loại II.

Định lý 1.5.1.

Cho K(t,s)

ỉà hàm hai biến

(t, s) G [a ,

6
] X [a,

b], u(s) Zà

hàm số
liên tục trên đoạn [a,

6
]

hay u(s) €

c [a,

6
].

Dặt
b
{Au) (í) = /

K (t, s)

u (s) ds.
a
Khỉ đó, A là toán tử tuyến tính từ c [a, b] vào c [a, 6] .
Định nghĩa 1.5.3 .

Cho toán tử tuyến tính liên tục A
• A được gọi là toán tử tích phẫn Fredholm nếu
b
(Au) (t) =

J K (t, s)

u (

s)

ds
a
trong đó, hàm K(

t,

s) gọi là nhẫn của các toán tử tích phân.
• A là toán tử tích phân Volterra nếu
t
(Au) (t) = Ị K [t,

5)

u (

5)

ds
a
trong đó, hàm K(

t,

s) gọi là nhân của các toán tử tích phân.
Nếu A là toán tử tích phân Ferdhoỉm thì tương ứng với ( 1.3)

và (1.4)

ta có
phương trình tích phân Fredholm loại I và loại II. Nếu A là toán tử tích phân
Voỉterra thì tương ứng vôi (1.3)

và (1.4)

ta có phương trình tích phân Volterra loại
I và loại II.
Chương 2
Một số phương pháp biến phân
(Kiến thức trong chương này được trích dẫn từ tài liệu [2], [5]

và [7])
2.1. Phương pháp biến phân

Khái niệm 2.1.1.
Cho X,

Y là các không gian tuyến tính định chuẩn với các chuẩn kí hiệu
tương ứng II

\\
x
, II II

Y và Ả là một toán tử xác định
A :X

y U

ì-» AU
Xét phương trình
Au = f
trong đó, f là phần tử đã biết thuộc Y.
Giả sử X
N
là không gian con N— chiều của X và {

01
,

ộ
2
,

ỘN} là
một cơ sở của X
N
.
Khi đó, phương pháp biến phẫn là một thuật toán xác định U
N
thuộc
X
N
CÓ dạng
UN = CIỘI
+
C2Ộ2
+ ••• + C]V0ÌV
sao cho
IIAU
N
- /lly + \\U
N
- U\\
X
nhỏ nhất có thể.
Các phương pháp biến phân cơ bản:
2
1) Phương pháp bình phương nhỏ nhất
2) Phương pháp Rayleigh-Ritz
3) Phương pháp collocation
4) Phương pháp Galerkin
5) Phương pháp sai phân hữu hạn
Các phương pháp biến phân kể trên được quan tâm nghiên cứu trong và ngoài nước.

Trong luận văn này tôi trình bày hai phương pháp thường được dùng trong giải gần đúng
các phương trình toán tử. Đó là phương pháp Galerkin và phương pháp collocation.
2.2. Phương pháp Galerkin
2.2.1. Định nghĩa
Định ng hĩa

2
.

2
.

1
.

Cho X là không gian tích vô hướng với tích vô hướng kí hiệu là
(., .)

và A là toán tử tuyến tính (hoặc phi tuyến) với miền xác
2
định T> (^4 ) c

X và miền giá trị & (A) c

X.
Giả sử XN và Yỵ là các không gian con N— chiều của X sao cho X
N
c

T> (A), Y

N
c
‘R.(A) và

{ội,

02
, • ••,

ỘN} là một hệ cơ sở X
N
; {'ộiĩ "

02
)

IPN} ỉà một hệ cơ sở của Y
N
.
Xét phương trình toán tử
Au = /
trong đó, f là phần tử cho trước thuộc X.
Khi đó phương phấp Gaỉerkin là xác định nghiệm UN e

X
N
thỏa mẫn hệ phương
trình
(2.2)
Nếu A

là toán tử tuyến tính thì hệ (2.2) trở thành
(2.3)
Nếu chọn TPJ = ỘJ , J

= 1, 2, N

thì hệ (2.3) trở thành
(2.4)
hoặc
(Aậi, ội) Ci + (^402) ộl) C2 + ••• + {Ảộ
N
, ội) Cjv — (/, ộl) (
AẬI
, 0
2
) Ci +
(AẬ
2,
Ộ2) C2
+ + (
ẢỘ
N
,
Ộ2) CN
—
(/5
Ộ2)
(Aội, ỘN)
C

1 + (^402; ỘN)
C
2 + + (Ảệ
N
, Ộ
N
) C
N
— (/, Ộ
N
) .
(2.
(2.
2
Như vậy phương pháp Galerkin là phương pháp đi tìm nghiệm gần đúng của phương trình
(2.1) có dạng
U n — Ci ộ i + C 2Ộ 2 + + C n Ộn
trong đó, CI, c
2
, C j v là nghiệm của hệ phương trình đại số (2.5).
Nếu toán tử A

là toán tử tuyến tính đối xứng và xác định dương thì ta giải hệ (2.3) bằng
phương pháp Rayleigh - Ritz. Tuy nhiên, toán tử Ả không đối xứng và không xác định dương thì
áp dụng phương pháp Galerkin.
Ta xét ví dụ
VÍ DỤ

2.2.1. Sử dụng phương pháp Galerkin xấp xỉ nghiệm của phương trình
1

u" — 2

tu' + u + Ị t.u (

s)

ds = t
2
(0 <

t < 1)

(2.6)

0
Lời giải Đặt
1
Au (

t) =

u" (

t) — 2

tu' (

t)

+ u(t) + Ị t.u (

5
)

ds.
0
Khi đó, A

là toán tử tuyến tính có miền xác định là C

2

[0,1] và miền giá trị trong C

[0,1].
Phương trình (2.6) trở thành
Au = f, (2.7)
trong đó, / G C

[0, 1], F(T) = T

2

.
Chọn
01
(t) =
1
, Ộ2 (í) = t
03 (í) = T

2

,

04 (í) = T

3

.

2