Luận văn tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền hartogs banach

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư
PHẠM HÀ NỘI 2
• • • •
VŨ THỊ NGỌC
TÍNH HYPERBOLIC VÀ HYPERBOLIC ĐẦY CỦA MIÈN HARTOGS BANACH
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC
• • • Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ TÀI THU
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Lê
Tài Thu.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Lê Tài Thu, người đã luôn quan tâm,
động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, Phòng sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy chuyên ngành
Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có
thể hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 20lị
Vũ Thị Ngọc
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn
trực tiếp của TS. Lê Tài Thu.
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học
dưới sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 20lị
Vũ Thị Ngọc
Mục lục
3
4

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết các không gian phức hyperbolic được Kobayashi xây dựng lần đầu tiên vào
những năm 70 của thế kỷ XX là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của
giải tích phức. Trong những năm gần đây, lý thuyết này đã thu hút sự quan tâm của
nhiều nhà toán học trên thế giới. Những công trình nghiên cứu đó đã thúc đẩy hướng
nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ và đã hình thành nên một chuyên ngành mới của
giải tích toán học, đó là giải tích phức hyperbolic. Từ đó đã tìm thấy những mối liên
hệ bất ngờ và sâu sắc với nhiều lĩnh vực khác của toán học, đặc biệt là bài toán thác
triển ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức và bài toán về tính hữu hạn của tập tất cả
các ánh xạ phân hình giữa hai lớp nào đó các không gian phức. Theo quan điểm của
A. Weil, s. Lang và P. Vojta, bài toán sau cùng này có liên quan mật thiết với hình học
đại số và hình học số học. Có thể nói giải tích phức hyperbolic đang là một lĩnh vực
nghiên cứu nằm ở chỗ giao nhau của nhiều bộ môn lớn của toán học: Hình học vi
phân phức, Giải tích phức, Hình học đại số và Lý thuyết số.
Một trong những hướng nghiên cứu của giải tích phức hyperbolic là nghiên cứu tính
chất hình học của các miền. Miền Hartogs đã được nghiên cứu từ lâu trong giải tích
phức. Việc nghiên cứu các tính chất hình học của miền Hartogs trong không gian
phức hữu hạn chiều dưới góc độ của giải tích phức hyperbolic, đặc biệt là tính
hyperbolic đầy đã được khảo sát tương đối chi tiết. Tuy nhiên việc khảo sát một cách
hệ thống các tính chất hình học của miền Hartogs trong không gian giải tích Banach
chiều vô hạn còn ít được quan tâm.
6
Với những lý do trên, chúng tôi đã lựa chọn hướng nghiên cứu về tính hyperbolic và
hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không gian giải tích Banach.Với tên đề tài là:
“Tính Hyperbolic và Hyperbolic đầy của miền Hartogs Banach”
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không gian

phức.
Chương 3. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy của miền Hartogs Ba- nach.
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống lại một số kết quả đã biết về tính hyperbolic, hyperbolic đầy của miền
Hartogs trong không gian phức sau đó mở rộng một số kết quả sang không gian giải
tích Banach.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các dấu hiệu nhận biết tính hyperbolic và hyperbolic đầy của không gian
phức, tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không gian phức và
mở rộng một số kết quả sang không gian giải tích Banach.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu là tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền Hartogs
trong không gian phức và không gian giải tích Banach.
• Phạm vi nghiên cứu là miền Hartogs trong không gian phức và trong không gian
7
giải tích Banach.
5. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết nhiệm vụ của đề tài chúng tôi đã vận dụng một cách linh hoạt các kết
quả của hình học giải tích phức, giải tích phức nhiều biến. Đặc biệt là sử dụng những
kết quả và kỹ thuật mới gần đây của giải tích phức hyperbolic để khắc phục những
khó khăn nảy sinh trong quá trình nghiên cứu.
6. Những đóng góp mới
Hệ thống lại một số kết quả đã biết về tính hyperbolic,
hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không gian phức.
8
Mở rộng được một số dấu hiệu để nhận biết tính
hyperbolic, hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không
gian giải tích phức sang không gian giải tích Banach.
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị
Nội dung của chương là hệ thống một số khái niệm về giả khoảng cách Kobayashi,

biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi. Sau đó đưa ra định nghĩa về
không gian phức hyperbolic và không gian phức hyperbolic đầy. Định nghĩa hàm
điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới và đưa ra định nghĩa miền Hartogs.
1.1. Giả khoảng cách Kobayashi
1.1.1. Giả khoảng cách
Giả khoảng cách d trên tập X là một hàm
d:X xX ^ X (x,y)
^ d(x,y)
thỏa mãn ba điều kiện sau
i) d(x, y) > 0 với mọi X, y € X
ii) d(x,y) = d(y,x) với mọi x,y £ X
iii)d(x, y) < d(x, z) + d(z, y) với mọi x,y,z £ X
Nếu d chỉ thỏa mãn ii) và iii) và d(x, y) > 0 với mọi X, y £ X và X Ỷ y thì d
được gọi là khoảng cách trên X.
1.1.2. Khoảng cách Bergman Poincaré
£) = {;zeC:|;z|<l}là đĩa đơn vị trên mặt phẳng phức. Trên D ta xét khoảng cách
Bergman Poincaré cho bởi
1 + 1*1
PD{0,Z) = log
z — b
■=— là một tự đẳng cấu của D mà
Lấy a,b £ D, phép biến đổi w :
1 — bz
biến b thành 0 và biến a thành =, vì vây
1 - ab
1.1.3. Giả khoảng cách Kobayashi
Kí hiệu Hoỉ (D,x) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X, được trang bị tôpô
compact mở.
Giả sử X là một không gian phức, X và y là hai điểm tùy ý của X. Xét dãy các điểm
Po = = y của X, dãy các điểm ữ i , a

2
, ữ j f c của
D và các dãy ánh xạ chỉnh hình /i, /2,fk trong Hol(D, X) thỏa mãn
fi{0) = Pi-U fi{ di) = Pi',Vi = 1, k
T ậ p h ợ p a = { p
0
, . . . , p
k
e x , a
u
a
2ì
. . . , a
k
G D , / 1, / 2, / f c G
H o l ( D , x ) } thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình
nối X và y trong X.
Ta định nghĩa,
với mọi z £ D
1 -
PD (a, b) =
1
+
a
—
b 1
1 -
a
—
1

với mọi a,b G D.
dx{x,y) = inf <
trong đó, íì
x

y
là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối X và y trong X.
Dễ thấy dỵ thỏa mãn các tiên đề về khoảng cách, tức là:
• dx (X, y) > 0 với mọi X, y e X,
• d x (X , y ) = d
x
{ y, X) với mọi X , y G X ,
• dx (a;, y) < dx (x, z) + dx (z, y) với mọi x,y,z € X.
Nói cách khác dx : ^ X ^ -X” là một giả khoảng cách trên X và gọi là
k
giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X. Tổng Ỵ2 PD(0,0>i)
i= 1
được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình.
1.1.4. Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi
ỉ) Nếu / : X —»• Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì / làm giảm
khoảng cách, tức là
dx{x,y) > dY{f{x),f(y)) với mọi x,y e X
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi / là song chỉnh hình. Hơn nữa dx là giả khoảng
cách lớn nhất trên X thỏa mãn ánh xạ chỉnh hình / : D —»■ X là giảm khoảng cách.
ii) Giả sử X là không gian phức. Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi
dx '■ X X X —»• X là hàm liên tục.
ỉii) Nếu D là đĩa đơn vị trong X thì giả khoảng cách Kobayashi trùng với giả khoảng
cách Bergman Poicaré.
1.2. Không gian phức hyperbolic
1.2.1. Không gian phức hyperbolic

Không gian phức X được gọi là không gian Hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi) nếu
giả khoảng cách Kobayashi d
x
là khoảng cách trên X, tức là
dx(p,q) = 0 p = q với mọi p, q e X.
1.2.2. Một số tính chất của không gian phức hyperbolic
Tính chất 1.2.1. Nếu X, Y là các không gian phức, thì X X Y là không gian
hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic.
Chứng minh. Vì phép chiếu 7ĩ : X xY —> X là ánh xạ chỉnh hình nên 7T là giảm
khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi trên X X Y và trên X, tức là
dx xY{ {x, y) , > dx {x, x
!
)
Lý luận tương tự với phép chiếu 7r' : X X Y —> Y ta có
dxxYÌ(x,y), {x',y1)) > dY{y, y')
Do đó
dxxY{ {x, y), (x',y ')) > max{dx (x, x'),dY{y, y' )}
Như vậy ta suy ra điều phải chứng minh. □
Tính chất 1.2.2. Giả sử X là không gian phức con đóng của không gian phức Y. Nếu
Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác, không gian con của một
không gian hyperbolic là hyperbolic.
Chứng minh. Vì phép nhúng chính tắc i : X —> Y là ánh xạ chỉnh hình nên theo
tính chất giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobayashi ta có ngay điều phải
chứng minh. □
Ví dụ:
+ Đĩa D
r
và đa đĩa D™ là hyperbolic
+ Một miền bị chặn trong D
m

là hyperbolic, vì nó là tập con mở của tích các đa đĩa.
1.3. Không gian phức hyperbolic đầy
Không gian phức X được gọi là hyperbolic đầy nếu X là hyperbolic và mọi dãy
Cauchy đối với khoảng cách dx đều hội tụ trong X.
Ví dụ: Các đĩa và đa đĩa là hyperbolic đầy.
Định lý 1.3.1. Nếu X là một không gian phức hyperbolic, thì dx được xác
định là tôpô của X.
Mệnh đề 1.3.2. Cho X ỉà một không gian con phức của không gian phức
Y.
(1)Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic
(2)Nếu Y là hyperbolic đầy và X là tập đóng thì X củng là hyperbolic đầy.
1.4. Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi
1.4.1. Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp
Royden [5] đã xây dựng trên mỗi đa tạp phức X giả mêtric vi phân Royden -
Kobayashi Fx trên không gian tiếp xúc TX như sau:
Fx (x, V) = inf I 3f €E Hol(Dr, M) sao cho /(0) = X va f'(eo) = V
Royden đã đưa ra công thức biểu diễn giả khoảng cách Kobayashi trên
đa tạp
trong đó Qp q là tập hợp tất cả các đường cong liên tục từng khúc nối p với
q, tham số hóa bởi t e [0,1].
Ngoài ra, Royden đã chứng minh rằng:
i) F
x
là hàm nửa liên tục trên trên TM
ii) X là hyperbolic khi và chỉ khi với mỗi p € X, tồn tại lân cận mở ư của p trong
X và hằng số c > 0 sao cho F
x
(x,v) > C.H(x,v) với mọi
V £ T
x

X và với mọi X £ u, trong đó H là metric Hecmit trên TX.
Mở rộng kết quả của Royden sang không gian phức ta có:
1.4.2. Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi trên không
gian phức
Định nghĩa 1.4.1. Giả sử X là không gian phức, TX là không gian
d
tiếp xúc Zariski của X, e0 = Q Ị^=o € T
ữ
D
r
sao cho ip'{
u
) —
v
-
dz
Nón Royden - Kobayashi FX được xác định:
ConX = V € TX] 3(p € Hol(Dr, X), 3u € T0.Dr sao cho <//(«) = V
Giả mêtric vi phân Royden - Kobayashi Fx là hàm trên TX được xác định như sau:
,v ị ConX
Định lý 1.4.2. Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi với mỗi
p G l , tồn tại lăn cận mở u của p trong X và hằng số c > 0 sao cho
Fỵ(x,v) > C.H(x,v) với mọi V G TxX và với mọi X G u, trong đó H là
mêtrỉc Finsler trên TX.
Venturini [6] cũng đã đưa ra một công thức biểu diễn giả khoảng cách Kobayashi
trên không gian phức.
Giả sử X là không gian phức, X e X và Uú e J
k
(X)
x

giả mêtric Venturini được định
nghĩa như sau:
Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X được biểu diễn dưới
dạng:
k>í
<
ở đó íìp
q
là tập hợp tất cả các đường cong giải tích thực liên tục từng khúc nối p với
q.
■ : 3( f £ Hol(D
r
,X), ụ>(0) = z, ụ>'(e
ữ
) — V > , V G
dx {p, q) = inf sup
1.5. Hàm điều hòa dưới và hàm đa điều hòa dưới
1.5.1. Hàm điều hòa dưới
Định nghĩa 1.5.1. Hàm hai biến thực u(x,y) trên miền D c M2 gọi là điều hòa nếu nó
có đạo hàm riêng cấp hai liên tục và thỏa mãn điều kiện:
. d2u d2u
U = Wx + Wy =
Au được gọi là toán tử Laplace.
Định nghĩa 1.5.2. Giả sử ri là tập con mở trong c .
Hàm u : íỉ —> [—oo, +oo) được gọi là nửa liên tục trên nếu
lim sup u(z) < u(z0) với mọi z
0
c fỉ.
z— >z 0
Nói cách khác w-1([ — oo, +oo)) là mở với mọi —oo < a < +oo.

Định nghĩa 1.5.3. Giả sử íỉ là tập con mở trong c .
Hàm u : íĩ —> [—oo, +oo) được gọi là hàm điều hòa dưới nếu:
a) u nửa liên tục trên
b) Đối với mọi hình tròn ư với u c fỉ và mọi hàm điều hòa h trên ư liên tục trên u
từ h > u trên du suy ra h > u trên u.
Định lý 1.5.4. Giả sử Q là tập con mở trong c.
Hàm (fi : -ỳ- [ — oo, +oo) là một hàm nửa liên tục trên. Các tính chất
sau đây tương đương (*) (p e SH{Q)
ill) Với mọi đĩa Dz r d rỉ và mọi đa thức p = p(z)
(ni) Với mọi DZor <i ri ta có <P( ZQ) < (27гг)
-1
f dD <pds, trong đó,
ds là phần tử của cung.
(iv) Với mọi DZữr ẽ íì ta có
iịvioc) Với mọi zữ, tồn tại rữ < d(zữ,díì) sao cho với mọi r < rữ tính
chất ỉv) đúng.
Mệnh đề 1.5.5. Giả sử {<^u} là, hàm điều hòa dưới và bị chặn đều trên
AỊfi. Khi đó lim sup<^^ là hàm điều hòa dưới nếu nó là nứa liên tục trên.
V
Bổ đề 1.5.6. Nếu {yv}v là một dãy giảm của các hàm điều hòa dưới trên íỉ
thì ip = inf tpv củng là hàm điều hòa dưới trên .
V
Chứng minh. Với mọi с ta có {z £ Çl\ip{z) < с} = ỊJ# {z ẽ riỊ<^„(z)c} là một tập
mở, do đó là nửa liên tục trên. Nếu h IỹK > IdK và £ > 0 thì K
v
= {zG ỔK: ip
v
(z) >
h(z)+£:} là compact và giảm với mọi к с íì. Do giới hạn khi V —»■ +00 là rỗng nên
tập K

v
phải rỗng khi V đủ lớn. Do
đó (fid(\k < h\
K
) + £ với mọi giá trị của V.
Định lý 1.5.7. Giả sử (<pv)v là một dẫy các hàm điều hòa dưới và bị
chặn đều trên mọi tập compact của гì, và limsup^^ < l với mọi z € fỉ.
V
Khi đó, với mọi £ và mọi к ç Çi, tồn tại veỵ thỏa mẫn
sup <pv (z) <1 + £, Vv > vek
Z£K
Chứng minh, cố định z
0
G к với \z — z
ữ
\ < ỏ và r < d(z
0
,dQ) — ỏ với ố <c r ta
có trung bình dưới
2it r
0 0
□
ở đây có phần điều chỉnh 0(ổ). Đối với sai số khi chuyển từ việc lấy tích phân
trên B{z, r) sang lấy tích phân trên là do tính chặn đều của <f
v
. Theo bổ đề
Fatou nên từ (1.1) ta có:
< l + 0(ố)
Do lập luận về một phủ hữu hạn đối với к và do tính tùy ý của ổ ta kết luận
được

limsupsup^(z) < 1
V Z € K
□
1.5.2. Hàm đa điều hòa dưới.
Định nghĩa 1.5.8. Giả sử Q là tập con mở trong Cn. Hàm nửa liên tục trên ífi :
ri [-oo,+oo) với ri là tập mở trong Cn, ÜJ ф 0 hàm T —»■ ip(z + r) là điều
hòa dưới trong một lân cận của 0 G c.
Kí hiệu PSH(Q) là tập các hàm đa điều hòa dưới trong Q.
Ví dụ: Nếu / G H(íì) thì l/l và log l/l là hàm đa điều hòa dưới.
Định lý 1.5.9. Giả sử ip là hàm lớp с
2
trên tập mở ri с c
n
. Khi đó <p
là hàm đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu
Chứng minh. Định lý nhận được từ đẳng thức sau:
2TĨ r+5
0 0
2TĨ r+5
ĨỀ(Z)=Ê e e c”
i,j=1 ũ 1
ở đây U( T) = ip(z + TU J) . □
1.6. Miền Hartogs.
Định nghĩa 1.6.1. Giả sử X là một không gian phức và ip : X -¥ [—00, +oo) là
một hàm nửa liên tục trên trên X. Khi đó, miền Hartogs ^^(X) xác định bởi công
thức
Í^(X) = I(
Z ì
u) e X X c : M < e-^l c X X c.
Chương 2

Tính hyperbolic, hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không gian phức
Phần đầu của chương, chúng tôi nhớ lại một số tiêu chuẩn để nhận biết tính
hyperbolic (hyperbolic đầy). Sau đó, chúng tôi đưa ra một số tiêu chuẩn về tính
hyperbolic (hyperbolic đầy) của miền Hartogs trong không gian phức.
2.1. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy trong không gian phức
Mệnh đề 2.1.1. Giả sứ X và Y là các không gian phức. Khi đó X X Y
là hyperbolic (đầy) khi và chỉ khi cả X vàY là hyperbolic (đầy).
Mệnh đề 2.1.2. Giả sử X, Y là các không gian phức và f : X —¥ Y là
ánh xạ chỉnh hình. Y' là không gian phức con của Y và X' =
Nếu X và Y' là hyperbolic đầy thì X' = f~1Yl cũng là hyperbolic đầy.
Chứng minh. Giả sử Gf là đồ thị của / : X —»• Y thế thì Gf là một không
gian con phức đóng của 1x7. Cho /' là giới hạn của / trong X và Gf> là đồ thị
của nó.
Khi đó Gfi = Gf n (X X Y), do vậy Gf' là đóng trong X X Y'. Theo
Mệnh đề 2.1.1, X X Y' là hyperbolic đầy, theo Mệnh đề 1.3.2 (Chương 1) thì Gf là
hyperbolic đầy. Từ phép chiếu X X Y' —>■ X đem lại một đẳng cấu chỉnh hình từ
Gf> trong X'. Từ đó chỉ ra rằng X' là hyperbolic đầy.
Suy ra điều phải chứng minh. □
Mệnh đề 2.1.3. Giả sử X, Yỉà các không gian phức và Xị,i £ I là các
không gian phức con của không gian phức X sao cho X = Ọ\ịXị . Nếu tất
cả Xi là hyperbolic đầy thì X cúng là hyperbolic đầy.
Mệnh đề 2.1.4. Giả sử X là một không gian phức. Nếu tồn tại một họ các
điểm Pa G X và số dươ ng ỏa s ao ch o với mọ i a , ô
a
- lă n cận
u
a
= {q e X \dx {Pa,(ì) < £«}
là hyperbolic và {U
a

} là một phủ mở của X, thì X là hyperbolic.
Trong trường hợp đặc biệt, nếu với mọi p G X tồn tại số dương ổ sao
cho ô-lăn cận của u(p ;ô) = {q G X; d
x
(p , q) < ổ} là hyperb olic thì X
là hyperbolic.
Mệnh đề 2.1.5. Giả sứ X là một không gian phức. Nếu tồn tại một số
dương J sao cho với mọi p G X, ổ- lân cận U(p',ổ) là hyperbolic đầy thì
X là hyperbolic đầy.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.1.4, X là hyperbolic. Giả sử {p
n
} là một dãy Cauchy
trong X và p, £ là các số dương sao cho ỏ = 3p + £. dxiPmiVn) < p với mọi m,n ta
có
du(Pl-,õ)(Pm,Pn) < c.dx(pm,pn),
Do đó {p
n
} là một dãy Cauchy đối với dựị
Pl
sy Từ U(pi]ỗ) là đầy đối với d
u [ P u 5 )
nên dãy {p
n
} hội tụ trong u(p
1 :
ô).
Suy ra điều phải chứng minh. □
Định lý 2.1.6.
(ị) Giả sử X là một không gian phức và Tĩ : X X là một phủ mở của X
thì:

dx(p,q) = inf dẴ{p,q) g
ở đây infimum được lấy trên tất cả q e X sao cho 7ĩ(q) = q
(ii) X là hyperbolic (hyperbolic đầy) khi và chỉ khi X là hyperbolic
(hyperbolic đầy)
(Ui) Nếu X là hyperbolic, thì 7T : (X:dỵ) —»■ (X, dx) là một phép đẳng
cự địa phương và dỵ = 7T*dx-
Chứng minh. (i) Từ 7T là chỉnh hình, ta có
dx{p,q) < dỵ (p, q)
Giả sử Oi là một dây chuyền chỉnh hình nối p với q. Ta nâng a lên thành một dây
chuyền chỉnh hình ã của trong X bắt đầu từ p, như vậy ã kết thúc tại điểm q G X với
7ĩ(q) = q và độ dài l(ã) là bằng độ dài 1(a) của a.
(ii) Giả sử X là hyperbolic. Cho p
:
q € X sao cho dx (p, q) = 0 và p e X sao cho
7ĩ(p) = p. Theo (ỉ) tồn tại một dãy {q
n
} c X sao cho Qn) = Ợ và limdỵ(p,q
n
) = 0.
Từ Định lý 1.2.1. (Chương 1) {q
n
} hội
tụ đến p thì (7r(ợn)} hội tụ đến p. Nhưng 7x{q
n
) = q và do đó p = q.
Giả sử X là hyperbolic đầy. Nếu B
r +
S là hình cầu đóng bán kính r + ỏ ,
p e X thì
Br c 7r(Br+s),0 > 0

Từ B
r+
S là compact và B
r
là đóng, B
r
cũng là compact. Khi đó X là hyperbolic đầy.
Nếu X là hyperbolic (hyperbolic đầy) thì X cũng là hyperbolic (hyperbolic đầy).
(Ui) Ta chỉ ra rằng 7T là phép đẳng cự địa phương. Cho p G X và . Cho u là một 2e-
lân cận của p sao cho u là hàm chỉnh hình hợp thành của 7T_1(t/). Ta định nghĩa ỷ c
u. Giả sử V là £ -lân cận của p và
V = u n Tĩ~
l
{y). Ta có ánh xạ 7T trong V là phép đẳng cự trên V. Cho p,q € V và q =
7r(ợ), r = 7T(f) e V. Từ d
x
(q, r) < djị(q, f) < £, ở đây có một dây chuyền chỉnh
hình nối q vào r sao cho ỉ(a) < e, |a| của a còn lại trong u từ L (|a;|) < / (a;). Chúng
ta nâng a lên thành chuỗi ã bắt đầu từ q trong X. Từ |cc| còn lại trong ư, |ã| cũng còn
lại trong u. Trong trường hợp này, điểm cuối cùng của ã phải thỏa mãn 7T
_1
(r) n
u = f. Từ đó, với mọi chuỗi a từ q vào r với ỉ(a) < £, thì có một chuỗi ã từ q vào f
với l(ã) = 1(a).
Khi đó, d
x
{q,r) > dỵ(q,r). Ngược lại bất đẳng thức chỉ ra rằng 7T là giảm khoảng
cách. □
Định lý 2.1.7. Giả sử X là một không gian phức và 7T : X —»• T là một
ánh xạ chình hình của không gian phức. Với t G T và ỗ > 0, tập u(t; ô) =

{u G T; (ỈTÌt, u) < ố}. Nếu với mọi điểm t G T có một số dương ỗ sao
cho 7T
_1
(u (t\5)) là hyperbolic, thì X là hyperbolic.
Chứng minh. Với mọi p E X, một lân cận J với {q G X',dx{p,q) < được bao
hàm trong 7T
_1
(u (7ĩ (p) ;J)) bởi vì 7T là giảm khoảng cách. Theo Mệnh đề
2.1.4 thì X là hyperbolic.
Định lý được chứng minh. □
Định lý 2.1.8. Giả sử X, Y là các không gian phức và 7T : X Y là một ánh
xạ chỉnh hình. Nếu Y là hyperbolic (hyperbolic đầy) và nếu Y là một
phủ mở {Ui} sao cho mỗi 7r
_1
(ơi) là hyperbolic (hyperbolic đầy), thì X
là hyperbolic (hyperbolic đầy).
Chứng minh. Với mỗi t & T, có ỗ > 0 sao cho u(t,ỗ) c Uị. Với mỗi Ui thì 7r-1
(u (t,ỗ)) là hyperbolic. Theo Định lí 2.1.7 thì X là hyperbolic. Ta chứng minh nó là
đầy. Giả sử {p
n
} là một dãy Cauchy trong X, thì i71" {Vn)} là một dãy Cauchy
trong T và hội tụ đến điểm to G T.
Với ỗ > 0 sao cho u (t
0
, ố) c Uị với mỗi Uị. Và £ > 0 và p > 0 sao cho 3p + E =
ô. Bỏ qua hữu hạn điểm của Pn ta giả sử
dT (ío,7T (pi)) < e vầdx ÌPm,Pn) < p
Cho V = {x G X; d
x
{pi, x) < s} tồn tại số c > 0 sao cho

dv (Pm,Pn) < c.dx ÌPrrnPn) với mọi m,n
Chỉ ra rằng {pn} là dãy Cauchy trong V với sự quan hệ đến d
v
. Từ
V c ÍT'
1
(Ui), {p
n
} là dãy Cauchy trong 7T_1(ỉ7i) với d
n
-i(Ưi). Từ 7r_1(t/j) là
hyperbolic đầy, dãy {p
n
} hội tụ đến điểm trong 7r-1(ơj). Suy ra điều phải chứng
minh. □
Định lý 2.1.9. Giả sử X là một không gian phức hyperbolic đầy và f là
một hàm chình hình bị chặn trên X. Khi đó không gian con mở
x' = { p e x j ( p ) ^ 0} = x - 0( f )
là hyperbolic đầy.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng ánh xạ / trong X vào
đĩa đơn vị D. Áp dụng Mệnh đề 2.1.2 với Y = D và Y' = D'. Ta có điều phải chứng
minh. □
2.2. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy của miền Har-
togs trong không gian phức
Mệnh đề 2.2.1. Giả sử X là một không gian phức (f : X —>• [—00, 00) là
một hàm nửa liên tục trên. Khi đó Qp (X) là hyperbolic khi và chỉ khi X
là hyperbolic, và ip là bị chặn địa phương trên X.
Chứng minh. Giả sử íĩv (X) là hyperbolic, từ X là đẳng cấu đến không gian con
phức đóng của (X) ta chỉ ra X là hyperbolic. Tiếp theo ta chứng minh ip là bị chặn
địa phương trên X. Tồn tại z

0
e X và một dãy {zỵ\ hội tụ đến z
ữ
sao cho ip (zỵ)
—»• —oo , điểm (z
0
,6Ư0) G (X), ui
ữ
Ỷ 0-
Không mất tính tổng quát, ta có lỏưoI < e~
<f
^
Z k
\\/k > 1 thì
díi
v
(x) {(
z
0ỉ 0) J (^0) wo))
< dn
v
(x) ((^0, 0) 5 (
z
kJ 0)) + dsi^ x) {(
z
k, 0), (z
k
, UJ0))
+ dỊiv(X) {(Zk,uo) J (z0i
w

o))
< dx (Zo,Zk) + d
D
k (OjWo) + d,Ịi
v
(x) {(
z
k,wo) 5 (^Cb^o)), VẢ: > 1
ở đây D
k
= ịz € c : \z\ <
Khi k oo , ta chỉ ra dft ịx) ((^Oj 0) J {
z
0, k>o)) = 0 (điều này mâu thuẫn với tính
hyperbolic của (X).
Ngược lại, phép chiếu 7T : ííy, (X) —> X xác định bởi 7T (z, LU) = z. Cho
u