bài tập hhkg tọa độ có dáp án

BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ
1. Trong không gian với hệ tọa độ
Ox yz
cho hai đường thẳng
+
= = = = −
−
1 2
1
: , : 1
1 1 2 2
x y z x
d d y z

và mặt phẳng
( )
− − =
: 0P x y z
. Tìm tọa độ hai điểm
∈ ∈
1 2
,M d N d
sao cho
MN
song song
( )
P
và
=
6MN

.
Hd : Gọi
( ) ( )
1 2
M d M t; t;2t ,N d N 1 2t ';t ';1 t '∈ ⇒ ∈ ⇒ − − +
2 2 2
1
' 0
. 0
2 ' 1
11
6
( 1 2 ' ) ( ' ) (1 ' 2 ) 6
13
12
'
13
P
t
t
MN n
t t
t
MN
t t t t t t
t

=




=



=
= +


 

⇔ ⇔
 
= −


=
− − − + − + + − =









= −





uuuuruur
uuuur
Vậy
11 11 22 11 12 2
; ; , ; ;
13 13 13 13 13 13
M N
   
− − − −
 ÷  ÷
   
hoặc
(1;1;2), ( 1;0;1)M N −
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng :
1
: 4
1 2
x t
d y t
z t
=


= −


= − +


;
d
2
:
2
1 3 3
x y z−
= =
− −
và d
3
:
1 1 1
5 2 1
x y z+ − +
= =
. Viết phương trình đường thẳng ∆, biết ∆ cắt ba
đường thẳng d
1
, d
2
, d
3
lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC.
Hd: Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d
1
, d
2
, d
3

Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v)
A, B, C thẳng hàng và AB = BC
⇔
B là trung điểm của AC
( 1 5 ) 2
4 (1 2 ) 2.(2 3 )
1 2 ( 1 ) 2( 3 )
t v u
t v u
t v u
+ − + =


⇔ − + + = −


− + + − + = −

Giải hệ trên được: t = 1; u = 0; v = 0 Suy ra A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1;
1; - 1)
Đường thẳng ∆ đi qua A, B, C có phương trình
2
1 1 1
x y z−
= =
3. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho
( ) ( ) ( )
2;1;0 , 0; 5;0 , 1; 2;6A B C- -
và mp(P):
4 0+ + - =x y z

. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Tìm điểm I thuộc mp(P) sao cho
+ +
uur uur uur
IA IB IC

nhỏ nhất.
HD: + Trọng tâm G của tam giác ABC:
( )
1; 2;2G -
+ Ta có
3IA IB IC IG+ + =
uur uur uur uur
Suy ra
IA IB IC+ +
uur uur uur
nhỏ nhất
3IGÛ
uur
nhỏ nhất
IGÛ
nhỏ nhất

IÛ
là hình chiếu vuông góc của G trên (P)
GV Bùi Văn Nhạn trường THPT Long Mỹ
1
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
+ Đường thẳng d qua G, vng góc với (P) có phương trình
1
2

2
x t
y t
z t
ì
= +
ï
ï
ï
ï
=- +
í
ï
ï
= +
ï
ï
ỵ
+ Tọa đợ M là nghiệm của hệ
1
2
2
1
2
3
4 0
x t
x
y t
y

z t
z
x y z
ì
= +
ï
ï
ì
=
ï
ï
ï
ï
=- +
ï
ï
ï
=-Þ
í í
ï ï
= +
ï ï
=
ï ï
ï
ỵ
ï
+ + - =
ï
ỵ

. Hay tọa đợ M là
( )
2; 1;3-
.
4. Trong khơng gian tọa đợ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oy và (P) cắt mặt
cầu (S):
2 2 2
2 6 4 5 0+ + - + - + =x y z x y z
theo giao tún là mợt đường tròn có bán kính bằng
2
HD; + (P) chứa Oy nên phương trình có dạng
0Ax Cz+ =
với
( )
2 2
0A C+ ¹
(P) cắt (S) theo một đường tròn có bán kính r=2
( )
2 2
,( ) 5d I P R r= - =Þ
2 2
2
5 2
A C
C A
A C
+
= =Û Û
+
.Chọn A=1

Þ
C=2. Vậy phương trình mặt phẳng (P) là
2 0 .x z+ =
5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-2;1;-2) và đường thẳng d có phương
trình
1 1
2 1 2
x y z- +
= =
-
.
a. Chứng minh rằng đường thẳng OM song song với đường thẳng d.
b. Viết phương trình mặt phẳng
( )
a
chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
c. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2;1;3) tiếp xúc với mặt phẳng
( )
a
.
6. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm
(0; 1;2)M −
và
( 1;1;3)N −
. Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ
( )
0;0;2K
đến (P) đạt giá trị lớn nhất
Hd: Gọi

( )
, ,n A B C=
r

( )
2 2 2
0A B C
+ + ≠
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng;
( ) ( )
: 2 2 0P B C x By Cz B C⇒ + + + + − =
( ) ( )
1 2 0 2 0Ax B y C z Ax By Cz B C+ + + − = ⇔ + + + − =
( ) ( )
1;1;3 3 2 0 2N P A B C B C A B C− ∈ ⇔ − + + + − = ⇔ = +
Khoảng cách từ K đến mp(P) là:
( )
( )
,
2 2
4 2 4
B
d K P
B C BC
=
+ +
-Nếu B = 0 thì d(K,(P))=0 (loại)
-Nếu
0B

≠
thì
( )
( )
2 2 2
1 1
,
2
4 2 4
2 1 2
B
d K P
B C BC
C
B
= = ≤
+ +
 
+ +
 ÷
 
Dấu “=” xảy ra khi B = -C. Chọn C = 1
Khi đó pt (P): x + y – z + 3 = 0
GV Bùi Văn Nhạn trường THPT Long Mỹ
2
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm
( ) ( ) ( )
2;3;1 , 1;2;0 , 1;1; 2A B C− −
. Tìm tọa

độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
HD: H
( )
; ;x y z
là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi
( )
, ,BH AC CH AB H ABC⊥ ⊥ ∈
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
15
1 2 2 3 0
. 0
29 2 29 1
. 0 3 1 1 2 0 ; ;
15 15 15 3
2 8 3 5 1 0
, 0
1
3
x
x y z
BH AC
CH AB x y z y H
x y z
AH AB AC
z
=
+ + − + =

=
⇔ = ⇔ − + − + + = ⇔ = ⇒ −
− − − + − =
=
= −







 
 
  
 ÷
 
  
 

 
 



uuuruuur
uuuruuur
uuur uuur uuur
I
( )

; ;x y z
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi
( )
,AI BI CI I ABC= = ∈
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 3 1 1 2
1 1 2 1 2
2 8 3 5 1 0
, 0
x y z x y z
AI BI
CI BI x y x y z
x y z
AI AB AC


− + − + − = + + − +
=


 
⇔ = ⇔ − + − + + = + + − +
 

 
 
− − − + − =
=
 
 


uur uuur uuur
14
15
61 14 61 1
, ,
30 15 30 3
1
3
x
y I
z

=



 
⇔ = ⇒ −

 ÷
 



= −


8. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường
thẳng : (d)
x 1 3 y z 2
1 1 2
+ − +
= =
−
và (d’)
x 1 2t
y 2 t
z 1 t
= +


= +


= +

. Viết phương trình tham số của đường
thẳng (
∆
) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau
và tính khoảng cách giữa chúng .
GV Bùi Văn Nhạn trường THPT Long Mỹ
3

BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
( ) ( )
( )
MM' u, u '
8
d d , d '
11
u,u '
 
 
= =
 
 
uuuuur r uur
r uur
9. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
1
1
: 1 2 ;( )
1 2
x t
d y t t
z t
= +


= + ∈


= +


¡
. Đường thẳng d
2
là
giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y – 1 = 0 và (Q): 2x + y + 2z – 5 = 0
a. Chứng minh rằng d
1
, d
2
cắt nhau tại I, viết phương trình mặt phẳng chứa d
1
và d
2

b. Viết phương trình đường thẳng d
3
qua A(2; 3; 1) tạo với hai đường thẳng d
1
và d
2

tam giác cân đỉnh I.
10. Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d
1
và d
2
biết:
1
2

: 2
3
x t
d y t
z t
= +


= +


= −


2
1 2 1
:
2 1 5
x y z
d
− − −
= =
11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình





+=
=

+=
tz
ty
tx
31
21
. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P)
là lớn nhất.
12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình
3
1
12
1 −
==
− zyx
. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới
(P) là lớn nhất.
13.
GV Bùi Văn Nhạn trường THPT Long Mỹ
Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5)
Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình :

x 9 t
y 6 8t
z 5 15t
= −


= −



= −

+ Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP
( )
u 1;1;2
v
+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP
( )
u ' 2;1;1
uur
Ta có :
•
( )
MM ' 2; 1;3= −
uuuuur
•
( )
( )
1 2 2 1 1 1
1 1 1 2 2 1
MM ' u,u ' 2; 1;3 ; ; 8 0
 
= − = − ≠
 
uuuuur r uur
Do đó (d) và (d’) chéo nhau .(Đpcm)
Khi đó :
4