Tiểu luận hàm suy rộng 3

1

MỤC LỤC
MỤC LỤC ………………………………………………………………………1
I.LỜI NÓI ĐẦU………………………………………………………………… 2
II.TỔNG QUAN…………………………………………………………………3
1. Kiến thức chuẩn bị……………………………………………………… 3
2. Kiến thức liên quan…………………………………………………… …3
III. NỘI DUNG………………………………………………………………… 5
1.Xây dựng hàm cơ sở bằng phương pháp trung bình hóa……………… …5
2.Phép phân hoạch đơn vị………………………………………………… 8
3.Nhận xét, mở rộng………………………………………………………. 11
IV.KẾT LUẬN………………………………………………………………….12
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………… 13

2

LỜI NÓI ĐẦU
Hàm cơ bản, hàm suy rộng là một nội dung được đưa vào giảng dạy cho học
viên Cao học ngành Giải tích. Để nghiên cứu tính địa phương của hàm suy rộng
và vi phân của nó thì việc xây dựng hàm cơ sở và phép phân hoạch đơn vị là một
trong những công cụ hữu hiệu.
Trong tiểu luận này, tôi chỉ xin trình bày cách xây dựng hàm cơ sở bằng
phương pháp trung bình hóa liên tục và phép phân hoạch đơn vị ứng với một phủ
mở bị chặn, hữu hạn địa phương của
n
R
.
Tiểu luận được chia làm 3 phần:
Phần I. Tổng quan, nhắc lại một số kiến thức liên quan và một số kiến thức
chuẩn bị
Phần II. Nội dung gồm 2 phần
1. Xây dựng hàm cơ sở bằng phương pháp trung bình hóa liên tục
2. Phép phân hoạch đơn vị
Phần III. Nhận xét, mở rộng
Để hoàn thành tiểu luận này, tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Lê Viết Ngư

đã tận tình giảng dạy học phần Lý thuyết phân bố. Tôi cũng xin chân thành cảm
ơn các anh chị học viên Cao học Toán K22, chuyên ngành Giải tích đã giúp đỡ,
động viên tôi trong quá trình làm tiểu luận
Trong một thời gian ngắn phải hoàn thành tiểu luận, nên chắc chắn không
tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn
Huế, tháng 11 năm 2014

Mai Xuân Tú




3

TỔNG QUAN
1. Kiến thức chuẩn bị
1.1 Hàm cơ sở - Không gian các hàm cơ sở
Định nghĩa 1. Hàm số :
n
R R

 được gọi là hàm tiêu hạn nếu
( )
x

bằng
không ngoài một miền bị chặn nào đó của
n
R
.

Định nghĩa 2. Tập hợp K tất cả các hàm thực
( )
x

, tiêu hạn, có đạo hàm liên tục
mọi cấp được gọi là không gian các hàm cơ sở (không gian cơ sở). Mỗi hàm
( )
x

được gọi là hàm cơ sở.
Nhận xét 1. Ta nhận thấy rằng
 Tổng hai hàm cơ sở là một hàm cơ sở.
 Tích của một số thực với một hàm cơ sở là một hàm cơ sở.
Từ đó suy ra K là một không gian tuyến tính.
Định nghĩa 3. Ta nói rằng dãy
1 2
( ), ( ), , ( ),
n
x x x
  
các hàm cơ sở hội tụ về
không trong không gian K, nếu tất cả các hàm của dãy đều:
a. Bằng 0 ở ngoài cùng một miền bị chặn.
b. Hội tụ đều về không cùng với đạo hàm mọi cấp của chúng.
Kí hiệu:
0
n


trong K khi

n


hay
lim 0
n
n



hoặc
( )
0
K
n


.
Ta cũng nói rằng, dãy
1 2
( ), ( ), , ( ),
n
x x x
  
các hàm cơ sở hội tụ về hàm cơ sở
n

trong K nếu dãy



( ) ( )
n
n
x x
 
 hội tụ về không trong K.
Định lý 4. Nếu F là tập đóng, bị chặn và U là miền mở chứa F, thì tồn tại hàm cơ
sở
( )
x

bằng 1 trên F, bằng 0 ngoài U và nhận giá trị giữa 0 và 1 tại các điểm
còn lại.
2. Kiến thức liên quan
Định nghĩa 5. Không gian tôpô
(X, )

được gọi là
1
T

không gian nếu với mỗi
cặp điểm phân biệt
,
x y X

thì tồn tại lân cận V chứa
x
mà không chứa
y

và

4

lân cận U chứa
y
mà không chứa
x
.
Định nghĩa 6. Không gian tôpô
(X, )

được gọi là
4
T

không gian nếu X là
1
T

không gian và với A, B đóng trong X mà
A B
  
thì tồn tại các tập mở
U, V sao cho
,
A U B V
 
và
U V

  
.
Nhận xét 2.
n
R
với tôpô cảm sinh từ chuẩn Euclid là một
4
T

không gian.
Định lý 7. Cho
(X, )

là
4
T

không gian, giả sử F là tập đóng, U là tập mở
trong X,
F U

. Khi đó tồn tại tập mở V trong X sao cho
F V V U
  
.

5

NỘI DUNG
I. XÂY DỰNG HÀM CƠ SỞ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRUNG BÌNH HÓA
LIÊN TỤC

1.1 Định lý 8: Với hàm
)
(
x
f
liên tục cho trước, có thể xây dựng được một dãy
hàm khả vi vô hạn )(xf

mà )(xf

hội tụ đều về
)
(
x
f
khi
0


, trong
một miền bị chặn nào đó.
Chứng minh:
Xét hàm số
2
2
2
,
( , )
0 ,
x

x
e
x
x



 

 








và
1
( , )
x
x dx
C


 




Với
)
(
x
f
liên tục đã cho, ta lập dãy hàm )(xf



( ) ( ) ( , ) (1)
x y
f x C f y x y dy
 

 
 
 


Do
( )
f x
liên tục và các hàm
( , )
x y
 

khả vi vô hạn nên các hàm )(xf


khả vi vô hạn.
Mặt khác
 
( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )
[ ( ) ( )] ( , ) 2
x y x y
x y
f x f x C f x x y dy C f y x y dy
C f x f y x y dy
  
 


   
 
   
 
    
  
 


Vì
)
(
x
f
liên tục theo x, nên trong một miền bị chặn U ta có:
0, 0, x y

  
     
thì ( ) ( )f x f y

 

Khi đó từ (2) ta có
( ) ( ) ( , ) . ( , )
x y x y
f x f x C x y dy C x y dy
  
 
     
   
     
 

6

Tức là
)(xf

hội tụ đều về
)
(
x
f
khi
0



trên U.
1.2 Hệ quả:
i. Nếu
)
(
x
f
tiêu hạn thì
)(xf

tiêu hạn.
ii. Nếu
0
( ) ( )
f x f x

với
0
x x

 
thì
0 0
( ) . ( ) ( , ) ( )
n
R
f x C f x x y dy f x
 
 

  


iii. Nếu
0 ( ) 1
f x
 
thì
0 ( ) 1
f x

 

Chứng minh
i ( ) ( ) ( , )
x y
f x C f y x y dy
 

 
 
 


Đặt
(supp , )
B f

là


- lân cận của
)
(
x
f
, ta có
B(supp , ) ( / ( ,supp ) )
n
f z R d z f
 
  

0 0 0
, (supp , ) ( ,supp )
n
x R x B f d x f
 
    

0
x y

  
thì
supp
y f


0
( ) 0 ( ) 0

f y f x

   

Vậy nếu
)
(
x
f
tiêu hạn thì )(xf

cũng tiêu hạn. Cụ thể )(xf

bằng không
ở ngoài

- lân cận của giá của hàm
)
(
x
f
.
ii.

0
0 0
( ) ( ) ( , )
. ( ) ( , )
. ( ) ( , ) ( )
x y

x y
x
f x C f y x y dy
C f x x y dy
C f x x dy f x
 





 
 
 
 
 

 
 
 




iii.

7

( ) ( ) ( , ) 0
x y

f x C f y x y dy
 

 
 
  


( ) ( ) ( , )
( , ) 1
x y
x y
f x C f y x y dy
C x y dy
 



 
 
 
 
 
  



1.3 Định lý 9: Cho F là tập đóng, bị chặn và U là miền mở chứa F. Khi đó tồn
tại hàm cơ sở
( )

x

thỏa
, ( ) 1,
, ( ) 0,
,0 ( ) 1, \
i x x F
ii x x U
iii x x U F



  
  
   

Chứng minh:
Do F bị chặn nên nó được chứa trong U cùng với

lân cận của nó, với
0


.
Ta kí hiệu
1
F
là
3


- lân cận đóng của F

1
U
là
2
3

- lân cận mở của F
W là phần bù đóng của
1
U
trong không gian
n
R
.
Gọi d là mêtric xác định trên
n
R

Đặt
1
W W
d( ,W) inf d( , ) inf d( , ) 0,
y y
x x y x y x U
 
    

Do

d( ,W)
x
là hàm liên tục nên trên tập đóng
1
F
,
d( ,W)
x
đạt GTNN là
0


.
Xét
1
( ) min d( ,W),1
f x x

 

 
 

Khi đó f liên tục theo x và

8

1
( ) 1,
f x x F

 
vì
d( ,W)
x


trên
1
F

1
( ) 0,
f x x U
 
vì
d( ,W) 0, W
x x
 

1 1
0 ( ) 1, \
f x x U F
  
.
Theo công thức (1), khi lấy
3



thì

3 3
3
( ) (y) ( , )
3
x y
f x C f x y dy
 



 
 


Khi đó, ta có
3
( )
f x

khả vi vô hạn và có các tính chất như
)
(
x
f
.
Đặt
3
( ) ( )
x f x




thì
( )
x

là hàm cơ sở thỏa mãn định lý.
II. PHÉP PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ
2.1. Định nghĩa 10: Cho tập mở
n
U R
 . Họ các tập mở
 
1
i
i
U


được gọi là
một phủ mở của U nếu
1
i
i
U U




.

Nếu họ


i
U
là hữu hạn thì phủ


i
U
được gọi là phủ hữu hạn ( với mỗi
điểm
n
x R

chỉ được phủ bởi hữu hạn số tập
, 1,2,
i
U i

).
2.2 Định nghĩa 11: Cho
n
U R

và


i
U

là phủ mở hữu hạn của U. Khi đó họ
các hàm


( )
i
e x
được gọi là một phân hoạch đơn vị của U ứng với phủ mở


i
U
nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
0
, ( ) ( ),supp
i i i i
i e x C U e U

 
( khả vi vô hạn và có giá nằm trong
i
U
)
,0 ( ) 1,
i i
ii e x x U
   

, ( ) 1,
i

iii e x x U
   

2.3. Định lý 12: Với một phủ hữu hạn địa phương


i
U
của
n
R
, bao giờ cũng
xây dựng được một phân hoạch đơn vị


( )
i
e x
tương ứng.
Chứng minh: Trước hết ta xây dựng các miền mở
1 2
, , , ,
i
V V V
là một phủ của

9

không gian
n

R
sao cho
i i i
V V U
 
như sau:
Đặt
1
2
\
n
k
k
F R U


 
thì
1
F
đóng và
1 1
F U

(do
k
U
mở và
1
n

k
k
R U


 
).
Do đó tồn tại tập mở
1
V
sao cho
1 1 1 1
F V V U
  
(do
n
R
là
4
T

không gian).
Ta có:
1 1
2 2
( ) ( )
n
k k
k k
R F U V U

 
 
     , nên
1 2
, , , ,
k
V U U
là một phủ mở hữu
hạn địa phương của
n
R
.
Tiếp tục đặt
2 1
3
\[( ) ]
n
k
k
F R U V


  
thì
2
F
đóng và
2 2
F U


, do đó tồn tại
tập mở
2
V
sao cho
2 2 2 2
F V V U
   và
1 2 3
, , , , ,
k
V V U U là một phủ mở hữu
hạn địa phương của
n
R
.
Tổng quát lên, ta đặt
1
*
1 1
\[( ) ( )],
i
n
i k k
k i k
F R U V i N
 
  
    , thì
i

F
đóng và
i i
F U

, do đó tồn tại tập mở
i
V
sao cho
i i i i
F V V U
  
và
1 2 1
, , , ,
i i
V V V U

là một phủ mở hữu hạn địa phương của
n
R
.
Từ đó ta xây dựng được tập hợp


*
i
i N
V


là một phủ mở hữu hạn địa phương
của
n
R
.
i
V
đóng, bị chặn, chứa trong
, 1,2,
i
U i

nên theo định lý 9 thì tồn tại
các hàm khả vi vô hạn (hàm cơ sở)
( )
i
h x
nhận giá trị hầu hết giữa 0 và 1, bằng 1
trên
i
V
và bằng 0 ngoài
i
U
.
Đặt
*
1
( ) ( ), ,
n

i x
i
h x h x x R m N


    

sao cho
x
chỉ thuộc vào các tập
1 2
, , ,
m
x
i i i
U U U
. Khi đó vì
*
0 ( ) 1,
i
h x i N
   
nên
1
( ) ( )
x
k
m
i x
k

h x h x m

   

,
tức là
( )
h x
tồn tại hữu hạn.
Mặt khác:
1
n
i
i
x R V


  

tồn tại
*
j N
 sao cho
j j
x V V
 
, khi đó
( ) 1
j
h x


, do đó
( ) ( ) 1
j
h x h x
 
.

10

Vậy
1 (x)
h
  
với mọi
n
x R

.
Từ đó ta có thể đặt
( )
( ) , 1,2,
( )
i
i
h x
e x i
h x
 
thì:

+
0 ( ) 1; 1,2,
i
e x i
  

+
( ) 0
i
e x

ở ngoài miền
; 1,2,
i
U i


+
1 1
( )
( ) 1,
( )
n
i
i
i i
h x
e x x R
h x
 

 
   
 

Vậy


*
( )
i
i N
e x

là một phân hoạch đơn vị ứng với


*
i
i N
U

.
Nhận xét 3.
i.Giả sử


i i
e
là phân hoạch đơn vị tương ứng với phủ hữu hạn địa phương



i
U
của
n
R
,
( )
x

là hàm cơ sở bất kỳ. Đặt
( ) (x) ( )
i i
x e x
 

thì
( )
i
x

là
hàm cơ sở nhận giá trị bằng 0 ngoài miền
, 1,2,
i
U i

Khi đó ta có:
1
( ) ( ) (*)

i
i
x x
 





Nếu với mọi
*
n N
 , hình cầu đóng
'(0, )
B n
chỉ giao hữu hạn miền
i
U
đã
cho thì vế phải của (*) là tổng gồm hữu hạn số hạng.
ii. Nếu
( ) 0
n
x


trong K khi
n
 
thì

( ) ( )e ( ) 0
ni n i
x x x
 
 
trong K
khi
n
 
.







11

NHẬN XÉT MỞ RỘNG
Trong khuôn khổ tiểu luận này, chúng ta chỉ đề cập đến vấn đề xây dựng hàm
cơ sở bằng phương pháp trung bình hóa liên tục và việc xây dựng phép phân
hoạch đơn vị ứng với một phủ mở, bị chặn và hữu hạn địa phương


i
i
U
của
n

R
.
Các hàm khả vi vô hạn
( )
i
e x
trong phép phân hoạch này chỉ phụ thuộc vào các
tập mở, bị chặn
i
U
. Tính chất hữu hạn địa phương của phủ mở


i
i
U
cũng gây
nhiều hạn chế trong việc lựa chọn các phép phân hoạch của một hàm cơ sở. Tuy
nhiên, chúng ta có thể mở rộng khái niệm này bằng cách thay thế phủ mở, bị chặn
và hữu hạn địa phương


i
i
U
bằng một phủ bất kỳ


i
i

U
của
n
R
. Khi đó, M là
một tập compact của
n
R
và
 
1
N
i
i
U

là một phủ hữu hạn của M thì ta có thể xác
định được phép phân hoạch đơn vị gồm hữu hạn các hàm khả vi vô hạn
 
1
( )
N
i
i
e x


của M. Kết quả này đã được trình bày trong [2] ( Tài liệu tham khảo).

12

KẾT LUẬN
Như vậy qua trong tiểu luận chúng ta nhận thấy rằng với hàm
( )
f x
liên tục
cho trước trong một miền bị chặn nào đó luôn xây dựng được hàm cơ sở và ứng
với một phủ mở, bị chặn, hữu hạn địa phương luôn tồn tại một phép phân hoạch
đơn vị tương ứng. Tuy nhiên do hạn chế về kiến thức và trong khuôn khổ một đề
tài tiểu luận nên còn một số hướng mà tác giả chưa khai thác được. Rất mong
nhận được sự góp ý của thầy cô và bạn bè.

13

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. PGS. Lê Viết Ngư, Hàm suy rộng (hay Lý thuyết phân bố), Tài liệu dành
cho học viên Cao học chuyên nhành giải tích, Huế 1998.
2. Đặng Anh Tuấn, Lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev, Hà nội,
2005.