Tiểu luận hàm suy rộng 1

1

MỤC LỤC
I.MỞ ĐẦU 2
II-KIẾN THỨC LIÊN QUAN 3
2.1 Định Nghĩa : 3
2.2. Mệnh Đề 3
2.3. Nhận Xét 3
2.4. Định Lý Haine- Borel 4
2.5. Định nghĩa 4
III- NỘI DUNG CHÍNH 5
3.1. TÍNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA HÀM SUY RỘNG 5
3.1.1.Các Định Nghĩa : 5
3.1.2.Định Lý 1 5
3.1.3.Nhận Xét 6
3.1.4.Mệnh Đề 7
3.1.5.Định Lý 2 7
3.2 TÍNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA PHÉP TOÁN VI PHÂN 9
3.2. 1 Định Lý 3 9
3.2.2.Nhận Xét : 9
IV-KẾT LUẬN VÀ MỞ RỘNG 11
4.1.Kết Luận : 11
4.2.Nhận Xét Mở Rộng : 11

2


I.MỞ ĐẦU
Hàm suy rộng là phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên không gian
các hàm cơ sở K vì vậy hàm suy rộng không có giá trị tại các điểm riêng
biệt. Như thế ta không thể nói hàm suy rông f bằng không tại x
o
. Tuy
nhiên ta có thể nói hàm suy rộng f bằng không trong lân cận của x
o
. Do đó
ta có thể định nghĩa và nghiên cứu các tính chất của hàm suy rộng trong
trong một lân cận cụ thể của điểm x
o
nào đó hay nói cách khác ta cần
nghiên cứu tính địa phương của hàm suy rộng, từ đó ta có thể mở rộng
thêm để xét tính địa phương của phép toán vi phân.
Ở trong tiểu luận này ta tập trung định nghĩa tính địa phương theo 2 cách
khác nhau nhưng chúng hoàn toàn tương đương nhau, từ đó rút ra các tính
chất và nhận xét về hàm suy rộng dựa trên các định nghĩa đó, bên cạnh đó
đưa ra đinh lý về việc xây dựng hàm suy rộng dựa vào các giá trị địa
phương của nó. Bằng cách tương tự ta đưa ra định lý và vài nhận xét, ví dụ
về tính địa phương của phép toán vi phân.
Tiểu luận có 4 phần chính: phần I mở đầu : Nêu lý do chọn đề tài, mục
tiêu và nội dung chính của tiểu luận, phần II : nêu các kiến thức chuẩn bị
cần thiết và liên quan cho việc nghiên cứu tiểu luận, phần III: trình bày
nội dung chính của tiểu luận, phần IV: kết luận và tóm tắt lại các nội dung
đã trình bày và một vài mở rộng liên quan đến tiểu luận.

Để hoàn thành tiểu luận này, tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Lê Viết
Ngư đã tận tình giảng dạy học phần Lý thuyết phân bố. Tôi cũng xin chân
thành cảm ơn các anh chị học viên Cao học Toán K22, chuyên ngành Giải
tích đã giúp đỡ, động viên tôi trong quá trình làm tiểu luận
Trong một thời gian ngắn phải hoàn thành tiểu luận, nên chắc chắn không
tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và
các bạn

Huế, tháng 11 năm 2014

3

II-KIẾN THỨC LIÊN QUAN
2.1 Định Nghĩa :
 Cho hàm số φ :
n

→ ℝ được gọi là hàm tiêu hạn nếu φ(x) bằng không ở
ngoài miền bị chặn nào đó của
n

.

 Tập hợp K các hàm thực φ(x) tiêu hạn , có đạo hàm liên tục mọi cấp
được gọi là không gian các hàm cơ sở.
 Ta gọi x
o
là điểm thực chất của phiếm hàm f nếu hàm suy rộng f khác
không trong mọi lân cận của điểm x
o

.
Tập hợp các điểm thực chất của phiếm hàm f được gọi là giá của hàm suy
rộng f. Kí hiệu : suppf
 Giả sử f là hàm suy rộng bất kỳ, khi đó hàm suy rộng g cho bởi công thức
(g; φ ) = (f; -φ’) ,∀φ ∈ K được gọi là đạo hàm của hàm suy rộng f.
Kí hiệu : f ’ hoặc
j
f
x



2.2. Mệnh Đề: Mọi quy tắc lấy đạo hàm của hàm số thông thường đều áp
dụng được cho hàm suy rộng ( với các phép toán đã được định nghĩa trên
không gian K).
Cụ thể :
(f + g)’ = f ’ + g’ , ∀f; g ∈ K’
(∝f)’ =∝.f ’ , ∀∝ ∈ ℝ ,∀f ∈ K’
(af)’ =a’f+ af ’ , ∀a ∈
C

(
n

) ,∀f ∈ K’.
2.3. Nhận Xét
1) Mọi hàm suy rộng đều khả vi vô hạn
( f
(k)
, φ(x)) = (f, (-1)

k
.φ
(k)
(x)) : k=1,2…….
( xem thêm nhận xét 2.6.6 chương I trang 23)
2) Giả sử {e
i
} là phân hoạch đơn vị tương ứng phủ hữu hạn địa phương
{u
i
} của
n

. Khi đó mọi hàm cơ sở φ(x) bất kỳ ta luôn có
φ(x)=
i =
i
1



(x) (6)
4

Với φ
i
(x) = φ(x).e
i
(x) là các hàm cơ sở bằng 0 ngoài miền
i

u

Trong đó số các số hạng bên phải (6) là hữu hạn nếu chúng ta thêm điều
kiện là : mỗi hình cầu |x| ≤ n chỉ giao với hữu hạn miền
i
u
đã cho.
( xem thêm nhận xét 2.3 chương II trang 31).
2.4. Định Lý Haine- Borel
Đối với tập con A trong không gian Euclide
n

, thì 2 mệnh đề sau đây
là tương đương:
1) A là tập đóng và bị chặn
2) Mỗi phủ mở của A đều tồn tại phủ con hữu hạn, điều đó có nghĩa A là
tập compact
2.5. Định nghĩa .
Ta nói rằng dãy φ
1
(x), φ
2
(x), …, φ
n
(x), … các hàm cơ sở hội tụ về không
trong không gian K, nếu tất cả các hàm của dãy đều:
1) Bằng 0 ở ngoài cùng một miền bị chặn.
2) Hội tụ đều về không cùng với đạo hàm mọi cấp của chúng.

5

III. NỘI DUNG CHÍNH

3.1. TÍNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA HÀM SUY RỘNG
3.1.1.Các Định Nghĩa :
3.1.1.1. Định Nghĩa 1 : Hàm suy rộng f bằng không trong lân cận của
điểm x
o
đã cho nếu với mọi hàm cơ sở φ ∈ K, khác không chỉ trong lân cận
đó thì ta có (f, φ) = 0.
Hàm suy rộng f bằng không trong miền G nếu nó bằng không trong lân
cận nào đó của mọi điểm thuộc G.
3.1.1.2.Định Nghĩa 2 : Hàm suy rộng f bằng không trong miền G nếu với
mọi hàm cơ sở tùy ý chỉ khác không trên Q

G cùng với bao đóng
Q

của nó thì ta có (f, φ) = 0.

 Nhận Xét :
 Định nghĩa 1 là định nghĩa mang tính địa phương thông thường
 Định nghĩa 2 mang tính trực quan hơn và « không địa phương »
Tuy vậy, ta sẽ chứng minh rằng hai định nghĩa này là tương đương
3.1.2.Định Lý 1 :

Định nghĩa hàm suy rộng theo 2 cách trên là hoàn toàn tương đương.
 Chứng minh :
 Định nghĩa 2 suy ra định nghĩa 1 :
Giả sử f bằng không trong miền G theo nghĩa định nghĩa 2. Khi đó
∀x ∈ G, xét φ(x) ∈ K mà φ(x) = 0, ∀x∉ Q

G thì (f, φ(x)) = 0.
Chọn U
x
= Q là lân cận của điểm x. khi đó f bằng không trong lân cận U
x
.
Do đó f bằng không trong miền G theo nghĩa định nghĩa 1.
 Định nghĩa 1 suy ra định nghĩa 2 :
Giả sử f bằng không theo nghĩa định nghĩa 1, xét hàm cơ sở φ(x) mà:
φ(x) = 0, ∀x ∉ Q

G,
Q

G.
∀x ∈
Q
⇒ x∈G nên tồn tại lân cận U
x
mà hàm suy rộng f bằng không
trên U
x
( theo nghĩa định nghĩa 1). Không mất tính tổng quát ta giả thiết
rằng U

x
bị chặn. khi đó
Q
x
x Q
U



hay U
x
là phủ mở của tập
Q
.
6

Theo định lý Haine- Borel từ phủ trên luôn tìm được 1 phủ đếm được
1
U
,
2
U
,…….,
m
U
có tính chất mỗi hình cầu |x| ≤ n chỉ giao với hữu hạn
số lân cận
i
U
, theo nhận xét 2 phần 2.3 ở trên thì

φ(x)=
i =
i
1



(x) (6)
Trong đó φ
i
(x) = 0 ,∀x ∉ U
i
,đồng thời số các số hạng bên phải của (6) là
hữu hạn. Do đó theo định nghĩa 1 thì (f , φ
i
(x)) = 0 ,∀i=1,2,…….
⇒ (f, φ(x)) = (f ,
i = 1
i
(x)



) =
i = 1
i
(f,
(x))




= 0.
Hay hàm suy rộng f bằng không theo nghĩa định nghĩa 2.
Vậy định nghĩa hàm suy rộng theo 2 cách trên là tương đương.
3.1.3.Nhận Xét
1) Hàm suy rộng f bằng không trong lân cận của mỗi điểm là hàm không
(theo định nghĩa 1 )
2) Nếu φ(x) = 0, ∀x∈U, U là lân cận của giá F của hàm suy rộng f thì
(f, φ) = 0
 Chứng minh :
Hàm suy rộng f = 0 ở ngoài giá F(theo định nghĩa). Khi đó
c c
U F

,
xét φ(x) ∈ K mà φ(x) = 0 , ∀x∈ U ⟹ φ(x) chỉ khác 0 tại x ∈
c
U
.
Do đó theo định nghĩa 2 thì (f, φ) = 0
3) Sự thay đổi giá trị của hàm cơ sở φ(x) ngoài lân cận giá F của hàm suy
rộng f không ảnh hưởng đến giá trị (f , φ) .
 Chứng minh :
Giả sử φ thay đổi tức là bổ sung thêm hàm ω để có hàm cơ sở mới φ + ω
với ω = 0 trong lân cận giá F. theo 2) thì (f, ω) = 0 .
Do đó (f, φ + ω) = (f, φ) + (f, ω) = (f, φ) .
Vậy (f, φ) không thay đổi.
7

4) Hàm suy rộng f và g được gọi là trùng nhau trong miền G nếu f - g
bằng không trong miền đó
Nếu f và g trùng nhau trong lân cận của mỗi điểm thì f và g trùng nhau
tức là (f, φ) = (g, φ).

3.1.4.Mệnh Đề :
Mỗi hàm suy rộng xác định 1 cách đơn trị bởi các giá trị địa phương của
nó.
 Chứng minh :
Giả sử tồn tại lân cận U
x
của điểm x mà tại đó hàm suy rộng không xác
định đơn trị tức là tồn tại 2 hàm suy rộng f và g sao cho (f, φ) = (g, φ),
∀φ(x) ∈ K, φ(x) = 0, ∀x ∉ U
x
.
Khi đó (f - g, φ) = (f, φ ) - (g, φ) = 0, ∀φ(x) ∈ K, φ(x)=0, ∀x ∉ U
x
.
Do đó theo định nghĩa 1thì f - g=0 trong lân cận U
x
hay f trùng g trong
lân cận U
x
.Điều này mâu thuẫn với giả thiết trên.
Vậy hàm suy rộng f xác định 1 cách đơn trị.
 Nhận Xét :
Điều này nói lên sự khác biệt rất lớn giữa hàm suy rộng và hàm cổ
điển,từ các giá trị địa phương ta có thể xây dựng nhiều hàm cổ điển xấp xỉ
và có giá trị địa phương trùng với nó với độ sai lệch khác nhau

Từ mệnh đề trên ta thấy mỗi hàm suy rộng xác định đơn trị bởi các giá
trị dịa phương do đó ta có thể xây dựng được hàm suy rộng dựa trên các
giá trị địa phương, điều đó thể hiện qua định lý sau :
3.1.5.Định Lý 2:
Tại mỗi điểm x
o
∈
n

có lân cận U(x
o
) sao cho :
∀φ(x) ∈ K, φ(x) ≠ 0, ∀x∈ U(x
o
).
Cho trước các số (f, φ) phụ thuộc tuyến tính , liên tục vào φ mà không phụ
thuộc x
o
. Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục trên K trùng với hàm
suy rộng f tại các φ(x) mà f xác định.

8

 Chứng minh :
∀x
o
∈
n

thì luôn tồn tại U(x

o
) và
n

o
n
x
U(x )




không mất tính tổng
quát ta giả thiết các lân cận này bị chặn
Lặp lại các bước chứng minh của định lý 1 ta được φ(x) =
i =
i
1



(x)
Xét (g.φ) =
i = 1
i
(f ,
(x))




(7) . Rõ ràng g là phiếm hàm tuyến tính
Cho dãy


j
j

mà


j
j

→ 0 khi j → ∞, Theo nhận xét 2) phần 2.3 :
j
(x)

=
1
i
j
i




(x) → 0 trong K khi j → ∞, hội tụ xảy ra khi tổng (7) hữu
hạn.
Tóm lại : (g, φ) =
i = 1

ij
(g,
)



→ 0 khi j → ∞ hay g liên tục trên K
Mặt khác : (g, φ) =
i = 1
i
(f ,
(x))



= (f,
i =
i
1



) =(f, φ) do đó f trùng với g
Nếu {V
i
} là phủ khác có tính chất như {U
i
} và g
1
là phiếm hàm nhận được

như cách xây dựng ở trên. Khi đó g
1
≡ g địa phươngtheo nhận xét 4) phần
3.1.3 thì g
1
≡ g trên toàn bô không gian K. do đó việc xây dựng phiếm hàm
g không phụ thuộc việc chon phủ {U
i
}
 Nhận Xét : Qua định lý trên ta thấy từ các giá tri địa phương của
hàm suy rộng ta có thể xây dựng nên hàm suy rộng không phụ thuộc vào
việc chon phủ mở.

9

3.2 TÍNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA PHÉP TOÁN VI PHÂN
Kết thúc việc xét tính địa phương hàm suy rộng ta mở rộng qua tính địa
phương của phép toán vi phân .
Trước tiên ta có kết quả khá đơn giản và giống hệt như lý thyết của hàm
cổ điển đó là :
3.2. 1 Định Lý 3 : Nếu hàm suy rộng f bằng không trong lân cận của điểm
x
o
thì tất cả các đạo hàm của hàm suy rộng f cũng bằng không trong lân cận
đó.
 Chứng minh :
Giả sử hàm suy rộng f = 0 trong lân cận U(x
o
) Tức là
∀φ(x) ∈ K, φ(x) = 0, ∀x


U(x
o
)
Thì ta có (f, φ(x)) = 0.
Do đó φ(x) chỉ khác không trong U(x
o
) nên đạo hàm mọi cấp chỉ khác
không trong U(x
o
).
ngoài ra
j
x



cũng là hàm cơ sở. vậy :
(
j
f
x


, φ) = (f,
j
x




) = 0 trong lân cận U(x
o
)
Lập luận tương tự cho đạo hàm cấp cao và đạo hàm theo biến độc lập ta
có điều phải chứng minh.
3.2.2.Nhận Xét :
1) Các hàm suy rộng trùng nhau trong miền G thì đạo hàm mọi cấp tùy ý
cũng trùng nhau trên trên G
 Chứng minh :
Giả sử f và g trùng nhau trên G ⇒ f - g bằng không trên G
⇒ (f - g)’ = f ’- g’ = 0 trên G (theo định lý 3)
Hay f ’ và g’ trùng nhau trên G
10

Lập luận tương tự cho đạo hàm cấp cao
2) Nếu hàm suy rộng f tập trung trên F thì thì các đạo hàm
j
f
x


,
2
2
j
f
x


,… ,

cũng tập trung trên F
 Chứng minh :
Giả sử f tập trung trên F, ∀x ∈ F, hàm suy rộng f chỉ khác không trong lân
cận U
x
của x. Do đó theo định lý 3 thì
j
f
x


cũng chỉ khác không trong U
x

của điểm x hay
j
f
x


tập trung trên tập F.Lập luận tương tự thay vai trò của
f và
j
f
x


ta được điều phải chứng minh.
 Ví Dụ :
Xét hàm

o
(x - x )

hàm này tập trung tại x
o
tức là
o
(x - x )

chỉ khác
không trong lân cận điểm
0
x
. Lúc đó đạo hàm mọi cấp của
0
(x x )


cũng
tập trung tại x
o
. Thật vậy ∀ φ∈K, ta có :

)
o
(k
( (x - x ) )
,
 
= (

o
(x - x )

, (-1)
(k)
.φ
(k)
(x)) = (-1)
(k)
.φ
(k)
(x
o
) .
chứng tỏ
o
(k)
(x - x )

cũng tập trung tại x
o
.

11

IV-KẾT LUẬN VÀ MỞ RỘNG
4.1.Kết Luận :
Trong tiểu luận này chúng ta đã tìm hiểu được định nghĩa của tính địa
phương của hàm suy rộng và phép toán vi phân, cũng như qua đó thấy
được một số tính chất cơ bản của hàm suy rộng và phép toán vi phân thể

hiện qua các mệnh đề, định lý và nhận xét liên quan, điều đó giúp ta hiểu
thêm phần nào bản chất của hàm suy rộng . Hàm suy rộng là sự mở rộng
của hàm cổ điển, do đó tính địa phương của hàm suy rộng và hàm cổ điển
có giống nhau hay không? Các kết quả đã biết của hàm suy rộng có còn
đúng đối với hàm cổ điển hay không? Ta sẽ tìm hiểu điều đó qua một vài
nhận xét mở rộng sau:

4.2.Nhận Xét Mở Rộng :
1) Định nghĩa tính địa phương của hàm suy rộng theo 2 cách trên không
còn tương đương trong các hàm cổ điển :
Thậy vậy : xét hàm số f(x)=
1 , x
0 , x \






 
rõ ràng hàm số f (x) bằng
không địa phương theo định nghĩa 1 trên tập ℝ\ℕ vì ∀x∈ ℝ\ℕ ,∃
x
U
sao
cho f(x) = 0 , ∀x∈
x
U
nhưng f(x) không bằng không theo định nghĩa 2 vì
không tồn tại lân cận nào của ℝ\ℕ sao cho f (x) bằng không trên lân cận

đó.
2) Mệnh đề 3.1.4 nói lên rằng từ các giá trị địa phương của hàm suy rộng ta
có thể xây dựng nên phiếm hàm suy rộng sao cho nó trùng với giá trị (f,φ)
mà tại đó hàm suy rộng f xác định nhưng điều này không còn đúng trong
hàm cổ điển vì từ các giá trị địa phương ta có thể xây dựng nên nhiều hàm
cổ điển xấp xỉ nhau mà tại các giá trị địa phương chúng bằng nhau . Cụ thể
sử dụng phương pháp xấp xỉ Taylor hay các phương pháp tính khác sẽ cho
các hàm xấp xỉ với độ sai lệch khác nhau.
3) Ở nhận xét 4) phần 3.1.3 ta đã nêu lên khái niệm hai “hàm suy rộng
trùng nhau”, khái niệm này tương ứng khái niêm “ bằng nhau hầu khắp
nơi“ trong hàm cổ điển. Do đó nếu thay khái niệm hàm suy rộng bằng khái
niệm hàm cổ điển, “ hàm suy rộng trùng nhau” bằng “bằng nhau hầu khắp
nơi” thì nhận xét 1) của nhận xét 3.2.2 vẫn còn đúng. Cụ thể hai hàm cổ
điển f và g “ bằng nhau hầu khắp nơi” trên G thì đạo hàm cấp tùy ý cũng “
bằng nhau hầu khắp nơi” trên G.
12

4) Nhận xét 2) phần 3.2.2 vẫn còn đúng khi f là hàm cổ điển . Cụ thể f tập
trung trên F, tức là f chỉ khác không trên F thì
j
f
x


,
2
2
j
f
x



cũng chỉ khác
không trên F.
5) Định lý 3 vẫn còn đúng nếu ta thay hàm suy rộng bằng các hàm cổ điển
tức là hàm cổ điển f bằng không trong lân cận điểm x
o
thì đạo hàm cấp tùy
ý và đạo hàm riêng theo các biến đều bằng không.
Tuy nhiên do hạn chế về kiến thức và trong khuôn khổ một đề tài tiểu
luận nên còn một số hướng mà tác giả chưa khai thác được. Rất mong nhận
được sự góp ý của thầy cô và bạn bè.

13

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. PGS. Lê Viết Ngư, Hàm suy rộng (hay Lý thuyết phân bố), Tài liệu
dành cho học viên Cao học chuyên nhành giải tích, Huế 1998.
2. Đặng Anh Tuấn, Lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev, Hà
nội, 2005.