Bài toán điều khiển cho một lớp phương trình vi phân phân phi tuyến cấp hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ HUYỀN
BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHO MỘT LỚP
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP HAI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số : 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
TS. Trần Đình Kế
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS. Trần Đình Kế.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Đình Kế, người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận
văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các
GS, TS dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, cùng các bạn học viên lớp cao học K16 đã giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám
hiệu trường Cao đẳng nghề Cơ khí Nông Nghiệp - Bình Xuyên - Vĩnh
Phúc đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học cao học.
Qua đây tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp
đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Huyền
Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Đình Kế, luận văn
Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Bài toán điều khiển
cho một lớp phương trình vi phân phi tuyến cấp hai” được hoàn
thành bởi nhận thức của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Huyền
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Độ đo không compact và ánh xạ đa trị 6
1.2. Họ hàm Cô-sin và tính điều khiển được của phương trình cấp
hai tuyến tính . . . . . . 13
Chương 2. Tính điều khiển được của hệ phi tuyến. . . . . . 16
2.1. Thiết lập các giả thiết . . . . . . . . 16
2.2. Chứng minh tính điều khiển được . . . 19
Chương 3. Ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Xét bài toán điều khiển
x

(t) −Ax(t) −Bu(t) ∈ F (t, x(t), u(t)), t ∈ J := [0, T ], (0.0.1)
x(0) + g(x) = x
0
, x


(0) + h(x) = x
1
, (0.0.2)
trong đó hàm trạng thái x lấy giá trị trong không gian Hilbert X, hàm
điều khiển u ∈ L
2
(J; V ), với V là một không gian Hilbert. Toán tử
tuyến tính A là phần tử sinh của một họ hàm Cô-sin {C(t)}
t∈R
, toán
tử điều khiển B : V → X là tuyến tính, bị chặn và hàm phi tuyến
F : J ×X ×V  X là một ánh xạ đa trị. Các hàm g, h : C(J; X) → X
và giá trị ban đầu (x
0
, x
1
) ∈ X
2
được cho trước.
Hệ điều khiển tuyến tính tương ứng với hệ (0.0.1)-(0.0.2) là:
x

(t) = Ax(t) + Bu(t), t ∈ J, (0.0.3)
x(0) = x
0
, x

(0) = x
1

. (0.0.4)
Nghiệm tích phân x ∈ C(J; X) của (0.0.3)-(0.0.4) ứng với điều khiển u
được cho bởi
x(t) = C(t)x
0
+ S(t)x
1
+

t
0
S(t −s)Bu(s)ds,
với {S(t)}
t∈R
là họ hàm Sin ứng với họ Cô-sin {C(t)}
t∈R
. Đối với hệ
phi tuyến (0.0.1)-(0.0.2), hàm x ∈ C(J; X) được gọi là nghiệm tích
phân ứng với điều khiển u nếu tồn tại một hàm f ∈ L
1
(J; X) sao cho
f(t) ∈ F(t, x(t), u(t)) với hầu khắp t ∈ J và
x(t) = C(t)[x
0
− g(x)] + S(t)[x
1
− h(x)] +

t
0

S(t −s)[Bu(s) + f(s)]ds.
1
2
Những vấn đề cơ bản liên quan đến các phương trình vi phân cấp hai và
họ hàm Cô-sin có thể tìm thấy trong [14].
Việc nghiên cứu tính giải được của phương trình cấp hai với điều kiện
không cục bộ đã được tiến hành bởi nhiều tác giả, trong đó có các kết
quả tiêu biểu trình bày trong [2, 4, 17, 18].
Đặt
W (x
0
, x
1
, u)(t) = C(t)x
0
+ S(t)x
1
+

t
0
S(t −s)Bu(s)ds,
và ký hiệu Σ(x
0
, x
1
, u) là tập nghiệm của hệ (0.0.1)-(0.0.2) ứng với điều
khiển u và dữ kiện ban đầu (x
0
, x

1
). Chú ý rằng có một số khái niệm
khác nhau về tính điều khiển được cho hệ phương trình vi phân cấp hai
(xem trong [3]). Ở đây, ta quan tâm đến khái niệm điều khiển được dọc
theo quỹ đạo: hệ tuyến tính (0.0.3)-(0.0.4) được gọi là điều khiển được
chính xác nếu với (x
0
, x
1
) ∈ X
2
, ta có W
T
= X, ở đó
W
T
:= {W (x
0
, x
1
, u)(T) : u ∈ L
2
(J; V )}.
Tương tự, ta nói rằng hệ (0.0.1)-(0.0.2) là điều khiển được chính xác nếu
với (x
0
, x
1
) ∈ X
2

, ta có Σ
T
= X, ở đó
Σ
T
:= {y(T ) : y ∈ Σ(x
0
, x
1
, u), u ∈ L
2
(J; V )}.
Trong [5, 10], kết quả về tính điều khiển được cho phương trình vi
tích phân bậc hai phi tuyến đã được thiết lập với điều kiện hàm phi
tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Bài toán điều khiển đối với bao
hàm thức vi phân hàm dạng trung tính đã được nghiên cứu trong [23].
Có thể tìm thấy các kết quả điều khiển cho phương trình vi phân chứa
xung hoặc bao hàm thức vi phân trung tính chứa xung trong các công
trình [8, 24, 26]. Đối với bài toán điều khiển có điều kiện ban đầu phi
địa phương, một số kết quả gần đây được thiết lập trong các công trình
[4, 7, 16].
3
Trong các công trình kể trên, các tác giả đã sử dụng một giả thiết
quan trọng, đó là toán tử
B
T
u =

T
0

S(T −s)Bu(s)ds
có nghịch đảo bị chặn B
−1
T
: X → L
2
(J; V )/ ker B
T
. Giả thiết này đòi
hỏi B
T
phải là toàn ánh và khi đó W
T
= X.
Ta biết rằng đối với hệ (0.0.3)-(0.0.4), tập đích W
T
không thể trùng
với X nếu, S(·) là toán tử compact và X là không gian vô hạn chiều
(xem [28, 29]). Trong trường hợp này, W
T
là không gian con thực sự
của X. Do vậy giả thiết B
T
là toàn ánh không thực tế, ngay cả với lớp
phương trình sóng cổ điển (xem ví dụ chương cuối).
Do hạn chế nói trên, khái niệm điều khiển được chính xác đến không
gian con tỏ ra hữu dụng. Ta mô tả khái niệm này như sau. Giả sử X
0
là
một không gian con đóng của X và E

0
⊂ X × X. Hệ tuyến tính được
gọi là điều khiển được chính xác từ E
0
đến X
0
(hay (E
0
, X
0
)-điều khiển
được) nếu với mỗi (x
0
, x
1
) ∈ E
0
, x
T
∈ X
0
, tồn tại u ∈ L
2
(J; V ) sao cho
W (x
0
, x
1
, u)(T) = x
T

. Giả sử rằng
{C(T )x
0
+ S(T )x
1
: (x
0
, x
1
) ∈ E
0
} ⊂ X
0
.
Khi đó điều kiện R[B
T
] = X
0
tương đương với (E
0
, X
0
)-điều khiển được
cho hệ (0.0.3)-(0.0.4), trong đó R[B
T
] là tập ảnh của B
T
. Mục tiêu của
luận văn là đi tìm các điều kiện cho hàm phi tuyến F và các hàm g, h
sao cho hệ phi tuyến (0.0.1)-(0.0.2) là (E

0
, X
0
)-điều khiển được khi hệ
tuyến tính tương ứng (0.0.3)-(0.0.4) có tính chất này.
So sánh với các kết quả đã có, hệ điều khiển đang xét cho phép có
nhiễu điều khiển, tức là, hàm phi tuyến không chỉ phụ thuộc hàm trạng
thái x mà còn phụ thuộc u. Ngoài ra, ta không giả thiết hàm F, g, h
thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Thay vào đó, ta yêu cầu một điều kiện
4
yếu hơn, điều kiện này được diễn tả qua độ đo không compact (MNC)
(xem Chú ý 2.1.1 và 2.1.2 để có so sánh chi tiết). Để chứng minh kết
quả điều khiển được, ta áp dụng lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa
trị nén (xem [19]). Cụ thể, ta sẽ xây dựng các độ đo không compact phù
hợp và sử dụng các ước lượng theo độ đo để chứng minh tính nén của
toán tử nghiệm, từ đó áp dụng định lý điểm bất động thích hợp. Cách
tiếp cận của luận văn là phương pháp phổ dụng dùng để nghiên cứu các
bao hàm thức vi phân (xem [19] và các công trình [9, 12, 21, 22]).
Trong Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản liên
quan đến độ đo không compact, giải tích đa trị và các kết quả điều
khiển đối với phương trình cấp hai tuyến tính. Chương 2 trình bày kết
quả chính: tính điều khiển được (Định lý 2.2.2) cho hệ phi tuyến (0.0.1)-
(0.0.2). Chương cuối trình bày một ứng dụng cho bài toán điều khiển
đối với phương trình truyền sóng phi tuyến.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán điều khiển phi tuyến vô hạn chiều thông qua một
lớp bài toán điều khiển phi tuyến cấp hai trong không gian Hilbert.
Chứng minh chi tiết các kết quả trong bài báo [20].
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Tìm hiểu lý thuyết phương trình vi phân cấp hai tuyến tính tổng

quát;
2. Tìm hiểu bài toán điều khiển đối với phương trình cấp hai tuyến
tính;
3. Tìm hiểu lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị nén;
5
4. Chứng minh tính điều khiển được cục bộ của một lớp bài toán với
phương trình cấp hai phi tuyến.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu là bài toán điều khiển liên quan đến phương
trình vi phân cấp hai.
• Phạm vi nghiên cứu: tính điều khiển được cục bộ.
5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:
• Lý thuyết họ hàm Cô-sin;
• Độ đo không compact và lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị
nén;
• Lý thuyết điểu khiển các hệ vi phân tuyến tính.
6. Đóng góp mới của luận văn
Chứng minh chi tiết các kết quả trong bài báo [20].
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Độ đo không compact và ánh xạ đa trị
Giả sử E là một không gian Banach. Ký hiệu
C(E) = {A ∈ P(E) : A là tập đóng},
K(E) = {A ∈ P(E) : A là tập compact},
Kv(E) = {A ∈ K(E) : A là tập lồi}.
Ta có định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử (A, ≥) là tập sắp thứ tự bộ phận. Một hàm
β : P(E) → A được gọi là độ đo không compact (MNC) trên E nếu
β(co Ω) = β(Ω) với mỗi Ω ∈ P(E),

trong đó co Ω là bao lồi đóng của Ω. Một MNC β được gọi là
i) đơn điệu, nếu Ω
0
, Ω
1
∈ P(E), Ω
0
⊂ Ω
1
kéo theo β(Ω
0
) ≤ β(Ω
1
);
ii) không kỳ dị, nếu β({a}∪ Ω) = β(Ω) với mọi a ∈ E, Ω ∈ P(E);
iii) bất biến đối với nhiễu compact, nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω) với mọi tập
compact tương đối K ⊂ E và Ω ∈ P(E);
Nếu A là một nón trong không gian định chuẩn, ta nói β là
6
7
iv) nửa cộng tính đại số, nếu β(Ω
0
+ Ω
1
) ≤ β(Ω
0
) + β(Ω
1
) với mọi
Ω

0
, Ω
1
∈ P(E);
v) chính quy, nếu β(Ω) = 0 tương đương với Ω là compact tương đối.
Ví dụ quan trọng về MNC là độ đo không compact Hausdorff, thỏa
mãn tất cả các tính chất trong định nghĩa nói trên:
χ(Ω) = inf{ε : Ω có một ε-lưới hữu hạn}.
Dựa trên độ đo Hausdorff χ trên E, ta có độ đo theo dãy χ
0
như sau:
χ
0
(Ω) = sup{χ(D) : D ∈ ∆(Ω)}, (1.1.1)
với ∆(Ω) là tập các tập con không quá đếm được của Ω (xem [1]). Ta
biết rằng
1
2
χ(Ω) ≤ χ
0
(Ω) ≤ χ(Ω), (1.1.2)
với mọi tập bị chặn Ω ⊂ E. Tính chất sau là hiển nhiên:
Mệnh đề 1.1.1. Giả sử χ là độ đo Hausdorff trên E và Ω ⊂ E là một
tập bị chặn. Khi đó với mọi  > 0, tồn tại một dãy {x
n
} ⊂ Ω sao cho
χ(Ω) ≤ 2χ({x
n
}) + .
Nhắc lại rằng X và V là các không gian Hilbert chứa quỹ đạo các

hàm trạng thái và hàm điều khiển tương ứng. Ký hiệu χ
X
và χ
V
là các
độ đo Hausdorff tương ứng trên các không gian này. Đặt J = [0, T], χ
CX
và χ
CV
là các độ đo Hausdorff tương ứng trên các không gian C(J; X)
và C(J; V ). Ta có các kết quả sau (xem [1, 19]): với mỗi tập bị chặn
D ⊂ C(J; X),
• χ
X
(D(t)) ≤ χ
CX
(D), với mọi t ∈ J, ở đây D(t) := {x(t) : x ∈ D}.
8
• nếu D là tập liên tục đồng bậc thì
χ
CX
(D) = sup
t∈J
χ
X
(D(t)).
Ta ký hiệu κ
C
là một độ đo trong không gian tích C(J; X) ×C(J; V ),
xác định như sau: cho π

1
và π
2
là các phép chiếu chuẩn tắc từ không
gian tích nói trên xuống các không gian C(J; X) và C(J; V ) tương ứng,
khi đó
κ
C
(A) = χ
CX
(π
1
(A)) + χ
CV
(π
2
(A)), (1.1.3)
với mọi tập bị chặn A ⊂ C(J; X) × C(J; V ). Chú ý rằng κ
C
có tất cả
các tính chất nêu trong Định nghĩa 1.1.1, bao gồm cả tính chính quy.
Ta nhắc lại khái niệm MNC-chuẩn (xem [1, 19]) mà ta cần dùng trong
phần sau. Giả sử E
1
, E
2
là các không gian Banach và T : E
1
→ E
2

là một
toán tử tuyến tính bị chặn. Giả sử β
1
và β
2
là các độ đo không compact
trên E
1
và E
2
tương ứng. Ta định nghĩa
T 
β
1
,β
2
= inf{k : β
2
(T (Ω)) ≤ kβ
1
(Ω) với mọi tập bị chặn Ω}.
Khi đó với mỗi T , đại lượng T 
β
1
,β
2
là một số thực, được gọi là (β
1
, β
2

)-
chuẩn của T . Đặc biệt, ta có
β
2
(T (Ω)) ≤ T 
β
1
,β
2
β
1
(Ω). (1.1.4)
Giả sử Y là một không gian metric.
Định nghĩa 1.1.2. Ánh xạ đa trị F : Y → P(E) được gọi là:
(i) nửa liên tục trên (u.s.c) nếu F
−1
(V ) = {y ∈ Y : F(y) ⊂ V } là tập
mở trong Y với mỗi tập mở V ⊂ E;
(ii) đóng nếu đồ thị của nó Γ
F
= {(y, z) : z ∈ F(y)} là một tập con
đóng của Y ×E;
9
(iii) compact nếu tập ảnh F(Y ) là compact tương đối trong E;
(iv) tựa compact nếu hạn chế của nó trên các tập compact là ánh xạ
compact.
Định nghĩa 1.1.3. Một ánh xạ đa trị F : D(F) ⊆ E → K(E) được gọi
là nén theo độ đo β (β-nén) nếu với mọi tập bị chặn Ω ⊂ D(F) không
phải là tập compact tương đối, ta có
β(F(Ω))  β(Ω).

Áp dụng lý thuyết bậc tô-pô cho ánh xạ đa trị nén (xem [19]) người
ta đã chứng minh được nguyên lý điểm bất động sau đây.
Định lý 1.1.1 ([19, Bổ đề 3.3.1]). Giả sử M là một tập con lồi, đóng và
bị chặn của E, F : M → Kv(M) là ánh xạ nửa liên tục trên và β-nén,
với β là một đô đo đơn điệu, không kỳ dị trên E. Khi đó tập các điểm
bất động FixF := {x : x ∈ F(x)} là không rỗng và compact.
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử G : J → K(E) là một hàm đa trị. Khi đó G
được gọi là
• khả tích, nếu nó có hàm chọn khả tích theo nghĩa Bochner. Tức
là tồn tại g : J → E, g(t) ∈ G(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ] sao cho

T
0
g(s)
E
ds < ∞;
• bị chặn tích phân, nếu tồn tại hàm ξ ∈ L
1
(J) sao cho
G(t) := sup{g
E
: g ∈ G(t)} ≤ ξ(t) với hầu khắp t ∈ J.
Tập các hàm chọn khả tích của G được ký hiệu là S
1
G
.
Hàm đa trị G được gọi là đo được nếu G
−1
(V ) là tập đo được (theo
độ đo Lebesgue trên J) với mỗi tập mở V của E. Ta nói rằng G là đo

10
được mạnh nếu tồn tại một dãy G
n
: J → K(E), n = 1, 2, các hàm
đơn giản sao cho
lim
n→∞
H(G
n
(t), G(t)) = 0 với hầu khắp t ∈ J,
trong đó H là khoảng cách Hausdorff trên K(E).
Ta biết rằng nếu không gian E là tách được thì các khái niệm đo
được và đo được mạnh trùng nhau, và nó tương đương với điều kiện
ánh xạ t → dist(x, G(t)) là đo được với mỗi x ∈ E. Ngoài ra, nếu G
đo được và bị chặn tích phân thì nó khả tích. Khi đó ta có hàm đa trị
t ∈ J →

t
0
G(s) ds xác định bởi

t
0
G(s) ds :=


t
0
g(s) ds : g ∈ S
1

G

.
Ta có kết quả sau đây liên quan đến ước lượng theo độ đo Hausdorff
(χ-ước lượng) cho tích phân của hàm đa trị trong trường hợp E là không
gian tách được.
Mệnh đề 1.1.2 ([19, Định lý 4.2.3]). Giả sử E là không gian Banach
tách được và G : J → K(E) là hàm bị chặn tích phân và khả tích sao
cho
χ(G(t)) ≤ q(t)
với hầu khắp t ∈ J, ở đó q ∈ L
1
(J). Khi đó
χ


t
0
G(s)ds

≤

t
0
q(s)ds
với mọi t ∈ J. Nói riêng, nếu G : J → K(E) đo được và bị chặn tích
phân thì hàm χ(G(·)) khả tích và ta có
χ



t
0
G(s)ds

≤

t
0
χ(G(s))ds
với mọi t ∈ J.
11
Xét toán tử tuyến tính L : L
1
(J; E) → C(J; E) thỏa mãn các điều
kiện sau:
(L1) tồn tại hằng số C > 0 sao cho
L(f)(t) − L(g)(t)
E
≤ C

t
0
f(s) − g(s)
E
ds,
với mọi f, g ∈ L
1
(J; E), t ∈ J;
(L2) với mỗi tập compact K ⊂ E và dãy {f
n

} ⊂ L
1
(J; E) sao cho
{f
n
(t)} ⊂ K với hầu khắp t ∈ J, nếu f
n
 f
0
(hội tụ yếu) thì
L(f
n
) → L(f
0
) trong C(J; E) (hội tụ mạnh).
Như đã nói trong [19, Chú ý 4.2.3], toán tử tích phân (gọi là toán tử
Cauchy)
G
I
(f)(t) =

t
0
f(s)ds, (1.1.5)
thỏa mãn (L1)-(L2).
Ta có kết quả sau, được coi như một χ-ước lượng cơ bản.
Mệnh đề 1.1.3 ([19]). Giả sử L thỏa mãn (L1)-(L2) và {ξ
n
} ⊂ L
1

(J; E)
là dãy bị chặn tích phân, nghĩa là
ξ
n
(t)
E
≤ ν(t), với hầu khắp t ∈ J,
ở đó ν ∈ L
1
(J). Giả sử thêm rằng tồn tại q ∈ L
1
(J) sao cho
χ({ξ
n
(t)}) ≤ q(t), với hầu khắp t ∈ J.
Khi đó
χ

{L(ξ
n
)(t)}

≤ 2C

t
0
q(s)ds
với mọi t ∈ J, trong đó C là hằng số xác định trong (L1).
Sử dụng Mệnh đề 1.1.3, ta có:
12

Mệnh đề 1.1.4. Giả sử Ω ⊂ L
1
(J; E) là một tập bị chặn thỏa mãn
1. với mọi ξ ∈ Ω, ξ(t)
E
≤ ν(t) với hầu khắp t ∈ J,
2. χ(Ω(t)) ≤ q(t) với hầu khắp t ∈ J,
trong đó Ω(t) = {ξ(t) : ξ ∈ Ω}, ν và q là các hàm thuộc L
1
(J). Nếu L
thỏa mãn (L1)-(L2) thì
χ

L(Ω)(t)

≤ 4C

t
0
q(s)ds.
Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 1.1.1, với mọi  > 0, tồn tại một dãy
{ξ
n
} ⊂ Ω sao cho
χ

L(Ω)(t)

≤ 2χ({L(ξ
n

)(t)}) + , (1.1.6)
với mỗi t ∈ J. Do Ω bị chặn tích phân, nên {ξ
n
} cũng có tính chất này.
Hơn nữa,
χ({ξ
n
(t)}) ≤ χ(Ω(t)) ≤ q(t), với hầu khắp t ∈ J.
Áp dụng Mệnh đề 1.1.3, ta có
χ

{L(ξ
n
)(t)}

≤ 2C

t
0
q(s)ds, t ∈ J.
Thay vào (1.1.6), ta được
χ

L(Ω)(t)

≤ 4C

t
0
q(s)ds + , t ∈ J.

Vì  là số dương nhỏ tùy ý, ta có điều phải chứng minh. 
Ta sử dụng khái niệm dãy nửa compact như sau:
Định nghĩa 1.1.5. Dãy {ξ
n
} ⊂ L
1
(J; E) được gọi là nửa compact nếu
nó bị chặn tích phân và tập {ξ
n
(t)} là compact tương đối trong E với hầu
khắp t ∈ J.
13
Sử dụng các kết quả [19, Định lý 4.2.1 và Định lý 5.1.1], ta có
Mệnh đề 1.1.5. Nếu {ξ
n
} ⊂ L
1
(J; E) là một dãy nửa compact, thì {ξ
n
}
là compact yếu trong L
1
(J; E) và {L(ξ
n
)} là compact tương đối trong
C(J; E). Hơn nữa, nếu ξ
n
 ξ
0
thì L(ξ

n
) → L(ξ
0
).
1.2. Họ hàm Cô-sin và tính điều khiển được của
phương trình cấp hai tuyến tính
Họ các toán tử tuyến tính bị chặn {C(t)}
t∈R
trên X được gọi là họ hàm
Cô-sin nếu
1. C(0) = I;
2. C(t + s) + C(t −s) = 2C(t)C(s), với mọi t, s ∈ R;
3. với mỗi x ∈ X, ánh xạ t → C(t)x là liên tục mạnh.
Họ hàm Sin {S(t)}
t∈R
, ứng với họ hàm Cô-sin {C(t)}
t∈R
, được định
nghĩa như sau
S(t)x =

t
0
C(s)xds, x ∈ X, t ∈ R.
Toán tử A : D(A) ⊂ X → X được gọi là toán tử sinh của họ hàm Cô-sin
{C(t)}
t∈R
nếu
Ax =
d

2
dt
2
C(t)x



t=0
.
Ta có kết quả sau:
Mệnh đề 1.2.1 ([27]). Giả sử {C(t)}
t∈R
là một họ hàm Cô-sin trên X.
Khi đó tồn tại M ≥ 1 và ω ≥ 0 sao cho
1. C(t) ≤ Me
ω|t|
với mọi t ∈ R;
2. S(t
2
) −S(t
1
) ≤ M

t
2
t
1
e
ω|s|
ds với mọi t

1
, t
2
∈ R, t
1
< t
2
.
14
Chi tiết về lý thuyết hàm Cô-sin có thể tìm thấy trong các tài liệu
[14, 27].
Giả sử X
0
, E
0
là các không gian đã đề cập trong Chương 1. Ta biết
rằng hệ tuyến tính (0.0.3)-(0.0.4) là (E
0
, X
0
)-điều khiển được nếu và chỉ
nếu R[B
T
] = X
0
. Ta sử dụng kết quả sau đây:
Bổ đề 1.2.1 ([11, Bổ đề 3.5]). Giả sử V, W, Z là các không gian Banach
phản xạ và G
0
∈ L(V; Z), G

1
∈ L(W; Z). Khi đó các khẳng định sau
tương đương:
1. R[G
0
] ⊂ R[G
1
],
2. tồn tại γ > 0 sao cho
√
γG
∗
0
z
∗

V
∗
≤ G
∗
1
z
∗

W
∗
,
với mọi z
∗
∈ Z

∗
.
Áp dụng bổ đề trên với V = X
0
, W = L
2
(J; V ), Z = X, G
0
là phép
nhúng X
0
vào X và G
1
= B
T
, điều kiện đảm bảo tính điều khiển được
tương đương với bất đẳng thức
B
∗
T
z
L
2
(J;V )
≥
√
γz
X
∗
0

, γ > 0, (1.2.1)
với mọi z ∈ X
∗
0
. Ở đây B
∗
T
: X → L
2
(J; V ) là toán tử liên hợp của B
T
.
Bất đẳng thức cuối suy ra rằng (B
T
B
∗
T
z, z)
X
≥ γz
2
X
∗
0
, với mọi z ∈ X.
Hơn nữa, sửa dụng lý luận trong chứng minh [11, Định lý 3.7] ta có
B
∗
T
= B

∗
S
∗
(T −·) và khi đó toán tử Γ
T
0
: X → X
0
xác định bởi
Γ
T
0
(z) = B
T
B
∗
T
z =

T
0
S(T −s)BB
∗
S
∗
(T −s)zds, z ∈ X (1.2.2)
là khả nghịch và
(Γ
T
0

)
−1
 ≤
1
γ
. (1.2.3)
15
Với giả thiết hệ tuyến tính là (E
0
, X
0
)-điều khiển được, cho trước x
T
∈
X
0
, ta có thể tìm được điều khiển phản hồi qua công thức sau
u(t) = B
∗
S
∗
(T −t)(Γ
T
0
)
−1
[x
T
− C(T )x
0

− S(T )x
1
].
Chương 2
Tính điều khiển được của hệ phi
tuyến
2.1. Thiết lập các giả thiết
Trong mục này chúng tôi đưa ra một số giả thiết dùng để nghiên cứu
bài toán (0.0.1)-(0.0.2).
(SA) Hệ tuyến tính (0.0.3)-(0.0.4) là (E
0
, X
0
)-điều khiển được. Hơn nữa,
1. {C(t)x
0
+ S(t)x
1
: (x
0
, x
1
) ∈ E
0
} ⊂ X
0
,
2.

T

0
S(T −s)f(s)ds ∈ X
0
với mọi f ∈ L
1
(J; X).
Đối với hàm phi tuyến F , ta giả sử:
(F1) F : J ×X × V → Kv(X) sao cho F(·, x(·), v(·)) đo được mạnh với
mỗi phần tử (x, v) ∈ C(J; X) ×L
2
(J; V );
(F2) Với hầu khắp t ∈ J, F(t, ·, ·) : X × V → Kv(X) là nửa liên tục
trên;
(F3) Tồn tại một hàm liên tục không giảm Ψ : R
+
→ R
+
sao cho
F (t, η, ζ) := sup{z
X
: z ∈ F (t, η, ζ)} ≤ µ(t)Ψ

η
X
+ ζ
V

,
với hầu khắp t ∈ J, (η, ζ) ∈ X ×V , ở đây µ ∈ L
1

(J);
(F4) Tồn tại các hàm k, q ∈ L
1
(J) sao cho
χ
X

F (t, Ω, Q)

≤ k(t)χ
X
(Ω) + q(t)χ
V
(Q), với hầu khắp t ∈ J,
16
17
và mọi tập con bị chặn Ω ⊂ X và Q ⊂ V .
Nhận xét 2.1.1. Chú ý giả thiết (F4): nếu X là một không gian hữu
hạn chiều, có thể suy ra (F4) từ các giả thiết (F2)-(F3). Khi đó F(t, ·, ·)
biến tập bị chặn trong X × V thành tập bị chặn trong X, và do đó
χ
X
(F (t, Ω, Q)) = 0 với mọi tập bị chặn Ω ⊂ X và Q ⊂ V .
Ta sẽ chỉ ra rằng nếu F (t, ·, ·) là một hàm đa trị Lipschitz ứng với khoảng
cách Hausdorff H trên K(X), tức là với mọi x, y ∈ X, ξ, η ∈ V :
H

F (t, x, ξ), F(t, y, η)

≤ k(t)x −y

X
+ q(t)ξ − η
V
, (2.1.1)
thì (F4) thỏa mãn. Thật vậy, do định nghĩa của độ đo không com-
pact Hausdorff, cho trước  > 0, ta có thể chọn {y
1
, , y
m
} ⊂ X và
{η
1
, , η
p
} ⊂ V sao cho
Ω ⊂
m

i=1
B(y
i
, χ
X
(Ω) + ), Q ⊂
p

k=1
B(η
k
, χ

V
(Q) + ).
Với mọi z ∈ F (t, Ω, Q), tồn tại (x, ξ) ∈ Ω ×Q sao cho z ∈ F (t, x, ξ). Lấy
y
i
và η
k
sao cho
x −y
i

X
≤ χ
X
(Ω) + , ξ − η
k

V
≤ χ
V
(Q) + ,
Ta được
z −z
ik

X
≤ k(t)x −y
i

X

+ q(t)ξ − η
k

V
≤ k(t)(χ
X
(Ω) + ) + q(t)(χ
V
(Q) + ),
do (2.1.1), ở đậy z
ik
∈ F (t, y
i
, η
k
). Vì vậy
F (t, Ω, Q) ⊂

i=1, ,m;k=1, ,p
B

z
ik
, k(t)(χ
X
(Ω) + ) + q(t)(χ
V
(Q) + )

.

Bất đẳng thức cuối suy ra (F4).
Đối với các hàm g và h, ta giả sử rằng:
18
(GH1) g, h : C(J; X) → X là các ánh xạ liên tục sao cho với x ∈ C(J; X),
(g(x), h(x)) ∈ E
0
;
(GH2) Tồn tại các hằng số C
g
, C
h
≥ 0 và các hàm không giảm Ψ
g
, Ψ
h
:
R
+
→ R
+
sao cho
g(x)
X
≤ C
g
Ψ
g
(x
C
),

h(x)
X
≤ C
h
Ψ
h
(x
C
),
trong đó x
C
= x
C(J;X)
;
(GH3) Ta có
χ
CX

C(·)g(D)

≤ m
g
χ
CX
(D),
χ
CX

S(·)h(D)


≤ m
h
χ
CX
(D),
với mọi tập con bị chặn D ⊂ C(J; X), ở đây m
g
, m
h
là các hằng số
không âm.
Nhận xét 2.1.2.
1. Nếu g và h là các hàm liên tục Lipschitz, thì (GH3) đúng.
Thật vậy, ta có thể chỉ ra (GH3) thỏa mãn với hàm g. Giả sử
g(x) −g(y)
X
≤ l
g
x −y
C
, l
g
≥ 0, với mọi x, y ∈ C(J; X).
Khi đó
sup
t∈J
C(t)g(x) −C(t)g(y)
X
≤ l
g

sup
t∈J
C(t)x −y
C
.
Từ đó suy ra
C(·)g(x) −C(·)g(y)
C
≤ m
g
x −y
C
,
19
Ở đây m
g
:= l
g
sup
t∈J
C(t). Bất đẳng thức này dẫn đến bất đẳng thức
cuối trong (GH3). Ngoài ra, dễ dàng kiểm tra rằng g và h thỏa mãn
(GH2), do
g(x)
X
≤ l
g
x
C
+ g(0)

X
,
Đối với h ta chứng minh tương tự.
2. Nếu g và h là các hàm hoàn toàn liên tục, nghĩa là chúng biến
các tập bị chặn trong C(J; X) thành tập compact tương đối trong
X, thì (GH3) thỏa mãn với m
g
= m
h
= 0.
Thật vậy, giả sử D ⊂ C(J; X) là một tập bị chặn. Khi đó g(D) là tập
compact tương đối trong X. Khi đó C(·)g(D) là liên tục đồng bậc và do
đó
χ
CX

C(·)g(D)

= sup
t∈J
χ
X

C(t)g(D)

= 0,
do C(t)g(D) là compact tương đối với mỗi t ∈ J. Tương tự như trên ta
có
χ
CX


S(·)g(D)

= sup
t∈J
χ
X

S(t)g(D)

= 0.
2.2. Chứng minh tính điều khiển được
Với mỗi (x, u) ∈ C(J; X) ×L
2
(J; V ), ta xác định tập
S
1
F
(x, u) = {f ∈ L
1
(J; X) : f(t) ∈ F (t, x(t), u(t)), t ∈ J}.
Định nghĩa 2.2.1. Một hàm x ∈ C(J; X) được gọi là một nghiệm tích
phân của hệ phi tuyến (0.0.1)-(0.0.2) nếu tồn tại f ∈ S
1
F
(x, u) sao cho
x(t) = C(t)

x
0

−g(x)

+ S(t)

x
1
−h(x)

+

t
0
S(t −s)

Bu(s) + f(s)

ds.
Để chứng minh tính điều khiển được cho hệ (0.0.1)-(0.0.2), ta chia
việc chứng minh thành các bước. Bước thứ nhất, ta định nghĩa nghiệm
20
toán tử đa trị, có các điểm bất động là các nghiệm của bài toán điều
khiển (0.0.1)-(0.0.2).
Xét toán tử Q : C(J; X) → X được xác định bởi Qy = y(T ) và toán
tử tích phân L được xác định như sau:
L : L
1
(J; X) → C(J; X) (2.2.1)
L(f)(t) =

t

0
S(t −s)f(s)ds. (2.2.2)
Ngoài ra, ta định nghĩa toán tử G trên C(J; X):
G(x)(t) = C(t)

x
0
− g(x)

+ S(t)

x
1
− h(x)

. (2.2.3)
Ta xây dựng toán tử đa trị
F : C(J; X) ×L
2
(J; V ) → P(C(J; X) ×C(J; V )), (2.2.4)
F(x, u) =

y(x, u, f), z(x, u, f)

: f ∈ S
1
F
(x, u)

, (2.2.5)

trong đó
z(x, u, f) = B
∗
S
∗
(T −·)(Γ
T
0
)
−1

x
T
− QG(x) −QL(f)

, (2.2.6)
y(x, u, f) = G(x) + LBz(x, u, f) + L(f). (2.2.7)
ở đây toán tử Γ
T
0
được xác định bởi (1.2.2) và x
T
∈ X cho trước.
Chú ý rằng toán tử đa trị F được xác định nhờ giả thiết (SA). Các
phép chiếu của F lên C(J; X) và C(J; V ) tương ứng được biểu diễn như
sau
π
1
F(x, u) = {y(x, u, f) : f ∈ S
1

F
(x, u)}, (2.2.8)
π
2
F(x, u) = {z(x, u, f) : f ∈ S
1
F
(x, u)}. (2.2.9)
Rõ ràng nếu (x
∗
, u
∗
) là một điểm bất động của F thì tồn tại hàm f ∈
S
1
F
(x
∗
, u
∗
) sao cho
x
∗
= G(x
∗
) + L(Bu
∗
+ f), (2.2.10)
u
∗

= B
∗
S
∗
(T −·)(Γ
T
0
)
−1

x
T
− QG(x
∗
) −QL(f)

. (2.2.11)
21
Do đó, dễ dàng kiểm tra rằng hàm u
∗
là hàm điều khiển đưa (x
0
, x
1
) tới
x
T
= x
∗
(T ).

Bây giờ ta đi tìm điểm bất động của F thỏa mãn (2.2.10)-(2.2.11).
Dễ thấy toán tử đa trị F có thể hạn chế trên C(J; X) ×C(J; V ). Chúng
ta gọi F là toán tử nghiệm.
Bước thứ hai, chúng ta sẽ chứng minh một số tính chất của toán tử
F. Mệnh đề sau sẽ được sử dụng:
Mệnh đề 2.2.1. Toán tử L xác định bởi (2.2.1)-(2.2.2) thỏa mãn (L1)-
(L2) với hằng số C = M
0
:= sup
t∈J
S(t). Ngoài ra, nó biến tập bị chặn
bất kỳ trong L
1
(J; X) thành tập liên tục đồng bậc trong C(J; X).
Chứng minh. Sử dụng kết quả từ [19, Bổ đề 4.2.1], ta thấy L thỏa mãn
(L1)-(L2). Mặt khác, nếu Q ⊂ L
1
(J; X) là một tập bị chặn, thì với mọi
f ∈ Q và t
1
, t
2
∈ J : t
2
> t
1
, ta có
L(f)(t
2
) −L(f)(t

1
)
X
= 

t
2
0
S(t
2
− s)f(s)ds −

t
1
0
S(t
1
− s)f(s)ds
X
≤

t
1
0
S(t
2
− s) −S(t
1
− s)f(s)
X

ds +

t
2
t
1
S(t
2
− s)f(s)
X
ds.
Sử dụng Mệnh đề 1.2.1, ta được
S(t
2
− s) −S(t
1
− s) ≤ M

t
2
−s
t
1
−s
e
ωζ
dζ ≤ M(t
2
− t
1

)e
ωT
.
Sử dụng ước lượng này, ta được
L(f)(t
2
)−L(f)(t
1
)
X
≤ M(t
2
−t
1
)e
ωT

t
1
0
f(s)
X
ds+M
0

t
2
t
1
f(s)

X
ds.
Bất đẳng thức cuối suy ra kết luận thứ hai trong Mệnh đề 2.2.1. 
Mệnh đề 2.2.2. Giả sử A là một tập bị chặn trong C(J; X) ×C(J; V ).
Khi đó tập π
2
F(A) là liên tục đồng bậc trong C(J; V ).