Luận văn toán tử nửa xác định dương trên không gian hilbert

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
• • • •
NGUYỄN ĐÌNH THẾ
TOÁN TỬ NỬA XÁC ĐỊNH DƯƠNG TRÊN KHÔNG
GIAN HILBERT
Chuyền ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC
• • •
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn
Năng Tâm
Hà Nội, 2014
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm, Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn các Thầy cô của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ
kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua.
Xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp và gia đình đã chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều
kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện luận văn này.
Hà Nội, tháng 10 năm 20lị
Nguyễn Đình Thế
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bản luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.
Nguyễn Năng Tâm, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2.
Trong khi thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khao học của các nhà khoa học với
sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Nguyễn Đình Thế
CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG
R đường thẳng thực
0 tập hợp rỗng

M giá trị tuyệt đối của X
H Không gian Hilbert
R
N
không gian Hilbert n-chiều
11-11 chuẩn trong không gian Hilbert
(•,•) tích vô hướng
I N T c phần trong của c
C
bao đóng của c
D C
biên của c
S PA N C
không gian con sinh bởi c
X ± Y X trực giao với y
S
1
-
phần bù trực giao của s
H * không gian liên hợp của H
R { T ) , R A N A ảnh của toán tử T
N ( T ) , K E R T hạt nhân của toán tử T
A * toán tử liên hợp của toán tử A
K * nón đối ngẫu của nón K
nón orthan không âm trong M
m
GLCP(T, K , Q ) bài toán bù tuyến tính suy rộng
Inf/ cận dưới đúng của ánh xạ /
Sup / cận trên đúng của ánh xạ /
Mục lục

1.1.1.
V
1.1.2. Đặc trưng của toán tử nửa xác định dương trên
Tài liệu tham khảo
5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong lý thuyết toán tử trên không gian Hilbert, tính nửa xác định dương là một
khái niệm quan trọng. Nó có vai trò lớn trong nghiên cứu của nhiều lĩnh vực, chẳng
hạn như: Phương trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu,
V.V Khái niệm này đã có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu và sử dụng; xem [5],
[6] và các tài liệu dẫn trong đó.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và
những ứng dụng của toán giải tích, đặc biệt là Lý thuyết toán tử và ứng dụng, được
sự động viên của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, tôi chọn đề tài " T O Á N T Ử N Ử A
X Á C Đ Ị N H D Ư Ơ N G T R Ê N K H Ô N G G I A N H I L B E R T " để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Để đạt được một sự hiểu biết tốt về Toán tử nửa xác định dương trên không gian
Hilbert và ứng dụng những tính chất của chúng vào Bài toán bù tuyến tính.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu khái niệm và những tính chất của Toán tử nửa xác định dương trên
không gian Hilbert. Khảo sát ứng dụng của Toán tử nửa xác định dương vào Bài
toán bù tuyến tính.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Phạm vi nghiên cứu: Toán tử trong không gian Hilbert.
- Đối tượng nghiên cứu: Toán tử nửa xác định dương và ứng dụng.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu tài liệu: Các bài báo đã được đăng và sách đã in liên quan mật thiết
đến toán tử nửa xác định dương và ứng dụng.
- Sử dụng các phương pháp của Toán giải tích.

6. Giả thiết khoa học (Dự kiến đóng góp mới)
- Một tổng quan về toán tử nửa xác định dương và một số ứng dụng.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
•
7
Nội dung chính của chương bao gồm một số kiến thức cơ sở về không gian
Hilbert thực và toán tử đơn tuyến tính trên không gian Hilbert. Những nội dung
trình bày trong chương này chủ yếu lấy từ [1] và [6].
1.1. Không gian Hilbert
Cho H là không gian véc tơ trên trường số thực R.
Định nghĩa 1.1.1. T A G Ọ I M Ỗ I Á N H X Ạ
H X H -> R
( x , y ) ( x , y )
là một tích vô hướng trên H nếu các điều kiện sau đây thỏa mẫn: Với mọi
x , y, z G H v à a G R
ỉ ) { x , y } = ( y, x ) ,
i i ) ( a x , y ) = a ( x , y ) ,
U i ) ( x , y + z ) = (X , y ) + ( X , z ) ,
iv) (x,x) > 0, (x,x} = 0 khi và chỉ khi X = 0.
8
S Ố ( x , y ) được gọi là tích vô hướng của X và y. Không gian véc tơ H
cùng với một tích vô hướng xác định được gọi là không gian có tích vô
hướng hoặc không gian tiền Hilbert, và thường được viết là (H, .)).
Mệnh đề 1.1.1. Cho không gian véc tơ H cùng với một tích vô hướng (.,.) xác
định. Khi đó công thức
||a;|| = Y / ( X , X }
xác định một chuẩn trên H.
Định nghĩa 1.1.2. Nếu không gian có tích vô hướng (H, (.,.)) với chuẩn xác
định như trên là một không gian đủ, thì ta gọi (H, (.,.)) là một không gian

Hilbert và kí hiệu đơn giản là H.
Ta gọi số chiều của H là số chiều của không gian Hilbert (H, kí hiệu bởi
dimH. Nếu dimH < oo thì ta nói H là hữu hạn chiều, trái lại ta nói H là vô
hạn chiều.
Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hỉỉbert H là
không gian Hilbert con của không gian H.
V Í D Ụ 1.1.1. Lấy H — M
71
. Với X = (:ci, , X
N
) , Y = (Y I , , Y
n
) G H biểu thức
n
(
x
, y ) = ỵ2
XiVi
I = 1
xác định một tích vô hướng trên không gian M
n
và với chuẩn
\\x\\ = y/ ( X , x)
R
n
trở thành một không gian Hilbert hữu hạn chiều.
9
V Í D Ụ 1.1.2. Ký hiệu L
2
là không gian véc tơ các dãy số X = ( X

N
) sao cho
00
chuỗi số Ỵ 2 \ X
N
\ hội tụ. \ / X = (X
n
) £ Ỉ 2,Vy = (Y
n
) £ Ỉ 2 ta đặt
(1.1)
Dễ dàng thấy hệ thức (1.1) thỏa mãn các điều tích vô hướng. Không gian L
2
với
chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng (1.1)
là một không gian đủ và không gian véc tơ /
2
cùng với tích vô hướng (1.1) là một
không gian Hilbert.
Định lý 1.1.1. (Bất đẳng thức Cauchuy - Schawartz) Cho H là không gian tiền
Hilbert. Ta luôn có bất đẳng thức sau:
\ { x , y ) \
2
< ( x , x ) { y, y ) {\/x,y e H).
Định lý 1.1.2. Cho H ỉà không gian Hỉlbert. Khỉ đó, : H X H —> R. là một
hàm liên tục.
Định nghĩa 1.1.3. Tập M c H được gọi là lồi nếu với mọi x,y £ M, đoạn thẳng
nối X, y đều nằm trong M. Nói cách khác, M c H là tập lồi khi và chỉ khi:
\/x, y £ M, VA £ [0,1] ta có Xx + (1 — A) y £ M.
Định nghĩa 1.1.4. Một tập hợp M trong H là khả li nếu M bao hàm một tập

hợp con đếm được trù mật trong M.
00
00
1
Định nghĩa 1.1.5. Cho K c H là một tập hợp khác rỗng. K được gọi là nón nếu
VA > 0 và X e K ta luôn có Xx € K.
Nón K được gọi là nón lồi nếu K là tập lồi.
Nón K được gọi là nón lồi đóng nếu K vừa là nón lồi vừa là tập đóng.
Định nghĩa 1.1.6. Nón K trong không gian H được gọi là mỏng nếu K khả ly
và véc tơ 0 không thuộc vào bao đóng yếu của tập {k G K : 11*11 = 1}.
Lưu ý rằng, mọi nón trong không gian hữu hạn chiều của H đều mỏng (xem [6]).
Với A > 0 và phần tử e 7^ 0 cố định trong không gian Hilbert khả ly H ta có nón
{x e H : ( X , E ) ^ A ||x|| IIeII}) là mỏng (xem [6]).
Định nghĩa 1.1.7. Nón K trong H được gọi là một đa diện nếu tồn tại một tập
hợp hữu hạn {ữi;a
2
; a
n
} c K sao cho
n
K * X £ H I X ^ 0 ^ .
^ M = 1 >
Chúng ta lưu ý rằng nón đa diện luôn mỏng.
Định nghĩa 1.1.8. Cho không gian Hilbert H, x,y G H và tập con M C H , M ^ 0.
Phần tửx gọi là trực giao với phần tửy và viết là X _L y nếu {X, y) = 0. Do
(y, x) = (x, y) nên nếu X _L y thì y _L X.
Phần tử X € H gọi là trực giao với tập M, nếu X - L y (\/y € M) và kí h i ệ u
X - L M .
Từ định nghĩa ta có thể suy ra tính chất đơn giản sau :
1. O-Líc Vic € X ;

2. =>- Ỉ/-Lx;
3. xL{y
u
y
2
, ,y
n
} =>- ar_L(aiỉ/i + a
2
ỉ
/2
— + CM/n), ra e N\
1
Gti G R,i = 1, 2 , 3 , n ;
4. £_Ly
n
, Y
N
^ Y K H I N —>• oo thì £_!_?/.
Định nghĩa 1.1.9. ơ/ỉo H là không gian Hilbert, tập M c H. Phần bù t r ự c
g i a o c ủ a M , k í h i ệ u
M
1
= { X € H : X _L Y , Vy € M} .
1.2. Toán tử trong không gian Hilbert
1.2.1. Toán tử liên tục
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử H và H' là hai không gian Hilbert. Ánh xạ A : H
—»■ H' được gọi là một ánh xạ tuyến tính, hoặc toán tử tuyến tính, hay gọi
tắt là toán tứ nếu:
ỉ, (Va;, y e H) : A(x + y) = Ax + Ay

2, (Vx £ H ) ( Va £ M) : A(ax) = aAx.
Cho một toán tử A. Tập {Ax I X e H} gọi là ảnh của A; kí hiệu là R(A)
hoặc RanA, tập {x € H I Ẩa; = 0} gọi là hạt nhẵn của A và kí hiệu là N(A)
hoặc KerA.
Định nghĩa 1.2.2. Cho H và H' là hai không gian Hilbert. Toán tử
tuyến tính A : H —¥ H' gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số a
> 0 sao
1
Định nghĩa 1.2.3. Cho Ả là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert H
vào không gian Hilbert H'. Hằng số a > 0 nhỏ nhất thỏa mẫn hệ thức (1.2)
gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là \\AII.
Từ định nghĩa dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất:
1, (Vz <E H ) ||Ac|| < \ \ A \ \ ||z||;
2, (Ve > 0 )(zh
e
e H ) sao cho (ỊỊA|| — e) ỊỊa;
e
|| < ||Ar
e
||.
Định lý 1.2.1. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian Hilbert H vào không
gian Hilbert H'. Các mệnh đề sau tương đương:
1, A liên tục;
2, A liên tục tại mọi điểm x
ữ
E H;
3, Ả liên tục tại 0;
4, A bị chặn.
Nhờ định lý (1.2.1) ta suy ra A là toán tử bị chặn thì A là toán tử
liên tục. Hay đối với các toán tử tuyến tính các khái niệm liên tục và bị

chặn là tương đương.
Định lý 1.2.2. Cho toán tử tuyến tính A từ không gian Hilbert H vào không
gian Hilbert H. Nếu toán tử A liên tục thì
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử H là không gian Hilbert và A : H —»■ H là toán tứ
tuyến tính (bị chặn hoăc không bị chặn). Véc tơ X ^ 0 được gọi l à v é c t ơ
r i ê n g c ủ a Ả ứ n g v ớ i g i á t r ị r i ê n g X , n ế u
Ax = Xx,
hay là
{ A - AI ) x = 0.
Định nghĩa 1.2.5. Giả sử A là một toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian
Hilbert H. số X được gọi là thuộc phổ của A, hay một giá trị phỗ của A, nếu
không tồn tại toán tử ngược bị chặn (A — A/)
-1
.
Tập tất cả các giá trị phổ của A được gọi là phổ của A; ký hiệu: ơ ( A ) .
1.2.2. Toán tử liên hợp
Định nghĩa 1.2.6. Cho toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian Hilbert H
vào không gian Hilbert H'. Toán tử B từ không gian H' vào không gian H gọi
là toán tử liên hợp với toán tứ A, nếu
{ A x , y ) = { x , B y ) , Va; G H , Vy G H'.
Toán tử liên hợp B thường ký hiệu là A*.
Định lý 1.2.3. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert H
vào không gian Hilbert H'. Khỉ đó tồn tại toán tử A* liên hợp với toán tứ A
từ không gian H' vào không gian H.
Định lý 1.2.4. Cho Ả là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hiỉbert H
vào không gian Hilbert H'. Khi đó toán tử liên hợp A* với toán tử A cũng là
toán tử tuyến tính bị chặn và ||i4*|| = IIAII .
Định lý 1.2.5. Giả sử H, H' là các không gian Hilbert, A : H —>• H' là toán
tử tuyến tính ỉỉên tục. Khi đó,
H = N ( A ) © R ( A * ) , H ' = N ( A * ) ® R ( A ) .

Định nghĩa 1.2.7. Toán tử tuyến tính bị chặn A từ không gian Hilbert H vào
chính nó gọi là tự liên hợp nếu
{ A x , y ) — ( x , Ay ), V x , y e H .
Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng.
Định lý 1.2.6. Giả sử A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert
phức H. Khi đó, A tự ỉỉên hợp khi và chỉ khi (\/x € H) { A x , x ) là số thực.
Hệ quả 1.1. Giả sử A là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert
H. Khi đó, mọi giá trị riêng X của A là số thực.
I. 2.3. Toán tử chiếu
Định lý 1.2.7. Cho M là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert
H. Khi đó, với mỗi X € H tồn tại duy nhất y € M sao cho ||a; — yII = inf{||a;
— zII I z G M}.
Ta kí hiệu d ( x , M ) — inf{||x — zII I z E M } .
Định lý 1.2.8. Giả sứ M là một không gian con đóng của không gian Hilbert
H. Khi đó mỗi phần tử X G H được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng X
= y + z, trong đó y G M và z G M
L
được gọi là hình chiếu trực giao của X
lên M.
C H Ứ N G M I N H . Nếu X & M thì đặt Y = X , Z = 0 và ta có khẳng định đúng.
Xét trường hợp X Ệ M .Vì M đóng nên tồn tại duy nhất Y € M sao cho ỊỊx — Y \ \
= D ( X , M ) .
Đặt z = X — y, ta có X = y + z , ta phải chứng minh z E M
±
. Thật vậy, với
mọi A G M, U G M ta có
\\
z
\\ = \ \
x

- y \ \ < II®- { y + a ù )II
Từ đó suy ra
||z||
2
< { z — a u , z — a u )
= \\z\\
2
— a ( u , z ) — a ( z , u } + o;
2
||w||
2
.
Chọn a = ( z , u ) và ỊỊií|| = 1 , ta suy ra 0 < — \ ( z , u )|
2
. Do đó, (z , u ) — 0 v ớ i m ọ i
u G M v à | | w | | = 1 . N h ư v ậ y t a đ ã c h ỉ r a z £ M
1
.
Tiếp theo ta chứng minh sự biểu diễn là duy nhất, giả sử X = Y I + Z \ với Y I €
M , Z Ị € M
L
. Khi đó, Y — Y 1 = Z \ — Z , ta có Y — Y I G M và y — yi £ M
1
.
Từ đó suy ra { y — yi,y — yi ) = 0. Do vậy y = y i và do đó Z = Z \ . Vậy định lý
được chứng minh. □
Định nghĩa 1.2.8. Theo định lý trên, mọi X G H đều biểu diễn được duy nhất
dạng X = y + z với y € M, z G M
1
. Như vậy, H = M ® .

Ánh xạ p : H —>• M, xác định P ( x ) = y v ó i x = y + z E M @ M
1
-, được
gọi là phép chiếu trực giao từ H lên M
Định lý 1.2.9. Phép chiếu trực giao p từ không gian Hilbert H lên không gian
con đóng M Ỷ {0} là một toán tử tuyến tính liên tục.
C H Ứ N G M I N H . Với X I , X
2
€ H , aẽM, theo định lý 1.2.8 ta có
Xi = Px 1 + zi; x
2
= Px
2
+ z
2
,
trong đó Z I , Z
2
£ M
L
.Vì vậy
X ị + x
2
= P x 1 + P x
2
+ Zi 4- z
2
,
trong đó P X 1 + P X
2

& M , Z I + Z
2
€ M
1
. Từ tính duy nhất của sự biểu diễn
trong định lý trên ta suy ra
P ( X ị + x
2
) = P X ị + Px
2
.
Tương tự P ( A X i) = AP ( X i). Vậy P tuyến tính.
Mặt khác, với X £ H ta có
||x||
2
= ||Px||
2
+ ||^||
2
>||Px||
2
.
Từ đó suy ra P bị chặn. Vậy P liên tục. Định lý được chứng minh. □
1.2.4. Toán tử đồng dương cộng, toán tử đơn điệu
Định nghĩa 1.2.9. Cho H là một không gian Hilbert, T làmột toán tử
tuyến tính bị chặn trên H, K là nón lồi đóng trong H.Tanói T là đồng
dương cộng trên K nếu:
i) k e K suy ra (Tk, k) ^ 0;
ii) k e K và {Tk, k) = 0 suy ra (T + T * ) k = 0.
Định nghĩa 1.2.10. Cho H là không gian Hilbert. Toán tửT : H H được gọi là

đơn điệu nếu:
(Tx - Ty, x - y ) ^ 0 V x , y e H .
Toán tửT : H —>■ H được gọi là đơn điệu chặt nếu:
(Tx - Ty, x - y ) > 0 V x , y e H , x ^ y.
Toán tử T : H H được gọi là đơn điệu mạnh nếu có hằng số ữẽE,ữ>0 sao
cho \ f x , y ẽ H , t a c ó :
( x — y
:
T x — Ty ) > a 11® - y \ \
2
.
Mệnh đề 1.2.2. Cho H ỉà không gian Hilbert. Toán tử tuyến tính T : H —>■ H
là đơn điệu khi và chỉ khi
{Tx, x) > 0 \fx G H.
1.3. Không gian đối ngẫu, tôpô yếu
1.3.1. Không gian đối ngẫu
Định nghĩa 1.3.1. (Phiếm hàm tuyến tính) Cho H là một không gian Hilbert.
Toán tử tuyến tính f : H —>■ M được gọi là phiếm, hàm tuyến tính xác đ ị n h
trên H.
Định nghĩa 1.3.2. (Không gian đối ngẫu) Cho H là không gian Hilbert. Không
gian véc tơ L ( H , R) tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên
H (với phép cộng và nhăn ánh xạ với số thông thường) với chuẩn
11/11 = sup 11/(2;) II
||a;|| = l
được gọi là không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu của H; ký hiệu ỉà
H*
Định lý 1.3.1. (Định lý F.Riesz) Với mỗi véc tơ a cố định thuộc không gian
Hilbert H , hệ thức :
f { x ) = ( a , x ) (1.3)
xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) trên không gian H, với

11/11 = N. (1.4)
Ngược lại bất kì phiếm hàm tuyến tính liên tục nào trên không gian
Hilbert H củng đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng (1.3), trong đó a là
một véc tơ của H thỏa mãn (1.4).
C H Ứ N G M I N H . Phần thứ nhất của định lí ta dễ dàng chứng minh được vì F ( X )
= (A , X ) rõ ràng là một phiếm hàm tuyến tính do
\ \ F ( X ) \ \ = |(a,x)| ^ II«II INI (1.5)
||/(a)|| = \ { A , A ) \ = ||a|| \ \ A \ \ (1.6)
nên phiếm hàm đó giới nội và thỏa mãn (1.3).
Để chứng minh phần ngược lại, ta xét một phiếm hàm tuyến tính liên tục F ( X )
trên không gian Hilbert H . Tập hợp
M = { x £ H : f { x ) = 0}
rõ ràng là một không gian con đóng của H . Nếu M
L
= {0} thì dựa vào cách phân
tích X = y + z với Y G -M, Z e M
1
, ta thấy rằng z = 0 nên F ( X ) =F ( Y ) =
0 với\ / X € H do đó F ( X ) = (0,a;) nghĩa là ta có thể
biểu diễn(1.3)với a
M
L
Ỷ {0}- Ta có
F ( X
0
) Ỷ 0)
n
ên véc tơ
ỈM _J_
n

^ — /™ ™ \ ^0 / (Zo,Zo)
Với mọi X G H
y = X - ịy^\x
0
e M
ỈM
vì
/(y)=/0*0 -
=
°'
Mà
a:
0
G M
1
-,
vậy (y, Xo) = 0 tức là
/ f (
x
) \ _ /\ /(
x
) /
\
=
n
V ■ fẸ)
x
°"
x
°)

= { x
'
X a )
~ ĩ M
( x
° ’
X a }
=
hay :
\
=
/ /(
x
) \
=
/ \
/(a;) = yc - jị-^x
0
,x J = { a , x )
Như vậy /(z) có dạng (1.4). Cách biểu diễn đó là duy nhất vì nếu F ( X ) = ( A ' , X ) thì
(A — A ' , X ) = 0, nghĩa là a - a’ = 0. Cuối cùng do (1.5) và (1.6) nên phải có (1.4)
như trên. Định lí được chứng minh. □
Định lý vừa chứng minh cho phép ta thiết lập một tương ứng một- một giữa hàm
tuyến tính liên tục / trên H và véc tơ A € H . Tương ứng đó là một phép đẳng cự
tuyến tính, do vậy nếu ta đồng nhất phiếm hàm / với các véc tơ A sinh ra nó thì ta có
H * = H , nghĩa là: Không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp của nó.
1.3.2. Tôpô yếu trong không gian Hilbert
Cho không gian Hilbert H , H * là không gian liên hợp của không gian H . Với
mỗi X e H ta xét họ U
X

tất cả các tập con của không gian H có dạng:
V
X
= y(z;/i,/
2
, ,/
n
;e) = { Y € H : \ Ĩ J ( Y ) - F J ( X ) Ị < £ , J = 1,2 trong đó N là
số nguyên dương tùy ý; /i, /2, F N là N phần tử tùy ý của không gian H * , £ là số
dương tùy ý.
Họ U
X
thỏa mãn các tính chất:
1) (Vx e X)*/* Ỷ
2) 14 € ỈẠc, V2 ^ ^1 ^2 £ z/j;
3) Wí € ỉ/i, VV2 Ễ ^ ^1 n V2 € y
x
;
4) vv; e ỈẠ„ =>- 3 W
X
€ lẠe sao cho (Vy € <E
Định nghĩa 1.3.3. Tôpô duy nhất trên không gian Hilbert H sao cho tại mỗi
điểm X e H họ v
x
là một cơ sở lăn cận của điểm X được gọi là tôpô yếu trên
không gian H, ký hiệu tôpô đó là ơ ( H , H * ) .
Định lý 1.3.2. Tôpô yếu trên không gian Hilbert H là tôpô nghèo nhất trên H
để các ánh xạ f e H* vẫn còn liên tục.
Các khái niệm: Tập mở yếu, bao đóng yếu, hội tụ yếu trong H luôn được hiểu,
một cách tương ứng, là tập mở, bao đóng, hội tụ của M trong tôpô yếu của H .

Mệnh đề 1.3.3. Dẫy {Zfc} c H hội tụ yếu đếnx nếu và chỉ nếu f(xk) —> f ( x )
v ớ i mọi / e H*.
C H Ứ N G M I N H . Giả sử {Zfc} hội tụ yếu đến X và / e H . Với mọi £ > 0 tồn tại
K
Ữ
€ V ( F , X , E ) với mọi K > K
0
. Nhưng điều đó có nghĩa là IF ( X
K
) - F ( X ) \
< £ với mọi K > K
0
. Vậy F ( X
k
) ->• F ( X ) .
Bây giờ giả sửF ( X K ) — > F { X ) với mọi / e H * . Lấy lân cận tùy ý có
dạng FP , X , E ) của X . Vì F I ( X K ) F I ( X ) với I = 1 nên
tồn tại K
Ữ
để \ F I ( X
K
) — F I ( X ) \ < £ với mọi K > K
Ữ
, I = 1, 2, ,p. Điều
này có nghĩa là X ỵ € V (/i, /2, , f p , X , e) với mọi k > k
0
, tức là X ỵ hội tụ
yếu đến X. □
N H Ậ N X É T 1.1. Vì H = H * nên mệnh đề trên tương
đương với: Dãy

( X K ) C H gọi là hội tụ yếu tới điểm X £ H , ký hiệu : X Ỵ —^ X , ( N — > 00)
nếu với mọi điểm Y € H
lim ( x
k
, y ) = ( x , y }
k->oc
Định lý 1.3.3. Cho không gian Hilbert H, nếu dãy điểm (x
n
) c H hội tụ yế u
tớ i điểm X E H và lim ||a;
n
|| = ||x|| t hì lim II— 2; II =0
71—>00 n—>OC
Định lý 1.3.4. Cho không gian Hilbert H. Nếu dãy điểm ( X k ) c H hội tụ yếu
thì d ẫ y đó bị chặn.
Mệnh đề 1.3.4. Cho không gian Hilbert H. Tập K c X gọi là tập compact yếu
trong không gian H, nếu mọi dẫy vô hạn (Xị.) c K đều c h ứ a m ộ t d ẫ y c o n
h ộ i t ụ y ế u t r o n g k h ô n g g i a n H .
Định lý 1.3.5. Nếu tập K bị chặn trong không gian Hilbert H, thì K là tập
compact yếu trong không gian H.
Mệnh đề 1.3.5. Hình cầu đơn vị đóng trong không gian Hilbert H là compact
yếu.
Kết luận chương
Chương này đã trình bày một số kiến thức cơ bản về định
nghĩa và tính chất của không gian Hilbert, toán tử trong
không gian Hilbert, không gian đối ngẫu, tôpô yếu. Đây là
những kiến thức nhằm hỗ trợ cho các kết quả sẽ được trình
bày trong chương sau.
Chương 2
Toán tử nửa xác định dương trên

không gian Hilbert và ứng dụng
Trong chương này, tác giả trình bày các khái niệm và các tính chất liên quan
đến toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert. Đồng thời nghiên cứu
các ứng dụng của toán tử nửa xác định dương trên không gian Hilbert vào việc
giải bài toán bù tuyến tính. Các kiến thức trong chương này chủ yếu lấy từ các tài
liệu [1], [4], [5] và [6].
2.1. Toán tử nửa xác định dương
2.1.1. Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 2.1.1. ([1], tr. 253) (Toán tử nửa xác định dương) Toán tử tuyến
tính liên tục T trên không gian Hilbert H được gọi là nửa xác định dương,
ký hiệu T > 0, nếu
( T X , X ) > 0 ( \ / X e H ).
Nhận xét. Từ định lý (1.2.6) ta suy ra mọi toán tử nửa xác định dương
2
Ịx(í, s)Ị dtds < oo,
và K ( T , S ) > 0 (hầu khắp nơi trên hình vuông { A < T , S < B } ) . Xét toán tử
tích phân T trong L
2
[a, 6] với hạch K ( T , S ) :
( T x ) ( t ) = í K ( t , s ) x ( s ) d s ( x € L
2
[ a , b ] ) .
J a
Khi đó, T > 0.
Định lý 2.1.1. ([1], tr. 25Ậ) Giả sử T là toán tử nửa xác định dương trên
không gian Hilbert H. Khi đó,
\ ( T x , y ) \
2
< { T x , x ) ự y, y ) ( V x , y e H ) . (2.1)
C H Ứ N G M I N H . Đặt [X , Y ] := (T X , Y } . Khi đó, [ X , Y ] là một dạng song

tuyến tính đối xứng dương trong H ([1], bài tập 2.15). Áp dụng bất dẳng Cauchy -
Schwartz, ta nhận được
\ [ x , y ] \
2
< [ x , x ] . [ y, y ] .
là tự liên hợp.
VÍ DỤ 2.1.1. Giả sử K(T, S) € L
2
([a, 6] X [a, 6]), tức là:
"6 /*ò
|2
/
2
Hệ quả 2.2. ([1], tr. 255) Giả sử T là toán tử nửa xác định dương trên
không gian Hilbert H, dãy {x
n
} c H thỏa mẫn { T x
n
, x
n
) —> 0. Khi đó T x
n
—^ 0.
C H Ứ N G M I N H . Từ (2.2) suy ra:
||Ts
n
||
2
< ||T|| . ( T X
N

, X
N
) .
Vì vậy, ( T X
N
, X
N
) — > 0 kéo theo T X
N
—»• 0. □
Định lý 2.1.2. ([1], tr. 255) Giả sử H là không gian Hilbert, T là toán tử
nửa xác định dương trên H. Đặt
M = inf { T X , X ), M = sup { T X , X ) . (2.3)
a:eií,||a:|| = l x€H,\\x\\ = l
Khi đó:
(i) ||T|| = M
(ii)m G ơ ( T ) , M G cr(T) và ơ ( T ) c [m , M ]. ( với ơ ( T ) là phổ của
T )
C H Ứ N G M I N H . Từ (2.3) suy ra:
™ \\x\\
2
< {T x , x ) < M ||a;||
2
(Vx £ H ).
(i) . Ta có: (T X , X ) < ||Ta:|| . ||x|| < IIX
1
II . ||x||
2
.
Nên

M = sup ( T X , X ) < ỊỊTỊỊ. (2.4)
seíí,||a:|| = l
Mặt khác theo hệ quả 2.1
||Tz||
2
<||T||.(Tz,z)<||T|| . M . w
2
.
Suy ra
||T||
2
= sup \\ T x \ \
2
< M . \ \ T \ \ .
a:Gíĩ,||a:|| = l
2