đề và đáp án môn toán 12

Kỳ thi tốt nghiệp THPT 2009:
ĐỂ THI MÔN TOÁN ĐẠT ĐIỂM CAO
TS NGUYỄN HÀ THANH
(Khoa Toán - Tin học, trường ĐH Sư phạm TP.HCM)
Như đã biết, đề thi môn Toán, về hình thức không có câu giáo khoa mà chỉ có
bài toán. Về cấu trúc đề thi và cách quy định làm bài xem như thí sinh đã nghiên
cứu kỹ. Trong bài viết này, chúng tôi quan tâm đến một số mảng kiến thức
thường gặp trong đề thi và một số lưu ý để đạt điểm cao trên cơ sở tham khảo
các đề thi và đáp án cho chương trình phân ban thí điểm các năm 2006 - 2007 -
2008.
Nội dung thi bao gồm hai mảng kiến thức:
− Phần giải tích (chiếm 7 điểm) bao gồm các nội dung: Ứng dụng đạo hàm
để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm lôgarit -
Nguyên hàm tích phân và ứng dụng-số phức.
− Phần hình học (chiếm 3 điểm) bao gồm các nội dung: khối đa diện-mặt
nón, mặt trụ, mặt cầu-phương pháp tọa độ trong không gian.
Do độ phức tạp của đề thi tốt nghiệp THPT không cao nên học sinh nào
biết cách trình bày tốt hơn sẽ đạt điểm cao hơn. Sau đây là một điểm cần lưu ý:
1) Trình bày lời giải cho khảo sát hàm số. Học sinh phải trình bày đủ 5
bước:
Bước 1: Tập xác định.
Bước 2: Trình bày đạo hàm và nghiệm đạo hàm (nếu có), chỉ ra các khoảng tăng
giảm của hàm số, cực trị của hàm số (nếu có).
Bước 3: Trình bày các giới hạn của hàm số: giới hạn bên phải, giới hạn bên trái
tại điểm gián đoạn (nếu có), giới hạn khi x dần đến +∞, -∞ đồng thời chỉ
ra tiệm cận (nếu có).
Bước 4: Tóm tắt 3 bước trên qua bảng biến thiên.
Bước 5: Tìm giao điểm của đồ thì với trục tung, trục hoành (nếu có), chỉ ra tâm
đối xứng (nếu có), rồi vẽ đồ thị hàm số.
Lưu ý: Trong phần này, nếu học sinh gộp chung các bước 2,3,4 thì sẽ bị mất
điểm.

2) Trình bày cho bài toán biện luận số nghiệm bằng đồ thị. Thường đề
bài yêu cầu dùng một đồ thị (C): y=f(x) đã vẽ để biện luận số nghiệm của
phương trình cho trước. Ở loại toán này, trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, ta
thường gặp hai dạng sau đây: biện luận số nghiệm phương trình f(x)=m hay f(x)
= am+b. Khi trình bày lời giải phải lý luận rõ “f(x)=m là phương trình hoành độ
giao điểm của đồ thị (C): y=f(x) và đường thẳng nằm ngang (d): y=m nên số
nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của (C) và (d)”.
Lưu ý: Nếu học sinh bỏ phần lý luận này, sẽ bị mất điểm
3) Biện luận số giao điểm của đồ thị với đường thẳng y=mx+n. Thiết lập
phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với đường thẳng. Biến đổi dẫn đến
phương trình dạng
2
0Ax Bx C+ + =
(1). Khi
A
có chứa tham số ta phải xét hai
trường hợp
0A
=
,
0A
≠
. Khi gặp đồ thị dạng
ax b
y
cx d
+
=
+
, học sinh cần đặt thêm

điều kiện
0cx d+ ≠
vào phương trình (1).
4) Các bài toán tìm Giá trị lớn nhất (GTLN), Giá trị nhỏ nhất (GTNN)
trên đoạn [a,b]. Dùng phương pháp tìm các nghiệm
[ ]
0
,x a b∈
của phương trình
( ) 0f x
′
=
. So sánh các giá trị
0
( ), ( ), ( )f a f x f b
để suy ra GTLN và GTNN. Trong
lời giải, phải chú trọng tính liên tục của hàm số
( )y f x=
trên
[ ]
,a b
(học sinh
không được bỏ qua lí luận này).
5) Trình bày các câu hỏi về phương trình mũ, lôgarit. Đối với phương
trình-bất phương trình lôgarit, học sinh nhớ đặt điều kiện trước rồi biến đổi sau.
Ví dụ: điều kiện xác định cho các phương trình
2 2
log ( 1) log ( 1) 2x x+ + − =
và
2

2
log ( 1) 2x − =
là khác nhau. Chú ý khi biến đổi bất phương trình mũ-lôgarit phải
nhìn kỹ cơ số
0 1a< <
hay
1 a<
để khi bỏ cơ số hay bỏ lôgarit thì bất phương
trình giữ chiều hoặc đổi chiều.
Lưu ý:
2
log 2log , 0
a a
x x x= ≠
.
6) Các bài toán tích phân. Học sinh chú ý các dạng đổi biến số cơ bản.
Chẳng hạn như
1
( ).
n n
f x x dx
+
∫
(đặt
1n
t x
+
=
),
(cos ).sinf x xdx

∫
(đặt
cost x=
),
(sin )cosf x xdx
∫
(đặt
sint x
=
),
2
1
(tan ).
cos
f x dx
x
∫
(đặt
tant x=
),
1
(ln ).f x dx
x
∫
(đặt
lnt x
=
)… Ví dụ:
( )
1

2 3
1
1x x dx
−
−
∫
, đặt
3
1t x= −
;
2
2
1
2
1
x
dx
x +
∫
, đặt
2
1t x= +
. Lưu ý đổi
biến số kèm theo đổi cận. Cần nhớ một số dạng dùng tích phân từng phần sau
đây:
( ).sinP x axdx
∫
,
( ).cosP x axdx
∫

,
( ).
ax
P x e dx
∫
(đặt
( ), sin , cos ,
ax
u P x v ax ax e
′
= =
) ,
( ).lnP x xdx
∫
(đặt
ln , ( )u x v P x
′
= =
)…Ví dụ:
3
1
2 lnx xdx
∫
(đặt
ln , 2u x v x
′
= =
),
1
0

(2 1).
x
x e dx+
∫
(đặt
2 1,
x
u x v e
′
= + =
),
2
0
(2 1)cosx xdx
π
−
∫
(
2 1, cosu x v x
′
= − =
) Trong
các bài toán tìm diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay, khi miền tìm
diện tích hay miền sinh ra khối tròn xoay phức tạp ta nên vẽ hình để tránh sai
lầm.
7) Các bài toán về số phức. Cần nắm vững cách biến đổi một số phức về
dạng lượng giác. Nhớ quy tắc sau đây:
0r
>
,

[ ]
( ) ( )z r i= + + −
dùng cung đối,
[ ]
( ) ( )z r i= − + +
dùng cung bù;
[ ]
( ) ( )z r i= − + −
dùng cung sai kém
π
. Ví dụ:
*
1 1
1 2 2 cos sin 2 cos sin
4 4 4 4
2 2
z i i i i
π π π π
 
 
     
= − = − = − = − + −
 ÷  ÷  ÷
 ÷
 ÷
     
 
 
,
1 1

* 1 2 2 cos sin
4 4
2 2
3 3
2 cos sin 2 cos sin
4 4 4 4
z i i i
i i
π π
π π π π
π π
 
 
= − + = − + = − +
 ÷
 ÷
 
 
 
     
= − + − = +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
     
 
1 1
* 1 2 2 cos sin
4 4
2 2
5 5

2 cos sin 2 cos sin
4 4 4 4
z i i i
i i
π π
π π π π
π π
 
 
= − − = − − = − −
 ÷
 ÷
 
 
 
     
= + + + = +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
     
 
8) Các bài toán hình học. Ta có hai dạng: Giải bằng phương pháp tổng hợp
và phương pháp tọa độ. Đối với các bài toán này, ta trình bày lời giải theo trình
tự sau: Xác định các đại lượng mà giả thiết cho (góc tạo với cạnh bên với đáy,
góc tạo với mặt bên với đáy, góc hai mặt bên liên tiếp…) với lý luận chặt chẽ
(bài toán tổng hợp). Đối với bài toán giải bằng tọa độ, ta phải lí giải các bước
tính toán. Sau đó, ta tiến hành tính toán theo đề bài yêu cầu.
Lưu ý: Nếu học sinh chỉ thực hiện bước tính toán mà không lí luận thì sẽ bị mất
điểm.
Khi làm bài thi học sinh cần lưu ý các điều sau đây:

1) Đọc toàn thể đề bài.
2) Phân biệt câu dễ câu khó.
3) Làm câu dễ trước câu khó sau.
4) Sử dụng các kiến thức trong chương trình, có lí luận chặt chẽ.
5) Vẽ hình rõ ràng, trực quan.
6) Làm xong nhớ kiểm tra lại các kết quả.