Điểm bất động của toán tử d cực trị tác dụng trong không gian banach thực với hai nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
BÙI THỊ THANH DUNG
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN
TỬ d - CỰC TRỊ TÁC DỤNG
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
THỰC VỚI HAI NÓN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI-2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
BÙI THỊ THANH DUNG
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN
TỬ d - CỰC TRỊ TÁC DỤNG
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
THỰC VỚI HAI NÓN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn: PGS.TS.GVCC NGUYỄN PHỤ HY
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI-2014
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy. Tôi
xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS.GVCC Nguyễn
Phụ Hy người đã luôn động viên, quan tâm và tận tình hướng dẫn tôi
trong quá trình thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại Học,
cùng các thầy giáo, cô giáo của trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã
giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.

Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình cùng các
bạn học viên lớp cao học K16-Toán giải tích trường Đại Học Sư Phạm
Hà Nội 2 đã giúp đỡ, động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học
tập, nghiên cứu.
Do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi
những thiếu sót. Rất mong được sự góp ý của các Thầy giáo, cô giáo và
các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Học viên
Bùi Thị Thanh Dung
2
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của PGS. TS. GVCC Nguyễn Phụ Hy. Trong quá trình
nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà toán học với
sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Học viên
Bùi Thị Thanh Dung
3
Mục lục
Lời cảm ơn 2
Lời cam đoan 3
Bảng ký hiệu và viết tắt 6
Mở đầu 7
1 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 10
1.1 Không gian Banach thực [4,7] . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự [9,10] . . . . . . 11
1.2.1 Định nghĩa nón và tính chất . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2 Quan hệ thứ tự trong không gian Banach thực . . 14
1.2.3 Phần tử u
0
- đo được và không gian E
u
0
. . . . . 17
1.2.4 Phần tử thông ước và tập K(u
0
) . . . . . . . . . 25
1.3 Không gian l
p
(p > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.1 Không gian tuyến tính thực l
p
. . . . . . . . . . . 27
1.3.2 Không gian Banach l
p
(p ∈ R, p > 1) . . . . . . . . 30
1.3.3 Quan hệ thứ tự trong không gian l
p
. . . . . . . . 34
1.3.4 Phần tử u
0
- đo được và không gian E
u
0
trong
không gian l
p

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.5 Phần tử thông ước và tập K(u
0
) . . . . . . . . . 37
4
2 Toán tử d - cực trị trong không gian Banach thực với hai
nón 39
2.1 Toán tử d - cực trị trong không gian Banach thực với hai
nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1 Định nghĩa và tính chất đơn giản . . . . . . . . . 39
2.1.2 Toán tử d - cực trị trong không gian l
p
với hai nón 43
2.2 Toán tử (K, u
0
) - lõm chính qui trong không gian Banach
thực với hai nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.1 Định nghĩa và tính chất đơn giản . . . . . . . . . 48
2.2.2 Toán tử (K, u
0
) - lõm chính qui trong không gian l
p
53
3 Sự tồn tại điểm bất động của toán tử d - cực trị trong
không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với hai nón 55
3.1 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Kết luận 60
Tài liệu tham khảo 62
5

Bảng ký hiệu và viết tắt
: Tập các số thực.
Số  x : Chuẩn của véctơ x.
X: Là không gian định chuẩn.
E: Không gian Banach thực.
K: Nón.
inf: Cận dưới đúng.
sup: Cận trên đúng.
max: Giá trị lớn nhất.
min: Giá trị nhỏ nhất.
E
u
0
: Tập hợp tất cả các phần tử u
0
- đo được của không gian E.
K(u
0
): Tập hợp tất cả các phần tử thuộc E thông ước với phần tử
u
0
∈ K\{θ}.
l
p
: Tập hợp tất cả các dãy số thực x = (x
n
)
∞
n=1
sao cho chuỗi


∞
i=1
|x
n
|
p
hội tụ.
H: Nón trong không gian E (H = K, H ∩ K\{θ} = ∅).
6
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Nhiều vấn đề của toán học và khoa học kỹ thuật dẫn đến việc nghiên
cứu sự tồn tại điểm bất động của toán tử nói chung và toán tử d - cực
trị nói riêng tác dụng trong không gian Banach với hai nón. Chính vì
vậy mà bài toán này đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm
nghiên cứu.
Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnoxelxki đã nghiên cứu lớp
toán tử phi tuyến: toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực
với một nón cố định, và mở rộng cho toán tử lõm tác dụng trong không
gian Banach thực với hai nón cố định, trong đó một nón là tập con của
nón kia [9].
Nhà toán học Nga Y.A Bakhtin đã mở rộng các kết quả của các công
trình [8,9] cho các lớp toán tử phi tuyến (K, u
0
) - lõm tác dụng trong
không gian Banach thực với hai nón cố định giao nhau khác rỗng [10].
Các lớp toán tử được các nhà toán học Kraxnoxelxki và Bakhtin
nghiên cứu đều có chung tính chất u
0

- đo được.
Năm 1987, PGS-TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng các kết quả đối với lớp
toán tử lõm cho một lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử lõm chính quy,
trong đó không yêu cầu toán tử có tính chất u
0
- đo được [1,2,5,6].
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ
sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của PGS-TS-GVCC Nguyễn Phụ Hy tôi
7
đã mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài:"Điểm bất động của toán tử d - cực
trị tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón", trong đó toán
tử được xét vừa có tính chất (K, u
0
) - lõm chính qui vừa có tính chất
d - cực trị trong không gian Banach với hai nón cố định, một nón K
gồm các phần tử dương (không gian được sắp thứ tự theo nón đó) còn
nón kia nón H khác K và H ∩K\{θ} = ∅. Còn toán tử được xét trong
[7] có tính chất lõm chính qui và d - cực trị tác dụng trong không gian
Banach với một nón cố định.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu một cách có hệ thống, chứng minh chi
tiết các kết quả đã đạt được về điểm bất động của toán tử d - cực trị
tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định, trong đó
không yêu cầu toán tử có tính chất u
0
- đo được.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.
- Tìm hiểu về toán tử d - cực trị.
- Tìm hiểu về sự tồn tại điểm bất động của toán tử d - cực trị trong

không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với hai nón.
4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về
toán tử d - cực trị, sự tồn tại điểm bất động của toán tử d - cực trị trong
không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với hai nón.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước
8
liên quan đến điểm bất động của toán tử d - cực trị trong không gian
Banach thực nửa sắp thứ tự với hai nón.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập tài liệu và các bài báo về điểm bất động của toán tử d -
cực trị trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với hai nón.
- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.
- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
6. Những đóng góp của luận văn
Trình bày một cách có hệ thống những kiến thức về không gian Banach
nửa sắp thứ tự, một số tính chất về điểm bất động và sự tồn tại điểm
bất động của toán tử d - cực trị trong không gian Banach thực nửa sắp
thứ tự với hai nón, các kết quả thu được có thể mở rộng cho một số lớp
toán tử khác. Áp dụng các kết quả đạt được trong không gian Banach
thực tổng quát vào không gian Banach thực l
p
(p > 1). Luận văn có thể
sử dụng làm tài liệu cho những vấn đề toán học tương tự khác.
9
Chương 1
Không gian Banach thực nửa sắp
thứ tự
1.1 Không gian Banach thực [4,7]
Định nghĩa 1.1.1

Ta gọi không gian định chuẩn thực (hay không gian tuyến tính định
chuẩn thực) là không gian tuyến tính X trên trường số thực R cùng với
một ánh xạ từ X vào tập R, kí hiệu là  .  (đọc là chuẩn), thỏa mãn
các điều kiện sau đây:
1. (∀x ∈ X),  x ≥ 0,  x = 0 ⇔ x = θ (phần tử không của không
gian X);
2. (∀x ∈ X), (∀α ∈ R),  αx = |α|  x ;
3. (∀x, y ∈ X),  x + y ≤ x  +  y ;
Số  x  được gọi là chuẩn của vectơ x.
Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn tương ứng là X.
Các tiên đề 1, 2, 3 gọi là các hệ tiên đề về chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2
Dãy điểm (x
n
)
∞
n=1
của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới
10
điểm x ∈ X, nếu:
lim
n→∞
 x
n
− x = 0
Định nghĩa 1.1.3
Dãy điểm (x
n
)
∞

n=1
trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản, nếu
lim
n,m→∞
 x
n
− x
m
= 0
Định nghĩa 1.1.4
Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản
trong X đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.5
Không gian Banach X gọi là không gian Banach thực nếu X là không
gian định chuẩn thực.
1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự [9,10]
1.2.1 Định nghĩa nón và tính chất
Định nghĩa 1.2.1
Giả sử E là không gian Banach thực, K là tập con khác rỗng của không
gian E. Tập con K được gọi là một nón nếu các phần tử thuộc K thỏa
mãn các điệu kiện sau
N
1
: K là tập đóng trong không gian E;
N
2
: Với x, y ∈ K ta có x + y ∈ K;
N
3
: Với x ∈ K, α ∈ R

+
ta có αx ∈ K;
N
4
: Với x ∈ K, và x = θ ta có −x /∈ K, (θ là kí hiệu phần tử
không);
Định lý 1.2.1 K là tập hợp lồi trong E.
Chứng minh
∀x, y ∈ K, ∀t ∈ [0, 1] ta có :
11
theo N
3
,

tx ∈ K,
(1 − t) ≥ 0 nên (1 − t)y ∈ K,
⇒ tx + (1 − t)y ∈ K
⇒ K là tập lồi.

Định lý 1.2.2
Giả sử F là một tập con khác rỗng trong không gian E và có các tính
chất bị chặn, đóng, lồi và không chứa điểm không (θ). Khi đó tập hợp
K(F) = {x ∈ E : x = tz, t ∈ R
+
, z ∈ F } là một nón.
Chứng minh
Từ giả thiết ta có K(F) là tập khác rỗng.
Từ tính chất của F là tập đóng, bị chặn và không chứa phần tử θ, ta
luôn tìm được hai số dương m và M sao cho ∀z ∈ F ta có m ≤ z ≤ M.
Thật vậy, nếu

inf
z∈F
 z = 0
thì ta tìm được một dãy (z
n
)
∞
n=1
trong F để
lim
n→∞
 z
n
= 0 hay lim
n→∞
z
n
= θ
trong E, do F đóng nên θ ∈ F , trái giả thiết.
Nên tồn tại m dương để m ≤ z  ∀z ∈ F . Do F bị chặn, nên tồn tại
M dương để ∀z ∈ F,  z ≤ M. Tiếp theo, ta chứng minh K(F ) là tập
đóng.
Lấy một dãy bất kỳ (u
n
)
∞
n=1
⊂ K(F ) sao cho
lim
n→∞

u
n
= v
trong E.
+) Nếu v = θ thì đương nhiên v ∈ K(F), vì θ = 0.z với z bất kỳ thuộc
12
F .
+) Nếu v = θ thì  v > 0. Ta sẽ chỉ ra v ∈ K(F ).
Thật vậy, do
lim
n→∞
u
n
= v
nên với số dương
1
2
 v , ∃n
0
∈ N
∗
∀n ≥ n
0
,  u
n
− v <
1
2
 v 
⇒| u

n
 −  v |≤ u
n
− v <
1
2
 v  .
⇒
1
2
 v < u
n
<
3
2
 v  ∀n = 1, 2, (1.1)
Mặt khác, vì u
n
∈ K(F ) ⇒ u
n
= t
n
z
n
, t
n
≥ 0, z
n
∈ F, ∀n = 1, 2,
Theo bất đẳng thức (1.1) thì

1
2
 v < t
n
z
n
= t
n
 z
n
<
3
2
 v 
⇒
1
2M
 v < t
n
<
3
2m
 v , ∀n = 1, 2,
Suy ra tồn tại dãy con (t
n
i
)
∞
i=1
⊂ (t

n
)
∞
n=1
sao cho
lim
i→∞
t
n
i
= t
0
⇒
1
2M
 v ≤ t
0
≤
3
2m
 v  nghĩa là t
0
> 0
Xét dãy con (u
n
i
)
∞
i=1
⊂ (u

n
)
∞
i=1
với u
n
i
= t
n
i
.z
n
i
ta có
 z
n
i
−
1
t
0
v  = z
n
i
−
t
n
i
t
0

Z
n
i
+
t
n
i
t
0
Z
n
i
−
1
t
0
v 
≤
1
t
0
| t
n
i
− t
0
| z
n
i
 +

1
t
0
 u
n
i
− v ≤
M
t
0
| t
n
i
− t
0
|
+
1
t
0
 u
n
i
− v → 0 khi i → ∞
⇒ z
n
i
−
1
t

0
v → 0 khi i → ∞
Do F đóng nên
1
t
0
v ∈ F ⇒ v = t
0
(
1
t
0
v) ∈ K(F ).
Vậy K(F ) đóng.
13
Với mọi u, v thuộc K(F ), mọi số thực không âm α, β.
Khi đó: u = t
1
z
1
, v = t
2
z
2
với t
1
, t
2
là các số thực không âm, z
1

, z
2
thuộc
F .
Nếu t
1
= 0, hoặc t
2
= 0, hoặc α = 0, hoặc β = 0 thì αu + βv ∈ K(F ) Vì
vậy, ta chỉ cần xét α > 0, β > 0, t
1
> 0, t
2
> 0 khi đó:
αu + βv = αt
1
z
1
+ βt
2
z
2
= (αt
1
+ βt
2
)(
αt
1
αt

1
+ βt
2
z
1
+
βt
2
αt
1
+ βt
2
z
2
).
Do F là tập lồi nên
αt
1
αt
1
+ βt
2
z
1
+
βt
2
αt
1
+ βt

2
z
2
∈ F ⇒ αu + βv ∈ K(F ).
Giả sử tồn tại u
0
∈ K(F ), u
0
= θ mà −u
0
∈ K(F ).
Ta có u
0
= t
1
z
1
trong đó z
1
∈ F , t
1
> 0 và −u
0
= t
2
z
2
. trong đó
z
2

∈ F , t
2
> 0.
Do u
0
+ (−u
0
) = θ, nên
θ = t
1
z
1
+ t
2
z
2
= (
t
1
t
1
+ t
2
z
1
+
t
2
t
1

+ t
2
z
2
)(t
1
+ t
2
) ∈ K(F ),
điều này mâu thuận với tính chất của tập F, vì
θ =
1
t
1
+ t
2
.θ =
t
1
t
1
+ t
2
z
1
+
t
2
t
1

+ t
2
z
2
∈ F. (1.2)
Như vậy K(F ) là một nón.

Định nghĩa 1.2.2
Nón K gọi là đặc nếu K chứa điểm trong.
1.2.2 Quan hệ thứ tự trong không gian Banach thực
Giả sử E là không gian Banach thực, K là một nón trong không gian
E. Với hai phần tử x, y ∈ E ta viết x ≤ y, nếu y − x ∈ K
Định lý 1.2.3
Quan hệ "≤" là một quan hệ sắp thứ tự trong không gian E.
14
Chứng minh
+) ∀x ∈ E, ta sẽ chỉ ra x ≤ x. Do x − x = θ ∈ K nên x ≤ x.
⇒ quan hệ "≤" có tính chất phản xạ.
+) Nếu x, y ∈ E mà x ≤ y và y ≤ x. Ta sẽ chỉ ra x = y. Giả sử x = y.
Do x ≤ y và y ≤ x và x = y nên

y − x ∈ K\{θ}
x − y ∈ K\{θ}
Điều này không thể xảy ra đồng thời vì nếu y −x ∈ K\{θ} thì x−y /∈ K
còn nếu x − y ∈ K\{θ} thì y − x /∈ K.
Nên x = y ⇒ quan hệ "≤" có tính chất phản đối xứng.
+) ∀x, y, z ∈ E mà x ≤ y, y ≤ z. Ta sẽ chỉ ra x ≤ z.
Do x ≤ y, y ≤ z nên

y − x ∈ K

z − y ∈ K
⇒ y − x + z − y ∈ K ⇒ z − x ∈ K ⇒ x ≤ z ⇒ quan hệ "≤" có tính
chất bắc cầu.
Do đó, quan hệ "≤" là một quan hệ sắp thứ tự trong không gian E
với nón K.

Không gian E cùng với quan hệ "≤" gọi là không gian Banach nửa
sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ phận) theo nón K.
Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự nói trên có một số tính chất
đơn giản sau:
Tính chất 1.2.1
Nếu ∀(x
n
)
∞
n=1
⊂ E, (y
n
)
∞
n=1
⊂ E, x
n
≤ y
n
∀n = 1, 2, 3
lim
n→∞
x
n

= x, lim
n→∞
y
n
= y trong E, thì x ≤ y.
Chứng minh
Vì y
n
− x
n
∈ K, ∀n = 1, 2, , lim(y
n
− x
n
) = y − x và K là tập đóng
15
nên y − x ∈ K ⇒ x ≤ y.

Tính chất 1.2.2
Giả sử có u
0
∈ K và x ∈ E. Khi đó, nếu ∃µ ∈ R, x ≤ µu
0
thì x ≤ γu
0
,
∀γ ∈ R, γ ≥ µ.
Chứng minh
µu
0

− x ∈ K, ∀γ ∈ R, γ ≥ µ ⇒ γ − µ ≥ 0 ⇒ (γ − µ)u
0
∈ K
⇒ γu
0
− x = (γ − µ)u
0
+ (µu
0
− x) ∈ K
⇒ x ≤ γu
0
, ∀γ ∈ R, γ ≤ µ.

Tính chất 1.2.3
Giả sử u
0
∈ K, x
0
∈ K sao cho ∃µ
0
∈ R, x
0
≤ µ
0
u
0
,. Khi đó, tồn tại số
thực nhỏ nhất α sao cho x
0

≤ αu
0
.
Chứng minh
Xét ánh xạ
f : R −→ K
µ −→ f(µ) = µu
0
− x
0
.
Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một
số với một phần tử trong không gian Banach E, nên f liên tục. Từ đó
và từ tính đóng của nón K trong không gian E suy ra f
−1
(K) là tập
đóng trong không gian R. Hiển nhiên, µ
0
∈ f
−1
(K).
Giả sử inf f
−1
(K) = −∞. Khi đó ∃(µ
n
)
∞
n=1
⊂ f
−1

(K),
(∃N > 0)(∀n ≥ N) thì µ
n
< 0 ⇒ −
1
µ
n
(µ
n
n
0
− x
0
) ∈ K và
lim
n→∞

1
µ
n
(µ
n
n
0
− x
0
)

= lim
n→∞


− u
0
+
x
0
µ
n

= u
0
∈ K
mâu thuẫn với tính chất của nón K.
Do đó inf f
−1
(K) = α > −∞.
Do f
−1
(K) là tập đóng, nên α ∈ f
−1
(K), nghĩa là α = min f
−1
(K).
16
Vì vậy, ∃α nhỏ nhất sao cho αu
0
− x
0
∈ K hay x
0

≤ αu
0
.

Tính chất 1.2.4
Giả sử có u
0
∈ K và x
0
∈ E sao cho ∃µ
1
> 0 : x
0
≥ −µ
1
u
0
, thì tìm được
số thực µ dương nhỏ nhất sao cho x
0
≥ −βu
0
.
Chứng minh
Vì x
0
∈ E ⇒ x
0
∈ E. Khi đó, với u
0

∈ K:
∃µ
1
> 0, x
0
≥ −µ
1
u
0
⇒ −x
0
≤ µ
1
u
0
.
Theo tính chất 3, tồn tại số thực β nhỏ nhất sao cho −x
0
≤ βu
0
hay tồn
tại số thực µ dương nhỏ nhất β sao cho x
0
≥ −βu
0
.

1.2.3 Phần tử u
0
- đo được và không gian E

u
0
Định nghĩa 1.2.3
Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E,
u
0
là phần tử khác không và cố định thuộc nón K. Phần tử x ∈ E
gọi là u
0
- đo được, nếu tồn tại hai số thực không âm t
1
, t
2
sao cho
−t
1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
.
Định lý 1.2.4
Tồn tại các số không âm
α = α(x) = inf {t
1
≥ 0 : −t
1
u

0
≤ x},
β = β(x) = inf {t
2
≥ 0 : x ≤ t
2
u
0
},
sao cho
−αu
0
≤ x ≤ βu
0
(1.3)
Chứng minh
• Giả sử x ∈ E (∃t ≥ 0) − tu
0
≤ x.
Xét ánh xạ
f : R
+
−→ E
t −→ f(t) = x + tu,
17
f liên tục nhờ tính liên tục của phép cộng hai vectơ và phép nhân
vectơ với một số thực trên E.
Do K là tập đóng nên f
−1
(K) là tập đóng. Vì ta chỉ xét t ≥ 0 nên

∃f
−1
(K) = α và f
−1
(K) đóng ⇒ α ∈ f
−1
(K).
Vậy x + αu
0
≥ 0 hay −αu
0
≤ x.
u
0
∈ K\{θ}.
• Giả sử x ∈ E (∃t ≥ 0) x ≤ tu
0
.
Xét ánh xạ
f : R
+
−→ E
t −→ f(t) = −tu
0
− x.
f liên tục trên E,
Do K là tập đóng nên f
−1
(K) là tập đóng. Vì t ≥ 0 nên ∃f
−1

(K) =
β và f
−1
(K) đóng ⇒ β ∈ f
−1
(K).
Vậy βu
0
− x ≥ 0 hay −βu
0
≥ x.
Định lý được chứng minh.

Kí hiệu:
Eu
0
= {x ∈ E : ∃t
1
∈ R
+
, ∃t
2
∈ R
+
, −t
1
u
0
≤ x ≤ t
2

u
0
}
là tập hợp tất cả các phần tử u
0
- đo được của không gian E.
Định lý 1.2.5
Tập hợp E
u
0
là không gian tuyến tính thực con của không gian tuyến
tính E.
Chứng minh
Để chứng minh E
u
0
là không gian tuyến tính thực ta chỉ cần chứng minh
E
u
0
là không gian tuyến tính con của không gian E.
+)∀x, y ∈ E
u
0
ta chứng minh x + y ∈ E
u
0
.
Do x, y ∈ E
u

0
nên tồn tại các số thực dương t
1
, t
2
, t
3
, t
4
sao cho
−t
1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
và − t
3
u
0
≤ y ≤ t
4
u
0
,
18
từ đó ta có
−(t

1
+ t
3
)u
0
≤ x + y ≤ (t
2
+ t
4
)u
0
.
Vì vậy, x + y ∈ E
u
0
+)Với ∀x ∈ E
u
0
, ∀λ ∈ R ta chứng minh λx ∈ E
u
0
Do x ∈ E
u
0
nên tồn tại các số thực dương t
1
, t
2
sao cho
−t

1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
.
Nếu λ ≥ 0 thì −(λt
1
)u
0
≤ λx ≤ (λt
2
)u
0
.
Nếu λ < 0 thì −λ > 0 và
−(−λ)t
1
u
0
≥ (−λ)x ≥ (−λ)t
2
u
0
⇔ −(−λ)t
2
u
0

≤ λx ≤ (−λ)t
1
u
0
Do đó ∀x ∈ E
u
0
, ∀λ ∈ R ta luôn có λx ∈ E
u
0
.
Vậy E
u
0
là một không gian tuyến tính thực con của không gian E.

Định lý 1.2.6
Ánh xạ
 . 
u
0
: E
u
0
−→ R
x −→ x 
u
0
= max{α(x), β(x)}, (1.4)
là một chuẩn trong không gian tuyến tính thực E

u
0
.
Chứng minh:
Ta nhận thấy ngay  . 
u
0
xác định một ánh xạ từ không gian E vào R.
+) Với mọi x ∈ E
u
0
, do (1.3) và (1.4) nên  x 
u
0
≥ 0,
 x 
u
0
= 0 ⇔ max{α(x), β(x)} = 0 ⇔ α(x) = β(x) = 0 ⇔ x = θ.
+) Với mọi x ∈ E
u
0
, ∀λ ∈ R
∃t
1
, t
2
∈ R
+
: −t

1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
.
Nếu λ ≥ 0 thì λ(−t
1
)u
0
≤ λx ≤ λt
2
u
0
hay − λt
1
u
0
≤ λx ≤ λt
2
u
0
⇒ infλt
1
= λinft
1
= λα(x) và infλt
2

= λinft
2
= λβ(x).
Từ đó
 λx 
u
0
= max{λα(x), λβ(x)} = λmax{α(x), β(x)}
= λ  x 
u
0
= |λ|  x 
u
0
19
Nếu λ < 0 thì −λ > 0 và (−λ)(−t
1
)u
0
≤ −λx ≤ (−λ)t
2
u
0
⇔ −(−λ)t
2
u
0
≤ λx ≤ (−λ)t
1
u

0
Ta có:
inf(−λt
2
) = −λinft
2
= −λβ(x),
inf(−λt
1
) = −λinft
1
= −λα(x),
Suy ra
 λx 
u
0
= max{(−λ)β(x), (−λ)α(x)}
= (−λ)max{β(x), α(x)}
= (−λ)  x 
u
0
= |λ|  x 
u
0
.
Tóm lại, ∀x ∈ E
u
0
, ∀λ ∈ R ta luôn có  λx 
u

0
= |λ|  x 
u
0
+) Với mọi x, y thuộc E
u
0
ta sẽ chứng minh
 x + y 
u
0
≤ x 
u
0
+  y 
u
0
.
Do x, y ∈ E ⇒ ∃t
1
, t
2
, t
3
, t
4
∈ R
∗
+
: −t

1
u
0
≤ x ≤ t
2
u
0
, −t
3
u
0
≤ y ≤ t
4
u
0
,
Suy ra −(t
1
+ t
3
)u
0
≤ x + y ≤ (t
2
+ t
4
)u
0
.
Từ inf(t

1
+ t
3
) ≤ t
1
+ t
3
⇒ inf(t
1
+ t
3
) ≤ inft
1
+ inft
3
.
Tương tự ta có: inf(t
2
+ t
4
) ≤ inft
2
+ inft
4
.
Ta cũng có: max{inf(t
1
+ t
3
), inf(t

2
+ t
4
)} = x + y 
u
0
.
Giả sử  x + y 
u
0
= inf(t
1
+ t
3
) thế thì
 x + y ≤ inft
1
+ inft
3
≤ max{inft
1
, inft
2
} + max{inft
3
, inft
4
}.
Từ đó ta có
 x + y 

u
0
≤ x 
u
0
+  y 
u
0
.
Tương tự cho trường hợp  x + y 
u
0
= inf(t
2
+ t
4
). Ta nhận được hệ thức
Nên ta có  x + y 
u
0
≤ x 
u
0
+  y 
u
0
với mọi x, y thuộc E
u
0
Vậy công thức (1.4) xác định một chuẩn trong E

u
0
.

20
Không gian tuyến tính E
u
0
cùng với chuẩn  . 
u
0
là một không gian định
chuẩn.

Định nghĩa 1.2.4
Chuẩn xác định theo định lý 1.2.6 gọi là u
0
- chuẩn.
Định nghĩa 1.2.5
Nón K gọi là chuẩn tắc nếu ∃δ > 0 sao cho với
∀e
1
, e
2
∈ K : e
1
= e
2
= 1 thì  e
1

+ e
2
≥ δ.
Định lý 1.2.7
K là nón chuẩn tắc khi và chỉ khi ∃M > 0, ∀y ∈ K\{θ}, ∀x ∈ E
y
sao
cho  x 
E
≤ M  x 
y
 y 
E
.
Chứng minh
Điều kiện cần:
Giả sử nón K là nón chuẩn tắc, ta chứng minh
∃M > 0, ∀y ∈ K\{θ}, ∀x ∈ E
y
sao cho
 x 
E
≤ M  x 
y
 y 
E
. (1.5)
Giả sử (1.5) không xảy ra, tức là (∀n ∈ N
∗
) ( ∃y

n
∈ K\{θ}) (∃x
n
∈ E
y
n
),
sao cho
 x
n

E
> n  x
n

y
n
 y
n

E
⇒ x
n

y
n
<
 x
n


E
n  y
n

E
, (1.6)
từ đây ta cũng có  x 
E
> 0.
Từ định nghĩa chuẩn trên không gian E
y
n
ta luôn có
−  x
n

y
n
y
n
≤ x
n
≤ x
n

y
n
y
n
(1.7)

Điều này có được vì x
n
∈ E
y
n
nên ∃t
1
, t
2
≥ 0 sao cho
−t
1
y
n
≤ x
n
≤ t
2
y
n
(1.8)
Ta kí hiệu cận dưới đúng của các số không âm t
1
thỏa mãn (1.8) là α(x),
cận dưới đúng của của các số không âm t
2
thỏa mãn (1.8) là β(x). Khi
21
đó (1.8) trở thành
−α(x).y

n
≤ x
n
≤ β(x).y
n
(1.9)
Ta cũng có
 x
n

y
n
= max{α(x), β(x)}. (1.10)
Từ (1.9) và (1.10) ta có (1.7).
Từ (1.6) và (1.7) ta suy ra:
−
 x
n

E
n  y
n

E
y
n
≤ x
n
≤
 x

n

E
n  y
n

E
y
n
.
⇔ −
y
n
n  y
n

E
≤
x
n
 x
n

E
≤
y
n
n  y
n


E
.
Ta đặt
g
n
=
x
n
 x
n

E
+
y
n
n  y
n

E
≥ θ,
h
n
= −
x
n
 x
n

E
+

y
n
n  y
n

E
≥ θ
thì g
n
∈ K và h
n
∈ K. Ta thấy g
n
= θ và h
n
= θ vì
 g
n

E
≥








x

n
 x
n

E








E
−








y
n
n  y
n

E









E
= 1 −
1
n
> 0 ∀n ∈ N
∗
, n ≥ 2
 h
n

E
≥








−x
n
 x

n

E








E
−








y
n
n  y
n

E









E
= 1 −
1
n
> 0 ∀n ∈ N
∗
, n ≥ 2
điều này không thể xảy ra, nên g = θ.
Lúc này ∀n ∈ N
∗
, n ≥ 2
g
n
 g
n

E
∈ K,
h
n
 h
n

E
∈ K

và








g
n
 g
n

E








E
= 1,









h
n
 h
n

E








E
= 1.
Do nón K là nón chuẩn tắc nên ∃δ > 0 :








g
n

 g
n

E
+
h
n
 h
n

E








E
≥ δ (∀n ∈ N
∗
, n ≥ 2). (1.11)
22
Mặt khác
g
n
 g
n


E
+
h
n
 h
n

E
=
2y
n
n  y
n

E
 x
n

E
+
 g
n

E
−  h
n

E
 g
n


E
 h
n

E
Ta có
 g
n

E
≥








x
n
 x
n

E









E
−








y
n
n  y
n

E








E
= 1 −

1
n
và
 h
n

E
≤








−
x
n
 x
n

E









E
+








y
n
n  y
n

E








E
= 1 +
1
n
⇒ g

n

E
−  h
n

E
≤
2
n
⇒








g
n
 g
n

E
+
h
n
 h
n


E








E
≤
4
n − 1
⇒ lim
n→∞








g
n
 g
n

E

+
h
n
 h
n

E








E
= 0,
Điều này mâu thuẫn với lập luận (1.11). Vì vậy, nếu nón K là nón chuẩn
thì ta có ∃M > 0, ∀y ∈ K\{θ}, ∀x ∈ E
y
sao cho
 x 
E
≤ M  x 
y
 y 
E
.
Điều kiện đủ
Giả sử nón K thỏa mãn điều kiện ∃M > 0∀y ∈ K\{θ}, ∀x ∈ E

y
, sao
cho  x 
E
≤ M  x 
y
 y 
E
Ta sẽ chỉ ra nón K là nón chuẩn tắc.
Thật vậy: Xét các x, y ∈ K mà  x 
E
= y 
E
= 1, ta có x + y ∈ K\{θ}.
Do −(x + y) ≤ x ≤ x + y nên x ∈ E
x+y
và  x 
x+y
≤ 1.
Theo giả thiết của định lý ∃M > 0 sao cho
 x 
E
≤ M  x 
x+y
 x + y 
E
⇒ x 
E
≤ M  x + y 
E

⇒ x + y ≥
1
M
= δ.
23
Như vậy ∃δ =
1
M
để ∀x, y ∈ E : x = y = 1 để  x + y ≥ δ.
Vậy nón K là một nón chuẩn tắc.

Định lý 1.2.8
K là nón chuẩn tắc khi và chỉ khi ∃N > 0, ∀x, y ∈ K : x ≤ y để
 x 
E
≤ N  y 
E
Chứng minh
Điều kiện cần:
Giả sử K là nón chuẩn tắc, ta sẽ chỉ ra ∃N > 0, ∀x, y ∈ K : x ≤ y để
 x 
E
≤ N  y 
E
Theo định lý 1.2.7 ta có M > 0 với ∀x, y ∈ K, y = θ, x ≤ y
 x 
E
≤ M  x 
y
 y 

E
≤ M  y 
E
.
Nhưng bất đẳng thức này lại đúng với cả y = θ,do đó ∃M > 0, ∀x, y ∈ K
mà x ≤ y để  x 
E
≤ M  y 
E
.
Điều kiện đủ : Giả sử ∃N > 0, ∀x, y ∈ K : x ≤ y để  x 
E
≤ N  y 
E
,
ta sẽ chỉ ra K là nón chuẩn tắc.
Giả sử ∀x, y ∈ K mà  x 
E
= y 
E
= 1 ta có θ ≤ x ≤ x + y và bất đẳng
thức trên, nên
1 = ||x||
E
≤ N||x + y||
E
⇒ ||x + y||
E
≥
1

N
= δ.
Vậy nón K là nón chuẩn tắc.

Định lý 1.2.9
Nếu K là nón chuẩn tắc thì E
u
0
là không gian Banach theo u
0
- chuẩn.
Chứng minh:
Giả sử dãy (x
n
) là dãy cơ bản tùy ý trong không gian E
u
0
theo u
0
-
chuẩn, nghĩa là với số dương c tùy ý tìm được số tự nhiên n
0
sao cho với
∀n, m ≥ n
0
ta có
||x
n
− x
m

||
u
0
< c hay − cu
0
≤ x
n
− x
m
≤ cu
0
(1.12)
24