THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO MIỀN HARTOGS TRONG KHÔNG GIAN PHỨC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
DƯƠNG THỊ NỤ
THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
VÀO MIỀN HARTOGS TRONG KHÔNG GIAN PHỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
TS. Lê Tài Thu
HÀ NỘI, 2015
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Tài Thu, thầy đã tận
tình chỉ bảo, định hướng, chọn đề tài và truyền đạt kiến thức để tôi có
thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong khoa
Toán, phòng Sau đại học đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu
và học tập.
Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ cho tôi trong quá trình học
tập và hoàn thành luận văn.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới những người thân
trong gia đình, đã luôn luôn quan tâm, khích lệ và luôn tin tưởng vào
sự trưởng thành của tác giả.
Hà Nội, tháng 01 năm 2015
Tác giả
Dương Thị Nụ
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với
đề tài “Thác triển ánh xạ chỉnh hình vào miền Hartogs trong

không gian phức” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Lê
Tài Thu và bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa, phát
triển các kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các
kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự đồng ý của đồng tác giả
khi đưa vào luận văn.
Hà Nội, tháng 01 năm 2015
Tác giả
Dương Thị Nụ
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Độ đo Hausdorff. . . . . . . . . . . . 18
1.2.1. Khái niệm độ đo Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2. Tính chất của độ đo Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Hàm nửa liên tục trên và hàm đa điều hoà dưới . . . 20
1.3.1. Hàm nửa liên tục trên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2. Hàm đa điều hoà dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4. Tập đa cực . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.1. Định nghĩa tập đa cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.2. Tính chất tập đa cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5. Điều kiện lồi - đĩa yếu . . . . . . . . . . . . 27
Chương 2. Thác triển ánh xạ chỉnh hình với giá trị trong miền
Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1. Một số tính chất thác triển của miền Hartogs . . . . . 29
2.2. Thác triển ánh xạ chỉnh hình vào miền Hartogs qua tập đa cực
đóng có độ đo Hausdorff bằng không. . . . . . . . 38
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình là một trong những hướng
nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Những kết quả cơ bản trong
lĩnh vực này gắn liền với những tên tuổi của các nhà toán học như
Hartogs, Riemann, Cartan, Oka, Grauert,.
Ngày nay, nhiều nhà toán học trên thế giới vẫn tiếp tục quan tâm đến
vấn đề trên bằng những cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết được
những bài toán được đặt ra trong các lĩnh vực đó.
Trong những năm trước đây việc thác triển ánh xạ chỉnh hình đã được
khảo sát theo các hướng như thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh
hình. Thác triển ánh xạ qua tập mỏng, chẳng hạn như qua siêu mặt cũng
như qua tập đa cực. Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết đa
thế vị các nhà toán học quan tâm đến bài toán thác triển ánh xạ chỉnh
hình tách biến, mở đầu theo hướng nghiên cứu này là Shiffman, sau đó
là Alehyane, Lê Mậu Hải,. . .
Sau khi Kobayashi xây dựng giả khoảng cách Kobayashi trên các không
gian phức và đưa ra khái niệm về không gian hyperbolic nhiều nhà
toán học đã chứng minh được các định lý quan trọng về thác triển qua
tập mỏng, có thể kể ra đây như Kobayashi, Kwack, Riermann, Sibony,
Noguchi, Đỗ Đức Thái,. Trong đề tài này, chúng tôi tập trung vào
nghiên cứu tính chất thác triển ánh xạ chỉnh hình vào miền Hartogs
trong không gian phức.
1
2
Giả sử ϕ là hàm nửa liên tục trên trên không gian phức X. Miền Ω
ϕ
(X)
được xác định bởi:
Ω

ϕ
(X) = {(z, ω) ∈ X × C : |ω| < e
−ϕ(z)
} ⊂ X × C
được gọi là miền Hartogs.
Việc nghiên cứu tính chất thác triển ánh xạ chỉnh hình vào miền Hartogs
đã đạt được nhiều kết quả. Tuy nhiên những nghiên cứu đó đều theo
hướng sau đây. Tìm điều kiện đối với ϕ và X sao cho mọi ánh xạ chỉnh
hình từ ∆
n
\S vào Ω
ϕ
(X) đều thác triển chỉnh hình được lên ∆
n
, ở đó
S là tập con giải tích hoặc tập đa cực hoặc tập cực đóng trong đa đĩa
đơn vị ∆
n
của C
n
. Trong đề tài này chúng tôi đặt vấn đề khác đi. Giả
sử ta đã cho ánh xạ chỉnh hình f từ ∆
n
\S vào miền Ω
ϕ
(X), trong đó
S là tập con đóng với độ đo Hausdorff chiều d bằng không. Chúng tôi
muốn tìm điều kiện trên bản thân ánh xạ f để ánh xạ f thác triển được
lên ∆
n

.
Với mong muốn được tìm hiểu bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình và
được sự định hướng của thầy hướng dẫn. Chúng tôi chọn đề tài “Thác
triển ánh xạ chỉnh hình vào miền Hartogs trong không gian
phức ” để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ
chuyên ngành Toán giải tích. Luận văn gồm 2 chương:
Chương 1 Trình bày các khái niệm cơ bản về hàm chỉnh hình, độ đo
Hausdorff, khái niệm về hàm liên tục trên, hàm đa điều hoà dưới, tập
đa cực trong đa đĩa đơn vị và điều kiện đĩa lồi - yếu.
Chương 2 Nghiên cứu bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình vào miền
Hartogs trong không gian phức. Nội dung chính của chương là nghiên
cứu những điều kiện đủ để một ánh xạ chỉnh hình cho trước với giá trị
thuộc miền Hartogs trong không gian phức hữu hạn chiều là thác triển
được.
3
2. Mục đích nghiên cứu
• Đưa ra một điều kiện đủ để một ánh xạ chỉnh hình f từ ∆
n
\S vào
miền Hartogs Ω
ϕ
(X) trong không cgian phức hữu hạn chiều trong
đó S là tập con đóng với độ đo Hausdorff chiều d bằng không thác
triển được lên ∆
n
.
• Đưa ra ví dụ để chỉ ra rằng những điều kiện đủ đã được đặt ra là
không thể bỏ được và “gần như” là những đòi hỏi cần thiết.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài là đưa ra điều kiện đủ để ánh xạ

chỉnh hình f từ ∆
n
\S vào miền Hartogs Ω
ϕ
(X), trong đó S là tập con
đóng với độ đo Hausdorff chiều d bằng không thác triển được lên ∆
n
.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu là thác triển ánh xạ chỉnh hình vào miền
Hartogs trong không gian phức.
• Phạm vi nghiên cứu của đề tài là thác triển ánh xạ chỉnh hình vào
miền Hartogs trong không gian phức hữu hạn chiều.
5. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết nhiệm vụ của đề tài chúng tôi đã vận dụng một cách
linh hoạt các kiến thức đã biết về hàm chỉnh hình, về giải tích phức
hyperbolic. Nghiên cứu các bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình vào
miền Hartogs trong không gian phức.
4
6. Đóng góp mới của luận văn
Đề tài đưa ra điều kiện đủ để ánh xạ chỉnh hình f từ ∆
n
\S vào miền
Hartogs Ω
ϕ
(X), trong đó S là tập con đóng với độ đo Hausdorff chiều d
bằng không thác triển được lên ∆
n
. Sau đó chúng tôi đưa ra ví dụ để chỉ
ra rằng những điều kiện đủ đã được đặt ra là những đòi hỏi cần thiết.

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Mục đích của chương này trình bày một số kiến thức cơ bản để phục
vụ cho nội dung chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi trình
bày một số khái niệm cơ bản về hàm chỉnh hình, độ đo Hausdorff, hàm
nửa liên tục trên, hàm đa điều hoà dưới, tập đa cực và điều kiện đĩa lồi
- yếu trong không gian phức. Các kết quả sử dụng chủ yếu trong các tài
liệu sau: ([1], [2], [4], [5], [7]).
1.1. Hàm chỉnh hình
Giả sử D là miền trong C
n
. Hàm f : D → C được gọi là khả vi tại điểm
z ∈ D theo nghĩa giải tích thực (R
2n
- khả vi) tức là tồn tại vi phân
df =
∂f
∂x
1
dx
1
+ +
∂f
∂x
2n
dx
2n
(1.1)
Khi đưa vào các biến phức z
ν

và z
ν
theo các công thức
x
ν
=
z
ν
+ z
ν
2
, x
n+ν
=
z
ν
− z
ν
2i
Khi đó (1.1) được viết dưới dạng
df =
∂f
∂z
1
dz
1
+ +
∂f
∂z
n

dz
n
+
∂f
∂z
1
dz
n
+ +
∂f
∂z
n
dz
n
,
trong đó ν = 1, , n. Đặt:
∂f
∂z
ν
=
1
2

∂f
∂x
ν
− i
∂f
∂x
n+ν


∂f
∂z
ν
=
1
2

∂f
∂x
ν
+ i
∂f
∂x
n+ν

5
6
Định nghĩa 1.1. Hàm f xác định trong lân cận nào đó của điểm z
0
∈ C
n
được gọi là khả vi tại điểm đó theo nghĩa giải tích phức (C
n
- khả vi),
nếu nó R
2n
- khả vi tại đó và tại điểm này.
∂f
∂z

ν
= 0, (ν = 1, , n) (1.2)
tức là vi phân có dạng:
df =
∂f
∂z
1
dz
1
+ +
∂f
∂z
n
dz
n
(1.3)
Định nghĩa 1.2. Hàm C
n
- khả vi trong một lân cận nào đó cuả điểm
z
0
∈ C
n
được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm z
0
. Hàm chỉnh hình tại mọi
điểm của tập mở Ω ⊂ C
n
được gọi là chỉnh hình trên Ω.
Tổng và tích hai hàm C

n
- khả vi tại điểm z
0
∈ C
n
cũng là C
n
- khả
vi tại điểm đó, do đó tập hợp tất cả các hàm khả vi tại một điểm lập
thành một vành. Đặc biệt các hàm chỉnh hình trong miền D ⊂ C
n
lập
thành một vành, kí hiệu H (D).
Dưới đây chúng tôi nhắc lại một số tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình
nhiều biến.
Xét điều kiện (*) sau đây:
Hàm f liên tục trong miền D ⊂ C
n
theo tập hợp các biến và tại mỗi điểm
z
0
∈ D, hàm f chỉnh hình theo từng tọa độ. (*)
Chú ý: Sau khi chứng minh định lý Hartogs cổ điển thì tính liên tục của
hàm f được suy ra từ tính chỉnh hình theo mỗi biến.
Mệnh đề 1.1. Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện (*) trong đa tròn đóng
U = {z ∈ C
n
: |z
ν
− a

ν
| ≤ r
ν
}, thì tại mỗi điểm z ∈ U hàm f được biểu
diễn dưới dạng tích phân bội Cauchy
f(z) =
1
(2πi)
n

Γ
f(ζ)
(ζ
1
− z
1
) . . . (ζ
n
− z
n
)
dζ
1
. . . dζ
n
, (1.4)
7
trong đó Γ là khung của đa tròn, tức là tích của các vòng tròn biên
γ
ν

= {|ζ
ν
− a
ν
| = r
ν
}.
Chứng minh.
Giả sử

z và

U tương ứng là hình chiếu trong không gian C
n−1
của z
và U, ta có

z ∈

U. Hàm f(z) = f(

z, z
n
) chỉnh hình theo biến z
n
trong
hình tròn {|z
n
− a
n

| ≤ r}. Do đó, áp dụng công thức tích phân đối với
hàm một biến ta thu được
f(z) =
1
2πi

γ
n
f(

z, ζ
n
)
(ζ
n
− z
n
)
dζ
n
.
Với ζ
n
∈ γ
n
và

z ∈

U tùy ý, hàm dưới dấu tích phân có thể biểu diễn

bởi tích phân Cauchy theo biến z
n−1
. Hơn nữa, do f liên tục theo tập
hợp biến, nên tích phân lặp có thể biểu diễn như tích phân bội theo tích
γ
n−1
× γ
n
. Tiếp tục lặp lại lí luận như trên cho tới biến z
1
ta thu được
công thức (1.4). 
Mệnh đề 1.2. Giả sử hàm f thoả mãn điều kiện (*) trong đa tròn đóng
U ⊂ C
n
thì tại mỗi điểm z ∈ U hàm f được biểu diễn bởi chuỗi lũy thừa
kép
f(z) =
∞

|k|=0
c
k
(z − a)
k
(1.5)
với các hệ số
c
k
=

1
(2πi)
n

Γ
f(ζ)
(ζ − a)
k+1
dζ,
trong đó k = (k
1
, . . . , k
n
), k
ν
≥ 0, ν = 1, . . . , n và
(z − a)
k
= (z
1
− a
1
)
k
1
. . . (z
n
− a
n
)

k
n
.
Chứng minh.
Từ công thức tích phân Cauchy (1.4), ta có thể viết dưới dạng đơn giản
8
hơn
f(z) =
1
(2πi)
n

Γ
f(ζ)
ζ − z
dζ,
trong đó dζ = dζ
1
. . . dζ
n
và
1
ζ − z
=
1
(ζ
1
− z
1
) . . . (ζ

n
− z
n
)
.
Bây giờ ta khai triển nhân của tích phân trên thành tích cấp số nhân
bội:
1
ζ − z
=
1
ζ − a
1
(1 −
z
1
−a
1
ζ
1
−a
1
) . . . (1 −
z
n
−a
n
ζ
n
−a

n
)
=
1
ζ − a
∞

|k|=0
(
z − a
ζ − a
)
k
,
trong đó k = (k
1
, . . . , k
n
), k
ν
≥ 0 và |k| = k
1
+ . . . + k
n
,
(
z − a
ζ − a
)
k

= (
z
1
− a
1
ζ
1
− a
1
)
k
1
. . . (
z
n
− a
n
ζ
n
− a
n
)
k
n
. (1.6)
Hay
1
ζ − z
=
∞


|k|=0
(z − a)
k
(ζ − a)
k+1
),
trong đó k + 1 = (k
1
+ 1, . . . , k
n
+ 1). Mặt khác, với bất kì z ∈ U chuỗi
(1.6) hội tụ tuyệt đối và đều trên Γ theo ζ. Nhân chuỗi (1.6) với hàm
f(ζ)
(2πi)
n
, hàm này liên tục trên Γ nên bị chặn trên Γ. Sau đó, lấy tích
phân từng phần ta thu được biểu diễn (1.5). 
Mệnh đề 1.3. Giả sử hàm f thoả mãn điều kiện (*) trong đa tròn đóng
U, thì tại mỗi điểm z ∈ U nó có các đạo hàm riêng mọi cấp liên tục
theo tập hợp biến.
Mệnh đề 1.4. Nếu hàm f chỉnh hình tại điểm a, được khai triển thành
chuỗi lũy thừa dạng (1.6), thì các hệ số của chuỗi này được xác định
theo công thức Taylor
c
k
=
1
k
1

! . . . k
n
!
∂
k
1
+ +k
n
∂z
k
1
1
. . . ∂z
k
n
n
=
1
k!
∂
|k|
f
∂z
k




z=a
, (1.7)

9
trong đó k! = k
1
! . . . k
n
!.
Mệnh đề 1.5. (Bất đẳng thức Cauchy) Nếu f là hàm chỉnh hình trong
đa tròn đóng U = {|z
ν
− a
ν
| ≤ r
ν
} và |f| ≤ M trên khung Γ của nó,
thì các hệ số trong khai triển Taylor của f tại điểm a thỏa mãn các bất
đẳng thức
|c
k
| ≤
M
r
k
trong đó r
k
= r
k
1
1
. . . r
k

n
n
.
Tiếp theo chúng ta còn quan tâm tới định lý Hartogs. Để chứng minh
được định lý này trước tiên chúng ta đưa ra những bổ đề sau:
Bổ đề 1.1. Giả sử hàm ϕ chỉnh hình trong hình tròn U
r
= {z ∈ C :
|z| < r} và ϕ = 0 tại z
0
∈ U
r
nào đó và |ϕ| ≤ M trong U
r
. Khi đó trong
U
r
ta có
|ϕ(z)| ≤ Mr.
|z − z
0
|
|r
2
− ¯z
0
z|
. (1.8)
Chứng minh.
Ta chọn ánh xạ phân tuyến tính U

r
lên vòng tròn đơn vị U
λ : z → r
z − z
0
r
2
− ¯z
0
z
.
Với λ
−1
là ánh xạ ngược U → U
r
và xét hàm
ϕ =
1
M
ϕ ◦ λ
−1
.
Hàm ϕ này thỏa mãn các điều kiện của bổ đề Schwarts thông thường,
do đó
|ϕ(z)| ≤ |z| khắp nơi trong U.
Cuối cùng ta thay z bởi λ(z) ta thu được
|ϕ(z)| ≤ Mr.
|z − z
0
|

|r
2
− ¯z
0
z|
Bổ đề được chứng minh. 
10
Bổ đề 1.2. Giả sử hàm f chỉnh hình theo mỗi biến z
ν
trong đa tròn
U = U(a, r) và bị chặn trong U thì nó liên tục tại mỗi điểm của U theo
tập hợp biến.
Chứng minh.
Giả sử z
0
, z ∈ U là các điểm tùy ý. Tách số gia của f như tổng của các
số gia theo các tọa độ riêng biệt
f(z) − f(z
0
) =
n

ν=1
(f(z
0
1
, . . . , z
0
ν−1
, z

ν
, . . . , z
n
)
− f(z
0
ν
, . . . , z
0
ν
, z
ν+1
, . . . , z
n
)). (1.9)
Ta xét số hạng thứ ν như hàm ϕ
ν
của biến z
ν
với các giá trị cố định của
đối số còn lại. Nếu |f| ≤
M
2
trong U, thì hàm ϕ
ν
thỏa mãn các điều kiện
của Bổ đề 1.1. Áp dụng bất đẳng thức (1.8) cho mỗi số hạng của tổng
(1.9) ta có
|f(z) − f(z
0

)| ≤ M
n

ν=1
r
ν
|z
0
− z
0
ν
|
|r
2
ν
− ¯z
0
ν
z
ν
|
→ 0 khi z → z
0
.
Do đó f liên tục tại z
0
và do z
0
tùy ý trong U nên bổ đề được chứng
minh. 

Bổ đề 1.3. Biểu diễn đa tròn U = {z ∈ C
n
: |z
ν
| < R} như tích của

U = {

z ∈ C
n−1
: |z
ν
| < R} với hình tròn U
n
= {z
n
∈ C : |z
n
| < R}. Nếu
hàm f(

z, z
n
) liên tục theo

z trong

U đối với z
n
∈ U

n
tùy ý và liên tục
theo z
n
trong U
n
đối với

z ∈

U tùy ý, thì tồn tại đa tròn W =

W × U
n
trong U, trong đó f bị chặn.
Chứng minh.
Với

z ∈

U cố định, ta kí hiệu
M(

z) = max
z
n
∈U
n
|f(


z, z
n
)|
11
và xét các tập hợp
E
m
= {

z ∈

U : M(

z) ≤ m}.
Các tập E
m
là các tập đóng. Thật vậy, nếu

z
µ
∈ E
m
, µ = 1, 2, . . . và

z
µ
→

z thì f(


z
µ
, z
n
) ≤ m với z
n
∈ U
n
tùy ý, vì tính liên tục của f theo

z, do đó |f(

z, z
n
)| ≤ m đối với z
n
∈ U
n
tùy ý, tức là M(

z) ≤ m, hay

z ∈ E
m
. Hiển nhiên, các E
m
lập thành một dãy tăng, và điểm

z ∈


U
là tùy ý thuộc mọi E
m
từ m nào đó.
Ta thấy rằng, tồn tại E
m
chứa miền

G ⊂

U nào đó. Thật vậy, giả
sử ngược lại, mọi E
m
là không đâu trù mật, nhưng khi đó trong

U tồn
tại hình cầu

U tồn tại hình cầu B

⊂ C
n−1
không chứa các điểm của
E
1
, trong B
1
tồn tại hình cầu B
2
không chứa các điểm của E

2
, cứ tiếp
tục lập luận như trên ta xấy dựng được dãy các hình cầu B
k
⊂ C
n−1
và
chúng có điểm chung là

z
0
∈

U và điểm này không thuộc vào bất kì
một E
m
nào.
Như vậy, tồn tại miền

G trong đó
|f(

z, z
n
)| ≤ M đối với z
n
∈ U
n
tùy ý.
Bây giờ ta chọn trong


G đa tròn

W = {

z : |z
ν
− z
0
ν
| < r}, và khi đó
trong W =

W × U
n
ta có |f| ≤ M. 
Bây giờ ta sử dụng các kí hiệu

V = U(

a, R),

W = U(

a, r), r < R,
U
n
= {|z
n
| < R}, V =


V × U
n
, W =

W × U
n
.
Bổ đề 1.4. Giả sử hàm f(

z, z
n
) chỉnh hình theo

z trong

V với z
n
∈ U
n
tùy ý và chỉnh hình theo z trong W thì nó chỉnh hình trong toàn đa tròn
V .
Chứng minh.
Không mất tính tổng quát ta coi

a =

0. Đối với z
n
∈ U

n
cố định tùy ý
12
và

z ∈

V tùy ý, do hàm f chỉnh hình theo biến

z nên f biểu diễn được
bởi chuỗi lũy thừa hội tụ
f(z) =
∞

|k|=0
c
k
(z
n
)(

z)
k
, (1.10)
trong đó k = (k
1
, . . . , k
n−1
). Các hệ số của chuỗi này là
c

k
(z
n
) =
1
k!
∂
|k|
f(

0, z
n
)
(∂

z)
k
chỉnh hình trong hình tròn U
n
, vì c
k
là đạo hàm của hàm chỉnh hình
theo z
n
và điểm (

0, z
n
) ∈ W. Do đó, các hàm
1

|k|
ln |c
k
(z
n
)|
điều hòa dưới trong U
n
. Chọn số ρ < R tùy ý, với z
n
∈ U
n
tùy ý ta có
|c
k
(z
n
)|ρ
|k|
→ 0
khi |k| → ∞, nên với z
n
∈ U
n
tùy ý, ta tìm được |k| bắt đầu từ nó ta có
1
|k|
ln |c
k
(z

n
)| + ln ρ ≤ 0,
tức là
lim sup
|k|→∞
1
|k|
ln |c
k
(z
n
)| ≤ ln
1
ρ
. (1.11)
Hơn nữa, do f chỉnh hình trong W ta có f bị chặn trong W , giả sử
|f| ≤ M và có bất đẳng thức
|c
k
(z
n
)|r
|k|
≤ M
đối với x
n
∈ U
n
tùy ý. Như vậy, đối với z
n

∈ U
n
tùy ý và |k| tùy ý
1
|k|
ln |c
k
(z
n
)| ≤ ln
M
1/|k|
r
≤ A. (1.12)
13
Do đó, với σ < ρ tùy ý có thể tìm được số k
0
sao cho với mọi |k| > k
0
và mọi z
n
, |z
n
| ≤ σ, ta có
1
|k|
ln |c
k
(z
n

)| ≤ ln
1
σ
,
tức là
|c
k
(z
n
)|σ
|k|
≤ 1.
Như vậy, chuỗi (1.10) hội tụ đều trong đa tròn tùy ý U(0, σ

), σ

< σ,
nhưng các số hạng của chuỗi này liên tục theo z nên cả tổng f của nó
cũng liên tục, và do đó f bị chặn trong U(0, σ

). Đa tròn này có thể gần
V tùy ý, nên f bị chặn, tức là f chỉnh hình trong V . 
Định lí 1.1. (Định lý Hartogs) Giả sử hàm f chỉnh hình tại mọi điểm
của miền D ⊂ C
n
theo mỗi biến z
v
thì nó chỉnh hình trong D.
Chứng minh.
Ta chỉ cần chứng minh tính chỉnh hình của f tại điểm z

0
∈ D tùy ý,
đồng thời không mất tính tổng quát ta có thể giả sử z
0
= 0. Như vậy,
giả sử f chỉnh hình theo mỗi biến trong đa tròn U(0, R) đòi hỏi chứng
minh nó chỉnh hình trong đa tròn tâm 0.
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo biến số.
Trường hợp một biến là hiển nhiên.
Giả thiết định lý đúng với các hàm (n−1) biến, và kí hiệu

U = U(

0,
R
3
).
Từ giả thiết suy ra rằng, hàm f(

z, z
n
) liên tục theo

z trong

U đối với
z
n
∈ U
n

= {|z
n
| ≤ R} tùy ý và theo z
n
trong U
n
đối với

z ∈

U tùy
ý. Theo Bổ đề 1.3, f bị chặn, tức là chỉnh hình trong đa tròn nào đó
W =

W × U
n
trong đó

W (

a, r) ⊂

U.
Xét đa tròn V =

V × U
n
, trong đó

V = U(


a,
2
3
R). Rõ ràng V ⊂
U(0, R), do đó f chỉnh hình theo

z trong

V đối với z
n
∈ U
n
tùy ý, mà
theo điều vừa chứng minh, f chỉ chỉnh hình theo z trong W. Từ đó f
14
chỉnh hình theo z trong đa tròn V chứa điểm z = 0. Như vậy, khẳng
định đã được chứng minh với hàm n biến. 
Chúng ta thấy rằng khái niệm hàm chỉnh hình theo nghĩa Rieman và
Weierstrass là tương đương.
Định nghĩa 1.3. .
(i) Hàm f chỉnh hình tại điểm a ∈ C
n
theo nghĩa Riemann nếu hàm
f chỉnh hình theo mỗi biến z
ν
trong đa tròn U (a, r).
(ii) Hàm f chỉnh hình tại điểm a ∈ C
n
theo nghĩa Weierstrass nếu f

khai triển trong đa tròn U (a, r) nào đó thành chuỗi luỹ thừa
f (z) =
∞

|k|=0
c
k
(z − a)
k
Định lí 1.2. (Tính duy nhất) Giả sử hàm f ∈ H (D) cùng với mọi đạo
hàm riêng triệt tiêu tại điểm z
0
nào đó của miền D ⊂ C
n
, thì f(z) ≡ 0
trong D.
Chứng minh.
Giả sử z
0
∈ D là điểm tùy ý. Khi đó, mọi hệ số khai triển Taylor của f
tại z
0
bằng 0. Do đó, f ≡ 0 trong lân cận nào đó của điểm z
0
này. Đặt
E = {z ∈ D : f(z) = 0} và
o
E là phần trong của E. Tập
o
E là tập mở và

khác rỗng vì nó chứa z
0
. Ta cũng thấy rằng
o
E là tập đóng trong D và
do đó
o
E ≡ 0. 
Định lí 1.3. (Nguyên lí môdun cực đại) Giả sử hàm f ∈ H (D) và |f|
đạt cực đại tại điểm a ∈ D nào đó, thì f là hàm hằng trong D.
Chứng minh.
Xét đường thẳng giải tích tùy ý
z = (ζ) = a + ωζ
15
đi qua a. Hạn chế của f trên đường thẳng này là hàm
ϕ
ω
(ζ) = f ◦ (ζ),
hàm này chỉnh hình trong hình tròn {|ζ| < ρ} nào đó, còn |ϕ
ω
| đạt cực
đại khi ζ = 0. Theo nguyên lý môđun cực đại đối với hàm một biến
ϕ
ω
(ζ) = c(ω) là hằng số phụ thuộc ω.
Mặt khác ϕ
ω
(0) = f(a) không phụ thuộc vào ω, nên c(ω) =const trong
lân cận của điểm a. Áp dụng Định lý 1.2 ta có f =const trong D. 
Định lí 1.4. (Định lý Liouville) Nếu f chỉnh hình trong C

n
và bị chặn
thì f là hàm hằng trên C
n
.
Chứng minh.
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Với n = 1, định lý đã được chứng minh cho hàm một biến.
Giả sử định lý đúng cho hàm (n − 1) biến.
Ta phải chứng minh định lý đúng với hàm n biến. Ta chọn các điểm tùy
ý a, b ∈ C
n
, do theo giả thiết quy nạp nên hàm f(

z, a
n
) là hàm hằng.
Do đó f(a) = f(

b, a
n
). Mặt khác, hàm f(

b, a
n
) cũng là hằng số, như
vậy f(

b, a
n

) = f(b). Do đó f(a) = f(b), nghĩa là định lý đúng cho hàm
n biến. 
Định lí 1.5 (Định lý Weierstrass). Giả sử dãy hàm f
µ
∈ H (D) hội tụ
đều đến hàm f trên mỗi tập compact của D. Khi đó f ∈ H (D) và với
k = (k
1
, , k
n
) tuỳ ý
∂
|k|
f
µ
∂z
k
→
∂
|k|
f
∂z
k
(1.13)
trên K  D tuỳ ý.
Chứng minh.
Hàm f chỉnh hình theo mỗi biến tại điểm z ∈ D tuỳ ý và theo định lý
16
Hartogs f ∈ H (D). Ta cần chứng minh đối với lân cận điểm z
o

∈ D
tuỳ ý và đạo hàm theo biến z
ν
. Lấy đa tròn U = U

z
0
, r

 D và dùng
công thức Cauchy
∂f
µ
∂z
ν
−
∂f
∂z
ν
=
1
(2πi)
n

Γ
f
µ
(ξ) − f (ξ)
(ξ − z) (ξ
ν

− z
ν
)
dz (1.14)
trong đó Γ là khung của U. Vì f
µ
→ f đều trên Γ nên đối với a > 0 tuỳ
ý, ta tìm được µ
0
sao cho f
µ
− f
Γ
< ε đối với mọi µ ≥ µ
0
. Nếu K  U
thì từ (1.14) ta có:




∂f
µ
∂z
ν
−
∂f
∂z
ν





=
ε
(2π)
n
(2π)
n
r
1
r
n
min
z∈K
|ξ − z| |ξ
ν
− z
ν
|
(1.15)
với mọi z ∈ K và µ ≥ µ
0
và từ đó suy ra rằng
∂f
µ
∂z
ν
→
∂f

∂z
ν
đều trên K. 
Định lí 1.6. Giả sử hàm f chỉnh hình trong lân cận U của điểm a ∈ C
n
và f (a) = 0, nhưng f (

a, z
n
) ≡ 0. Khi đó trong lân cận V nào đó của
điểm này
f (z) =



(z
n
− a
n
)
k
+ c
1
(

z) (z
n
− a
n
)

k−1
+ + c
k
(

z)



ϕ (z) (1.16)
trong đó k ≥ 1 là cấp của không điểm của f (

a, z
n
) tại điểm z
n
= a
n
,
các hàm c
ν
chỉnh hình trong

V và c
ν
(

a) = 0, còn ϕ chỉnh hình trong V
và không triệt tiêu trong đó.
Chứng minh.

Không mất tính tổng quát ta xét a = 0, theo định lý duy nhất đối
với hàm một biến, có thể chọn r
n
> 0 sao cho f (

0, z
n
) = 0 và với
0 < |z
n
| < r
n
, vì f liên tục nên ta tìm được đa tròn

V = U (

0, r) sao
17
cho f = 0 với

z ∈

V , |z
n
| = r
n
. Với

z
0

∈ V cố định tuỳ ý, số không
điểm của hàm f


z
0
, z
n

trong hình tròn V
n
= {|z
n
| < r
n
} bằng
1
2πi

∂V
n
∂
∂z
n
f


z
0
, z

n

f (

z
0
, z
n
)
dz
n
= k (1.17)
vì vế trái của (1.17) là hàm liên tục giá trị nguyên của điểm

z
0
trong

V và do đó là hằng số, còn khi

z
0
=

0 thì nó bằng cấp không điểm của
hàm f (

0, z
n
) tại điểm z

n
= 0, tức là k.
Cố định

z ∈

V kí hiệu qua z
(ν)
n
= z
(ν)
n
(

z) , ν = 1, , k, các không điểm
của hàm f (

z, z
n
) trong hình tròn V
n
và lập đa thức đối với z
n
.
P (z) =
k

ν=1

z

n
− z
(ν)
n

= z
k
n
+ c
1
(

z) z
k−1
n
+ + c
k
(

z) (1.18)
có các không điểm trên là nghiệm. Các hệ số của đa thức chỉnh hỉnh
trong

V . Thật vậy, với hàm chỉnh hình ω (z
n
) tuỳ ý trong V
n
, theo
nguyên lý acgumen suy rộng
k


ν=1
ωz
(ν)
n
=
1
2πi

∂V
n
ω (z
n
)
∂
∂z
n
f (

z, z
n
)
f (

z, z
n
)
dz
n
(1.19)

từ đó rõ ràng các tổng trong vế trái của các hàm chỉnh hình của

z trong

V (ta chú ý rằng f = 0 với

z ∈

V và z
n
∈ ∂V
n
).
Đặt ω (z
n
) = z, µ = 1, , k, ta suy ra tổng các luỹ thừa µ của các nghiệm
đa thức (1.18) là chỉnh hình trong

V , mà các hệ số của nó biểu diễn hữu
tỉ qua các tổng đó, do đó c
ν
(

z) ∈ H (

V ). Khi

z = 0 tất cả k nghiệm
của đa thức hàm bằng 0, nên c
ν

(

0) = 0. Vậy hàm
ϕ (z) =
f (z)
P (z)
Với

z ∈

V cố định tuỳ ý là hàm chỉnh hình của z
n
trong hình tròn V
n
và
khác 0. Vì P = 0 cùng cấp tại các điểm z
(ν)
n
(

z) mà f = 0. Với z
n
∈ V
n
18
và

z ∈

V cố định ta có

ϕ (z) =
1
2πi

∂V
n
f (

z, ξ
n
)
(

z, ξ
n
)
dξ
n
ξ
n
− z
n
(1.20)
Nhưng vì P = 0 trên ∂V
n
nên vế phải bằng ϕ chỉnh hình đối với

z. Theo
định lý Hartogs ϕ chỉnh hình trong hình tròn V =


V × V
n
. 
1.2. Độ đo Hausdorff
1.2.1. Khái niệm độ đo Hausdorff
Cho (X,ρ) là một không gian mêtric. E là các tập con khác rỗng của X
và α ≥ 0 là một số thực. Với ε > 0 cố định, đặt
A
ε
= {B
j
}
∞
j=1
; B
j
là hình cầu bán kính r
j
, 0 < r
j
< ε và E ⊂
∞

j=1
B
j
và
H
ε
α

(E) = inf
ε

∞

j=1
r
α
j
; {B
j
}
∞
j=1
∈ A
ε

(1.21)
Khi đó H
ε
α
(E) tăng khi ε giảm, vì vậy tồn tại giới hạn (có thể hữu hạn
hoặc bằng +∞)
H
α
(E) = lim
ε→0
H
ε
α

(E) (1.22)
H
α
(E) được gọi là độ đo Hausdorff chiều α của E.
1.2.2. Tính chất của độ đo Hausdorff
(i) Độ đo Hausdorff là cộng tính dưới, tức là:
H
α

∞

j=1
E
j

≤
∞

j=1
H
α
(E
j
) (1.23)
19
và nếu E =
∞

j=1
E

j
là tập hữu hạn địa phương của các tập compact E
j
mà E
k
∩ E
l
= ∅ với mọi k, l = 1, 2, , k = l thì
H
α

∞

j=1
E
j

=
∞

j=1
H
α
(E
j
)
(ii) Nếu H
α
(E) < ∞ thì H
β

(E) = 0 với mọi β > α.
Nếu H
α
(E) > 0 thì H
β
(E) = ∞ với mọi β < α.
(iii) Nếu f : X → Y là ánh xạ Lipschitz giữa hai không gian mêtric
X, Y với hằng số Lipschitz c (tức là ρ
Y
(f (z) , f (w)) ≤ c.ρ
X
(z, w) với
mọi z, w ∈ X) thì H
α
(f (E)) ≤ c
α
.H
α
(E) với mỗi tập con khác rỗng E
của X và số thực α ≥ 0. Đặc biệt, dưới phép chiếu R
n
→ R
m
⊂ R
n
các
độ đo Hausdorff không tăng.
Chúng ta kí hiệu tập các ánh xạ Lipschitz giữa hai không gian mêtric
X, Y với hằng số Lipschitz c là Lip
c

(X, Y ).
Dưới đây là định lý khử kì dị của các hàm chỉnh hình bị chặn (xem [2]
A.14 Định lý, Tr 299)
Định lí 1.7. Giả sử D là một miền trong C
n
. E là tập con đóng của D
sao cho H
2n−1
(E) = 0 và f : D\E → C là hàm chỉnh hình bị chặn đều.
Khi đó f thác triển được thành hàm chỉnh hình bị chặn

f : D → C.
Năm 1975 R. Harvey và J. Polking (Xem [5], Định lý 1.1) cũng đã
chứng minh định lý như sau:
Định lí 1.8. Giả sử A là tập con đóng của tập mở Ω ⊂ C
n
và f là hàm
xác định trên Ω, chỉnh hình trên Ω\A.
1. Nếu f ∈ Lip
δ
(Ω) với 0 < δ < 1 và H
2n−(1−δ)
(A) = 0 thì f chỉnh
hình trên Ω.
2. Nếu f ∈ C (Ω) với H
2n−1
(A) = 0 là hữu hạn địa phương thì f chỉnh
hình trên Ω.
20
3. Nếu f ∈ L

∞
loc
(Ω) với H
2n−1
(A) = 0 thì f chỉnh hình trên Ω.
4. Nếu f ∈ L
p
loc
(Ω) với 2 ≤ p < ∞ và H
2n−p

(A) là hữu hạn địa
phương thì f chỉnh hình trên Ω, trong đó p

là số mũ liên hợp của
p.
5. Nếu H
2n−2
(A) = 0 thì f thác triển được thành hàm chỉnh hình trên
Ω.
1.3. Hàm nửa liên tục trên và hàm đa điều hoà dưới
1.3.1. Hàm nửa liên tục trên
Định nghĩa 1.4. Giả sử Ω là tập con mở trong R
n
và hàm u : Ω →
[−∞, +∞) được gọi là nửa liên tục trên nếu lim
z→z
0
sup u(z) ≤ u(z
0

), với
mọi z
0
⊂ Ω. Một cách tương đương u
−1
([ − ∞, a)) là mở với mọi −∞ <
a < +∞.
Định lí 1.9. Giả sử hàm u là nửa liên tục trên và bị chặn trên không
gian mêtric (X, d). Khi đó tồn tại một dãy các hàm liên tục Φ : X → R
với:
lim
n→∞
Φ
n
(x) = u (x) , x ∈ X
1.3.2. Hàm đa điều hoà dưới
Định nghĩa 1.5. Giả sử Ω là một tập con mở trong R
n
và hàm u : Ω →
R. Hàm u ∈ C
2
(Ω) gọi là hàm điều hoà nếu hàm u thoả mãn phương
trình Laplace trong Ω
∆u =
n

j=1
∂
2
u

∂x
2
j
≡ 0 (1.24)
Kí hiệu họ tất cả các hàm điều hoà trong Ω là H (Ω).
21
Định nghĩa 1.6. Giả sử Ω là một tập con mở trong R
n
. Hàm u : Ω →
[−∞, +∞), u = −∞ trên mọi thành phần liên thông của Ω được gọi là
điều hòa dưới trong Ω nếu u thỏa mãn hai điều kiện sau:
(i) u là nửa liên tục trên trên Ω, tức là tập {z ∈ Ω : u (z) < s} là mở
với mỗi số thực s.
(ii)Với mỗi tập con mở compact tương đối G của Ω, với mỗi hàm
h : G → R điều hòa trong G và liên tục trên G sao cho u ≤ h trên ∂G
thì u ≤ h trong G.
Định nghĩa 1.7. Giả sử Ω là một tập con mở trong C
n
. Hàm ϕ : Ω →
[−∞; +∞) được gọi là đa điều hòa dưới trong Ω nếu ϕ thỏa mãn hai
điều kiện sau:
(i) ϕ là nửa liên tục trên trên Ω và ϕ = −∞ trên mọi thành phần
liên thông của Ω.
(ii) Với mỗi điểm z
0
∈ Ω và mỗi đường thẳng phức l (ξ) = z
0
+ w.ξ
đi qua z
0

(ở đó w ∈ C
n
, ξ ∈ C), hạn chế ϕ lên đường thẳng này, tức là
hàm ϕ ◦l (ξ) hoặc là điều hòa dưới hoặc ≡ −∞ trên mọi thành phần liên
thông của tập mở {ξ ∈ C : l (ξ) ∈ Ω}.
Ta có tiêu chuẩn đa điều hòa dưới sau (xem [7], Tr 63).
Hàm ϕ : Ω → [−∞; +∞) nửa liên tục trên trên miền Ω ⊂ C
n
là đa điều
hòa dưới trên Ω khi và chỉ khi: Với mỗi z
0
∈ Ω và mỗi w ∈ C
n
, tồn tại
r
0
= r
0

z
0
, w

sao cho:
ϕ(z
0
) ≤
1
2π
2π


0
ϕ(z
0
+ wre
it
)dt, với mọi r < r
0
Định nghĩa 1.8. Giả sử X là không gian phức. Một hàm đa điều hòa
dưới trên X là hàm ϕ : X → [−∞, +∞) thỏa mãn: Với mỗi z ∈ X tồn
tại lân cận U của z và một ánh xạ song chỉnh hình h : U → V , với V là
một không gian con phức đóng của một miền G nào đó trong C
n
, và tồn