Một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2





NGUYỄN THỊ VÂN



MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN


Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Hùng. Sự giúp đỡ,
hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện
luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp
cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu
sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, và
các thầy cô giáo dạy chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện
thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cám ơn gia đình, người thân, bạn bè, đã
giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học
Thạc sĩ, và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 10 tháng 1 năm 2015
Tác giả
Nguyễn Thị Vân
i
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong
luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 16 tháng 9 năm 2014
Tác giả

Nguyễn Thị Vân
ii
Mục lục
Mở đầu vi
1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . 5
2 Áp dụng phương pháp lặp giải một số phương trình phi
tuyến 10
2.1. Định lý điểm bất động trong không gian Banach . . . . . . 11
2.2. Ứng dụng các phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1. Phương trình phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2. Hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3. Phương trình tích phân tuyến tính và phi tuyến . . 19
2.2.4. Phương trình vi phân thường trong không gian Banach 24
2.3. Vi phân của toán tử phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . 25
iii
2.3.1. Đạo hàm Frechet và Gauteaux . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2. Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.3. Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.4. Đạo hàm Gateaux và cực tiểu lồi . . . . . . . . . . 34
2.4. Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1. Phương pháp Newton trong không gian Banach . . 38
2.4.2. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5. Các trường vectơ hoàn toàn liên tục . . . . . . . . . . . . . 44
2.6. Phương pháp liên hợp gradient cho phương trình phi tuyến 48
2.7. Phương pháp Euler, Euler cải tiến, và Runge- Kutta . . . 56
2.8. Phương pháp Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3 Ứng dụng 64
3.1. Giới thiệu phần mềm Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.1. Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.2. Chức năng cốt lõi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2. Giải một số phương trình bằng phần mềm Maple . . . . . 65
Kết luận 80
Tài liệu tham khảo 80
iv
BẢNG KÝ HIỆU
Luận văn sử dụng những kí hiệu với nghĩa xác định trong bảng dưới đây:
C Tập số phức
C[a; b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a,b]
N Tập số tự nhiên
N
∗
Tập số tự nhiên khác không
Q Tập số hữu tỷ
R Tập số thực
R
k
Không gian thực k chiều
Z Tập số nguyên
∅ Tập hợp rỗng
||.|| Chuẩn
 Kết thúc chứng minh.
v
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình vi phân phi tuyến là một lĩnh vực quan trọng trong các
ngành toán học cả về phương diện lý thuyết và mô hình ứng dụng.

Có nhiều phương pháp giải phương trình phi tuyến. Một trong những
phương pháp được sử dụng nhiều nhất là phương pháp lặp. Nên tôi
đã chọn đề tài “Một số phương pháp lặp để giải phương trình
phi tuyến” với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp này.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình phi
tuyến và ứng dụng giải một số phương trình cụ thể trên máy tính.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cách giải một số phương trình phi tuyến nhờ áp dụng
phương pháp lặp. Phân tích sự hội tụ của các phương pháp. Nêu các
ứng dụng của các phương pháp
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Hệ thống một số phương pháp lặp: phương pháp Newton, phương
pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta, phương pháp Kantorovich.
Ứng dụng giải số một số phương trình trên máy tính.
5. Những đóng góp mới của đề tài
Đề tài nghiên cứu một cách có hệ thống một số phương pháp lặp giải
phương trình phi tuyến. Nêu lên các ứng dụng của các phương pháp
này vào giải một số phương trình vi phân phi tuyến.
vi
6. Phương pháp nghiên cứu
Vận dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, giải tích hàm, giải tích
số và lập trình máy tính.
Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.
vii
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian metric
Định nghĩa 1.1. [2] Cho tập X = ∅. Một ánh xạ d đi từ X × X vào R
được gọi là một metric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
(ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X (tính chất đối xứng).
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác).
Nếu d là metric trên X thì (X, d) là không gian metric.
Nếu d là metric trên X thì nó cũng thỏa mãn tính chất sau
|d(x, y) −d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v).
Định nghĩa 1.2. [2] Dãy điểm {x
n
} trong không gian metric (X, d) được
gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim
n→∞
d(x
n
, x) = 0.
Kí hiệu lim
n→∞
x
n
= x hoặc x
n
→ x khi n → ∞.
Định nghĩa 1.3. [2] Cho T là một ánh xạ từ tập X vào chính nó. Ánh xạ
T được gọi là có điểm bất động nếu tồn tại x
0
∈ X, sao cho T (x
0
) = x
0
.
1

Định nghĩa 1.4. [2] Một dãy điểm {x
n
} trong không gian metric (X, d)
được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu ∀ε > 0, ∃n(ε) ∈ N
∗
:
d(x
m
, x
n
) < ε, ∀m, n ≥ n(ε)
Định nghĩa 1.5. [1] Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi
dãy cơ bản trong X đều hội tụ đến một phần tử của X.
Định lý 1.6. [1] Mọi tập đóng trong không gian metric đầy đủ là một
không gian metric đầy đủ.
Định nghĩa 1.7. [1] Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào chính nó
được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số α ∈ [0, 1) sao cho:
d(T x, Ty) ≤ αd(x, y) với mọi x, y ∈ X.
Định lý 1.8. [1](Nguyên lý ánh xạ co Banach)
Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và T là một ánh xạ co trên
X. Khi đó tồn tại duy nhất u ∈ X sao cho T (u) = u. Ngoài ra với mọi
x ∈ X, ta có T
n
(x) → u khi n → ∞.
Chứng minh. Lấy x ∈ X tùy ý. Do T là ánh xạ co nên
d(T (x), T
2
(x)) = d[T (x), T (T (x))] ≤ αd(x, T(x)).
⇒ d(T
n

(x), T
n+1
(x)) ≤ α
n
d(x, T (x)).
Khi đó với ∀n, p > 0 ta có:
d(T
n
(x), T
n+p
(x))
≤ d(T
n
(x), T
n+1
(x)) + d(T
n+1
(x), T
n+2
(x))
+ . . . + d(T
n+p−1
(x), T
n+p
(x)).
≤ (α
n
+ α
n+1
+ . . . + α

n+p−1
)d(x, T (x))
≤ (α
n
+ α
n+1
+ . . . + α
n+p−1
+ α
n+p
+ . . .)d(x, T (x))
=
α
n
1 − α
d(x, T (x)) (do 0 ≤ α ≤ 1).
2
Do 0 ≤ α < 1 nên lim
n→∞
α
n
= 0, suy ra {T
n
(x)} là một dãy Cauchy. Không
gian (X, d) là đầy đủ, nên tồn tại u ∈ X sao cho lim
n→∞
T
n
(x) = u.
d(T (u), u) ≤ d(T (u), T

n
(x)) + d(T
n
(x), u)
≤ αd(T
n−1
(x), u) + d(T
n
(x), u) → 0.
Vì vậy T(u) = u hay u là điểm bất động của ánh xạ T.
Vậy với mỗi x ∈ X dãy {T
n
(x)} tồn tại giới hạn và T
n
(x) → u khi n → ∞.
Tính duy nhất: Giả sử T có hai điểm bất động x
0
, y
0
; T (x
0
) = x
0
, T (y
0
) =
y
0
. Lúc đó d(x
0

, y
0
) = d(T (x
0
), T (y
0
)) ≤ αd(x
0
, y
0
) < d(x
0
, y
0
), vô lý.
Vậy x
0
= y
0
.
1.2. Phương trình vi phân thường
1.2.1. Khái niệm
Phương trình vi phân là phương trình có dạng
F (x, y, y

, y

, . . . , y
(n)
) = 0 (1.1)

trong đó y = y(x) là ẩn hàm cần tìm, và nhất thiết phải có sự tham gia
của đạo hàm (đến cấp nào đó) của ẩn.
Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là hàm nhiều biến (xuất hiện các
đạo hàm riêng) thì phương trình vi phân còn được gọi là phương trình đạo
hàm riêng. Để phân biệt người ta thường gọi phương trình với ẩn hàm là
hàm một biến là phương trình vi phân thường.
Thông thường, ta xét các phương trình với ẩn hàm là hàm số một
biến thực y = y(x), xác định trên khoảng mở I ⊂ R. Khi đó, hàm F trong
đẳng thức trên xác định trong một tập mở G của R ×R
n+1
. Trong trường
hợp ẩn hàm cần tìm là hàm vector y(x) = (y
1
(x), . . . , y
m
(x))
T
, F là một
3
ánh xạ nhận giá trị trong R
m
và (1.1) là hệ phương trình vi phân.
Ta nói phương trình vi phân có cấp n nếu n là cấp lớn nhất của đạo
hàm của ẩn xuất hiện trong phương trình.
Phương trình vi phân thường cấp 1 có dạng tổng quát
F (x, y, y

) = 0, (1.2)
trong đó F (x, y, y


) được giả thiết liên tục cùng với các đạo hàm riêng của
nó trên miền G ⊂ R
3
. Với một số giả thiết thích hợp, phương trình vi phân
cấp 1 có thể được viết dưới dạng sau (gọi là dạng giải ra được đối với đạo
hàm)
y

= f(x, y), (1.3)
với f liên tục trong miền D ⊂ R
2
.
Ví dụ 1.1: Các phương trình
e
y
+ y
2
cos x = 0,
y
2
− 2xy = ln x,
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u

∂y
2
= 0,
lần lượt là phương trình vi phân thường cấp 1, cấp 3 và phương trình đạo
hàm riêng cấp 2.
Xét phương trình (1.1). Hàm giá trị vector φ : I → R
n
(với I = (a, b)
là một khoảng nào đó của R) là nghiệm của (1.1) nếu nó có các đạo hàm
liên tục đến cấp n trên I và thỏa mãn
F (x, φ(x), φ

(x), φ

(x), . . . φ
(n)
(x)) = 0 với ∀x ∈ I. (1.4)
Trong trường hợp phương trình vi phân cấp 1, nghiệm là một hàm
thực một biến y = φ(x) mà khi thay vào (1.2) hoặc (1.3) ta được một đẳng
thức đúng.
4
1.2.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Bài toán Cauchy
Ta nhận thấy rằng nghiệm của phương trình vi phân phụ thuộc vào
một hay nhiều hằng số tùy ý nào đó. Để xác định nghiệm cụ thể, ta cần
thêm một hay vài dữ kiện nào đó về nghiệm (tùy thuộc vào cấp của phương
trình vi phân). Chẳng hạn: y =
x
3
3

+ C là nghiệm (tổng quát) của phương
trình y

= x
2
. Dễ thấy y =
x
3
3
+ 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
với điều kiện y(0) = 1.
Ta xét bài toán sau đây đặt ra với phương trình (1.2), gọi là bài toán
Cauchy (hay bài toán giá trị ban đầu).
Bài toán: Tìm nghiệm y(x) thỏa mãn





y

= f(x, y),
y(x
0
) = y
0
,
(1.5)
trong đó (x
0

, y
0
) ∈ D được gọi là điều kiện ban đầu.
Câu hỏi đặt ra là bài toán có hay không và có bao nhiêu lời giải. Ta
lưu ý rằng không phải lúc nào bài toán Cauchy cũng có nghiệm và khi có
nghiệm cũng không nhất thiết có duy nhất nghiệm. Chẳng hạn, bài toán
y

= x
2
, y(0) = 0 có nghiệm duy nhất là y =
x
3
3
; bài toán xy

= y, y(0) = 1
không có nghiệm nào; còn bài toán y

= y
1
3
, y(0) = 0 có ít nhất hai nghiệm
là y = 0; y
2
=
8
27
x
3

.
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Định nghĩa 1.9. [7] Cho hàm f xác định trên miền D ⊂ R
2
. Ta nói f
thỏa mãn điều kiện Lipchitz theo biến y trên D nếu tồn tại hằng số dương
5
L (gọi là hằng số Lipschitz) sao cho
|f(x, y
1
) − f(x, y
2
)| ≤ L|y
1
− y
2
| với ∀(x, y
1
), (x, y
2
) ∈ D.
Định lý 1.10. [7](Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm)
Giả sử hàm f trong (1.5) liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz
theo biến y trên hình chữ nhật
D = (x, y) ∈ R
2
: x − x
0
≤ a, y − y
0

≤ b.
Khi đó nghiệm của bài toán Cauchy là (1.5) là tồn tại và duy nhất trong
đoạn I = [a − b, a + b], với h = min(a,
b
M
) và M = max
(x,y)∈D
|f(x, y)|.
Chứng minh.
Sự tồn tại
Ta chứng minh rằng phép lặp Picard hội tụ đều trên I đến một nghiệm
của bài toán Cauchy. Trước tiên, ta chứng minh bằng qui nạp rằng
|y
k+1
(x) − y
k
(x)| ≤ ML
k
|x − x
0
|
k+1
(k + 1)!
với ∀x ∈ I.
Với k = 0, bất đẳng thức trên chính là






x
x
0
f(t, y
0
(t))dt




≤ M|x −x
0
|. Bất
đẳng thức này đúng.
Giả sử ta có điều đó với k −1, khi đó với x
0
≤ x ≤ x
0
+ h, ta có
|y
k+1
(x) − y
k
(x)| =





x

x
0
[f(t, y
k
(t)) − f(t, y
k−1
(t))]dt




≤

x
x
0
|f(t, y
k
(t)) − f(t, y
k−1
(t))|dt
≤ L

x
x
0
|y
k
(t) − y
k−1

(t)|dt
≤ ML
k

x
x
0
|x − x
0
|
k
k!
dt
= ML
k
|x − x
0
|
k+1
(k + 1)!
.
6
Với x
0
− h ≤ x ≤ x
0
ta đánh giá tương tự.
Xét dãy hàm {y
k
(x)} trên I, ta có:

|y
k+p
(x) − y
k
(x)|
≤




y
k+p
(x) − y
k+p−1
(x)




+




y
k+p−1
(x) − y
k+p−2
(x)





+ . . . +




y
k+1
(x) − y
k
(x)




≤
M
L

(L|x − x
0
|)
k+p
(k + p)!
+ . . . +
(L|x − x
0
|)

k+1
(k + 1)!

≤
M
L

j≥k+1
(Lh)
j
j!
.
Chuỗi số là hội tụ, nên phần dư của nó (xuất hiện ở biểu thức cuối) có thể
làm cho bé tùy ý khi k đủ lớn. Theo tiêu chuẩn Cauchy dãy hội tụ đều
trên I đến hàm y(x). Để chứng minh y(x) là nghiệm ta chỉ cần qua giới
hạn trong đẳng thức
y
k+1
(x) = y
0
+

x
x
0
f(t, y
k
(t))dt. (1.6)
Vì dãy hàm {y
k

(x)} hội tụ đều, f liên tục đều trên hình chữ nhật D nên
dãy hàm {f(t, y
k
(t))} hội tụ đều trên I đến hàm f(t, y(t)). Do đó có thể
chuyển giới hạn qua dấu tích phân để được đẳng thức (1.6). Vậy y(x) chính
là nghiệm của bài toán Cauchy (1.5).
Tính duy nhất
Giả sử bài toán Cauchy còn có thêm nghiệm z(x). Khi đó ta có
y(x) −z(x) =

x
x
0
[f(t, y(t)) −f(t, z(t))]dt.
Suy ra
|y(x) −z(x)| =





x
x
0
[f(t, y(t)) −f(t, z(t))]dt




≤ 2M|x − x

0
|.
7
Từ đó
|y(x) −z(x)| =





x
x
0
[f(t, y(t)) −f(t, z(t))]dt




≤ L

x
x
0
|y(t) −z(t)|dt
≤ 2ML
|x − x
0
|
2
2

.
Lặp lại quá trình trên, ta dễ dàng chứng minh được rằng với mọi số tự
nhiên k:
|y(x) −z(x)| ≤ 2ML
k
|x − x
0
|
k+1
(k + 1)!
với mọi x ∈ I.
Cho k → ∞ ta có |y(x) − z(x)| = 0 trên I. Như vậy một cách địa phương
nghiệm y(x) là duy nhất.
Phân loại nghiệm phương trình vi phân
Về mặt hình học, bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp 1
có thể hiểu là tìm nghiệm y(x) của (1.3). Mà đồ thị của hàm số y = y(x)
(hay còn gọi là đường cong tích phân của phương trình vi phân) đi qua
điểm (x
0
, y
0
). Hay nói cách khác, bài toán Cauchy là tìm đường cong tích
phân của phương trình (1.3) đi qua điểm (x
0
, y
0
) ∈ D cho trước.
Định nghĩa 1.11. [7] Giả sử D ⊂ R
2
sao cho vế phải của phương trình

(1.3) xác định và liên tục trên D. Hàm số y = y(x, C) phụ thuộc liên tục
vào hằng số C, được gọi là nghiệm tổng quát của (1.3) nếu:
(a) Với mỗi điều kiện ban đầu (x
0
, y
0
) ∈ D ta luôn giải được C dưới dạng
C = ϕ(x
0
, y
0
)
trong đó ϕ là hàm liên tục.
(b) Hàm y = y(x, C) thỏa mãn phương trình (1.3) với mỗi giá trị của C
khi (x
0
, y
0
) ∈ D.
8
Khi đó hệ thức ϕ(x, y) = C (hoặc chính hàm ϕ(x, y) ) được gọi là tích phân
tổng quát của phương trình (1.3).
Ví dụ 1.2: Phương trình y

+ y = 0 có nghiệm tổng quát là y(x) = Ce
−x
với C là hằng số tùy ý.
Định nghĩa 1.12. [6] Nghiệm của phương trình (1.3) mà tại mỗi điểm
(x
0

, y
0
) của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy (1.5) được thỏa
mãn, được gọi là nghiệm riêng. Ngược lại nghiệm của phương trình (1.3)
mà tại mỗi điểm (x
0
, y
0
) của nó tính duy nhất nghiệm bài toán Cauchy bị
vi phạm, được gọi là nghiệm kì dị của phương trình vi phân.
Nhận xét:
Từ định nghĩa nghiệm tổng quát ta suy ra rằng với mỗi điều kiện ban
đầu (x
0
, y
0
) ∈ D, ta luôn tìm được C
0
= ϕ(x
0
, y
0
) sao cho y = y(x, C
0
) là
nghiệm của bài toán Cauchy tương ứng. Nói cách khác bằng cách chọn các
giá trị thích hợp cho hằng số, ta có thể thu được các nghiệm riêng tùy ý
của phương trình, không kể các nghiệm kì dị.
Giải (hay còn gọi là tích phân) một phương trình vi phân là tìm tất cả các
nghiệm (biểu thức nghiệm tổng quát) của phương trình đó hoặc nghiệm

của bài toán Cauchy với điều kiện ban đầu cho trước.
Ví dụ 1.3: Tìm nghiệm riêng y(x) của phương trình y

= 3y + x thỏa mãn
điều kiện y(0) = 1.
Dễ dàng kiểm tra rằng nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y = −
x
3
−
1
9
+ Ce
3x
. Để tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện như trên ta
chỉ cần thay các giá trị ban đầu và tính C.
1 = y(0) = −
1
9
+ Ce
0
suy ra C =
10
9
. Nghiệm cần tìm là: y = −
x
3
−
1
9

+
10
3
e
3x
.
9
Chương 2
Áp dụng phương pháp lặp giải một
số phương trình phi tuyến
Giải tích hàm phi tuyến nghiên cứu các toán tử không có tính tuyến
tính. Trong đề tài này, ta xét các phương trình toán tử phi tuyến và phương
pháp giải số. Chúng ta bắt đầu xem xét các phương trình toán tử có dạng
u = T (u), u ∈ K, (2.1)
ở đây V là một không gian Banach, K là một tập hợp con của
V, T : K → V. Các nghiệm của phương trình này được gọi là các điểm cố
định của T khi chúng được giữ nguyên bởi T . Phương pháp quan trọng
nhất để xét tính giải được các phương trình, đó là định lý điểm bất động
trong không gian Banach. Tôi xin trình bày định lý này ở phần 2.1, và ứng
dụng vào nghiên cứu các phương pháp lặp khác nhau trong giải tích số.
Sau đó, chúng ta mở rộng phương pháp Newton, cho một số lớp
phương trình vi phân trong không gian Banach.
10
2.1. Định lý điểm bất động trong không gian Banach
Cho V là một không gian Banach, với chuẩn ||.||
V
và K là một tập
con của V . Xét toán tử
T : K → V (2.2)
xác định trên K. Ta tìm phương pháp giải phương trình (2.1) và khả năng

giải xấp xỉ u bằng một số phương pháp lặp.
Chọn một nghiệm ban đầu u
0
∈ K, và xác định dãy {u
n
} theo công
thức
u
n+1
= T (u
n
), n = 0, 1, . . . (2.3)
trong đó T thỏa mãn:
T (v) ∈ K, ∀v ∈ K. (2.4)
Giải phương trình:
f(u) = 0 (2.5)
với f : K ⊂ V → V . Ta đưa phương trình về bài toán tìm điểm bất động
(2.1) bằng cách đặt T(v) = v − c
0
f(v) với hằng số c
0
= 0, hay rộng hơn
T (v) = v − F (f(v)) với F thỏa mãn:
F (w) = 0 ⇔ w = 0.
Vậy phương trình (2.1) có thể đưa về phương trình (2.5). Và từ phép
lặp (2.3) ta có được một phương pháp xấp xỉ để giải phương trình (2.5).
Ở mục 2.2, tôi sẽ trình bày việc giải phương trình bằng các phương pháp
lặp trong các tập hợp khác nhau. Xét ví dụ sau:
Ví dụ 2.1. Cho V là đường thẳng thực R, T là một toán tử afin,
T x = ax + b, x ∈ R,

a, b là hằng số. Ta xác định công thức lặp của T. Cho x
0
∈ R và n =
0, 1, 2, . . . xác định: x
n
= ax
n
+ b.
11
Dễ dàng nhận thấy:
x
n
=





x
0
+ nb nếu a = 1,
a
n
x
0
+
1 − a
n
1 − a
b nếu a = 1.

Vậy, trong trường hợp không tầm thường a = 1, phương pháp lặp hội tụ
khi và chỉ khi |a| < 1.
Với số |a| xuất hiện trong tính chất:
|T x − T y| ≤ |a||x − y|, ∀x, y ∈ R.
Định nghĩa 2.1. Ta nói một toán tử T : K ⊂ V → V là co với hệ số co
α ∈ [0, 1) nếu:
||T (u) − T (v)|| ≤ α||u − v||, ∀u, v ∈ K,
gọi là không giãn nếu
||T (u) − T (v)|| ≤ ||u − v||, ∀u, v ∈ K,
liên tục Lipschit nếu
||T (u) − T (v)|| ≤ L||u − v||, ∀u, v ∈ K.
Ta thấy:
Ánh xạ co suy ra ánh xạ không giãn.
suy ra liên tục Lipsit.
suy ra liên tục đều.
Định lý 2.2. (Định lí Banach về điểm bất động)
Giả sử rằng K là một tập đóng khác rỗng trong không gian Banach
V , và T : K → K là một ánh xạ co với hằng số α, 0 ≤ α < 1. Khi đó ta
có các kết quả sau:
12
(1) Tồn tại duy nhất u ∈ K sao cho
u = T (u).
(2) Đối với bất kỳ u
0
∈ K, dãy {u
n
} ⊂ K được xác định: u
n+1
= T (u
n

), n =
0, 1, 2, . . . hội tụ về u : ||u
n
− u|| → 0 khi n → ∞.
||u
n
− u|| ≤
1 − α
n
1 − α
||u
0
− u
1
||, (2.6)
||u
n
− u|| ≤
1 − α
n
1 − α
||u
n−1
− u
n
||, (2.7)
||u
n
− u|| ≤ α||u
n−1

− u||. (2.8)
Chứng minh. Xem Định lý 1.8
Chúng ta đi xét tính giải được duy nhất của phương trình phi tuyến trong
không gian Hilbert .
Định lý 2.3. Cho V là một không gian Hilbert. Giả sử T : V → V là đơn
điệu mạnh và liên tục Lipschitz, nghĩa là tồn tại hai hằng số c
1
, c
2
> 0 sao
cho với bất kỳ v
1
, v
2
∈ V ,
T (v
1
) − T (v
2
), v
1
− v
2
≥ c
1
||v
1
− v
2
||

2
, (2.9)
||T (v
1
) − T (v
2
)|| ≤ c
2
||v
1
− v
2
||. (2.10)
Khi đó với bất kì b ∈ V , tồn tại duy nhất u ∈ V sao cho
T (u) = b. (2.11)
Hơn nữa, nghiệm u phụ thuộc liên tục Lipschitz theo b: Nếu T (u
1
) = b
1
và
T (u
2
) = u
2
, khi đó
||u
1
− u
2
|| ≤

1
c
1
||b
1
− b
2
||. (2.12)
13
Chứng minh. Phương trình T (u) = b tương đương với phương trình u =
u − θ(T (u) − b) với bất kỳ θ = 0. Xác định một toán tử T
θ
: V → V theo
công thức
T
θ
(v) = v − θ(T (v) − b).
Với θ > 0 đủ nhỏ ta sẽ chứng minh ánh xạ T
θ
là ánh xạ co. Thật vậy
T
θ
(v
1
) − T
θ
(v
2
) = (v
1

− v
2
) − θ(T (v
1
) − T (v
2
)).
Khi đó
||T
θ
(v
1
) − T
θ
(v
2
)||
2
= ||v
1
− v
2
||
2
− 2θ(T (v
1
) − T (v
2
), v
1

− v
2
) +
+θ
2
||T (v
1
) − T (v
2
)||.
Sử dụng các giả thiết (2.9) và (2.10) ta có
||T
θ
(v
1
) − T
θ
(v
2
)||
2
≤ (1 − 2c
2
θ + c
2
1
θ
2
)||v
1

− v
2
||
2
.
Với θ(0,
2c
2
c
2
1
) : 1 − 2c
2
θ + c
2
1
θ
2
< 1, suy ra T
θ
là ánh xạ co.
Khi đó, theo định lý Banach về điểm bất động thì T
θ
có duy nhất một điểm
bất động u ∈ V . Do đó, phương trình (2.11) có một nghiệm duy nhất.
Ta đi chứng minh tính liên tục Lipschitz của nghiệm đó đối với vế phải.
Từ T(u
1
) = b
1

và T (u
2
) = b
2
, ta có
T (u
1
) − T (u
2
) = b
1
− b
2
.
Khi đó: (T (u
1
) − T (u
2
), u
1
− u
2
) = (b
1
− b
2
, u
1
− u
2

).
Áp dụng giả thiết (2.9) và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
||u
1
− u
2
||
2
≤ ||b
1
− b
2
||||u
1
− u
2
||.
(2.12) được chứng minh.
14
2.2. Ứng dụng các phương pháp lặp
Định lý Banach về điểm bất động được trình bày ở phần trước chứa
hầu hết tính chất mong muốn của phương pháp số. Với các điều kiện đã
nêu, dãy xấp xỉ được xác định, và hội tụ đến nghiệm duy nhất của bài
toán. Hơn nữa, tốc độ hội tụ là tuyến tính (xem (2.8)), chúng ta có một
ước lượng sai số tiên nghiệm (2.6) dùng để xác định số lần lặp cần thiết để
có được một nghiệm với độ chính xác theo quy định, trước khi tính toán
thực tế; và một ước lượng sai số hậu nghiệm (2.7) để tính giới hạn sai số
khi tính các nghiệm bằng số. Trong phần này, tôi áp dụng định lý Banach
về điểm bất động để tính xấp xỉ (bằng số) của một số bài toán.
2.2.1. Phương trình phi tuyến

Cho một hàm thực f : R → R. Tìm nghiệm của nó, nghĩa là, ta đi
giải các phương trình:
f(x) = 0, x ∈ R. (2.13)
Có nhiều cách để đưa phương trình này về bài toán điểm bất động tương
ứng dạng:
x = T (x), x ∈ R. (2.14)
Chẳng hạn, T (x) = x − f(x) hay rộng hơn T (x) = x − c
0
f(x) với c
0
cố
định c
0
= 0. Phức tạp hơn, T (x) = x −
f(x)
f

(x)
. Ở đây, ta thường sử dụng
phương pháp Newton để tìm nghiệm, giả thiết f

(x) = 0 khi f(x) = 0.
Áp dụng định lý Banach về điểm bất động vào giải phương trình
(2.14), ta có kết quả sau.
Định lý 2.4. Cho −∞ < a < b < ∞ và T : [a, b] → [a, b] là một ánh xạ
co với hằng số co α ∈ [0, 1). Khi đó:
15
(1) Tồn tại duy nhất nghiệm x ∈ [a, b] thỏa mãn phương trình x = T (x).
(2) Đối với bất kỳ x
0

∈ [a, b], dãy {x
n
} ⊂ [a, b] được xác định bởi x
n+1
=
T (x
n
), n = 0, 1, 2, hội tụ đến x : x
n
→ x khi n → ∞.
Ta có giới hạn sai số
|x
n
− x| ≤
α
n
1 − α
|x
0
− x
1
|,
|x
n
− x| ≤
α
1 − α
|x
n−1
− x

n
|,
|x
n
− x| ≤ α|x
n−1
− x|.
2.2.2. Hệ tuyến tính
Cho A ∈ R
m×m
là ma trận cấp m × m. Ta xét hệ tuyến tính
Ax = b, x ∈ R
m
(2.15)
với b ∈ R
m
đã cho. (2.15) có nghiệm duy nhất với b bất kì khi và chỉ khi
A không suy biến, tức det(A) = 0.
Phương trình (2.15) được đưa về bài toán điểm bất động và giải bằng
các phương pháp lặp. Tách ma trận
A = N −M.
Với N chọn thỏa mãn phương trình: Nx = k với k bất kỳ, sao cho phương
trình giải được dễ dàng và có nghiệm duy nhất. Khi đó, hệ tuyến tính
(2.15) được viết lại như sau:
Nx = Mx + b.
Ta có phép lặp:
Nx
n
= Mx
n−1

+ b, n = 1, 2, . . . (2.16)
16
với x
0
là nghiệm ban đầu.
Viết lại hai phương trình cuối như sau:
x = N
−1
Mx + N
−1
b,
x
n
= N
−1
Mx
n−1
+ N
−1
b.
Ma trận N
−1
M được gọi là ma trận lặp. Trừ hai phương trình cho nhau,
ta được phương trình sai số
x − x
n
= N
−1
M(x − x
n−1

).
Quy nạp,
x − x
n
= (N
−1
M)
n
(x − x
0
), n = 0, 1, 2, . . . (2.17)
Ta thấy phương pháp lặp hội tụ nếu N
−1
M < 1.
||.|| là chuẩn toán tử của ma trận, thì nó là chuẩn sinh ra bởi các
chuẩn vector
||A|| = sup
x=0
||Ax||
||x||
. (2.18)
Nhớ lại, với một ma trận vuông A, điều kiện cần và đủ để A
n
→ 0 khi
n → ∞ là r
σ
(A) < 1 . r
σ
(A) là bán kính phổ của ma trận A:
r

σ
(A) = max
i
|λ
i
(A)|
với {λ
i
(A)} là tập tất cả các giá trị riêng của A.
Từ công thức (2.17) ta có: x
n
→ x khi n → ∞ với mọi nghiệm ban đầu x
0
,
khi và chỉ khi (N
−1
M)
n
→ 0 khi n → ∞. Do đó, điều kiện cần và đủ để
phép lặp (2.17) hội tụ là r
σ
(N
−1
M) < 1. Bán kính phổ của một ma trận
là số đặc trưng của ma trận, còn chuẩn ma trận thì không có tính chất đó.
Vì vậy, điều kiện cần và đủ để phép lặp hội tụ được miêu tả trong điều
kiện của bán kính phổ của ma trận lặp. Ta có mối liên hệ sau giữa bán
kính phổ và chuẩn của ma trận A ∈ R
m×m
.

17