Cấu trúc và tính chính quy của nghiệm toàn cục của bài toán cauchy cho phương trình hamilton jacobi với dữ kiện ban đầu lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2







ĐỖ THỊ HỒNG THẮM







CẤU TRÚC VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM TOÀN CỤC
CỦA BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH
HAMILTON – JACOBI VỚI DỮ KIỆN BAN ĐẦU LỒI



Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN HỮU THỌ








HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Hữu Thọ. Tác giả xin được gửi lời
cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn
Hữu Thọ, đồng thời tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân th ành
tới các Thầy, Cô đã tham gia giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải
tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Sau đại học
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá
trình tác giả học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Tác giả
ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bản luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướng
dẫn của TS. Nguyễn Hữu Thọ.

Trong khi hoàn thiện luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Tác giả
Mục lục
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1. Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Tập đóng, tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Hàm liên tục Lipchitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Liên hợp Fenchel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6. Công thức Hopf trong trường hợp dữ kiện ban đầu là hàm
lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp
một 13
2.1. Phương trình vi phân thường đặc trưng . . . . . . . . . . 13
2.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3. Điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
iii
iv
2.4. Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Cấu trúc và tính chính quy của nghiệm toàn cục với dữ
kiện ban đầu lồi 35
3.1. Hệ phương trình vi phân đặc trưng . . . . . . . . . . . . 36
3.2. Công thức dạng Hopf và các đặc trưng . . . . . . . . . . 37
3.3. Dải khả vi của nghiệm được xác định qua công thức dạng
Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Kết luận 50

Tài liệu tham khảo 51
BẢNG KÍ HIỆU
Luận văn sử dụng những kí hiệu với ý nghĩa xác định trong bảng dưới
đây:
R Đường thẳng thực
R
n
Không gian Euclid n chiều
¯
R = R ∪ {−∞, +∞} Tập số thực suy rộng
Ø Tập hợp rỗng
∥.∥ Chuẩn trong không gian
domf Miền hữu hiệu của f
epif Trên đồ thị của f
U
x
Lân cận mở của x
f
|U
x
Thu hẹp của f trên U
x
|x| Giá trị tuyệt đối của x
⟨x, y⟩ Tích vô hướng x và y
f
∗
Liên hợp Fenchel của f
Lip(Ω) Tập hợp các hàm số liên tục Lipchitz
địa phương trên Ω
C

k
(U) Tập hợp các hàm số khả vi liên tục cấp k trên U
¯
A Bao đóng của A
A ∩B Giao của tập A và tập B
A\B Hiệu của tập A và tập B
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Việc nghiên cứu phương trình phi tuyến nói chung và phương trình
vi phân đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng đã và đang là một vấn đề
hết sức cần thiết của Giải tích hiện đại: chỉ trong lĩnh vực Phương trình
đạo hàm riêng phi tuyến cấp một thôi chúng ta có thể thấy hàng loạt
các công trình của rất nhiều các nhà Toán học trên thế giới, trong đó
Phương trình Hamilton-Jacobi đã và đang được quan tâm nhiều.
Phương trình Hamilton-Jacobi là phương trình đạo hàm riêng phi
tuyến cấp một có dạng như sau:
∂u
∂t
+ H(t, x, u, Du) = 0 , t > 0, x ∈ R
n
ở đây H được gọi là Hamiltonian.
Những nghiên cứu về phương trình Hamilton-Jacobi xuất hiện từ rất
lâu, có lẽ từ việc khảo sát các bài toán biến phân với đầu mút động.
Có nhiều phương pháp cổ điển nghiên cứu nghiệm trơn, địa phương của
phương trình này. Định lý Cauchy-Kovalevskaya là một trong những
định lý đầu tiên nói về sự tồn tại, duy nhất nghiệm địa phương với các
dữ kiện được đặt ra là những hàm giải tích. Các phương pháp tách biến,
biến đổi Legendre, tích phân toàn phần, lý thuyết đặc trưng Cauchy,
biến phân, đồng dạng . đã góp phần làm phong phú lĩnh vực nghiên
cứu về phương trình Hamilton-Jacobi.

Tuy nhiên, trong nhiều bài toán vật lý và ứng dụng, nghiệm cổ điển
địa phương của phương trình Hamilton-Jacobi chưa đáp ứng được yêu
2
cầu thực tế vì chúng ta mong muốn nhận được thông tin tổng thể và
đầy đủ hơn. Nhìn chung, các nghiên cứu cổ điển trước đây hoặc chưa
quan tâm đến vấn đề nghiệm toàn cục, hoặc vì chưa có cách hiểu nghiệm
một cách mềm dẻo (do bản chất phi tuyến của phương trình Hamilton-
Jacobi, nghiệm cổ điển toàn cục của bài toán Cauchy đối với phương
trình Hamilton-Jacobi nói chung chỉ tồn tại trong một số lớp khá đặc
biệt). Bắt đầu từ những năm 1950-1951, với sự ra đời của các bài báo của
E. Hopf và J.D. Cole về phương trình Burger, việc nghiên cứu nghiệm
toàn cục của phương trình Hamilton-Jacobi được đặt nền móng và được
các nhà Toán học quan tâm, và ngay sau đó đã có rất nhiều những kết
quả kinh điển ra đời tạo ra những định hướng quan trọng.
Do tính phi tuyến của Hamiltonian nên miền xác định của nghiệm
nói chung bị hạn chế nghiêm ngặt. Để đạt được sự tồn tại toàn cục cho
nghiệm cổ điển đối với bài toán Cauchy đòi hỏi phải có điều kiện ngặt
đặt trên Hamiltonian và dữ kiện ban đầu. Đây cũng là nguyên nhân
thúc đẩy sự phát triển các phương pháp tìm nghiệm toàn cục, nghĩa là
tìm nghiệm trong toàn b ộ miền đã cho. Để nhận được điều này chúng
ta không hy vọng đạt được độ trơn cao của nghiệm mà nhất thiết phải
giảm yêu cầu đó. Một lớp hàm được quan tâm trước hết trong việc mở
rộng khái niệm nghiệm toàn cục đó là lớp hàm liên tục Lipschitz. Theo
Định lý Rademacher: “Mỗi hàm liên tục Lipschitz địa phương đều khả
vi hầu khắp nơi trong miền xác định của nó”, chúng ta thấy lớp hàm
này là một lớp con không quá rộng của lớp hàm liên tục và chứa lớp các
hàm khả vi, và từ đó gợi ý cho những nghiên cứu về những lớp nghiệm
suy rộng.
Với mong muốn được tiếp cận tới lý thuyết về nghiệm suy rộng của
3

Bài toán Cauchy đối với phương trình Hamilton-Jacobi, được sự hướng
dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, tôi đã chọn đề tài về:
"Cấu trúc và tính chính quy của nghiệm toàn cục
của Bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton - Jacobi
với dữ kiện ban đầu lồi."
2. Mục đích nghiên cứu
Mô tả cấu trúc nghiệm toàn cục của bài toán Cauchy cho phương
trình Hamilton-Jacobi thông qua đặc trưng trong trường hợp dữ kiện
ban đầu lồi và xét tính chính quy của nghiệm toàn cục.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tổng quan về phương pháp đặc trưng đối với phương trình đạo hàm
riêng phi tuyến cấp 1.
Mô tả nghiệm toàn cục cho bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-
Jacobi trong trường hợp dữ kiện ban đầu lồi thông qua nghiệm của hệ
phương trình vi phân đặc trưng.
Khảo sát tính chính quy của nghiệm toàn cục của bài toán Cauchy
cho phương trình Hamilton-Jacobi khi dữ kiện ban đầu lồi.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp
dữ kiện ban đầu lồi, hệ phương trình vi phân đặc trưng, công thức dạng
4
Hopf-Lax cho nghiệm toàn cục.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp
để nhận được một nghiên cứu về cấu trúc nghiệm toàn cục của bài toán
Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp dữ kiện ban
đầu lồi.
6. Dự kiến đóng góp của đề tài
Trình bày một cách có hệ thống về cấu trúc nghiệm toàn cục mô tả
bởi công thức dạng Hopf-Lax đối với bài toán Cauchy cho phương trình

Hamilton-Jacobi trong trường hợp dữ kiện ban đầu lồi.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.1.1. [5] Giả sử X, Y là hai tập hợp. Kí hiệu 2
Y
là tập
hợp tất cả những tập con của Y . Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y là
một ánh xạ từ X vào 2
Y
, ký hiệu: ánh xạ đa trị F : X −→ Y .
Ta nói rằng ánh xạ đa trị F là proper nếu tồn tại x ∈ X sao cho
F (x) ̸= ∅. Trong trường hợp này ta gọi tập con
dom(F ) := {x ∈ X|F (x) ̸= ∅}
là miền hữu hiệu (miền xác định) của F.
Một ánh xạ đa trị được đặc trưng bởi một tập con của X ×Y , gọi là
GraphF (đồ thị của F ) và xác định bởi
Graph(F ) := {(x, y) : y ∈ F (x), x ∈ dom(F )}
Ánh xạ đa trị F : X −→ Y được gọi là đóng nếu và chỉ nếu đồ thị
của nó là đóng.
Ánh xạ đa trị F : X −→ Y được gọi là bị chặn địa phương nếu và
5
6
chỉ nếu tại mỗi x ∈ X, có một lân cận V
x
của x trong X sao cho thu
hẹp F |
V
x
của F lên V

x
là bị chặn.
Định nghĩa 1.1.2. [5] Ánh xạ đa trị F : X −→ Y được gọi là nửa liên
tục trên tại x ∈ dom(F) nếu với mỗi lân cận U của F(x), tồn tại một
số dương r sao cho
∀x
′
∈ B
X
(x, r), F (x
′
) ⊂ U
trong đó B
X
(x, r) ký hiệu hình cầu trong X với tâm x, bán kính r.
F được gọi là nửa liên tục trên nếu và chỉ nếu nó nửa liên tục trên
tại mọi điểm x ∈ dom(F ).
1.2. Tập đóng, tập mở
Định nghĩa 1.2.1. [4] Cho x
0
∈ R
n
, ε > 0, ta gọi tập
B(x
0
, ε) :=

x ∈ R
n
:



x −x
0


< ε

là hình cầu mở trong R
n
có tâm tại x
0
, bán kính ε.
Định nghĩa 1.2.2. [4] Tập U ⊂ R
n
gọi là mở nếu ∀x
0
∈ U, ∃ε > 0 sao
cho B(x
0
, ε) ⊂ U.
Tập F ⊂ R
n
gọi là đóng nếu U := R
n
\F là mở.
Tập V ⊂ R
n
gọi là lân cận của x ∈ R
n

nếu ∃ε > 0 sao cho B(x, ε) ⊂
V .
Định nghĩa 1.2.3. [4] Cho A là tập con bất kì trong R
n
. Kí hiệu
{F
j
(A)}
j∈J
là họ tất cả các tập đóng chứa A.
Khi đó F = ∩
j∈J
F
j
(A) là một tập đóng.
Tập F gọi là bao đóng của A, kí hiệu là
¯
A.
7
Định nghĩa 1.2.4. [4] Tập B trong R
n
gọi là bị chặn nếu tồn tại m > 0
sao cho ∥x∥ ≤ m với mọi x ∈ B.
Cho U ⊂ R
n
là một tập mở và giả sử f : U → R
n
thuộc lớp C
1
,

f = (f
1
, f
2
, , f
n
). Giả thiết x
0
∈ U, z
0
= f(x
0
). Khi đó
Df =








f
1
x
1
. . . f
1
x
n

. . . . .
. . . . .
f
n
x
1
. . . f
n
x
n








= ma trận gradient của f.
Định nghĩa 1.2.5. [1] Jf = Jacobian của f = |detDf | =




∂(f
1
, , f
n
)
∂(x

1
, , x
n
)




.
Nếu xét U ⊂ R
n+m
là một tập mở và giả sử f : U → R
m
thuộc lớp
C
1
, f = (f
1
, , f
m
). Giả thiết (x
0
, y
0
) ∈ U, z
0
= f(x
0
, y
0

). Khi đó:
Định nghĩa 1.2.6. [1] J
y
f = |det D
y
f| =




∂(f
1
, , f
m
)
∂(y
1
, , y
m
)




.
Định lý 1.2.1. (Định lý hàm ẩn)[1] Giả thiết f ∈ C
1
(U; R
m
) và J

y
f(x
0
, y
0
) ̸=
0. Khi đó tồn tại một tập mở V ⊂ U với (x
0
, y
0
) ∈ V , và tập mở W ⊂ R
n
với x
0
∈ W, một ánh xạ g : W → R
m
thuộc lớp C
1
sao cho
(i) g(x
0
) = y
0
(ii) f(x, g(x)) = z
0
(x ∈ W)
(iii) Nếu (x, y) ∈ V và f (x, y) = z
0
thì y = g(x)
(iv) Nếu f ∈ C

k
thì g ∈ C
k
(k = 2, ).
Hàm g được xác định ẩn gần x
0
bởi phương trình f(x, y) = z
0
.
8
1.3. Hàm lồi
Định nghĩa 1.3.1. [4] Tập M ⊂ R
n
gọi là tập lồi nếu:
∀x, y ∈ M, {λx + (1 −λ)y : λ ∈ [0, 1]} ⊂ M
Giả sử f : R
n
−→
¯
R = [−∞, +∞] là một hàm thực (mở rộng).
Ta gọi domf := {x ∈ R
n
: f(x) < +∞} là miền hữu hiệu của hàm f
và epif := {(x, a) ∈ R
n
× R : f(x) ≤ a} là trên đồ thị của hàm f.
Hàm f được gọi là proper nếu domf ̸= ∅ và f(x) > −∞ với ∀x ∈ R
n
Định nghĩa 1.3.2. [4] Hàm f được gọi là hàm lồi (t.ư., đóng) nếu tập
hợp epi là tập lồi (t.ư., đóng) trong không gian R

n
× R.
Đối với các hàm lồi, proper (chẳng hạn hàm lồi từ R
n
vào R) tính lồi
của nó tương đương với điều kiện:
f(λx + (1 −λ)y) ≤ λf(x) + (1 −λ)f(y) (1.1)
với ∀x, y ∈ R
n
và λ ∈ [0, 1]
Hàm f : R
n
−→ R được gọi là lồi ngặt nếu trong bất đẳng thức (1.1),
khi x ̸= y, dấu = xảy ra nếu λ = 0 hoặc λ = 1.
Định lý 1.3.1. [4] Mọi hàm lồi xác định trên R
n
và chỉ nhận giá trị
trong R đều liên tục.
Định nghĩa 1.3.3. [4] Hàm lồi, proper f được gọi là đối hữu hạn nếu
lim
||y||→+∞
f(y)
||y||
= +∞.
Định lý 1.3.2. [4] Giả sử f là hàm lồi, hữu hạn trên một tập lồi, mở
C. Khi đó, nếu f khả vi trên C thì f cũng khả vi liên tục trên C.
9
1.4. Hàm liên tục Lipchitz
Định nghĩa 1.4.1. [4] Giả sử f là một hàm xác định trong một tập
X ⊆ R

n
. Khi đó f được gọi là hàm Lipchitz (liên tục Lipchitz) trên X
nếu tồn tại một số thực K ≥ 0 sao cho:
|f(x) −f(y)| ≤ K. ∥x −y∥; ∀x, y ∈ X (1.2)
K được gọi là hằng số Lipchitz của f trên X.
Dễ thấy điều kiện (1.2) suy ra f là hàm liên tục đều trong X.
Hàm f được gọi là Lipchitz địa phương trên X nếu với mỗi x ∈ X
tồn tại lân cận mở U
x
của x sao cho thu hẹp f
|U
x
là Lipchitz trên U
x
Định lý 1.4.1. (Định lý Rademacher)[4] Một hàm liên tục Lipschitz địa
phương thì khả vi hầu khắp nơi trong miền xác định của nó.
Cho f : R
n
→ R là một hàm lồi, hữu hạn, khi đó f liên tục đều và
hơn nữa liên tục Lipschitz trên mỗi tập con bị chặn của dom f.
Định lý 1.4.2. [4] Cho f là hàm lồi, proper trên X. Khi đó domf
∗
sẽ
bị chặn khi và chỉ khi f hữu hạn và liên tục Lipschitz toàn cục trên X.
1.5. Liên hợp Fenchel
Định nghĩa 1.5.1. [4] Cho hàm f : R
n
−→
¯
R, ta định nghĩa hàm

f
∗
: R
n
−→
¯
R như sau:
f
∗
(y) := sup
x∈R
n
{⟨y, x⟩ −f(x)}, y ∈ R
n
(1.3)
và gọi f
∗
là hàm liên hợp (hay liên hợp Fenchel) của hàm f.
10
Định lý 1.5.1. [4] Giả sử f : R
n
−→
¯
R là hàm lồi, proper và đóng. Khi
đó hàm liên hợp f
∗
cũng là hàm lồi, proper và đóng. Ngoài ra:
∀x ∈ R
n
, f(x) = f

∗∗
(x) := sup
y∈R
n
{⟨x, y⟩ −f
∗
(y)} (1.4)
Với mọi hàm f : R
n
−→
¯
R, hàm liên hợp f
∗
luôn luôn lồi và đóng.
Hơn nữa, khi f lồi, trong (1.3) (t.ư., (1.4)) sup được thay thế bằng max
nếu y (t.ư., x) là điểm trong của domf
∗
(t.ư., domf).
Định lý 1.5.2. [4] Giả sử f là một hàm lồi, đóng và xác định trên R
n
.
Khi đó f
∗
hữu hạn (và do đó domf
∗
= R
n
) khi và chỉ khi f đối hữu hạn.
Cho f : R
n

→ R thỏa mãn
lim
∥y∥→+∞
f(y)
∥y∥
= +∞.
Khi đó liên hợp Fenchel của nó cũng thỏa mãn
lim
∥p∥→+∞
f
∗
(p)
∥p∥
= +∞.
1.6. Công thức Hopf trong trường hợp dữ kiện ban
đầu là hàm lồi
(Kết quả trong mục này được trích dẫn từ [3] và [5]).
Chúng ta xét bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobi
dạng:
u
t
+ H(t, Du) = 0, (t, x) ∈ Ω = (0, T ) ×R
n
(1.5)
u(0, x) = σ(x), x ∈ R
n
(1.6)
trong đó u = u(t, x) là ẩn hàm, Haminltonian H và hàm dữ kiện ban
đầu σ được cho trước, Du = D
x

u = (u
x
1
, u
x
2
, , u
x
n
).
11
a. Trường hợp Hamiltonian chỉ phụ thuộc vào gradient của ẩn
hàm:[3]
Giả sử Hamiltonian H = H(p) là hàm liên tục và dữ kiện ban đầu
σ = σ(x) là hàm lồi và liên tục Lipschitz trên R
n
, khi đó hàm u = u(t, x)
xác định bởi công thức Hopf :
u(t, x) = max
q∈R
n
{⟨x, q⟩ −σ
∗
(q) −tH(q)} (1.7)
là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài toán (1.5)-(1.6) .
b. Trường hợp Hamiltonian phụ thuộc vào gradient của ẩn hàm
và biến thời gian:[5]
Cho dữ kiện ban đầu σ = σ(x) là hàm lồi trên R
n
, Hamiltonian H ∈

C([0; T] × R
n
). Hơn nữa, với mỗi (t
0
, x
0
) ∈ [0; T) × R
n
tồn tại số các
hằng số dương r và N sao cho
⟨x, p⟩− σ
∗
(p) −

t
0
H(τ, p)dτ < max
||q||N

⟨x, q⟩ −σ
∗
(q) −

t
0
H(τ, q)dτ

,
ở đây (t, x) ∈ [0; T ) ×R
n

, |t −t
0
| + ||x −x
0
|| < r và ||p|| > N. Khi đó
hàm u = u(t, x) được xác định bởi công thức dạng Hopf-Lax
u(t, x) = max
q∈R
n

⟨x, q⟩ −σ
∗
(q) −

t
0
H(τ, q)dτ

,
là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài toán Cauchy (1.5)-(1.6).
1.7. Kết luận
Trong Chương này, tác giả đã trình bày một số kiến thức cơ bản về
hàm lồi, hàm liên tục Lipschitz, khái niệm về liên hợp Fenchel và công
thức Hopf - Lax cho nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình
12
Hamilton-Jacobi trong trường hợp dữ kiện ban đầu là hàm lồi. Đây là
những kiến thức nhằm hỗ trợ cho các kết quả sẽ được trình bày trong
các chương sau.
Chương 2
Đặc trưng của phương trình đạo

hàm riêng phi tuyến cấp một
(Các kết quả trong Chương này được trích dẫn từ tài liệu [1])
2.1. Phương trình vi phân thường đặc trưng
Xét phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một:
F (x, u, Du) = 0 trong U (2.1)
với điều kiện biên:
u = g trên Γ; Γ ⊆ ∂U (2.2)
giả sử F, g là những hàm trơn.
Để nghiên cứu bài toán (2.1), (2.2) ta dùng phương pháp đặc trưng,
đây là phương pháp biến đổi phương trình đạo hàm riêng thành một hệ
phương trình vi phân thường tương ứng. Ý tưởng chủ yếu như sau.
Giả sử u thỏa mãn (2.1), (2.2) và x là điểm cố định nào đó thuộc U. Ta
sẽ tìm một đường cong nằm trong U nối x với x
0
∈ Γ. Theo (2.2) ta có
13
14
u = g trên Γ, vì thế ta biết giá trị của u tại điểm mút x
0
của đường
cong: u(x
0
) = g(x
0
). Nếu u là hằng số dọc theo đường cong, ta tìm được
giá trị của u tại x.
Cách tìm phương trình vi phân thường đặc trưng
Giả sử đường cong được tham số hóa bởi hàm
x(s) = (x
1

(s), x
2
(s), , x
n
(s))
trong đó s nằm trong khoảng con nào đó của R.
Giả thiết u là C
2
- nghiệm của (2.1), ta đặt:
z(s) := u(x(s)) (2.3)
p(s) := Du(x(s)) (2.4)
có nghĩa là: p(s) =

p
1
(s), p
2
(s), , p
n
(s)

và
p
i
(s) = u
x
i
(x(s)) (2.5)
Như vậy z(.) cho giá trị của u dọc đường cong và p(.) là giá trị của
gradient Du. Ta phải chọn x(.) sao cho có thể tính được z(.) và p(.).

Để làm được điều này, trước hết ta đạo hàm (2.5) để được
.
p
i
(s) =
n

j=1
u
x
i
x
j
(x(s))
.
x
j
(s)

·
=
d
ds

(2.6)
Biểu thức này khá rườm rà vì nó có chứa đạo hàm cấp hai của u.
Mặt khác, ta đạo hàm phương trình đạo hàm riêng (2.1) theo x
i
và nhận
được

n

j=1
∂F
∂p
j
(x, u, Du) u
x
i
x
j
+
∂F
∂z
(x, u, Du) u
x
i
+
∂F
∂x
i
(x, u, Du) = 0 (2.7)
15
Ta sử dụng đồng nhất thức này để loại bỏ những đạo hàm cấp hai
của u trong (2.6). Đặt
.
x
j
(s) =
∂F

∂p
j
(x(s), z(s), p(s)) (j = 1, , n) (2.8)
Giả thiết rằng đẳng thức (2.8) là đúng, thay x = x(s) vào (2.7) và từ
(2.3), (2.4) ta nhận được đồng nhất thức sau
n

j=1
∂F
∂p
j
(x(s), z(s), p(s))u
x
i
x
j
(x(s)) +
∂F
∂z
(x(s), z(s), p(s)) p
i
(s)+
+
∂F
∂x
i
(x(s), z(s), p(s)) = 0.
Từ đó
n


j=1
∂F
∂p
j
(x(s), z(s), p(s))u
x
i
x
j
(x(s)) = −
∂F
∂z
(x(s), z(s), p(s)) p
i
(s)−
−
∂F
∂x
i
(x(s), z(s), p(s)) .
Thế biểu thức này và (2.8) vào (2.6) ta có
.
p
i
(s) = −
∂F
∂x
i
(x(s), z(s), p(s))−
∂F

∂z
(x(s), z(s), p(s)) p
i
(s) (i = 1, , n)
(2.9)
Cuối cùng, lấy đạo hàm biểu thức (2.3) ta thấy
z
·
(s) =
n

j=1
∂u
∂x
j
(x(s))x
·j
(s) =
n

j=1
p
j
(s)
∂F
∂p
j
(x(s), z(s), p(s)) (2.10)
(ở đây ta dùng (2.5) và (2.8) để nhận được đẳng thức thứ hai). Ta viết
lại các phương trình (2.8) −(2.10) theo ký hiệu véc tơ










(a)
.
p(s) = −D
x
F (x(s), z(s), p(s)) −D
z
F (x(s), z(s), p(s)).p(s)
(b)
.
z(s) = D
p
F (x(s), z(s), p(s)).p(s)
(c)
.
x(s) = D
p
F (x(s), z(s), p(s)).
(2.11)
16
Hệ (2n+1) phương trình vi phân cấp một này gọi là các phương trình
đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một (2.1).

Các hàm x(.) = (x
1
(.), x
2
(.), , x
n
(.)); z(.); p(.) = (p
1
(.), p
2
(.), , p
n
(.))
được gọi là những đặc trưng. Ta còn gọi x(.) gọi là đặc trưng gốc, nó
là hình chiếu của toàn bộ đặc trưng (x(.), z(.), p(.)) ⊂ R
2n+1
lên miền
U ⊂ R
n
.
Như vậy ta đã hoàn thiện chứng minh định lý sau đây:
Định lý 2.1.1. [1] (Cấu trúc của phương trình vi phân thường
đặc trưng) Cho u ∈ C
2
(U) là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng
(2.1) trong U. Giả thiết rằng x(.) thỏa mãn phương trình vi phân thường
(2.11)(c), với p(.) = Du(x(.)), z(.) = u(x(.)). Khi đó p(.) là nghiệm của
phương trình vi phân thường (2.11)(a) và z(.) thỏa mãn phương trình vi
phân thường (2.11)(b) với những s sao cho x(s) ∈ U.
Ta còn cần phải tìm điều kiện ban đầu tương ứng cho hệ phương trình

vi phân thường (2.11) để hệ này sẽ thực sự có ích.
Giả sử u là một nghiệm của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến
cấp một (2.1), khi đó hệ phương trình vi phân thường đặc trưng là một
hệ đóng đối với x(.), z(.) = u(x(.)), và p(.) = Du(x(.)). Bước quan
trọng mang tính quyết định ở đây là việc đặt
.
x = D
p
F , tức là đẳng thức
(2.8), do đó, như đã nói ở trên, khi đó các số hạng chứa đạo hàm cấp
hai bị loại bỏ.
17
2.2. Một số ví dụ
Trước khi tiếp tục xét về các phương trình đặc trưng (2.11) ta sẽ
dừng lại để xét một số trường hợp đặc biệt mà trong đó cấu trúc của
các phương trình đặc trưng có dạng đơn giản.
a. Trường hợp F tuyến tính
Xét phương trình đạo hàm riêng (2.1) tuyến tính và thuần nhất có
dạng
F (x, u, Du) = b(x)Du(x) + c(x)u(x) = 0, (x ∈ U). (2.12)
Khi đó
F (x, z, p) = b(x)p + c(x)z,
và khi đó
D
p
F = b(x).
Trong trường hợp này phương trình (2.11)(c) trở thành
.
x(s) = b(x(s)) (2.13)
là phương trình vi phân chỉ chứa hàm x(.). Hơn nữa phương trình

(2.11)(b) trở thành
.
z(s) = b(x(s)).p(s). (2.14)
Vì p = Du(x(.)), từ phương trình (2.12) và (2.14) ta có
.
z(s) = −c(x(s))z(s).
Đây là phương trình vi phân tuyến tính đối với z(.), nếu ta tìm được x(.)
thông qua việc giải (2.13). Kết hợp lại ta nhận được hệ phương trình



(a)
.
x(s) = b(x(s))
(b)
.
z(s) = −c(x(s))z(s)
(2.15)
18
là các phương trình đặc trưng đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến
tính (2.12). Trong trường hợp này phương trình đối với p(.) là không
cần thiết.
Ví dụ 2.2.1. Giải bài toán sau



x
1
u
x

2
− x
2
u
x
1
= u trong U
u = g trên Γ ⊂ ∂U
ở đây U = {x
1
> 0, x
2
> 0}là góc phần tư thứ nhất ; Γ = {x
1
> 0, x
2
= 0} ⊂
∂U.
Giải
Ta có
F (x, z, p) = x
1
.p
2
− x
2
.p
1
− z.
Hệ phương trình vi phân đặc trưng có dạng




.
x(s) = D
p
F (x(s), z(s), p(s)) = (−x
2
, x
1
)
.
z(s) = D
p
F (x(s), z(s), p(s)).p(s) = (−x
2
, x
1
).(p
1
, p
2
) = z
hay là










.
x
1
(s) = −x
2
(s)
.
x
2
(s) = x
1
(s)
.
z(s) = z(s).
Giải hệ trên ta nhận được









x
1
(s) = C

1
. cos s + C
2
. sin s
x
2
(s) = C
1
. sin s − C
2
. cos s
z(s) = C
3
.e
s
(2.16)
ở đây x
0
> 0, 0  s 
π
2
. Ta sẽ tìm C
1
, C
2
, C
3
từ điều kiện ban đầu.
19
Với s > 0, x

0
> 0
x(0) ∈ Γ ⇐⇒ (x
1
(0), x
2
(0)) ∈ Γ ←→ (x
0
, 0) ∈ Γ
z(0) = u(x(0)) = u(x
0
, 0) = g(x
0
)
thay vào hệ (2.16) ta có:









C
1
= x
0
C
2

= 0
C
3
= g(x
0
).
Thay lên (2.16) ta được









x
1
(s) = x
0
. cos s
x
2
(s) = x
0
. sin s
z(s) = g(x
0
).e
s

Cố định điểm (x
1
, x
2
) ∈ U. Ta cần chọn được s > 0, x
0
> 0 thỏa mãn hệ
phương trình:



x
1
(s) = x
1
x
2
(s) = x
2
tức là



x
0
. cos s = x
1
x
0
. sin s = x

2
từ đó





x
0
=

x
2
1
+ x
2
2
s = arctan

x
2
x
1

.
Vậy nghiệm của bài toán đã cho là:
u(x) = u(x
1
(s), x
2

(s)) = z(s) = g(x
0
)e
s
= g(

x
2
1
+ x
2
2
).e
arctan

x
2
x
1

.