Luận văn cấu trúc và tính chính quy của nghiệm toàn cục của bài toán cauchy cho phương trình hamilton jacobi với dữ kiện ban đầu lồi

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ
NỘI 2
• • • •
ĐỖ THI HỒNG THẮM
CẤU TRÚC VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM TOÀN cục
CỦA BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH
HAMILTON - JACOBI VỚI DỮ KIÊN BAN ĐẨU LỒI
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VÃN THẠC Sĩ TOÁN HỌC
• • •
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN HỮU THỌ
HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của TS. Nguyễn Hữu Thọ. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân
thành và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn Hữu Thọ, đồng thời tác
giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô đã tham gia
giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt
quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Sau đại học trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả
học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Tác giả
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bản luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn
của TS. Nguyễn Hữu Thọ.
Trong khi hoàn thiện luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Tác giả

4
5
Mục lục
BẢNG KÍ HIỆU
Luận văn sử dụng những kí hiệu với ý nghĩa xác định trong bảng dưới
đây:
M Đường thẳng thực
R" Không gian Euclid N

chiều
M = MU {—00, +00 } Tập số thực suy rộng
1 Tập hợp rỗng
||.|| Chuẩn trong không gian
dom/ Miền hữu hiệu của f
epi/ Trên đồ thị của f
Ư

X

Lân cận mở của X
fịự Thu hẹp của f trên U
x
\X\

Giá trị tuyệt đ ố i của X
(X, Y)

Tích vô hướng X và y
/* Liên hợp Fenchel của f
Lip(O) Tập hợp các hàm số liên tục Lipchitz

địa phương trên rỉ C

K

(U

) Tập hợp các hàm số
khả vi liên tục cấp k trên u
Ă

Bao đóng của A
AN B

Giao của tập A và tập B
A\B Hiệu của tập A và tập B
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Việc nghiên cứu phương trình phi tuyến nói chung và phương trình vi
phân đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng đã và đang là một vấn đề hết sức cần
thiết của Giải tích hiện đại: chỉ trong lĩnh vực Phương trình đạo hàm riêng phi
tuyến cấp một thôi chúng ta có thể thấy hàng loạt các công trình của rất nhiều
các nhà Toán học trên thế giới, trong đó Phương trình Hamilton-Jacobi đã và
đang được quan tâm nhiều.
Phương trình Hamilton-Jacobi là phương trình đạo hàm riêng phi tuyến
cấp một có dạng như sau: ỠU
-7 + H(t, X, и, Du) = 0, t > о, X € dt
ở đây H

được gọi là Hamiltonian.
Những nghiên cứu về phương trình Hamilton-Jacobi xuất hiện từ rất lâu,

có lẽ từ việc khảo sát các bài toán biến phân với đầu mút động. Có nhiều
phương pháp cổ điển nghiên cứu nghiệm trơn, địa phương của phương trình
này. Định lý Cauchy-Kovalevskaya là một trong những định lý đầu tiên nói
về sự tồn tại, duy nhất nghiệm địa phương với các dữ kiện được đặt ra là
những hàm giải tích. Các phương pháp tách biến, biến đổi Legendre, tích
phân toàn phần, lý thuyết đặc trưng Cauchy, biến phân, đồng dạng đã góp
phần làm phong phú lĩnh vực nghiên cứu về phương trình Hamilton-Jacobi.
Tuy nhiên, trong nhiều bài toán vật lý và ứng dụng, nghiệm cổ điển địa
phương của phương trình Hamilton-Jacobi chưa đáp ứng được yêu
Cầu thực tế vì chúng ta mong muốn nhận được thông tin tổng thể và đầy đủ hơn.
Nhìn chung, các nghiên cứu cổ điển trước đây hoặc chưa quan tâm đến vấn đề
nghiệm toàn cục, hoặc vì chưa có cách hiểu nghiệm một cách mềm dẻo (do bản
chất phi tuyến của phương trình Hamilton- Jacobi, nghiệm cổ điển toàn cục của
bài toán Cauchy đối với phương trình Hamilton-Jacobi nói chung chỉ tồn tại trong
một số lớp khá đặc biệt). Bắt đầu từ những năm 1950-1951, với sự ra đời của các
bài báo của E. Hopf và J.D. Cole về phương trình Burger, việc nghiên cứu
nghiệm toàn cục của phương trình Hamilton-Jacobi được đặt nền móng và được
các nhà Toán học quan tâm, và ngay sau đó đã có rất nhiều những kết quả kinh
điển ra đời tạo ra những định hướng quan trọng.
Do tính phi tuyến của Hamiltonian nên miền xác định của nghiệm nói chung bị
hạn chế nghiêm ngặt. Để đạt được sự tồn tại toàn cục cho nghiệm cổ điển đối với
bài toán Cauchy đòi hỏi phải có điều kiện ngặt đặt trên Hamiltonian và dữ kiện
ban đầu. Đây cũng là nguyên nhân thúc đẩy sự phát triển các phương pháp tìm
nghiệm toàn cục, nghĩa là tìm nghiệm trong toàn bộ miền đã cho. Để nhận được
điều này chúng ta không hy vọng đạt được độ trơn cao của nghiệm mà nhất thiết
phải giảm yêu cầu đó. Một lớp hàm được quan tâm trước hết trong việc mở rộng
khái niệm nghiệm toàn cục đó là lớp hàm liên tục Lipschitz. Theo Định lý
Rademacher: “Mỗi hàm liên tục Lipschitz địa phương đều khả vi hầu khắp nơi
trong miền xác định của nó”, chúng ta thấy lớp hàm này là một lớp con không quá
rộng của lớp hàm liên tục và chứa lớp các hàm khả vi, và từ đó gợi ý cho những

nghiên cứu về những lớp nghiệm suy rộng.
Với mong muốn được tiếp cận tới lý thuyết về nghiệm suy rộng của
Bài toán Cauchy đối với phương trình Hamilton-Jacobi, được sự hướng dẫn
của Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, tôi đã chọn đề tài về:
9
"Cấu trúc và tính chính quy của nghiệm toàn cục của Bài toán Cauchy cho
phương trình Hamilton - Jacobi
với dữ kiện ban đầu lồi. "
2. Mục đích nghiên cứu
Mô tả cấu trúc nghiệm toàn cục của bài toán Cauchy cho phương trình
Hamilton-Jacobi thông qua đặc trưng trong trường hợp dữ kiện ban đầu lồi và
xét tính chính quy của nghiệm toàn cục.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tổng quan về phương pháp đặc trưng đối với phương trình đạo hàm riêng
phi tuyến cấp 1.
Mô tả nghiệm toàn cục cho bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-
Jacobi trong trường hợp dữ kiện ban đầu lồi thông qua nghiệm của hệ phương
trình vi phân đặc trưng.
Khảo sát tính chính quy của nghiệm toàn cục của bài toán Cauchy cho
phương trình Hamilton-Jacobi khi dữ kiện ban đầu lồi.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp dữ kiện ban
đầu lồi, hệ phương trình vi phân đặc trưng, công thức dạng
Hopf-Lax cho nghiệm toàn cục.
1
0
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để nhận
được một nghiên cứu về cấu trúc nghiệm toàn cục của bài toán Cauchy cho
phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp dữ kiện ban đầu lồi.

6. Dự kiến đóng góp của đề tài
Trình bày một cách có hệ thống về cấu trúc nghiệm toàn cục mô tả
bởi công thức dạng Hopf-Lax đối với bài toán Cauchy cho phương
trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp dữ kiện ban đầu lồi.
1
1
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Ánh xạ đa trị
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 1 . 1 . [ 5 ]

Giả sử X,Y là hai tập hợp. Kí hiệu 2
Y
là tập hợp tất cả những tập con của Y. Một ánh xạ đa trị F từ X
vào Y là một ánh xạ từ X vào 2
Y
, ký hiệu: ánh xạ đa trị F : X

—>
Y.
Ta nói rằng ánh xạ đa trị F là proper nếu tồn tại X £ Xsao cho
F{x) ^ 0 .

Trong trường hợp này ta gọi tập con
DOM(F

) := {a; € X\F(X

) Ỷ

0}
là miền hữu hiệu (miền xác định) của F.
Một ánh xạ đa trị được đặc trưng bởi một tập con của I x ĩ , gọi là GraphF
(đồ thị của F

) và xác định bởi
Graph(F) := {(X,Y)

: Y

€ F(X),X

e dom(F)}
Ánh xạ đa trị F : X

—> Y

được gọi là đóng nếu và chỉ nếuđồ thị
của nó là đóng.
Ánh xạ đa trị F

: X

—> Y

được gọi là bị chặn địa phương nếu và
chỉ nếu tại mỗi X

G X

:

có một lân cận V

X

của X

trong X

sao cho thu hẹp F

|v
của F

lên V

X

là bị chặn.
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 1 . 2 . [ 5 ]

Ánh xạ đa trị F

:

X—>
Y được gọi là nửa liên
1
2

tục trên tại X € dom(F) nếu với mỗi ỉân cận 1Ầ của F{x), tồn tại một
số dương r sao cho
Mx' e B
x
{x,r) ,

F ự)

С

и
trong đó Bx(x,r) ký hiệu hình cầu trong X với tâm X, bán kính r.
F được gọi là nửa liên tục trên nếu và chỉ nếu nó nửa liên tục
trên tại mọi điểm X €

dom(F).
1.2. Tập đóng, tập mở
Định nghĩa 1.2.1. [4] CHO X

Ũ

G M
n
, £ >

0
;
TA GỌI TẬP
B(X
Ũ

, E) := {ĩ G ffi" : ||ж — ж
0
II < E}
là hình cầu mở trong M

n





có tâm tại x
ũ
, bán kính £.
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 2 . 2 . [ 4 ]

Tập и

c E "

gọi là mở nếu V x °

G

и,
Зе > 0

sao cho B(x
ũ
,e)

С

и.
Tập F

c E "

gọi ỉà đóng nếu и

: = K

n



\ F

là mở.
Tập gọi là lân cận của X € K

7 1





nếu ЭЕ > 0

sao cho

B(x, £ )

с
V.
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 2 . 3 . [ 4 ]

Cho A là tập con bất kì trong M.
n
. Kí
hiệu {Fj(A)} -
eJ
là họ tất cả các tập đóng chứa Ả.
Khi đó F =

П

Fj(A)

là một tập đóng.
j£j
Tập F gọi là bao đóng của Ả, kí hiệu là A.
1
3
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 2 . 4 . [ 4 ]

Tập B trong K

n

gọi là bị chặn nếu tồn
tạim > 0

sao cho | | r r | | <

m với mọi X €

B.
Cho u c M.

N

là một tập mở và giả sử f : u —> M.

N

thuộc lớp C

1

,

f
=
(/\
PI

F

N

)-

Giả thiết XQ E

u , Z Q =

F ( X
0
) . Khi đó
/íi \
J X

1 ■ ■ ■ JXN
= ma trận gradient của f.
\f
n
f
n
\Jx
1
Jx
n

/
Định nghĩa 1.2.5. [1] Jf = JACOBIAN

CỦA

Ỉ =

|detDf I =
d(x
u
,x
n
)
Nếu xét u c M.

N + M

là một tập mở và giả sử f : u —> M.

M

thuộc lớp
c
1
, ĩ = ( Z

1



, .

G i ả

t h i ế t

{x
0
,y
ữ
) eư, z
0
= ĩ(x
0
,y
ữ
). K h i đ ó :
_ _ _ dif
1
f
m
)
Định nghĩa 1.2.6. [1] J Y F =

|det D Y Ĩ \ = ’ ’
ỡ(yi

J Vm)
Đ ị n h l ý 1 . 2 . 1 . ( Đ ị n h l ý h à m ẩ n ) [ 1 ]

Giả thiết f €
C ^ Í / ị M

7 7 1



)

và Jyf(x
Q
,y
ữ
)

7^ 0 .

Khi đó tồn tại một tập mở V c

u với
(x
ữì
y
ữ
) G

V, và tập mở w c M

n

với X Q € W , M Ộ T Á N H xạ

g : w
thuộc L Ớ P c
l
sao C H O
(i) g(x
0
) = Y

0
(ỉỉ) f(x,g(x)) = ZQ (X€W)
[ill) Nếu (x, y) €

V và ỉ(x, y) = ZQ thì y = g ( x )
(iv) Nếu f € c
k
thì g G c
k
(k = 2, ).
Hàm g

được xấc định ẩn gần x
0
bởi phương trình ỉ(x,

y) =

Z Q .

1.3. Hàm lồi
D ỉ =
Định nghĩa 1.3.1. [4] TẬP M

cR" GỌI LÀ TẬP LỒI NẾU:
Vx, y e м, {Ах + (1 — \ ) у : Л G [0,1]} с м
Giả sử f

:

—>

К

= [ —

00, + o o ]

là một hàm thực (mở rộng).
Ta gọi domf

: =

{ a ;

€ K

n

:

f(x) < +

00}

ỉà miền hữu hiệu của hàm
f V À E P I F := {(ж, A ) G X к : F ( X ) < a} L À T R Ê N Đ Ồ T H Ị C Ủ A H À M F .
Hàm f được gọi là proper nếu domf Ф

0

và f(x) > —

00

với \/x

G
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 3 . 2 . [ 4 ]

Hàm f được gọi ỉà hàm ỉồỉ (t.ư., đóng) nếu
tập hợp epi là tập lồi (t.ưđóng) trong không gian R " x R ,
Đối với các hàm lồi, proper (chẳng hạn hàm lồi từ R
71
vào R) tính lồi của nó
tương đương với điều kiện:
F(ẰX

+ (1 - Л)Y) <

ЛF{X)

+ (1 - Л)F{Y)

(1.1)
với УХ, У

€ К
71
và Л G [о, 1]
Hàm / : —>

к được gọi là lồi ngặt nếu trong bất đẳng thức (1.1),
khi X Ỷ Y,

dấu = xảy ra nếu л = 0 hoặc Л = 1.
Đ ị n h l ý 1 . 3 . 1 . [ 4 ]

Mọi hàm lồi xác định trên K

n





và chỉ nhận giá
trị trong

К

đều liên tục.
Định nghĩa 1.3.3. [4] HÀM LỒI,

PROPER

F ĐƯỢC GỌI LÀ

đối hữu hạn NẾU
У f{y) _
lim -r^rf- = +00 .
1ЫИ+
00
llz/ll
Đ ị n h l ý 1 . 3 . 2 . [ 4 ]

Giả sử f ỉà hàm ỉồi, hữu hạn trên một tập lồi
;
mở С. Khi đó, nếu f khả vi trên с thì f củng khả vi liên tục trên с.
1.4. Hàm liên tục Lipchitz
Đ ị n h

n g h ĩ a

1 . 4 . 1 . [ 4 ]

Giả sử f là một hàm xác địnhtrong một
tập

X

С

M

7 1



.

Khi đó f được gọi là hàm Lipchitz (liên tục Lipchitz)trên X
nếu tồn tại một số thực к > 0

sao cho:
\f(x) - f{y)\ < K.\\x - y\\- \/x,yeX ( 1 . 2 )

К được gọi là hằng số Lipchitz của f trên X.
Dễ thấy điều kiện (1.2) suy ra / là hàm liên tục đều trong X.
Hàm / được gọi là Lipchitz địa phương trên X

nếu với mỗi X

e X

tồn tại lân cận
mở U

X

của X

sao cho thu hẹp F\Ụ

là Lipchitz trên U

X
Đ ị n h l ý 1 . 4 . 1 . ( Đ ị n h l ý R a d e m a c h e r ) [ 4 ]

Một hàm liên tục
Lipschitz địa phương thì khả vi hầu khắp nơi trong miền xác định của
nó.
Cho / : —>

К là một hàm lồi, hữu hạn, khi đó / liên tục đều và
hơn nữa liên tục Lipschitz trên mỗi tập con bị chặn của dom /.
Đ ị n h l ý 1 . 4 . 2 . [ 4 ]

Cho

/

là hàm lồi, proper trên X. Khi đó domf*
sẽ bị chặn khi và chỉ khi f hữu hạn và liên tục Lipschitz toàn cục trên
X.
1.5. Liên hợp Fenchel
Đ ị n h n g h ĩ a 1 . 5 . 1 . [ 4 ]

Cho hàm f :—> K

;



ta định nghĩa hàm
f* : K

n



—

»

Ẽ

như sau:
f*(y) :=

s u p

{(у, X) -

f(x)} , у e W
1
( 1 . 3 )

IẼI"

và gọi f* là hàm liên hợp (hay liên hợp Fenchel) của hàm f.
Đ ị n h l ý 1 . 5 . 1 . [ 4 ]

Giả sử f : M.
n
— * M

là hàm lồi, proper và
đóng. Khỉ đó hàm liên hợp f* cũng là hàm lồi, proper và đóng. Ngoài
ra:
V a : e r ,

f(x) = f**(x):=sup{{x,y)-f*(y)} ( 1 . 4 )

y£R
n
Với mọi hàm / :—>

R, hàm liên hợp /* luôn luôn lồi và đóng.
Hơn nữa, khi / lồi, trong (1.3) (t.ư., (1.4)) SUP

được thay thế bằng MAX

nếu Y

(t.ư.,
X

) là điểm trong của DOMF*

(t.ư., DOMF

).
Đ ị n h l ý 1 . 5 . 2 . [ 4 ]

Giả sử f là một hàm lồi, đóng và xác định trên
M

7 1



.

Khi đó f* hữu hạn (và do đó domf* =

khi và chỉ khi f đối hữu hạn.
Cho / : K™ —»• M thỏa mãn
r
ỉ (y) _
lim = +oo.
Ill/II-> + 00 ||y||
Khi đó liên hợp Fenchel của nó cũng thỏa mãn
T f*(p) _ I
lim , = +oo.
ibH+oo MI
1.6. Công thức Hopf trong trường hợp dữ kiện ban đầu là hàm
lồi
(Kết quả trong mục này được trích dẫn từ [3] và [5J).
Chúng ta xét bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobi dạng:

U

T

+ H(T,DU) =

0, (T,X) E

Q = (0,T) X R

N

(1.5)
w(0, x ) = cr(x), ĩ G M " (1-6)
trong đó U = U(T,X

) là ẩn hàm, Haminltonian H

và hàm dữ kiện ban đầu Ơ

được cho
trước, DU = D

X

U = (U

XL Ĩ

U

X2

1 U

X

).
a. Trường hợp Hamiltonian chỉ phụ thuộc vào gradient của ẩn hàm:[3]
Giả sử Hamiltonian H = H(p)

là hàm liên tục và dữ kiện ban đầu ơ =
ơ(x) là hàm lồi và liên tụcLipschitz trênkhi đó hàm u =

u(t,

X)

xấc định bởi công thức Hopf :
u(t
:
x) = m a

x{(x,q) — ơ *(q) — tH(q) }

( 1 - 7 )

là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài toán (1.5)-(1.6) .
b. Trường hợp Hamiltonian phụ thuộc vào gradient của ẩn hàm và biến thời
gian: [5]

Cho dữ kiện ban đầu ơ =

ơ(x)

ỉà hàm ỉồi trên Hamiltonian H €
ơ ( [ 0 ; T ] X M

7 1



) .

Hơn nữa, với mỗi (

t
0
,x
0

) G [ 0 ; T ) X M

7 1





tồn tại
số các hằng số dương r và N sao cho

(x,p) - ơ*(p) - í H(r,p)dT<max ị(x,q) - ơ*(q) - íH(T,q)dr\,
J

0 M\<N

L
J

0
J
ở đây (t, x) € [0; T) X M
71
, 11 — t
ữ
\ + \ \x — 11 <
r
và IIpII > N. Khi đó
hàm u =

u(t,x)

được xác định bởi công thức dạng Hopf-Lax
u(t, x) =

m a x i

(x, q) — ơ*(q) — /

H(T,q)dr>,
ạeK" L J

ữ
)
là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài toán Cauchy (1.5)-(1.6).
1.7. Kết luận
Trong Chương này, tác giả đã trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm lồi, hàm
liên tục Lipschitz, khái niệm về liên hợp Fenchel và công thức Hopf - Lax cho
nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình
Hamilton-Jacobi trong trường hợp dữ kiện ban đầu là hàm lồi. Đây
là những kiến thức nhằm hỗ trợ cho các kết quả sẽ được trình bày
trong các chương sau.
Chương 2
Đặc trưng của phương trình đạo hàm
riêng phi tuyến cấp một
(Các kết quả trong Chương này được trích dẫn từ tài liệu [1])
2.1. Phương trình vi phân thường đặc trưng
Xét phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một:
F(X,U, DU)

= 0 trong u (2.1)
với điều kiện biên:
U

= G

trên T; r C DƯ

(2-2)
giả sử F, G

là những hàm trơn.

Để nghiên cứu bài toán (2.1), (2.2) ta dùng PHƯƠNG PHÁP ĐẶC TRƯNG

,
đây là phương pháp biến đổi phương trình đạo hàm riêng thành một hệ
phương trình vi phân thường tương ứng. Ý tưởng chủ yếu như sau.
Giả sử U thỏa mãn (2.1), (2.2) và X là điểm cố định nào đó thuộc U .

Ta sẽ tìm
một đường cong nằm trong u nối X với X

Ữ

E r. Theo (2.2) ta có
И

= G

trên Г, vì thế ta biết giá trị của И

tại điểm mút X

Ũ

của đường
cong: U(X

°) = G(X

Ữ

).

Nếu И

là hằng số dọc theo đườngcong, ta tìm được
giá trị của И

tại X .
Cách tìm phương trình vi phân thường đặc trưng
Giả sử đường cong được tham số hóa bởi hàm
2
0
x(s) = (x
1
(s),rr
2
(s), ,я
п
(з))
trong đó S

nằm trong khoảng con nào đó của M.
Giả thiết И

là C

2

- nghiệm của (2.1), ta đặt:
Để làm được điều này, trước hết ta đạo hàm (2.5) để được

P(

S

) = (

S

)

(■ = (
2
-
6
) Biểu thức này khá rườm rà vì nó có
chứa đạo hàm cấp hai của U.

Mặt khác, ta đạo hàm phương trình đạo hàm
riêng (2.1) theo XI

và nhận được
V - 9F , ^
4
dF , ^
л
dF , „
ч л
^
> , (ж, И,

DU)

U

XI X J

+ — ( X , И

, DU) U

XI

+ — (ж, И,

DU) =

о (2.7)
Pj z Xi
2
1
Ta sử dụng đồng nhất thức này để loại bỏ những đạo hàm cấp hai của U


trong (2.6). Đặt
dF
X'(S)

= (x(s),z(s),p(s)) {J

=

l, ,n) (2.8)
Giả thiết rằng đẳng thức (2.8) là đúng, thay X = x(s) vào (2.7) và từ (2.3),
(2.4) ta nhận được đồng nhất thức sau
Ẻ Q ( x ( s ) , ^ ( s ) , p ( s ) ) w ^ . ( x ( s ) ) +
(
^-(x{s),z(s),p{s))p
i
(s)+
+ |^-(x(s),2:(s)
;
p(s)) = 0.
Từ đó
Ề |^(x(s),3(s),p(s))u
XiX
.(x(s)) = -^{X{S),Z(S),P{S))P

I

(S)-
D F

(x(s),z(s),p(s)).
Thế biểu thức này và (2.8) vào (2.6) ta có
p (») = w»)>2(s),p(s))-^(x(s),z(s),p(s))p
i
(s) ( i = 1, ,n)
(2.9)
Cuối cùng, lấy đạo hàm biểu thức (2.3) ta thấy

Z

'(

S

)

= (
2
-
10
) j
=1

Ơ X
J j
=1
° P J
(ở đây ta dùng (2.5) và (2.8) để nhận được đẳng thức thứ hai). Ta viết lại các
phương trình (2.8) — (2.10) theo ký hiệu véc tơ
(a) p ( s ) =

-D
x
F(x(s),z{s),p(s)) - D
z
F(x(s), z{s), p ( s ) ) . p ( s )
\

(
b
) *(
s
) = D

P

F(X.(S), Z(S),

p(s)).p(s)
1 (
c
)
x
(
s
) = ^P^(x(s),2;(s),p(s)).
Hệ (2n+1) phương trình vi phân cấp một này gọi là CÁC PHƯƠNG TRÌNH
ĐẶC TRƯNG

của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một (2.1).
2
2
(2.11
)
Các hàm x(.) = (a;
1
^), X

2

{.

z
n
(.)); *(.); p(.) = {P

1

{.),P

2

{.), ,P

N

{.))

được gọi
là NHỮNG ĐẶC TRƯNG.

Ta còn gọi x(.) gọi là ĐẶC TRƯNG GỐC

, nó là hình
chiếu của toàn bộ đặc trưng (x(.), Z(.),

p(.)) c M
2rì+1

lên miền
u c R".
Như vậy ta đã hoàn thiện chứng minh định lý sau đây:
Định lý 2.1.1. [1] (Cấu trúc của phương trình vi phân thường đặc trưng) CHO U
€ C

2

(U

) LÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
(2.1) trong u. Giả thiết rằng x ( . )

thỏa mẫn phương trình vi
phân thường ( 2 . 1 1 ) ( c )

;



với p ( . ) = D « ( x ( . ) ) ,

z{.) =
w ( x ( . ) ) .

Khi đó p ( . )

là nghiệm của phương trình vi phân
thường ( 2 . 1 1 ) ( a )

và z(.) thỏa mãn phương trình vi phân
thường ( 2 . 1 1 ) ( ò )

với những s sao cho x ( s ) G

u.
Ta còn cần phải tìm điều kiện ban đầu tương ứng cho hệ phương trình vi phân
thường (2.11) để hệ này sẽ thực sự có ích.
Giả sử U

là một nghiệm của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một
(2.1), khi đó hệ phương trình vi phân thường đặc trưng là một hệ đóng đối với
x(.), Z{.) =

w(x(.)), và p(.) = Díi(x(.)). Bước quan trọng mang tính quyết định ở
đây là việc đặt X = DPF,

tức là đẳng thức
, do đó, như đã nói ở trên, khi đó các số hạng chứa đạo hàm cấp
hai bị loại bỏ.
2.2. Một số ví dụ
Trước khi tiếp tục xét về các phương trình đặc trưng (2.11) ta sẽ dừng lại để xét
một số trường hợp đặc biệt mà trong đó cấu trúc của các phương trình đặc trưng có
dạng đơn giản.
a. Trường hợp F

tuyến tính
2
3
(2.11

)
Xét phương trình đạo hàm riêng (2.1) tuyến tính và thuần nhất có dạng
F(x, u, Du) =

b(x)Du(x) +

c(x)u(x) = 0 ,

(xEiU). ( 2 - 1 2 )

Khi đó
F(x,

z,p) = b

(x)p +

c(x)z,
và khi đó
D

P

F =

b(x).
Trong trường hợp này phương trình (2.11 )(c) trở thành
x(s) = b(x(s)) (2-13)
là phương trình vi phân chỉ chứa hàm x(.). Hơn nữa phương trình
(2.11) (6) trở thành

z(s) = b(x(s)).p(s). (2.14)
Vì p = Du(x(.)), từ phương trình (2.12) và (2.14) ta có
Z(S) =

—c(x(s))z(s).
Đây là phương trình vi phân tuyến tính đối với Z(.),

nếu ta tìm được x(.) thông qua
việc giải (2.13). Kết hợp lại ta nhận được hệ phương trình
Ị (a) x(s) = b ( x (
S
) )
(2
1 5 )
[ (
b
) ^(
S
) =
2
4
(2.11
)
là các phương trình đặc trưng đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
(2.12). Trong trường hợp này phương trình đối với p(.) là không cần thiết.
VÍ DỤ

2.2.1. Giải bài toán sau
X\U

X2

— X

2

U

XL

= U

trong u U

=
G

trên r c DƯ
Ỏ

đây u = {X\ >

0, X

2

>

0} là góc phần tư thứ nhất; r = {XI >

0, X

2

=

0} c
dư.
Giải
Ta có
F(x,

z,p) = Xi.p
2
- x
2
.pi -

z.
Hệ phương trình vi phân đặc trưng có dạng
x(s) = D
pJ
F(x(s),z(s),p(s)) = (~x
2
,x
l
) z ( s) = D
p
F (x.
(s) , z(s ) ,p( s)). p(s ) = {-x

2
,x
l
).( p
l
,p
2
) = z
hay là
ã;
1
(s) = —x
2
(s)
x
2
(s) = x
1
(s)
, K
s
) =
z
(
s
)-
Giải hệ trên ta nhận được
X

1

(s) = ƠI. cos S

+ c
2

.

sin S X

2

(s) = ƠI. sin s — c
2

■

cos s z(s) =
C
3
. E
S
7T
ở đây X

Ữ

>

0, 0 ^ S

^ —. Ta sẽ tìm ƠI, c
2
, CS

từ điều kiện ban đầu.
Ẩ i
2
5
(2.11
)
(2.16)