Tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán 11 quảng bình từ 2003 2013

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Năm học 2001 - 2002

ĐỀ CHÍNH THỨC

Mơn: TỐN THPT CHUN
Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu I (2,5 điểm)
So sánh các số 20012002 và 20022001 .

Câu II (2,5 điểm)
x

x

Tìm nghiệm dương của phương trình: 22 + 32 = 2x + 3x+1 + x + 1.

Câu III (2,5 điểm)
Cho dãy số (uk ) với uk =

2
3
k
1
+ + + ... +
, ∀k ∈ N∗ . Tính:
2! 3! 4!
(k + 1)!

lim

n→∞

un + un + ... + un
1
2
2001

Câu IV (2,5 điểm)
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A1 B1 C1 có 9 cạnh đều bằng a. Xác định đường vng góc
chung của A1 B và B1 C. Từ đó, tính khoảng cách giữa A1 B và B1 C.

——— Hết ———

—————


1


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Năm học 2004 - 2005

ĐỀ CHÍNH THỨC

Mơn: TỐN THPT
Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu I (2,5 điểm)
Tính giá trị của: cos 50 − cos 310 − cos 410 + cos 670 + cos 770 .

Câu II (2,0 điểm)
Cho dãy số (an ) được xác định a1 = 1, an+1 =

an
2

+

1
an ,

n ≥ 1. Chứng minh biểu thức √

2
a2 −2
n

là số nguyên với mọi n > 1.

Câu III (2,5 điểm)
Cho tứ diện ABCD, đường vng góc chung của AC và BD đi qua trung điểm BD và SABD =
1
SBCD = 2 SABC . Giả sử tồn tại điểm O trong tứ diện sao cho tổng khoảng cách từ O đến B và D
bằng tổng khoảng cách từ O đến bốn mặt tứ diện. Chứng minh:
a) Đường vng góc chung của AC và BD đi qua trung điểm của AC.
b) AC vng góc với BD.

Câu IV (2,0 điểm)
Gọi r, R là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC và r1 là bán kính đường
trịn nội tiếp tam giác có các đỉnh là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng
√
minh r ≤ Rr1 .

Câu V (1,0 điểm)
Giải phương trình: x3 − 3x =

√

x + 2.

——— Hết ———

—————


1


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Năm học 2005 - 2006

ĐỀ CHÍNH THỨC

Mơn: TỐN THPT

Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu I (2,5 điểm)
Giải phương trình:

√

2006

x − 2004 +

√

2006

2005 − x = 1.

Câu II (2,5 điểm)
√
xtan2n πx + x
4
Tìm lim
.
n→+∞ tan2n πx + 1
4

Câu III (2,5 điểm)
Cho dãy số (un ) xác định như sau:

u1 = 0; u2 = 1; u3 = 3

un = 7un−1 − 11un−2 + 5un−3 ;

(n ≥ 4)

.

Tìm số hạng tổng quát un .

Câu IV (2,5 điểm)
Trong không gian cho đường thẳng d và đoạn thẳng AB khơng cùng thuộc một mặt phẳng.
Tìm điểm M trên d sao cho M A + M B có giá trị nhỏ nhất.

——— Hết ———

—————


1


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Năm học 2006 - 2007

ĐỀ CHÍNH THỨC

Mơn: TỐN THPT
Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu I (2,0 điểm)
Tính các giới hạn sau:
1 − cos 3x
a) L1 = lim
.
x→0
x2
3
x3 + 1 − x .
b) L2 = lim
x→+∞

Câu II (2,0 điểm)
Giải phương trình:

√
3

13 − x +

√
3

22 + x = 5.

Câu III (2,0 điểm)
Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó. Chứng minh
bất đẳng thức:
abc
36

p2 +
a2 + b2 + c2 ≥
35
p

Câu IV (1,5 điểm)
Cho số thực a thỏa mãn điều kiện 0 < a < 1. Ta định nghĩa dãy số (un ) như sau:
i) u1 = 0.
0
nếu [na] = [(n − 1)a
ii) un =
; n ≥ 2.
1
nếu [na] = [(n − 1)a]
(Trong đó, ký hiệu [x] là phần nguyên của số thực x, có nghĩa: [x] là số nguyên lớn nhất khơng
lớn hơn x).
u1 + u2 + ... + un
Tìm L = lim
.
n→+∞
n

Câu V (2,5 điểm)
Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh bằng a. Một góc xAy = 450 chuyển động quay quanh
đỉnh A. Tia Ax cắt cạnh BC tại M , tia Ay cắt cạnh CD tại N . Đặt BM = p, DN = q (với
0 < p < a; 0 < q < a).
a) Chứng minh a(p + q) + pq = a2 .
b) Tìm p và q để diện tích tứ giác AM CN đạt giá trị lớn nhất.

——— Hết ———

—————


1


Sở GD & ĐT Quảng Bình

KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT
NĂM HỌC: 2009 - 2010
Mơn: TỐN
Thời gian làm bài 180 phút
(Khơng kể thời gian phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC
SBD:

Câu I (2,0 điểm)

Giải phương trình:
√
2010
2 2010 (1 + x)2 − 3
1 − x2 +

Câu II (2,0 điểm)

Cho dãy số (un ),

u1 = 1
un+1 =

2010

(1 − x)2 = 0

n = 1, 2, . . . được xác định như sau:

un (un + 1)(un + 2)(un + 3) + 1 ;
n

Đặt vn =
i=1

1
ui + 2

;

n = 1, 2, . . .

n = 1, 2, . . .

Tìm lim vn .
Câu III (2,5 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a và các
điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AD, BB sao cho AM = BN = x, (0 ≤ x ≤ a).
Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của AB và C D .
a) Chứng minh rằng 4 điểm M, N, I, J đồng phẳng.
b) Tìm vị trí của M và N trên các cạnh AD và BB sao cho chu vi thiết diện

do mặt phẳng (MNIJ) cắt hình lập phương ABCD.A B C D có giá trị nhỏ
nhất.
Câu IV (2,0 điểm) Cho hàm số f (x) liên tục trên [0; 1] thỏa mãn điều kiện
f (0) = f (1). Chứng minh rằng phương trình:
f (x) = f (x +
Câu V (1,5 điểm)

Chứng minh rằng, với mọi số dương a, b, c ta có:

a3
+
a3 + (b + c)3

Ghi chú:

1
) có nghiệm x ∈ [0; 1].
2010

b3
+
b3 + (c + a)3

c3
≥ 1.
c3 + (a + b)3

+ Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu và trao đổi khi làm bài.
+ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

1


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Năm học 2010 - 2011

ĐỀ CHÍNH THỨC

Mơn: TỐN THPT
Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu I (3,0 điểm)
√
a) Giải phương trình: sin 3x + cos 3x − 2 2 cos x + π + 1 = 0.
4
1
1
2x + x+y + x−y = 16
3
b) Giải hệ phương trình:
.
1
1
2 x2 + y 2 + (x+y)2 + (x−y)2 = 100
9

Câu II (2,0 điểm)
Cho dãy số (xn ) thỏa mãn

xn+1
.
n→+∞ xn

√
x1 = 30
.
xn+1 = 30x2 + 3xn + 2011; n ∈ N∗
n

Tìm lim

Câu III (3,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD đều cạnh a có I là trọng tâm tam giác ABC, J là trọng tâm tam giác
BCD, vẽ mặt phẳng đi qua IJ cắt AB, AC, DC, DB lần lượt tại các điểm M, N, P, Q với AM =
x, AN = y (0 < x, y < a).
a) Chứng minh M N, P Q, BC đồng quy hoặc song song và M N P Q là hình thang cân.
b) Chứng minh a(x + y) = 3xy. Từ đó suy ra 4a ≤ x + y ≤ 3a .
3
2
c) Tính diện tích tứ giác M N P Q theo a và s = x + y.

Câu IV (1,0 điểm)
Cho phương trình: ax2 + (2b + c)x + 2d + e = 0 có một nghiệm khơng nhỏ hơn 4. Chứng minh
phương trình ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 có nghiệm.

Câu V (1,0 điểm)
Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
P =

2xy
2yz
3zx
5
+
+
≥
(z + x)(z + y) (x + y)(x + z) (y + z)(y + x)
3

——— Hết ———

—————


1


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Năm học 2011 - 2012

ĐỀ CHÍNH THỨC

Mơn: TỐN THPT
Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu I (3,0 điểm)
√

a) Giải phương trình: 2 2cos3 x − π − 3 cos x − sin x = 0.
4
x(x + 2)(2x + y) = 9
b) Giải hệ phương trình:
.
x2 + 4x + y = 6

Câu II (2,0 điểm)
Tính giới hạn: L = lim

x→1

2011
2012
−
.
2011
1−x
1 − x2012

Câu III (3,0 điểm)
Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = 1, mặt phẳng (P ) đi qua trọng tâm M của tứ diện,
cắt cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F (khác S).
−→ 1 1 −
−
→
→
→
1 −
1 −

a) Chứng minh rằng: SM = 4 SD SD + SE SE + SF SF .
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1
SD.SE

+

1
SE.SF

+

1
SF.SD .

Câu IV (1,0 điểm)
Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 . Chứng minh rằng:
6
1
1
1
3
+ 3
+
≥
3 (x + 2y)
+ 3z) 8y (3z + x) 27z
2

x3 (2y

Câu V (1,0 điểm)
Trong một hình vng có diện tích bằng 2, ta dựng 3 đa giác có diện tích đều bằng 1. Chứng
minh rằng trong 3 đa giác đó có ít nhất một cặp đa giác có diện tích phần chung của chúng khơng
nhỏ hơn 1 .
3
——— Hết ———

—————


1


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Năm học 2003 - 2004

ĐỀ CHÍNH THỨC

Mơn: TỐN THPT CHUN - Vịng 1
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu I (2,0 điểm)
Với giá trị nào của m thì giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = 5x − x2 + |x − m| ln ln nhỏ
hơn 7.

Câu II (2,0 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f (x) = x 2003 +

√

Câu III (2,0 điểm)
Giải phương trình: 2

1−x2
x2

−2

1−2x
x2

=

1 1
− .
2 x

Câu IV (2,0 điểm)
sin πx2003
.
x→1
πx2004

Tính giới hạn: L = lim

Câu V (2,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 3 thì logn−1 n > logn (n + 1).

——— Hết ———

—————


1

2005 − x2 .


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Năm học 2003 - 2004

ĐỀ CHÍNH THỨC

Mơn: TỐN THPT CHUN - Vịng 2
Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu I (2,0 điểm)
Tìm tất cả các cặp số thực (x; y) thỏa mãn hệ thức:
cos4 x + sin4 x +

1
sin y
1
+

4 =8+ 2
4x
cos
sin x

Câu II (2,5 điểm)
Giải phương trình: 2x3 − x2 +

√
3

2x3 − 3x + 1 = 3x + 1 +

√
3

x2 + 2.

Câu III (2,5 điểm)
Cho dãy số (un ) xác định như sau:

√
u1 = 2
√
. Tìm lim un ?
n→+∞
un = 2 + un−1 , n ≥ 2

Câu IV (3,0 điểm)
Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz vng góc với nhau từng đôi một. M là một điểm cố

định ở trong miền khơng gian giới hạn bởi góc tam diện Oxyz, điểm M không trùng với điểm O.
Một mặt phẳng (P ) chuyển động luôn luôn đi qua M và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C. Xác
định vị trí các điểm A, B, C sao cho tổng các độ dài OA + OB + OC có giá trị nhỏ nhất.

——— Hết ———

—————


1


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Năm học 2003 - 2004

ĐỀ CHÍNH THỨC

Mơn: TỐN THPT - Vịng 1
Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu I (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Chứng minh rằng: tan2 A + tan2 B + tan2 C ≥ 9.

Câu II (2,0 điểm)
Với giá trị nào của m thì giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = 4x − x2 + |x − m| luôn luôn nhỏ
hơn 5?

Câu III (2,0 điểm)

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương (x; y) của phương trình: 2(x + y) + xy = x2 + y 2 .

Câu IV (2,0 điểm)
Cho dãy số (un ) thỏa mãn các điều kiện

0 < un < 1
un+1 (1 − un ) >

1
4

. Tìm lim un ?
n→+∞

Câu V (2,0 điểm)
Khơng sử dụng bảng số và máy tính, chứng minh rằng: 4 sin2 630 +

——— Hết ———

—————


1

15 − cos 890
< 8.
4 sin2 630


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Năm học 2003 - 2004

ĐỀ CHÍNH THỨC

Mơn: TỐN THPT - Vịng 2
Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu I (2,5 điểm)
Giải phương trình: sin 2x +

1 − sin2 2x = 2.

Câu II (2,5 điểm)
cos π cos x
2
.
x→0 sin (tan x)

Tính giới hạn: L = lim

Câu III (2,0 điểm)
Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn điều kiện f (0) = f (1). Chứng minh rằng
1
phương trình f (x) = f x + 2004 ln ln có nghiệm trên đoạn [0; 1].

Câu IV (3,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với AC và chân đường vng góc hạ từ A đến mặt phẳng
(BCD) là trực tâm của tam giác BCD. Chứng minh rằng:

(BC + CD + DB)2 ≤ 6 AB 2 + AD2 + AC 2

——— Hết ———

—————


1


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Năm học 2002 - 2003

ĐỀ CHÍNH THỨC

Mơn: TỐN THPT CHUN
Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu I (3,0 điểm)
Giải các phương trình sau:
a) 2x−1 = log2 (2x).
2
b) 4log(10x) − 6log x = 2.3log(100x ) .

Câu II (2,0 điểm)
Cho dãy số (un ) xác định như sau:
u0 = 1
2

1
uk = uk−1 + 2 u2 ; k = 1, 2, ..., n; n ∈ N∗
k−1
Tìm L = lim un .
x→∞

Câu III (2,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
f (x, y) = x2 − 2xy + 6y 2 − 12x + 2y + 45; x, y ∈ R

Câu IV (3,0 điểm)
√ Cho lăng trụ đứng OAB.O1 A1 B1 có đáy là tam giác vng cân tại O, OA = OB = a, AA1 =
a 2. Gọi M là trung điểm của OA.
a) Xác định thiết diện giữa lăng trụ và mặt phẳng (P ) đi qua M , vng góc với A1 B.
b) Tính diện tích thiết diện vừa tìm được theo a.

——— Hết ———

—————


1


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Năm học 2007 - 2008

ĐỀ CHÍNH THỨC

Mơn: TỐN THPT CHUN
Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu I (2,0 điểm)
) Giải phương trình: sin 2x sin 4x + 2 3 sin x − 4sin3 x + 1 = 0.

Câu II (2,0 điểm)
Tìm tất cả các tam giác ABC sao cho biểu thức P = sin A sin B
2
2

2008

sin C đạt giá trị lớn nhất.
2

Câu III (2,0 điểm)
Cho 10 tấm thẻ được đánh số theo thứ tự 1,2,3,. . . ,10 (mỗi thẻ đánh một số ). Có bao nhiêu
cách chọn ra một số các tấm thẻ (ít nhất là một) sao cho tất cả các số viết trên những tấm thẻ
này đều lớn hơn hoặc bằng số tấm thẻ được chọn ?

Câu IV (2,0 điểm)
Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức:

u1 = 2008
.
un+1 = u2 − 4013un + 20072 ; n ≥ 1
n

a) Chứng minh un ≥ n + 2007, ∀n ∈ N∗ .
b) Dãy số (un ) được xác định như sau:
xn =

1
1
1
+
+ ... +
, ∀n ∈ N∗
u1 − 2006 u2 − 2006
un − 2006

Tìm lim xn .
n→+∞

Câu V (2,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB, CD lớn hơn 1 và độ dài các cạnh còn lại nhỏ hơn
hoặc bằng 1. Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD); F, K lần lượt là hình chiếu của
A, B trên đường thẳng CD.
a) Chứng minh AF ≤

1−

CD2
4 .

b) Tính độ dài các cạnh của tứ diện ABCD khi tích P = AH.BK.CD đạt giá trị lớn nhất.

——— Hết ———

—————


1


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Năm học 2007 - 2008

ĐỀ CHÍNH THỨC

Mơn: TỐN THPT
Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu I (2,0 điểm)
) Giải phương trình: 3 cos x − sin 2x =

√

3 cos 2x +

√

3 sin x.

Câu II (2,0 điểm)
Tìm tất cả các tam giác ABC sao cho biểu thức P = cos A cos B

√

2008

cos C đạt giá trị lớn nhất.

Câu III (2,0 điểm)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta thiết lập các số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau rồi viết
mỗi số vào những phiếu giống nhau (mỗi phiếu chỉ ghi một số ), bỏ tất cả các phiếu vào trong một
hộp. Lấy ngẫu nhiên hai phiếu từ hộp đó. Tính xác suất để trong hai phiếu lấy ra có ít nhất một
phiếu mà số ghi trên phiếu đó chia hết cho 4.

Câu IV (2,0 điểm)
Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức:
u1 = 2008
un+1 =

1
2008

2007un +

2008
u2007
n

; n≥1

Tìm lim un .

n→+∞

Câu V (2,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P ) cắt các cạnh
bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại 4 điểm phân biệt K, L, M, N .
SC
SD
SA
a) Chứng minh SK + SM = SB + SN .
SL
b) Chứng minh tứ giác KLM N là hình bình hành khi và chỉ khi mặt phẳng (P ) song song hoặc
trùng với mặt phẳng (ABCD).

——— Hết ———

—————


1


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Năm học 2002 - 2003

ĐỀ CHÍNH THỨC

Mơn: TỐN THPT
Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu I (2,5 điểm)
n

Tính tổng: S =
k=1

k
.
2k

Câu II (2,0 điểm)
Tính giới hạn: L = lim
π
x→ 3

sin 3x
.
1 − 2 cos x

Câu III (2,0 điểm)
Chứng minh rằng, nếu các góc A, B, C của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: cos 2A+cos 2B +
√
cos 2C ≥ −1 thì sin A + sin B + sin C ≤ 1 + 2.

Câu IV (3,5 điểm)
Cho tam giác AN C đều cạnh a. Qua A kẻ đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC). M
là một điểm di động trên d và H lag trực tâm của tam giác M BC.
a) Chứng minh đường thẳng Hy vng gióc với mặt phẳng (M BC) luôn luôn đi qua một điểm
cố định khi M chạy trên d.

b) Gọi giao điểm của Hy và d là N . Chứng minh rằng tích AM.AN là một đại lượng không
đổi (khi M di chuyển trên d nhưng khơng trùng với A).
c) Với vị trí nào của M trên d thì mặt cầu ngoại tiếp tứ diện M N BC có bán kính nhỏ nhất ?

——— Hết ———

—————


1