Đề và đáp án thi thử vào THPT môn toán năm học (2011 2012)

Đề và đáp án thi thử trường THCS Nghĩa Lâm (Năm học 2011 - 2012)
Thời gian: 120 phút
Câu 1. (3.0 điểm)
Cho biểu thức:
2 3 2
:
1 2 2 2
x x x x x
P
x x x x x x
   
+ − − −
= − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ − − − − −
   
a) Rút gọn P
b) CM:
1
<
P
.
c) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Câu 2. (1.0 điểm) Tìm các số x,y thõa mãn:
2 2
( 1) 2 2 2 3 3 0x xy y y x y
+ + + + + − − =
Câu 3. (2.0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Hai tổ cùng làm một công việc trong 15 giờ thì xong. Nếu tổ 1 làm trong 3 giờ
và tổ 2 làm trong 5 giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi tổ làm riêng việc đó thì trong

bao lâu thì xong?
Câu 4. (4.0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và dây cố định AB < 2R. Gọi K là điểm chính giữa của
cung nhỏ AB; N là điểm tùy ý trên đoạn thẳng AB ( N khác A,B). Nối KN và kéo dài cắt (O) tại
điểm thứ 2 là M.
a) CM: 2 tam giác AKN và MKA đồng dạng.
b) CM: AK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANM.
c) CM: Tổng bán kính 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác ANM và BNM không phụ thuộc
vào vị trí điểm N.
d) Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng nối tâm của 2 đường tròn ngoại tiếp tam
giác ANM và BNM, khi N di chuyển trên đoạn AB.
………………….Hết………………



Câu 1.
/ 2 ( 1)( 2).
− − = + −
a x x x x
Điều kiện:
0
4
≥


≠

x
x
2 3 2

:
1 ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2
4 3 2 2 1
:
( 1)( 2) ( 1)( 2) 2
   
+ − − −
⇒ = − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ + − + − −
   
− − + + − + + −
= =
+ − + − + +
x x x x x
P
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
b/ Với
0
4
≥


≠

x
x

ta xét
1 3
P-1= 1
2 2
− − −
− =
+ + + +
x x
x x x x
Do
0 3 0
≥ ⇒ − − <
x x
mà
3
2 0 0
2
− −
+ + > ⇒ <
+ +
x
x x
x x

1 0 1
⇒ − < ⇒ <
P P

c/ Với
0

1 2 1 1 4 4
1 1
4
1 1 1
≥

+ + − + − +
⇒ = = = + + +

≠
− − −

x
x x x x
x
x
P
x x x
4
1 3
1
*) 1: 0 1 0 1 1 1 0 à x+ 2 0 0(1)
*) 2 : 1 à 4
= − + +
−
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ − ≤ + > ⇒ ≤
> ≠
x
x
TH x x x m x P

TH x v x
Do
1>x
nên
1 0
− >
x
và
4
0
1
>
−
x
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương ta có:
4 1 1
1 3 2 4 7 (2)
7
1
− + + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤
−
x P
P
x
Dấu “=” xảy ra
4
1 1 2 9
1
⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
−

x x x
x
1
: 9
ax
7
= ⇔ =
KL P x
M
Câu 2:
2 2
( 1) 2 2 2 3 3 0+ + + + + − − =x xy y y x y
Điều kiện:
2 3 3 0(*)
− − ≥
x y
PT
2 2
2 1 2 2 2 3 3 0
⇔ + + + + + + − − =
x x xy y y x y
2
2
2
( ) 2( ).1 1 2 3 3 0
( 1) 0
( 1) 2 3 3 0. :
2 3 3 0
⇔ + + + + + − − =


+ + ≥

⇔ + + + − − =

− − ≥


x y x y x y
x y
x y x y Do
x y
1 0 0
2 3 3 0 1
+ + = =
 
⇒ ⇒ ⇒
 
− − = = −
 
x y x
x y y
PT có nghiệm
(0; 1)
−
Câu 3.
• Gọi thời gian tổ I làm một mình xong công việc là: x (giờ, x>15)
• Gọi thời gian tổ II làm một mình xong công việc là:y (giờ, y>15)
Năng suất của tổ I là: 1/x (công việc)
Năng suất của tổ II là: 1/y (công việc)
Năng suất của cả 2 tổ là: 1/15 (công việc)

Ta có phương trình:
1 1 1
15x y
+ =
(1)
Trong 3 giờ tổ I làm được: 3/x (công việc)
Trong 5 giờ tổ II làm được: 5/x (công việc)
Theo đầu bài tổ I làm trong 3 giờ, tổ II làm trong 5 giờ được 25% công việc = 1/4
( công việc) ta có hệ phương trình:
1 1 1
1
1 1
24
15
15 24
. :
1
1
3 5 1 40
1
3 5
40
4
4


 
+ =
=
+ = =



 
=

   
⇒ ⇒ ⇒
    
=

   
=
=
+ =
+ =
 
 
 


u
u v u
x
x y
x
Coi
y
v
v
u v

y
x y
Vậy tổ I làm một mình trong 24 giờ và tổ II làm trong 40 giờ thì xong công việc.
Câu 4:
a) Vì K là điểm chính giữa cung AB nên: Cung AK= cung KB
Kẽ
IF
1
IF .
2
⊥

⇒ =

⊥

AB
CE
CE AB
Xét
VCNE
có:
IF 1 1
IF ( )
2 2
⊥ ⇒ = = ⇒ =
P
IN
CE AB IN CN
CE CN

b) Trên nửa mặt phẳng bờ AN có chứa tia AK kẻ tia Ax là tiếp tuyến của đường tròn
ngoại tiếp tam giác AMN. Ta có:

xAN AMN
xAN AMN
KAN AMN
∠ = ∠

⇒ ∠ = ∠

∠ = ∠

Ta có tia Ax và tia AK cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AN nên Ax trùng
với AK. Mà tia Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN nên
tia AK cũng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
c) Gọi O
1
;O
2
lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và BMN.
Kẻ đường kính KC của (O) ta có:
0
90CAK CA AK
∠ = ⇒ ⊥
Vì AK là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O
1
) nên:
1 1 1
; ;
⊥ ⇒ ≡

O A AK O A CA hay C A O
thẳng hàng
Tương tự chứng minh như câu b ta có BK là tiếp tuyến của đường tròn
ngoại tiếp tam giác BMN. Và chứng minh tương tự ta cũng có C;O
2
;B thẳng
hàng. Xét tam giác O
1
AN có:
1 1 1 1 1
âO A O N R O AN c n O AN O NA
= = ⇒ ∆ ⇒ ∠ =
Vì KC là đường kính, K là điểm chính giữa của cung AB nên C là điểm chính
giữa của cung lớn AB => Cung CA= cung CB
=> CA=CB => Tam giác CAB cân tại C.
1 1
à
⇒ ∠ = ∠ ∠ = ∠ ⇒ ∠ = ∠
CAB CBA m CAN O NA CBA O NA
Mà
∠CBA
và
1
∠
O NA
đồng vị nên
1
⇒
PO N CB
Chứng minh tương tự ta cũng có:

1 2
PO C O N
Xét
1
1 2 1 2
1 2
ó :

⇒


P
W W
P
O N CB
O NO C c O NO C
O C O N
1 2 1 2
⇒ = =
O C O N hay O C O B
Do A và B cố định nên K cố định. Và K, O cố định nên C cố định. C và A cố
định nên CA không đổi.
Vậy O
1
A+O
2
B=AC ( không đổi)
d) Phần thuận:
Vì tứ giác O
1

NO
2
C là hình bình hành nên 2 đường chéo O
1
O
2
và CN cắt nhau
tại trung điểm I của mỗi đường. Từ I kẽ Ì vuông góc với AB tại F. Gọi giao
điểm của CK và AB là E. Vì CK là đường kính và K là điểm chính giữa của
cung AB nên CK vuông góc với AB tại E.
Xét
IF 1 1
ó : IF ( ) IF
2 2
⊥ ⇒ = = ⇒ =
V P
NI
AEF c CE AB CE
CE C N
C, K cố định và AB không đổi nên E cố định nên CE không đổi.
I thuộc đường trung bình PQ của tam giác CAB.
Giới hạn: - Nếu N trùng B thì I trùng Q
- Nếu N trùng A thì I trùng P
Vậy I thuộc đường trung bình PQ
*) Phần đảo:
Lấy I thuộc PQ. Nối CI kéo dài cắt AB tại N. KN cắt (O) tại M. Gọi O
1
;O
2
là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và BMN ta cần chứng minh I là trung
điểm của O
1
O
2
.
Tương tự chứng minh ở câu c ta chứng minh được tứ giác O
1
NO
2
C là hình
bình hành. Vì N thuộc PQ ( c/m phần thuận)
Kẽ
IF
1
IF .
2
⊥

⇒ =

⊥

AB
CE
CE AB
Xét
VCNE
có :
IF 1 1

IF ( )
2 2
⊥ ⇒ = = ⇒ =
P
IN
CE AB IN CN
CE CN
 I là trung điểm của CN mà tứ giác O
1
NO
2
C là hình bình hành nên I cũng là trung điểm
của O
1
O
2.
Kết luận: Vậy khi N di động trên AB thì trung điểm I của đoạn nối tâm
O
1
,O
2
của 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và BMN chuyển động trên
đoạn PQ là đoạn trung bình của của tam giác ABC.
……………… Hết………………