Luận văn thạc sĩ toán phép biến đổi hilbert và áp dụng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
• • • •
NGUYỄN HOÀNG LAN ANH
PHÉP BIÉN ĐỎI HILBERT VÀ ÁP DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUÂN VĂN THAC Sĩ TOÁN HOC
• • •
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÀO
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã định hướng chọn đề
tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau đại học, cùng các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động
viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận
văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 20lị Tác giả
Nguyễn Hoàng Lan Anh
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn Thạc sĩ chuyên
ngành Toán giải tích với đề tài “Phép biến đổi Hilbert và áp dụng” được hoàn thành bởi
nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội , tháng 6 năm 20lị Tác giả
Nguyễn Hoàng Lan Anh
Mục lục
Mở đầu
Một số kiến thức

chuẩn bị
Tích phân suy rộng
Fourier
Tích chập và biến đổi
Fourier
Chương 1.
1.
Tích phân suy rộng loại 1 (Tích phân trên khoảng vô hạn)
1.1.1
.
1.1.2
.
1.1.3
Tích phân suy rộng loại 1 của hàm số không âm
5
5
6
Định lý Dirichlet và định lý Abel
Tích phân hội tụ tuyệt đối
Tích phân suy rộng loại 2 (Tích phân của hàm không bị
chặn
Tích phân phụ thuộc tham số của các hàm không bị chặn
Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi
Tích phân phụ thuộc tham số trên một đoạn
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
Các tính chất của biến đổi Fourier
Tích phân phụ thuộc tham số
Biến đổi Fourier
Định nghĩa
1.2

1
0
1
0
1
2
1
1.2.1
.
1.2.2
1.
1.3.1
.
1.3.2
1
8
1.3.
Chương 2

.
Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa
Một số ví dụ
Biến đổi Hilbert ngược
Một số tính chất cơ bản
Định lý 2.1
Định lý 2.2
Định lý 2.3
Định lý 2.4. (Công thức Parseval)
Tích chập của phép biến đổi Hilbert

ứng dụng của biến đổi Hilbert
Bài toán biên đối với phương trình Laplace
Bài toán về phương trình sóng nội tại phi tuyến
Trường hợp 1 (Lý thuyến Nước Sâu [!2Ị|, |2j)
Trường hợp 2 (Lý thuyết Nước Nông |ỊT])
Trường hợp 3 (Lý thuyết sóng nước sâu hữu hạn [5
Kết luận
Phụ lục
Tài liệu tham khảo
Phép biến đổi Hilbert
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5
25
2
6
2
9
3
0
29
3
1

3
2.
2.1.
1.
2.
2.
2.3.1
.
2.3.2
.
2.3.3
Chương 3.
3.1
3.
3.2.
1.
3.2.
4
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài. Biến đổi tích phân là một phép tính toán tử, được hình
thành từ những năm cuối thế kỷ XIX. về mặt lịch sử, khái niệm biến đổi tích phân
được bắt nguồn từ những nghiên cứu rất nổi tiếng về lý thuyết khai triển một hàm
số thành chuỗi hàm lượng giác của Fourier và sau đó được phát triển tới tích phân
Fourier hay biến đổi Fourier. Ý nghĩa quan trọng của phép biến đổi tích phân là
cung cấp những phương pháp toán tử hiệu lực để giải quyết những bài toán về
phương trình vi phân, phương trình sai phân và phương trình tích phân. Về lĩnh
vực này phải kể đến hai phép biến đổi tích phân được đánh giá rất quan trọng
không chỉ trong Toán học mà còn nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác, đặc biệt là
trong lĩnh vực Vật lý học, đó là biến đổi Fourier và biến đổi Laplace.

Năm 1912, nhà Toán học David Hilbert (1862 - 1943) đã đăng bài báo rất nổi
tiếng về Toán học trong việc giải quyết một lĩnh vực thuộc phương trình tích
phân. Trong bài báo này, ông đã giới thiệu một phép biến đổi tích phân, như ngày
nay được gọi là phép biến đổi Hilbert. Tuy nhiên, phép biến đổi này cùng các tính
chất cơ bản của nó được hoàn thiện một cách chi tiết bởi hai nhà Toán học G. H.
Hardy (năm 1924) và E. c. Titchmarsh trong suốt những năm 1925 - 1930.
Phép biến đổi Hilbert được xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của Toán học ứng
dụng, các bài toán thuộc lĩnh vực Vật lý - Toán và nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực
khoa học kỹ thuật khác. Trong thời điểm đương thời xuất hiện phép biến đổi này,
người ta chỉ biết đến vai trò của nó trong một số lĩnh vực về cơ học chất lỏng, khí
động học, xử lý tín hiệu và điện tử học mà chưa thấy được đầy đủ những ứng
dụng như ngày nay.
5
Được sự định hướng của người hướng dẫn, cùng với mong muốn thêm nữa về
việc tìm hiểu tính hiệu lực của phép biến đổi trong một số lĩnh vực khác, tôi chọn
đề tài ’’Phép biến đổi Hilbert và áp dụng" để hoàn thành luận văn tốt nghiệp khóa
đào tạo Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích.
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu. Nghiên cứu về phép biến đổi
Hilbert và một số áp dụng của nó.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Nghiên cứu về khái niệm và một số tính
chất cơ bản của phép biến đổi Hilbert, phép biến đổi Hilbert ngược, mối quan hệ
giữa phép biến đổi Hilbert và một số phép biến đổi tích phân khác.
Nghiên cứu ứng dụng của phép biến đổi Hilbert trong việc giải Bài toán biên đối
với phương trình Laplace; Bài toán về phương trình sóng nội tại phi tuyến.
4. Phương pháp nghiên cứu. Tra mạng tìm tài liệu, phân tích và tổng hợp kiến
thức, xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn.
5. Dự kiến đóng góp của đề tài. Trình bày một cách có hệ thống về khái niệm
cùng các tính chất cơ bản của phép biến đổi Hilbert.
Trình bày một số ứng dụng của phép biến đổi Hilbert.
6

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Tích phân suy rộng
1.1.1. Tích phân suy rộng loại 1 (Tích phân trên khoảng vô hạn)
Định nghĩa 1.1. Cho hàm f(x

) xác định trên [a,

+oo). Giả sử rằng
f(x

) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [ a, b

] với b > a.

Nếu tồn tại
6
lim / f(x)d x

(*) thì giới hạn đó gọi là tích phân suy rộng loại 1
6->+00 J
a
+ 00
của hàm f(x

) trên đoạn [a, +oo) và ký hiệu là J f(x)dx.

Như vậy
a
+ 00 B
Trong định nghĩa cuối cùng , nếu tích phân tồn tại thì không phụ thuộc vào việc

chọn số a.
dx
Ví du 1.1. Tính tích phân suy rông / —
X
2
. dx

1

Bởi vì I ^=~z
X X
1
1

— — nên tích phân hôi tu và ta có b
A - Ậ ) = 1.
J X
2
bToc \ b)
1
Định lý 1.1. (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ). Giả sử f(x

) lầ hằm số
xác định trên [a, +oo). Giả sử rằng f(x) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn
+ 00
[a,
6
] với b > a. Khi đó, tích phần J f(x) d x hội t ụ khi vầ chỉ khi: với
a
mọi £ >

0
tồn tại b
0
> a sao cho với mọi b ,b > b
0
ta có
b"
Định lý 1.2. Giả sử f(x) lầ hầm số xắc định trên [a, +
00
). Giả sử rằng f (x)
khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a,
6
] với b > a. Khi đó, tích phẵn
+ 00 +00
Định lý 1.3. Giả sử cấc tích phân J f(x) dx vầ Ị g (x)dx hộ i tụ. K h i
a a
+
0
0
»vì/
I
<
X
f(x)d
+ oo
J f(
x
)
d
'

a
X hội tụ khi và chỉ khi tích phân
X vói Oa cũng hội
tụ


+ oo
Ị f(x )d,
c
+ 00 c +00
/ ĩ(x)dx = Ị ỉ(x) dx + I f( x)dx.
a a c
+ 00
đó, tích phẫn J (a . f ( x ) ± ß . g ( x ) ) d x ; với a và ß là cấc hằng số thực,
а
cũng hội tụ và tã có
Định lý 1.5. Cho f(x) vầ g(x) lầ cấc hầ m không âm trên [a, +
00
) vầ có
lim = к

e

(0

, +00

).
x^+oo g[x)
+00 +00

Khi đó cấc tích phẫn Ị f(x )dx vầ Ị g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng
а а
phẫn kỳ.
1.1.2. Định lý Dirichlet và định lý Abel
Định lý 1.6. (Dấu hiệu Dirichlet). Cho f(x) và g(x) lầ cấc hầm xắc định và
liên tục trên [a, +
00
). Giả sử rằng
Hầm số f(x) có nguyên hầm F(x) bị chặn trên [a, +
00
), tức ỉằ
tồn tại số M > 0 sao cho
|f(<OI =
(i) Hàm số g(x) có đạo hằm
liên tục trên [a, +
00
) và
đơn điệu về
1
khi X —> +
00
.
+00
Khi đó, tích phẵn Ị
f(x). g( x)dx hộ i tụ.
а
Định lý 1.7. (Abel). Cho f(x )
và g (x ) lầ cắc hàm xắc định
và liên tục trên [a, +
00

). Giả
sử rằng
+00
(i) Tích phẳn J f (x)dx hội
tụ;
а
ì TTV______ X _/_\ ' V
__________ 1.*
(ỉỉ) Ham số g( x) có
đạo hầm liên tục trên [a, +
00
)
vầ đơn điệu bị chặn trong
khoảng đó, tức lầ tồn tại số M
> 0 sao cho
\д(х)I <
M với
mọi X G
(a, +
00
].
b
Ị f(x)d x
а
< M, v ới mọi а < b <
+00
Ị ỉ{x).g{x)di
а
Khi đó, tích phân I
f(x). g( x)dx hộ i tụ.

1.1.3. Tích phân hội tụ tuyệt
đối
+0
0
Định nghĩa 1.2. Tích phân J
f(x)d x

được gọi là hội tụ tuyệt
đối nếu
а
+ 00
tích phân J \ f(x)\dx

hội tụ.
Nếu một tích phân hội tụ
nhưng không
а
hội tụ tuyệt đối thì ta nói tích
phân đó bán hội tụ.
+
0
C
+
o
o
Định lý 1.8. Nếu tích phẫn J
\f(x) \ dx hội tụ thì tích phẫn I
f(x)d x
a
a

hội tụ .
1.1.4. Tích phân suy rộng
loại 2 (Tích phân của
hàm không bị chặn)
Định nghĩa 1.3. Cho hàm y

=
f(x

) xác định trên đoạn (a, 6

],
không
bị chặn trên trong lân cận của
điểm a,

nhưng khả tích trên
mọi đoạn
b
[c, b],c> a.

Khi đó, nếu tồn
tại lim / f(x)d x

(**) thì giới
hạn đó gọi
e->0 J
a + e
là tích phân suy rộng loại 2

của
hàm f(x

) trên đoạn [a, 6

] và ký
hiệu là
b
j f(x) dx. Như vậy
a
Nếu giới hạn (**) bằng ±oo
hoặc không tồn tại thì ta nói
tích phân phân kỳ.
Tương tự, nếu f(x

) không bị
chặn tại a

thì ta định nghĩa
6
b — e
J
f(x)d
x =
lim J
f(x)d
x.
Định lý 1.9. (Tiêu chuẩn Cauchy). Giả sử f(x

) xấc

định trên

(a,tí \,
không bị chặn trên trong lẫn cận của điểm a, nhưng khả tích trên mọi
b
đoạn [c,tí\ ,а < с < b. Khi đó, tích phân J g(x)dx h ội tụ k h i và chỉ
а
khi vớ i mọi số £ >
0
tồn tạ i ỏ >
0
sao cho với mọi с ,c G M m ầ
c"
а < c' < c" < c" + ỏ < b thì ta có J f( x)dx
d
Định lý 1.10. Cho cấc h ầm số f (x ) và g(x) xấc định trên (a, b], không
b
bị chặn tại a, nếu 0 < f ( x ) < g ( x ) v ớ i m ọ i X G (a, b ] t h ì j g { x ) d x h ộ i t ụ ,
а
b b b kéo theo J f(x)dx hộ i tụ; J f(x)dx phẳn kỳ, kéo theo Ị g(x )dx phẳn
а а а
kỳ.
Định lý 1.11. Cho f(x) và g (x) xắc định trên (а, b], không bị chặn tại а vầ có
lim = к

e

(0

, +oo). ж->о+ д{х)
b b Khi đó, tích phần J f(x)dx và tích phan J g(x)dx
cùng hội tụ hoặc
а а
phân kỳ.
Định nghĩa 1.4. Cho f(x

) xác định trên (a, b],

không bị chặn tại a. b b
Tích phân J f ( x ) d x gọi là hội tụ tuyệt đối nếu J \ f ( x ) \ d x hội tụ.
а а
Định lý 1.12. Cho f(x) xấc định trên (а,Ь], không bị chặn tại a. Nếu
b
dx hội tụ thì tích phẫn J f(x)dx hội tụ.
а
b
J
1/0*01
1
f dx
Ví dụ 1.2. Xét sự hội tụ của tích phân / —, với a

là số thực cho trước.
0
Trường hợp 1: a

= 1, ta có
[ — = lim / ^ = lim(-lne) = +00.
J X e-^0 J X e->0

0

+e
Như vậy, nếu a >

1 thì tích phân phân kỳ và nếu a <

1 thì tích phân hội tụ.
Liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng. Xét tích phân suy rộng
6 6
J f(x )dx = lim J f(x)d x
a a + e
Thực hiện phép đổi biến số X = a

+ ta được
y
1 1
b £ £
Ị f{x)dx = Ị f [ a+^ )Ệ
=
J v(yì
d
y
a+e 1 1
b — a b — a
1
1 e
1
-“
ị d x X

1
J x
a
1 —
£
1
f dx 1
Nếu a < 1 thì lim / — =

1
Nếu a >

1 thì lim — =

+00.
Trường hợp 2: a Ỷ-

lj thì / —
.

Do
1 — a

1 — a
a
ì lim Ị — =
e->0 J X
£
trong đó ip(y

) = -T-/ Ị a + — ). Cho £

—> 0 ta đươc
r V yj
+ 00
1
b — a
Vậy bằng những phép biến đổi đơn giản ta luôn đưa được
một tích phân loại này thành loại kia.
1.2. Tích phân phụ thuộc tham số
1.2.1. Tích phân phụ thuộc tham số trên một đoạn
Định nghĩa 1.5. Cho hàm số hai biến số f ( x , t

) xác định
trên hình chữ n h ậ t i ? = { ( x , í ) ẽ l
2
: a < X < 6 , c < t
< d } s a o c h o v ớ i m ỗ i t € [ c , d ] cố định hàm X I—
^ f{x,t

) khả tích trên đoạn [ a , b].

Khi đó, tích phân
(1.3)
là một hàm số xác định trên [c, d ]

và được gọi là tích
phân phụ thuộc tham số của hàm f ( x , t ) trên đoạn [ a , b ] .
Định lý 1.13. (Tính liên tục). N ếu hàm f( x, t ) liên tục
trên hình chữ nhật R = [ a, 6] X [c, đị, thì tích phẳn phụ

thuộc tham số
6
I
(
t
)= / f {x,t)dx
a
6
1
1
a
b
iầ hầm liên tục trên đoạn [c, d].
1
1
Định lý 1.14. (Tính khả vi). Giả sử hầm f(x, t ) liên tục
trên hình chữ nhật R = [a , b] X [c,d]. Nếu với mỗi t
€ [c,d] cố định hầm X I-» f(x, t) ỉiên tục trên [a, tíị vầ
đạo hầm riêng (ж, t) liên tục trong hình chữ
С/ b
nhật R, thì tích phẫn phụ thuộc tham số
ỉầ hầm khả vi trên đoạn [c, d] vầ
b
I ' { t ) = J ^ ( x , t ) d x .
а
Định lý 1.15. (Tính khả tích). Nếu ham f(x,t) liên tục
trên hình chữ
b
nhật D = [a,
0

] X [c, d], thì hầm I(t) = J f(x, t)dx khả
tích trên [c, d] vầ
а
ta có cồng thức
d d / b \ d b J I ( t ) d t = J Ỉ J
f ( x , t ) d x \ d t = Ị d t /
f ( x , t ) d x .
С С \а / с а
Ví dụ 1.3. Cho hàm
f(x, t

) = e

x t



; X

G [a, b],

t

G (—00

, oo).
Với t =

0, thì fix

, 0) = 1 nên
b b 1(0) = J f(x, 0)dx = Ị dx = b — а.
а а
Với t

ф

0 thì
b b
1
1
1
*-Ь
e
b t _
e
a t
t
x = a
1
1
I(t)= Ị
J a
là một hàm xác định trên (—00

,00

).
1.2.2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
Định nghĩa 1.6. Cho hàm f(x,t

) xác định trên tập hợp
R = { (x, t) : a < X < +
00
, c < t < d} .
Giả sử, với mỗi t

G [c, đị

hàm X

—>• f(x,t

) khả tích suy rộng trong khoảng [a,
+00

). Khi đó, tích phân
+ OC
I(t)= J f(x,t) dt
a
là một hàm xác định trên [c, d]

và được gọi là tích phân suy rộng phụ thuộc
tham số của hàm
Tích phân trên hội tụ theo nghĩa: với mọi £ >

0 tồn tại &0


=

b o(e, t ) > a

sao
cho với mọi b > b

0

ta có
b
Ị f(x ,t)dx - I {t)
a
Tích phân (1.4) được gọi là hội tụ đều nếu với mọi £ >

0 tồn tại 60
60

(e) > a

sao cho với mọi b > b

0

ta có
< £,

với mọi t

€ [c, d]
6
I b

— a

khi t —

0
e
x t
dx = ị ị
-(
e
bt _
e
«i)
khi
ị ^ 0
(1.4
<
b
Ị f(x , t)dx - I (t)
a
+00
Tích phẫn I(t) = J f(x,t)d t hội tụ đều trên [с, d] nế
a
+ 00
J /(M) d.
b
0
e~
t x

dx = lim [ e~
t x
dx = b—>oo J t
0
Định lý 1.16.
và chỉ nếu lim sup
6->+ 00
íe
[
c
^
d
Ị
Định lý 1.17. (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của tích phân). Cho hầm f (x, t )
xấc định trên tập hợp R = {(ж, t) : а < X < +
00
, с < t < d}. Giả sử, với mỗi t G
[с, d] hầm f(x,t) khả tích trên mọi đoạn [a,b] với b > a. Khi đó, tích phẫn
+00
I(t) = Ị fi
x
i t)dt ,
a
hội tụ đều trên [c, d] nếu và chỉ nếu với mọi £ >
0
tồn tại b
0
> а
sao cho với mọi
ì) > b > b

0
ta có
< £, v ới mọi t G [с,
Ví dụ 1.4. Cho hàm số f{x,t)

= e~

t x



.

Giả sử t >

0 cố định, hàm số X I-» e~
t x
liên tục trên [0, +00) nên khả tích trên mọi đoạn [0, 6] với b >

0. Ta có
b
(1 - e-)
x=b
t
x=
Do
b'
Ị
f(x,t )dx
b

I
e~
t x
d
—
+00
m = /
0
Định nghĩa 1.7. Giả sử hàm f(x

, t)

xác định trên tập hợp R

= (a, 0] X [с, d\

và
hàm X I—^ f{x,t

) không bị chặn tại a.

Nếu tồn tại giới hạn
b
I(t) = lim / f(x, t) dx,
a+õ
thì giới hạn đó là một hàm số theo biến t £

[c, đị

và gọi là tích phân phụ

thuộc tham số của hàm không bị chặn và ký hiệu là
6
I{t) = Ị f{x,t )dx.
a
b
Tích phân I(t)

= J f(x, t)dx

được gọi là hội tụ đều trên [c, d]

nếu với
a
mỗi e >

0

tồn tại ổ

0

>

0

sao cho a

+ ổ

0

< b v ầ
ữ-ị-ố
J f(x, t ) d x < e; với mọi 0 < ố < ổ
0
và mọi t ẽ [c, d \ .
a
Định lý 1.18. Giả sử hầm f(x, t) liên tục trên tập hợp R = [a, +oo) X [c,
d] vầ tích phân
+ OC
I { t ) = J f { x , t ) d x ,
a
V___ X T/-L\ 7•___ÍS_____J_
hội tụ đều trên [c,d] thì hầm số I(t) liên tục trên [c,d].
Định lý 1.19. Giả sử hà m f(x,t) liên tục trên tập hợp R = [a, +oo) X [c, d]
vầ tích phẫn
+ OC
I(t) = Ị f(x,t )dx ,
a
(1.
1.2.3. Tích phân phụ thuộc tham số của các hàm không bị chặn
2
hội tụ đều trên [c, d]. Khi đó, ta có
d

+
0
0

d

Ị

I
{
t
)
d
t
=

J

d
x

Ị

f
(
x
,
t
)
d
t
;
c a
c
d

+00

+
00

d Ị
dt
J
f(x
,t)
dt
= j
dx
Ị
f(x
,t)
dt.
c a a
c
1.3. Biến đổi Fourier
1.3.1. Định nghĩa
tức
Đ ị n h n g h ĩ a 1.8. (Định nghĩa tích phân
Fourier). Tích phân Fourier của hàm / khả
tích tuyệt đối trên toàn trục thực là
+ oo
I
—