Luận văn thạc sĩ toán phương pháp điểm bất động cho bất đẳng thức biến phân

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG
ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
■ • ■ • *
PHẠM THỊ MINH THU
PHƯƠNG PHÁP ĐIẺM BẤT ĐÔNG
CHO BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
\
LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC
• • •
Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI
HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
■ • ■ • *
HÀ NỘI, 2014
PHẠM THỊ MINH THU
PHƯƠNG PHÁP ĐIẺM BẤT ĐÔNG CHO
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC
• • •
Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Lề Dũng Mưu
HÀ NỘI, 2014
HÀ NỘI, 2014
Tôi xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm phòng sau Đại học trường Đại học
sư phạm Hà Nội 2 cùng các thầy, cô giáo giảng dạy lớp cao học khóa 16 đợt 2 (2012
- 2014), đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành tốt Luận văn này.
Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới GS.TSKH Lê Dũng Mưu,
người luôn hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành Luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót.
Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy, cô và bạn đọc để
Luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 18 tháng 6 năm 2014 Học viên
Phạm Thị Minh Thu
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.
Hà Nội, ngày 18 tháng 6 năm 2014 Học viên
Phạm Thị Minh Thu
Mục lục
2.1.1. Sự tồn tại và tính duy nhất 32
MỞ ĐẦU
LỜI CẢM ƠN
1. Lý do chọn đề tài
Cho K c R" là một tập khác rỗng và F : M
n
—>• M" là một ánh xạ từ R
n
vào
M
n
. Bài toán bất đẳng thức biến phân (variational inequality, viết tắt là VI) được
phát biểu như sau:
Tìm X G K thỏa mãn ( F (X ) , X — X ) ^ 0, V X £ K . (VI)
Điểm X £ K thỏa mãn (VI) được gọi là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (VI).
Tập tất cả các điểm X G K thỏa mãn (VI) được gọi là tập nghiệm của bất
đẳng thức biến phân (VI) và được kí hiệu là Sol(VI) hoặc Sol(VI(F,K)).
Một tiếp cận quan trọng trong nghiên cứu bất đẳng thức biến phân, đặc biệt là
việc nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm và phương pháp giải là sử dụng các định lý
điểm bất động. Ý tưởng chính của cách tiếp cận này là xây dựng một ánh xạ thích
hợp sao cho tập điểm bất động của ánh xạ này cũng là tập nghiệm của bài toán bất
đẳng thức biến phân. Cách tiếp cận điểm bất động không chỉ làm việc với không
gian hữu hạn chiều mà còn được sử dụng trong không gian Hilbert.

Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự
hướng dẫn của GS.TSKH Lê Dũng Mưu, tôi đã mạnh dạn chọn đề
tài nghiên cứu: "Phương pháp điểm bất động cho bất đẳng
thức biến phân".
Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu phương pháp điểm bất động
giải bất đẳng thức biến phân. Cụ thể là sử dụng định lý điểm bất động Brouwer để
chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Ngoài ra dùng
định lý điểm bất động theo nguyên lý ánh xạ co Banach để chứng tỏ tính duy nhất
nghiệm của bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài nhằm tổng hợp lại một cách có hệ thống và
tương đối đầy đủ những phương pháp điểm bất động đối với các loại ánh xạ co, ánh
xạ không giãn cho một số lớp bài toán bất đẳng thức biến phân quan trọng.
LỜI CẢM ƠN
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là điểm bất động và bất đẳng thức biến phân.
Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu.
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Dự kiến đóng góp
Tổng kết một cách có hệ thống và tương đối đầy đủ phương pháp điểm bất
động cho một số lớp bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert. Hy
vọng bản thân Luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo cho sinh viên và học viên cao
học có quan tâm tới vấn đề này.
LỜI CẢM ƠN
Chương 1
Điểm bất động của ánh xạ co và không
giãn
Trong luận văn này chúng ta làm việc chủ yếu trên không gian Hilbert thực
H . Dưới đây ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản về không gian
Hilbert, điểm bất động của ánh xạ co, ánh xạ không giãn, Các kiến thức trong

chương này được lấy chủ yếu từ các tài liệu
[1], [3].
1.1. Không gian Hilbert
1.1.1. Tích vô hướng
Định nghĩa 1.1

.Cho không gian tuyến tính X trên trường P(P là
trường số thực R).

Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi
ánh xạ từ tích Descartes X X X vào trường p kí hiệu (.,.),

thỏa mãn
tiên đề: 1

)Vx,y £ X : (

x,y) =

(y,x)-
2)

Vz,

y, z e X : (x + y, z) = (

X,

z) +

{y, z);
3) V x , y £ X , Vqí e p : { a x , y ) = a ( x , y );
7
4) Vx £

X : (

X ,

x) >

0, nếu X ^ ỡ (9 là phần tử không); (

X, a:) = 0,

nếu
X = 9.
Tích vô hướng liên hệ với độ dài (chuẩn) của các vectơ bởi hệ thức:
(x, X) =11

x\\
2
.
1.1.2. Định nghĩa không gỉan Hilbert và một số ví dụ
Định nghĩa 1.2.

Ta gọi một tập H ^ ộ gồm những phần tử x,y,z,
nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện
sau:
1) H là không gian tuyến tính trên trường P;

2) H được trang bị một tích vô hướng (.,■);
3) H là không gian Banach với chuẩn ||a:|| =

\J(x,

x), X e

H.
Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gianHilbert H
là không gian Hilbert con của không gian H .
Ví dụ 1.1. Ký hiệu là không gian véctơ thực K chiều. Với
V X = (X
N
) € M Y = (Y
N
) G M
fe
ta đặt
(1.1)
Dễ thấy hệ thức (1.1) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô
hướng. Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng (1.1)
k
k
8
9
1.1.3. Tính trực giao
Định nghĩa 1.3.

Cho không gian Hilbert H. Hai phần tử x,y e

H
gọi là trực giao, và kỷ hiệu X-Ly, nếu (

x,y) = 0.
Định nghĩa 1.4. Cho không gian Hilbert H và tập con A c H, A Ỷ
ộ' Phần tử X G H gọi là trực giao với tập Ả, nếu xl.y(\/y G Á), và ký
hiệu XẢ.A.
Từ các định nghĩa trên suy ra một số tính chất đơn giản sau đây:
1) D - L X Vx G H ( 9 là ký hiệu phần tử không của không gian Hilbert
H.
2) X e H mà XẢ.X thì X = 9.
3) Nếu các phần tử X , Ĩ J J £ H ( J = 1,2, ,n) thỏa mãn điều kiện
Z_LY
Ẳ
( J = 1,2, thì Vöj G P ( J = 1,2, ,n) ta có a^_L X) O N -
V J -
J =1
4) Cho phần tử X € H và dãy các phần tử (y
n
) c H hội tụ tới
Y & H theo chuẩn ||x|| = \ J (X ,
X ). Nếu x_Ly
n
Vn G iV* thì X L . Y .
5) Cho Ả là tập con trù mật khắp nơi trong không gian H . Khi
đó, nếu X £ H và X-LA thì X = 6.
Định lý 1.1.

(Định lý Pythagore) Nếu x,y G

H và X-Ly, thì
\\x + y\\
2
= ||a:||

2

+

\\y\\
2
.
Định lý 1.2.

(Định lý về hình chiếu lên không gian con) Cho
không gian Hilbert H và H
Q
là không gian con của H. Khi đó phần
tử bất kỳ X £ H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
X = y + z, y G H
0
, Z±H
0
. (1.2)
1
0
Phần tửy trong biểu diễn (1.2) gọi ỉà hình chiếu của phần tử X lên
không gian con H
0
.

Định nghĩa 1.5.

Hệ trực chuẩn (

e
n
)
n >
i trong không gian Hilbert H
gọi ỉà cơ sở trực chuẩn của không gian H, nếu trong không gian H
không tồn tại véctơ khác không nào trực giao với hệ đó.
Định lý 1.3.

(Định lý về đẳng thức Paseval) Cho (

e
n
)
n >
i là một hệ
trực chuẩn trong không gian Hilbert H. Năm mệnh đề sau tương
đương (từ một mệnh đề suy ra bốn mệnh đề còn lại):
1) Hệ (e

n

)„>i

ỉà cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert H\
2) € H : X = X) (

x
:
e
n ) e
n
;
ĩìỳ 1
3)

Vx,y e

H : (x,y) = (

x,e
n
)(e
n
,y) ;
ĩiỳ 1
4) Vx G H : |Ịa^Ị|
2
= |(a:,e
n
)|
2
( P H Ư Ơ N G T R Ì N H
Đ Ó N G ) ;
71^1
5) Bao tuyến tính của hệ (e
n

)
n >
i trù mật khắp nơi trong không
gian H (nghĩa là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số
hữu hạn bất kỳ các phần tử thuộc hệ (e

n

)„>i

trù mật khắp nơi
trong không gian H).
1.1.4. Toán tử tuyến tính bị chặn
Định lý 1.4.

(Định lý F.Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục
trong không gian Hilbert đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
f { x ) = (x,a), X e H, trong đó phần tử a G

H được xác định duy nhất
bởi phiếm hàm f và
1
1
11/11 = IMI •
Định nghĩa 1.6.

Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không
gian Hilbert X và không gian Hilbert Y. Toán tử B ánh xạ không
gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu
(.

Ax,y) =

{x,By), Vx G

X,Vy €

Y.
Toán tử liên hợp B thường ký hiệu là A*.
Định lý 1.5.

Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không
gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y. Khi đó tồn tại toán tứ A*
là liên hợp với toán tử Ả ánh xạ không gian Y vào không gian X.
1.2. Điểm bất động của ánh xạ co
1.2.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach
Định nghĩa 1.7.

Ánh xạ T từ không gian metric

(X,

d)

vào không gian
metric (Z, p) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k G /0,1)

sao cho
p(Tx,Ty) <

kd(x,y),Vx,y G X.
Định lý 1.6.

(Nguyên lý ánh xạ co Banach) Cho (X,d) là một
không gian metric đầy đủ và T là ánh xạ co trong X. Khi đó, tồn tại
duy nhất X * £ X m à Tx* =

X*. Ngoài r a , v ớ i mọi x
ữ
G

X t a có T
n
x0

—¥
X * khi n —>

00.
C H Ứ N G M I N H . Lấy X
0
tùy ý trong X và đặt X
n+
1 = T X
N
với N =
0,1, 2 Dễ dàng kiểm tra rằng: D ( X
N
, X
N +

1) ^ K
N
D ( X
Q
, X I ) .
Lấy M > N , ta có
D { X
N Ì
x
m
) ^ D { X
N
, -| -|- x
m
)
1
2
< {k
n
+ k
n+1
+ + k
m
~
1
)d{x
0
,x
1
)

Do đó, { X
N
} là dãy Cauchy và X
N
—»• X * e X .
Với mỗi N ta có
1 ^

d(x*,Tx*) ^

d(x*, x
n
) +

d(x
n
,Tx*) ^

d(x*,x
n
) +
kd(x
n
_i,x*).
Cho N — ¥ oo ta được D ( X * , T X * ) = 0, tức là T X *
= X * . Nếu còn có Y * £ X mà T Y * = Y * thì ta
có
d{x*,y*) = d(Tx*,Ty*) ^ kd{x*,y*).
Vì K < 1 và X * = Y * .
Vậy điểm bất động của T là duy nhất và nguyên lý đã được chứng

minh.
1.2.2. Mở rộng nguyên lý ánh xạ co
Định nghĩa 1.8.

Ánh xạ T trong không gian metric (x,d) được gọi
là (

£,ổ) — co nếu với mọi i > 0

đều tồn tại ỏ > 0

sao cho:
Nếu i ^

d(x,

y) < i + s thì
d(Tx,

Ty) < £.
Có thể kiểm tra rằng lớp ánh xạ ( £ , S )—co chứa cả hai lớp ánh xạ vừa
nêu, và hiển nhiên chứa lớp ánh xạ co vì chỉ cần chọn Ỏ = £ ( L — K ) / K .
Tuy nhiên mọi ánh xạ co đều thỏa mãn điều kiện:
Nếu X ^ Y thì
d(Tx,Ty) <

d(x,y).
□
(1.4)
(1.5)

1
3
Thật vậy, nếu X Ỷ Y thì đặt Í = D(X,Y) > 0 và ta sẽ có £ = D(X, Y) < I +
S, nên theo (1.4) ta phải có D(TX,TY) < T = D(X, Y).
Lớp ánh xạ thỏa mãn điều kiện (1.5) thường được gọi là “co yếu”. Hiển
nhiên các ánh xạ thuộc lớp này, nếu có điểm bất động thì nó phải duy nhất.
Định lý 1.7.

(xem [3]) Cho (X,d) là một không gian metric đầy
đủ và T là một ánh xạ (

£,ỏ) — co trong X. Khi đó, T có điểm bất
động duy nhất X* và với mọi X
Q


G

X, ta có T
n
x
ữ
—> X* khi n —> oo.
C H Ứ N G M I N H . Lấy X
0
G X tùy ý, đặt X
n+
1 = T X
N
\ C

N
=
D ( X
N
, X
N +
1), N = 0,1, 2, Có thể giả thiết C
N
> 0. Vì T là co yếu nên
C
N
> 0 là dãy số không âm và giảm, do đó C
N
— > £ ^ 0. Nếu I > 0 thì
tồn tại ổ > 0 để có (1.4). Chọn К E N (tập hợp mọi số tự nhiên) sao cho nếu N
^ К thì c
n
< £ + S . Theo (1.4) ta có C
n+
1 < £ là điều vô lí. Vậy £ = 0,
tức là C
N
—> 0.
Ta sẽ chứng minh { X
N
} là dãy Cauchy bằng phản chứng. Giả sử có L >
0 sao cho với mọi К G N tồn tại N , M ^ К mà D ( X
n
, X
M

) ^ 2 £ . Chọn К
sao cho nếu I ^ К thì C I < F với А = min{ . Chọn M > N ^ К để cho
D ( X
N
, X
m
) ^ 2 £ và xét các số D ( X
N
, X
N +
1), D ( X
N
, X
N + 2
) , D ( X
N
,
X
M
) . Khoảng cách giữa hai số liên tiếp là
Id(x
n
,xi) - d(ar
n
,a:
i+
i)| ^ d(xi,x
i +
1) = C; < ^.
Vì D ( X

N
, X
N +
1) = C
N
< J ^ còn D ( X
N
, X
m
) ^ 2 £ nên tồn tại J G
{ N , N + 1 sao cho T + I ^ D ( X
N
, X J ) < £ + Vì Ỉ , ^
D ( X
N
, X J ) < T + ỏ nên theo (1.4) ta có
d(Tx
n
,Txj) =

d(x
n+1
,x
j+
i) < i.
Từ đây ta có
d{x
n
,x
ả

) <

d(x
n
,x
n +1
) + d(x
n+1
,x
j+1
) +

d(x
j+1
,xj)
a a a
<
4
+
4 "
+
2'
1
4
Điều này mâu thuẫn với D ( X
N
, X J )^ I 4- J . Vậy{X
N
} là dãy Cauchy và
x

n
—y X* G X.
T là ánh xạ co yếu, với mọi N ta có
d(x*,Tx*) <

d{x\x n+i) “I"

d(x
n +1
Tx )
=

d(x*,x
n +
1) +

d(Tx
n
,Tx*)
< d(x*,x
n +
1) +

d(x
n
,x*).
Cho N —>• oo ta được D(X*,TX*) = 0, tức là X* = TX*.
Vì T là co yếu nên X * là duy nhất. Định lý đã được chứng minh. □
1.2.3. Ánh xạ co yếu
Định lý 1.8.

Cho (

X,

d)

là một không gian metric compact và T là ánh
xạ co yếu trong X. Khi đó T có điểm bất động duy nhất trong X.
C H Ứ N G M I N H . Với mỗi X € X , đặt F ( X ) = D ( X , T X ) . Vì T là
ánh xạ co yếu nên cũng liên tục, do đó / là hàm số liên tục trên không gian
compact X . Vậy tồn tại X
Ữ
e X sao cho F ( X o) = min{/(x) : X G X } . Nếu
F ( X ) > 0 thì X
Ữ
Ỷ T X
0
nên F ( T X
ữ
) = D ( T X
Q
, T
2
X
Q
) <
D ( X
Q
, T X o) = F ( X o), mâu thuẫn. Vậy F ( X

Q
) = 0 và X
Ữ
là điểm bất động
của T . Tính duy nhất của điểm bất động là hiển nhiên vì T là co yếu. Định lý đã
được chứng minh. □
Định lý 1.9.

(Định lý điểm bất động Caristi) Cho (X,d) ỉà một không
gian metric đầy đủ và hàm số if

:

X —»• (—oo,+oc>y

nửa liên tục
dưới và bị chặn dưới. Cho ánh xạ T trong X thỏa mãn điều kiện
d(x,Tx) ^

ip{x) —

<f(Tx), Vx £

X. (1-6)

Khi đó, T có điểm bất động trong X.
Trước khi chứng minh Định lý này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng mọi
1
5
ánh xạ co thỏa mãn điều kiện (1.6). Thật vậy, với mọi X ta có

(
rp \ _ d(x,Tx) kd(x,Tx)
1
_
k 1
_
k
.
Mặt khác, ta lại có
d(Tx,T(Tx)) ^

kd(x,Tx), nên

d(x,Tx) ^

íp{
x
)
~ PÌTx) với

ip(x) = là hàm liên tục.
C H Ứ N G M I N H . Trước hết ta đưa vào quan hệ thứ tự trên X như sau:
X ^ y khi và chỉ khi d(x,y) ^ ip{x) —
Dễ kiểm tra đó chính là một quan hệ thứ tự và I P là một hàm không tăng
theo quan hệ thứ tự này, tức là nếu X ^ Y thì T P ( Y ) ^ < P ( X ) . Ta sẽ
chứng minh trong (X , tồn tại phần tử cực đại V . Lấy X I e X tùy ý và đặt
S(Xi) = { Y € X : XỊ < Y}
= { y €

X :

d(x
u
y) ^

ụ>(xi) -

<p(y)}
= {

y £ X : d(x
u
y) +

(p(y) ^

y{xi)} .
Vì D ( X 1,.) liên tục và nửa liên tục dưới nên S ( X I ) đóng.
Đặt «1 = inf{^(y) : Y G . Khi đó tồn tại X
2
€ S ( X i) mà
ifi(x
2
) ^

oti + 1.
1
6
Lại đặt S ( X
2

) = {yG S ( X I ) : X
2
^ Y } . Khi đó, S ( X
2
) đóng và S ( X
2
) c
S ( X I ) . Đặt A
2
= inf{<^(y) : Y G 5'(^2)} • Khi đó tồn tại X
3
G S ( X
2
)
màip(x
3
) <

a
2
+
Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được dãy { x
n
} với ba tính chất
sau:
Xn+l
^ 5
I P ( X
N + 1
) ^ A

N
+ ỉ, với a
n
= inf{(yơ(y) : Y <E S(z
n
)} ,
S(z
n
) đóng và ^(a^+i) c S(X
N
),N = 1,2,3,
Ta sẽ chứng minh đường kính d
n
của tập hợp S ( X
n
) tiến tới 0 khi N — >
00. Theo định nghĩa,
S { X
N
) = { Y € 5(ar
n
_i) : < ?/}.
Lấy X , Y tùy ý trong S ( X
N
) . Vì X
N
^ X , X
N
^ Y nên ta có
D ( X

N
, X ) ^ ^(z
n
) - I P ( X ) , D { X
N
, Y ) ^ y?(a;
n
) - y?(y).
Vậy

d(x, y) ^

2ip(x
n
) - [y{x) +

<p{y)].
Mặt khác, theo định nghĩa của các A
N
và X
N
, ta có
( F ( X
N
) ^ a„_i + —; ¥>(a;) ^ o„; y>(y) ^ a
n
; a
n
^ a„_i.
2 — N

Do đó
ư(x,y) < 2 ( o
n
+ ———
\ N — 1
với mọi X , Y £ S ( X
N
) . Vậy —)• 0 khi n —»■ oo.
Vì không gian X đầy đủ nên theo nguyên lý Cantor
00
/ X r -»
n S ( X
N
) = {?;}.
Ta sẽ chứng minh V là một phần tử cực đại trong (X , ^), tức là nếu V ^ w
thì V = w.
Thật vậy, vì V ^ w nên a?i ^ w, vậy w G Vì V ^ w nên
1
7
£2 ^ w, mà w G <S'(a:i) nên w G S ( X
2
) . Cứ tiếp tục như vậy ta sẽ được w e n
S ( X
n
) = { II} , tức là w = V và V là một phần tử cực đại.
1
8
Cuối cùng, ta chỉ ra rằng V là điểm bất động của T . Theo giả thiết, ta có
D ( V , T V ) ^ ( S S ( V ) — I P ( T V ) . Khi đó, theo định nghĩa của thứ tự ta
có

V ^ T V . Nhưng vì V là cực đại nên ta có V = T V . Định lý đã được
chứng minh. □
1.3. Ánh xạ không giãn
Định nghĩa 1.9. Ánh xạ T từ không gian mêtrỉc (X, d) vào không
gian mêtric (z,p) được gọi là ánh xạ không giãn nếu với mọi x,y e X
ta có
p(Tx,Ty) ^

d(x,y).
Ví dụ 1.2. Phép tịnh tiến trên đường thẳng thực, phép quay của đường tròn
đơn vị trên mặt phẳng quanh gốc tọa độ là những ví dụ về ánh xạ không giãn mà
không có điểm bất động.
Ví dụ 1.3. Ký hiệu B là hình cầu đơn vị đóng trong c
0
(không gian của các
dãy số hội tụ đến 0 với chuẩn sup). Với mỗi X = (x i , x
2
, ■ ) G B ta đặt T X =
(1, X I , X
2
, •••)■ Khi đó T là ánh xạ không giãn trong B mà không có điểm
bất động.
Thật vậy, nếu có X * = T X * thì ta có
/ * * \ /1 * \
Nhưng khi đó ta có X* = 1 với mọi I, nên X* không thuộc c
0
.
Định nghĩa 1.10.

Không gian Danach

(

X, ||.||)

được gọi ỉà lồi chặt
nếu với mọi X Ỷ y mà ||a:|| ^ 1, ||y|| ^ 1 ta có 11^2^11 <
1- Điều này tương đương với: nếu |Ịrc

+ y II = |Ịa:Ị| + |Ịy|Ị

và y 0 thì
X = Ằy với một X > 0

nào đó.
Định nghĩa 1.11.

Không gian Banach (

X, ||.||)

được gọi là lồi đều
1
9
nếu với mọi £ > 0

đều tồn tại ỏ(£) > 0

sao cho với mọi x,y £ X mà
| Ị x Ị | ^ 1 , I / / I I ^ 1 , Ị | x

— y
I I ^
l ta luôn có
^ị<l-sự).
Ví dụ. 1.4. L
P
là không gian lồi đều với 1 < P < oo. Mọi không gian
Hilbert đều là lồi đều.
một ánh xạ không giãn. Khi đó T có điểm bất động trong c.
C H Ứ N G M I N H . Đặt F = { L c C : L lồi, đóng, không rỗng,
T ( L ) c L } . F ^ Ậ V Ì C £ F . Với quan hệ thứ tự là bao hàm thức, (F,
c) trở thành tập hợp được sắp thứ tự bộ phận.
Đặt G = { L
A
} với các L
A
£ F và lồng nhau. Khi đó n L
A
Ỷ 0)
a
C compact yếu và T (n L
A
c n L
A
] , vậy n L
A
là cận dưới của G . Theo
\

a a / a

bổ đề Zorn, F chứa một phần tử cực tiểu H .
Ta chứng minh H chỉ gồm một điểm bằng phản chứng. Giả sử D =
D I A M H > 0. Do C có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn tại Z £ H sao cho
r = sup{Ị|^ — ÍCỊ| : X e H } < d .
Vậy tập hợp D = { Z £ H : H c B ( Z , R ) } Ỷ 05 trong đó
B ( Z , R ) là hình cầu đóng tâm 2 bán kính r. Lấy 2 bất kỳ trong D , do T là
không
giãn, ta có T ( H ) С B ( T Z , R ) , vì vậy C Õ T ( H ) с B ( T Z , R ) , trong
đó cõ là ký hiệu bao lồi, đóng của một tập hợp. Vì C Õ T ( H ) là một tập hợp
lồi, đóng trong С nên cũng compact yếu và vì C Õ T ( H ) с C Õ H = H nên
T { C Õ T ( H ) ) с T ( H ) С C Õ T ( H ) , vậy C Õ T ( H ) E F . Vì
2
0
C Õ T ( H ) с я và H là cực tiểu nên C Õ T ( H ) = H . Từ đây ta có я с
B ( T Z , R ) , chứng tỏ T Z e D , vậy T ( D ) С D vì Z bất kỳ trong D .
Ta sẽ kiểm tra D lồi và đóng. Cho Z \, Z
2
€ D và г = A Z I + (1 —
A ) Z
2
với A G [0,1]. Khi đó ||x — Zj|| ^ R , I = 1,2, với mọi X G H .
Từ đó ||ж — Z \ \ ^ r với mọi X G H nên Z G D , vậy D lồi.
Nếu Z
N
G D và Z
N
— Ï Z thì do||ж — Z
n
II ^ r với
mọi X G H , suy ra

||ж — jz|| ^ r với mọi X £ H nên Z £ D , vậy D đóng.
Tóm lại, D с С là tập hợp lồi, đóng và bất biến đối với T, vậy
D £ F . Vì D С H và H là cực tiểu nên D = H . Khi đó, với mọi U , V
£ D = H ta có |Ịw — IIỊ| ^ r, từ đây D = diamiJ = diamZ) ^ r < D , ta gặp
mâu thuẫn. Vậy H chỉ gồm một điểm, tức là H = { £ * } •
Vì H bất biến đối với T nên ta có T X * = X * . Định lý đã được chứng
m i nh. □
Định lý 1.11.

(xem [3]) Cho с là một tập lồi, đóng, bị chặn trong
không gian lồi đều X và T :

с с là một ánh xạ không giãn. Khi đó tập
hợp các điểm bất động của T là lồi, đóng và không rỗng.
C H Ứ N G M I N H . Vì X lồi đều nên phản xạ, do đó С là compact yếu và có
cấu trúc chuẩn tắc. Vậy theo Định lý Kirk, tập hợp các điểm bất động của T
không rỗng, ngoài ra nó đóng vì T liên tục. Ta cần chứng minh tính lồi của tập
hợp này.
Cho U = T U , V = T V V Ầ M = X U + ( Ĩ — X ) V với
một Л £ [ 0 , 1 ] nào đó. Khi đó И — 771 = (1 — Л) ( И — V ) và V —
771 = А(г> — И ) . Vì T là ánh xạ
không giãn nên ta có
Ị|w — T M \I + Ị| T M — II ^ Ị|w — M \I + \ \ M — t»|Ị = \ \ U — II.
2
1
Do И — V = ( И — T M ) + ( T M — V ) nên
II
м —
^ll ^ II
м —

T M \ \ + \ \ T M — t»Ị|.
Kết hợp với bất đẳng thức trên, ta được
IIИ — г>|| = IIИ — Т Т II + IIТ Т — г>|| .
Đặt X = И — Т Т , У = Т Т — V ta có ||ж|| + ||ï/|| = ||ж + У II .
Vì X lồi đều thì cũng lồi chặt nên đẳng thức trên chứng tỏ tồn tại А > 0 để
cho И — TM = A(TM — г>). Từ đây ta có
Tm
= +

u^
v
= ßu+ (1- ß)v

với

ß = ^.
Ta sẽ chứng minh S S = X bằng phản chứng. Giả sử S S > X . Khi
đó
ta có
II T V — T M \ \ = II г? — T M \ \ =
S S \ \ U — г; II > Л ||м — г»Il = IlV — Т II , mâu thuẫn
với tính không giãn của X .
Tương tự, nếu S S < X thì ta cũng gặp mâu thuẫn: I\ T U — T M \I >
||w — M II . Vậy S S = Л nên T M = ra. Vì mọi điểm trên đoạn nối hai điểm bất
động cũng là điểm bất động nên tập hợp các điểm bất động là tập hợp lồi và định
lý đã được chứng minh.
□
Chương 2 Phương pháp điểm bất
động cho bất đẳng thức biến phân
Trong chương này, chúng ta xem xét một vài vấn đề về lý thuyết của bất

dẳng thức biến phân với ánh xạ đơn trị liên tục dưới trong không gian hữu hạn
chiều, cũng như mối quan hệ của chúng với các vấn đề khác của giải tích phi
tuyến. Các kiến thức trong chương này được lấy chủ yếu từ tài liệu [5], [7].
2
2
2.1. Bài toán VI
2.1.1. Bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan
Cho X là một tập không rỗng, đóng và lồi của không gian Euclide hữu hạn
chiều E , G : X ^ E là một ánh xạ liên tục. Bài toán bất đẳng thức biến
phân (variational inequality, viết tắt là VI) được phát biểu như sau:
Tìm điểm X * £ X sao cho
(x — x*)
T
G(x*) ^ о, Ух e X. (2.1)
Điểm X * G . X thỏa mãn (2.1) được gọi là nghiệm của bất đẳng thức
biến phân (2.1) và được kí hiệu là Sol (VI).
Định nghĩa 2.1

Cho X là một tập lồi trong E và cho Q : X —

»■

E
là một ánh xạ. Ánh xạ Q được gọi là
(a)đơn điệu mạnh trên X với r > 0

không đổi sao cho mỗi cặp
điểm X, y G

X,

ta có
(:X - y)
T
[Q{x) - Q{y)] ^ T\\X - y\\
2
;
(b)đơn điệu ngặt trên X nếu với mọi x,y G X, thỏa mẫn
(x - y)
T
[Q{x) -

Q(y)] > 0;
(c) đơn điệu trên X nếu với mỗi cặp điểm x,|/ ẽ I,

thỏa mãn
(x -

y)
T
[Q{x) -

Q(y)] ^ 0.
Do đó từ các định nghĩa suy ra:
(a) (ồ) (c).
Mệnh đề 2.1

Cho Y là một tập hợp con lồi mởcủa X và cho
Q :

X —>

E là khả vi liên tục trên Y.
2
3
(ỉ) Q là đơn điệu trên Y khi và
khi VQ là nửa xácđịnh dương
trên Y ;
(ii) Q là đơn điệu ngặt trên Y nếu VQ là xác định dương trên Y
;
(ill) Q là đơn điệu mạnh trên Y với hằng số T khi và chỉ khi
{p)
T
VQ(x)p ^ r||p||

2

,Vp

£ E,x eY.
Cho X là một tập lồi đóng tùy ý trong E và cho T là một ánh xạ liên tục
từ X vào chính nó. Bài toán tìm điểm bất động là tìm một điểm X * £ X sao cho
= T { X * ) . (2.2)
Bài toán này cũng có thể chuyển sang dạng VI.
Mệnh đề 2.2. Nếu ánh xạ G được xác định bởi
G{x) = x-T{x), (2.3)

thì bài toán (2.1) trùng với bài toán (2.2).
C H Ứ N G M I N H . Nếu X * là nghiệm bài toán (2.2), thì rõ ràng G ( X * ) =
0 và X * là nghiệm bài toán (2.1), (2.3). Ngược lại, cho X * là nghiệm bài toán

(2.1), (2.3). Thì T { X * ) G X và cho X * = T ( X * ) trong (2.1) được — Ị|
x* — T ( X * ) \ \
2
^ 0, nghĩa là X * = T ( X * ) . □
Bây giờ, chúng ta xét bài toán tối ưu hóa sau: cho / : X — > M là một
hàm giá trị thực.
Tìm điểm X * G X sao cho
f(x*) ^

f(x),Vx e X,
hoặc
min{ F ( X ) \ X ẽl} . (2-4)
2
4
Chúng ta kí hiệu X F là tập nghiệm của bài toán này.
Định nghĩa 2.2.

Cho X là một tập lồi trong E và cho ip : X —> M
là hàm khả vi. Hàm tp được gọi là
(a)lồi mạnh trên X với hằng số T > 0 nếu mỗi cặp điểm X, y G X
và mọi a G [0,1], thỏa mãn
I P ( A X + (1 — O Ì ) Ỳ ) ^ A I P ( X ) + (1 — A ) I P ( Y ) — 0.5qí(1 —
Qí)r|Ịx — Y |Ị
2
;
(b)lồi ngặt trên X nếu mọi X Ỷ y, x,y

£
X và mọi a

G (о, 1)
thỏa mẫn
ụ>(ax + (1 -

à)y) < aip(x) + (1 -

à)ip(y)\
(c)lồi trên X nếu mỗi cặp điểm x,y G X và mọi a G

[0,1], thỏa
mẫn
ífi(ax + (1 -

à)y) <

a<p(x) + (1 -

a)<p(y);
Hàm < P : X — ¥ M được gọi là lõm mạnh với r không đổi (tương
ứng, lõm ngặt, lõm) trên X , nếu hàm — ( P là lồi mạnh với T không đổi (tương
ứng, lồi ngặt, lồi) trên X .
Do đó trực tiếp từ định nghĩa suy ra:
Hình 2.1: Hàm lồi
2
5