Giai on tap ham so phan thuc

Giải 13 câu ôn tập hàm số phan thức :
Cho hàm số y =
x 2
x 2


; đồ thò (C)
1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số trên. Tìm các điểm trên (C) có tọa độ
nguyên
TXD : D= R\{2}
+ Tiệm cận:
vì
x (2)
lim


x 2
x 2


= + ;
x (2)
lim


x 2
x 2


= => x =2 là tiệm cận đứng
vì

x
lim

x 2
x 2


=
x
lim

2
1
x
2
1
x


=1 => y =1 là tiệm cận ngang
+ Đạo hàm y’=
2
4
(x 2)


< 0 ,  x D
Hàm số nghòch biến trên (∞;2) ; (2;+∞ )
+ Bảng biến thiên : x ∞ 2 +∞
y’  

y 1 +∞
∞ 1
+ Đồ thò : Đồ thò cắt Ox tại A(2;0)
Đồ thò cắt trục Oy tại M(0;1)
Nhận I(2;1) làm tâm đối xứng
+ Viết lại : y= 1+
4
x 2


Điểm M(x;y)  (C) có tọa độ nguyên
=>
4
x 2

là số nguyên
Các trường hợp xảy ra :
 x2=1 => x=3 ; y= 5 . Điểm M
1
(3;5)
 x2=1 => x= 1 ; y=3. Điểm M
2
(1;3)
 x2=2 => x=4 ; y=3 . Điểm M
3
(4;3)
 x2=2 => x=0 ; y=1 . Điểm M
4
(0;1)
 x2=4 => x=6; y=2 . Điểm M

5
(6;2)
 x2=4 => x=2; y=0 . Điểm M
6
(2;0)
x= 2
y=1

3
x

y
O 2

1


2

4
Có 6 điểm thuộc đồ thò (C) có tọa nguyên
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C),
tiếp tuyến đi qua K(6;5)
+ Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến đi qua K.
Phương trình : y= k(x+6)+5 (d)
+ Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) <=>
2
x 2
k(x 6) 5 (1)
x 2

4
k (2)
(x 2)


  










Thay (2) vào (1) ta có :
x 2
x 2


=
2
4
(x 2)


(x+6) +5 ( đk x≠ 2)
<=> x
2

4 =4(x+6)+5(x2)
2
<=> x
2
4 = 4x 24+5x
2
20x +20
<=> 4x
2
24x=0 <=> x = 0  x=6
Khi x=0 thì k = 1 và khi x=6 thì k= 
1
4

Có hai tiếp tuyến qua K là :  y =(x+6)+5 <=> y= x1
 y=
1
4
(x+6)+5 <=> y= 
1
4
x+
7
2

3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng y=4x+3 .
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=4x+3
=> hệ số góc của tiếp tuyến k= 4
+ Giải pt : y’=4 <=>

2
4
(x 2)


=4 <=>(x2)
2
=1 <=>x=1  x=3
=> hai điểm tương ứng : M
1
(1;3) ; M
2
(3;5)
Suy ra có 2 tiếp tuyến thỏa đk đề bài : y= 4(x1)3
 y= 4(x3)+5
4) Cho  : y= x3m . Chứng minh rằng  luôn cắt (C) tại 2 điểm A, B .
Tìm m để AB ngắn nhất
+ Phương trình hoành độ giao điểm :
x 2
x 2


=x3m (*)
Điều kiện : x≠ 2
Pt (*) <=> x+2 = (x3m)(x2) <=> x
2
(3m+3).x +6m2=0 (1)
Ta có  = (3m+3)
2
4(6m2) =9m

2
+18m +924m+8=9m
2
6m+17
=(3m1)
2
+16 > 0 , m
Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt
 Giả sử hai nghiệm là x
1
; x
2
là 2 nghiệm của pt(1)
đònh lý Viét :
1 2
1 2
x x 3m 3
x .x 6m 2
  


 

và A(x
1
; x
1
3m) ; B(x
2
; x

2
3m)
 AB=
2 2
2 1 2 1
(x x ) (x 3m x 3m)
     =
2
2 1
2(x x )

=
2
2 1 1 2
2(x x ) 8x x
  =
   
2
2. 3m 3 8 6m 2
  

=


2
2 9m 6m 17
  =
2
2 (3m 1) 16
 

 
 

32

AB
min
=
32
khi 3m1 =0 <=> m =
1
3

5) Chứng minh : 2y” +y.y’y’= 0
+ Đạo hàm cấp 1: y’=
2
4
(x 2)


Đạo hàm cấp hai : y”=
3
8
(x 2)


Ta có VT =2.
3
8
(x 2)


+
x 2
x 2


(
2
4
(x 2)

)+
2
4
(x 2)


=
3
16
(x 2)

+
3
4(x 2) 4(x 2)
(x 2)
   

=0
VT = VP ( đpcm)

6) Tiếp tuyến tại điểm M(x
0
;y
0
)  (C) , cắt 2 tiệm cận tại 2 điểm P, Q .
Chứng minh M là trung điểm PQ.
+ Đạo hàm y’=
2
4
(x 2)


Tiếp tuyến tại điểm M(x
0
;y
0
)  (C) có dạng là :
y= 
2
0
4
(x 2)

(xx
0
) +
0
0
x 2
x 2



( x
0
 2)
+ Tiếp tuyến cắt TCĐ : x=2
=> y
P
=
2
0
4
(x 2)

(2x
0
) +
0
0
x 2
x 2


=
0
4
x 2

+
0

0
x 2
x 2


=
0
0
x 6
x 2



và điểm P(2;
0
0
x 6
x 2


)
+Tiếp tuyến cắt TCN : y=1
=> 1=
2
0
4
(x 2)

(x
Q

x
0
) +
0
0
x 2
x 2



<=>
2
0
4
(x 2)

x
Q
=
0
2
0
4x
(x 2)

+
0
0
x 2
x 2



1
<=>4x
Q
= 4x
0
+
2
0
x
4 (
2
0
x
4x
0
+4) <=>x
Q
= 2x
0
2
Vậy Q(2x
0
2;1)
Mà :
P Q
x x
2


=
0
2 2x 2
2
 
=x
0


P Q
y y
2

=
0
0
x 6
1
x 2
2



=
0
0
2x 4
2(x 2)



=
0
0
x 2
x 2



Suy ra M là trung điểm của PQ
7) Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh của đồ thò (C) sao cho MN ngắn
nhất .
+ Viết lại hàm số y= 1+
4
x 2

.
Hai nhánh của đồ thò ngăn cách bởi tiệm cận đứng x =2
+ Gọi M thuộc nhánh phải M(2+a; 1+
4
a
) ,
N thuộc nhánh trái N(2b;1
4
b
) với a, b > 0
Độ dài MN=
2 2
4 4
(2 b 2 a) (1 1 )
b a

       =
2 2
4 4
( b a) ( )
b a
   
MN=
2 2
2 2
16 16 32
a b 2ab
ab
b a
     =
2 2
2 2
16 16 32
(a ) (b ) (2ab )
ab
a b
    

2 2
2 2
16 16 32
2 a . 2. b . 2. 2ab.
ab
a b
  =
8 8 16

 
=
32

MN
min
=
32
khi
2
2
2
2
16
a
a
16
b
b
32
2ab
ab













 a=b=2.
Vậy M(4;3) và N(0 ;1)
8) Tìm các điểm trên đồ thò (C) cách đều hai trục tọa độ .
+ điểm M(x;y)  (C) cách đều hai trục tọa độ
tức là : d(M;Ox) = d(M;Oy) <=>
M
y
=
M
x
<=>
x 2
x 2


=
x

<=>
x 2
x
x 2
x 2
x
x 2









 


<=>
2
2
x 2 x 2x
x 2 x 2x

  

   


<=>
2
2
x 3x 2 0
x x 2 0(VN)

  

  




<=>
3 17
x
2
3 17
x
2










.
Hai điểm đó là : M
1
(
3 17
2

;
3 17
2


); M
2
(
3 17
2

;
3 17
2

)
9) Chứng minh tích số các khoảng cách từ điểm M(x
0
;y
0
)  (C) đến hai
tiệm cận bằng một số không đổi .
M(x;y)  (C) và y= 1+
4
x 2

; x≠1
+ Tiệm cận đứng : x=2 ;
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng : d
1
= d(M;TCĐ)=
x 2


+ Tiệm cận ngang : y=1 ;
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang :
d
2
= d(M;TCN)=
y 1

=
4
1 1
x 2
 

=
4
x 2


+ Tích hai khoảng cách : d
1
.d
2
=
x 2

.
4
x 2

=4 ( hằng số )

10) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần
lượt tại hai điểm A, B sao cho  OAB cân tại O.
=> tiếp tuyến song song với đường thẳng y=  x
=> hệ số góc k=  1
TH1: k=1 .
Phương trình : y’= k <=>
2
4
(x 2)


=1 <=> (x2)
2
=4 ( vô nghiệm)
TH2: k=1
Phương trình:y’= k <=>
2
4
(x 2)


=1<=> (x2)
2
=4 <=> x=0  x=4
 Tại điểm M
1
(0;1) .
Phương trình tiếp tuyến là : y=x1
 Tại điểm M
2

(4;3) .
Phương trình tiếp tuyến là : y=(x4)+ 3<=> y= x+ 7
11) Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi (C) và hai trục tọa độ
+ Hình phẳng :
x 2
y
x 2
y 0
x 0












. Pt :
x 2
x 2


=0 <=> x=2
+ Diện tích hình phẳng cần tìm : S=
0
2

x 2
.dx
x 2




=
0
2
x 2
.dx
x 2





=
0
2
4
( 1 ).dx
x 2

 


=(x4ln
x 2


)
0
2

=04ln2 +(2+4ln4)=4ln2 2
12) Cho hình (H) quay quanh trục Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo
thành .
+Hình phẳng :
x 2
y
x 2
y 0
x 0












quay quanh Ox
+ V=
2
0

2
x 2
.dx
x 2


 
 

 

=
2
0
2
4
1 .dx
x 2

 

 

 

=
0
2
2
8 16

1 .dx
x 2
(x 2)

 
 
 


 


= (x +8ln
x 2


16
x 2

)
0
2

=(0+8ln2+8) (2+8ln4+4)
=(68ln2) (đvtt)
13) Cho hình (H) quay quanh trục Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo
thành :
x 2
y
x 2




=> yx2y =x+2 <=> x=
2y 2
y 1



+Hình phẳng :
2y 2
x
y 1
y 0
x 0














quay quanh Oy

Pt :
2y 2
y 1


=0 <=> y=1
+ V=
2
0
1
2y 2
.dx
y 1

 

 

 

=
2
0
1
4
2 .dx
y 1

 


 

 

=
 
0
2
1
16 16
4 .dx
y 1
y 1

 
 
 
 


 


= (4x +16ln
y 1


16
y 1


)
0
1

=(0+16ln1+16) (4+16ln2+8)
=(1216ln2) ( đvtt)
