Giải đề thi thử chuyên ngữ năm 2011
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (140.34 KB, 3 trang )
ðÁP ÁN ðỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC VÀO LỚP 10 THPT
CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2011 – MÔN TOÁN
Câu
Ý NỘI DUNG ðiểm
I
2,0
I.1 Rút gọn P… (1 ñiểm)
P có nghĩa khi:
0
1
x
x
≥
≠
.
0,25
ðặt
1
1
1 1
x x x
M
x x
+ +
= + =
+ +
.
0,25
ðặt
1 2 1 2 1
1
1 1 1 ( 1)( 1)
x x x
N
x
x x x x x x x x
−
= − = − =
+
− + − − − + −
.
0,25
Vậy
2
: 1
1
x
P M N
x
+
= − =
−
.
0,25
I.2
Tìm x ñể (1 ñiểm )
( ) ( )
4 3 4 3 1 2 5
2 2 2
1
2 4 2 2
x
x x x
x x x
x P
+ + − +
− = − =
+ + +
+
0,25
Do ñó
( )
2 5 1 2 5
1 2 2 5 2 3 0
2 2 2 2
x x
Ycbt x x x x
x x
+ +
⇔ = ⇔ = ⇔ + = + ⇔ − − =
+ +
0,25
Giải ra
1
x
= −
(loại) và
3
x
=
. Từ ñó
9
x
=
.
0,25
ðối chiếu ñiều kiện và kết luận
9
x
=
là giá trị cần tìm
0,25
II
2,0
II.1
Giải phương trình (1 ñiểm )
2 2
3 2 3 7 2
x x x x
− − = − +
(1)
ðặt
( )
2 2 2
2 3 0 2 3
t x x t x x t
= − − ≥ ⇒ − = +
0,25
2 2
3
(1) 3 7 ( ) 3 4 0
t t t t+ +
⇔ = − ⇔ − =
1
1
4
t
t
t
=
⇔ ⇔ =
= −
(vì
0
t
≥
)
0,25
2 2 2
2 3 1 2 3 1 2 4 0 1 5
x x x x x x x⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ = ±
0,25
Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm là
1 5
x = ±
0,25
II.2
Giải hệ phương trình (1 ñiểm)
2
2
2 8 (1)
4 2 8 (2)
+ =
+ =
x xy
y xy
,
Cộng các vế tương ứng của(1) và (2), ta ñược:
( )
2
2 16
+ =
x y
2 4 4 2
2 4 4 2
+ = = −
⇔ ⇔
+ = − = − −
x y x y
x y x y
0,25
+) Với
4 2
= −
x y
: thế vào (2) ta ñược:
8 8 1 2
= ⇔ = ⇒ =
y y x .
Trường hợp này hệ có nghiệm (2; 1).
0,25
+) Với
4 2
= − −
x y
: thế vào (2) ta ñược:
0,25
8 8 1 2
= − ⇔ = − ⇒ = −
y y x .
Trường hợp này hệ có nghiệm (-2; -1).
Vậy hệ ñã cho có hai nghiệm (2; 1) và (-2; -1). 0,25
Chú ý: Có thể trừ từng vế hai phương trình ñược
2 2
2
4 0 ( 2 )( 2 ) 0
2
=
− = ⇔ − + = ⇔
= −
x y
x y x y x y
x y
.
Sau ñó thế vào một trong hai phương trình của hệ.
III
2,0
III.1
CMR:
(
)
3
3 1
m n m n
= − −
(1 ñiểm)
Theo ñịnh lý Vi-et ta có:
1 2
1 2
x x m
x x n
+ = −
=
.
0,25
Vì
2
2 1
x x
=
nên
2
1 1
3
1
x x m
x n
+ = −
=
0,25
Do ñó:
(
)
(
)
(
)
3
3 2 3 4 5 6 3 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 1 3
m x x x x x x x x x x
= − + = − + + + = − + + +
0,25
(
)
1 3
n m n
= − − +
=
(
)
3 1
n m n
− −
0,25
III.2
CMR: M cách ñều
1
0;
4
F
và
1
( ) :
4
d y
= −
(1 ñiểm)
Gọi
(
)
2
0 0 0 0
; ( )
M x y P y x
∈ ⇒ = .
0,25
Ta có
( )
2 2
2
2
2 2 2 4
0
0 0 0 0 0
1 1 1
0
4 4 2 16
x
MF x y x x x
= − + − = + − = + +
0,25
Khoảng cách từ M tới (d):
2
2
2 2 2 4
0
0 0 0 0
1 1 1 1
4 4 4 2 16
x
MH y x MH x x
= + = + ⇒ = + = + +
0,25
Từ ñó suy ra
MF MH
=
0,25
IV
3,0
IV.1
Chứng minh rằng
MN
song song với
DE
(1 ñiểm)
Ta có
90
BDC BEC
= = °
(gt).
Suy ra tứ giác BEDC nội tiếp.
0,25
Do ñó
BDE BCE
= (góc nội tiếp cùng chắn cung)
C
B
A
M
N
D
E
H
O
I
F
Mà
BCE BMN
= (góc nội tiếp cùng chắn cung
BN
của (O))
Suy ra
BDE BMN
=
.
0,5
Từ ñó MN // DE (do hai góc ñồng vị bằng nhau)
0,25
IV.2
Chứng minh
OA
vuông góc với
DE
(1 ñiểm)
Vì tứ giác BEDC nội tiếp nên
DBE DCE
=
(góc nội tiếp cùng chắn cung)
0,25
Do ñó
AM AN
=
(góc nội tiếp bằng nhau chắn cung bằng nhau)
Suy ra
OA MN
⊥
.
0,25
Mà MN // DE (câu a)
Suy ra
OA DE
⊥
.
0,5
IV.3
Tính bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác ADE theo R (1 ñiểm)
Gọi H là giao ñiểm của BD và CE.
Vì
90
BEH BDH
= = °
(gt) nên tứ giác ADHE nội tiếp ñường tròn ñường
kính AH
Do ñó bán kính ñường tròn ngoại tiếp
ADE
∆
là
2
AH
.
0,25
Hạ
OI BC
⊥
. Ta ñi chứng minh AH = 2OI
Cách chứng minh:
Vẽ ñường kính CF, ta có
2
BF
OI =
(t/c ñường trung bình của
CBF
∆
) và
BF = AH (cạnh ñối hình bình hành AHBF). Do ñó AH = 2OI.
0,25
Vì
60
BAC
= °
nên
120 60
BOC BOI
= ° ⇒ = °
.
0,25
Từ ñó bán kính ñường tròn ngoại tiếp
ADE
∆
là
cos60
2
R
OI OB
= ° =
0,25
V Tìm giá trị nhỏ nhất 1,0
ðặt
2 2 2
, ,
xy yz zx
a b c A a b c
z x y
= = = ⇒ = + +
0,25
Ta có
2 2 2
1
ab bc ca y z x
+ + = + + =
0,25
Vì
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 0 1
a b b c c a a b c ab bc ca A
− + − + − ≥ ⇒ + + ≥ + + ⇒ ≥
Dấu bằng xảy ra
3
3
a b c x y z⇔ = = ⇔ = = = (do
, , 0
x y z
>
)
0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 (khi
3
3
x y z= = = )
0,25
Nhận xét:
, ,
x y z
không cần thiết phải là các số dương. Tuy nhiên ñiều
kiện xảy ra dấu bằng khi ñó là
2 2 2
1
3
x y z
= = =
(có 8 trường hợp).
