Đề thi học sinh giỏi tỉnh bắc giang môn toán lớp 11 năm học 2013 2014 (có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có
01
trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG
Ngày thi: 29/3/2014
Thời gian làm bài
180
phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (
4,0
điểm)
1) Giải phương trình
  
22
3 4sin 3 4sin 3 1 2 os10 .x x c x   

2) Tìm
x
để
2
sin ; sin 2 ; 1 sin7x x x
theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Câu 2 (
6,0
điểm)
1) Một đoàn tàu có 4 toa chở khách với mỗi toa có ít nhất 5 chỗ trống. Trên sân ga có 5 hành
khách chuẩn bị lên tàu. Tính xác suất để trong 5 hành khách lên tàu đó có một toa có 3 khách lên,
hai toa có 1 khách lên và một toa không có khách nào lên tầu.
2) Tìm hệ số của số hạng chứa
13
x
trong khai triển
3
2 15
1
( ) (2 1)
4
f x x x x

   


thành đa thức.
3) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện
1 2 3 2014
1 2 3
n
P P P nP P     
, với
n
P
là số

các hoán vị của tập hợp có n phần tử.
Câu 3 (
2,0
điểm). Tính
 
2014
2
1
2014 +2013
lim
1
x
xx
x





Câu 4 (
6,0
điểm)
1) Cho đường tròn
 
O
và dây cung AB thay đổi sao cho AB luôn đi qua điểm I cố định nằm
trong đường tròn
 
O
(I không trùng với tâm O). Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn

IA IB IM
.
2) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có
0
a3
=a; '= ; 60 .
2
AB AD AA BAD
Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của A'D' và A'B', E là giao điểm của MN và A'C'.
a) Tính cosin của góc tạo bởi đường thẳng BE và mặt phẳng (ACC'A').
b) Chứng minh rằng AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN).
Câu 5 (
2,0
điểm). Cho các số thực dương
 
,a b a b
và hai dãy số
   
;
nn
uv
xác định như sau:
11
*
11
;
; . , .
2
nn

n n n n
u a v b
uv
u v u v n






   



Chứng minh rằng hai dãy
   
;
nn
uv
có giới hạn hữu hạn và
lim lim
nn
uv
.
HẾT
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1 (Họ tên và ký)
Giám thị 2 (Họ tên và ký)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

HDC ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NGÀY THI 29/3/2014
MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG
(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)


Câu
Hướng dẫn giải
Điểm
Câu 1

(4đ)
1.1.
(2.0
điểm)

Xét
sin 0 , .x x k k
Thay vào phương trình ban đầu, không thỏa mãn.
Xét
sin 0 , (*).x x k k

Nhân hai vế của phương trình đã cho với

sinx

0.5
Phương trình tương đương với
sin9 sin 2cos10 sin sin11 sin 0x x x x x x

0.5
5
cos6 sin 5 0
12 6
xm
xx
xn
,
,mn

0.5
Kết hợp với (*) ta được nghiệm của phương trình là
5
12 6
xm
xn
,
5 ; , , .m k m n k

0.5

1.2
(2.0
điểm)

2
sin ; sin 2 ; 1 sin7x x x
lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
2
sin 1 sin7 2sin 2  x x x

0.5
sin 1 sin7 1 os4x
2 os4xsin3x os4x
    

x x c
cc

0.5
os4x=0 c
hoặc
1
sin3x
2


0.5
84
2
18 3
52
18 3
xk
xk

xk
,
.k

KL.
0.5

Câu 2

(6đ)
2.1
(2.0
điểm)
Gọi A là biến cố cần tính xác suất.
Số cách xếp 5 khách lên 4 toa là
5
| | 4

0.5
Số cách chọn ba khách để xếp lên cùng một toa là
3
5
10C
.
Số cách chọn một toa để xếp ba người này là
1
4
4C

0.5

Số cách xếp hai người (mỗi người một toa) vào ba toa còn lại là
2
3
A6

Suy ra
| | 10.4.6 240
A

0.5
Vậy xác suất cần tìm là
5
||
240 15
.
| | 64
4
A
P

0.5


2.2
(2.0
điểm)
Ta có
6 15 21

11
( ) (2x+1) .(2x+1) (1 2x)
64 64
fx
.
0.5
Ta có
21
21
21
0
(1 2 ) 2
k k k
k
x C x

0.5
Hệ số của số hạng chứa
13
x
trong khai triển của
21
(2x+1)
là
13 13
21
2C

0.5
Vậy hệ số của số hạng chứa

13
x
trong khai triển thành đa thức của
()fx
là
13 13 13 7
21 21
1
2 2 26046720
64
CC

0.5
2.3
(2.0
điểm)

Ta có
11
! ( 1)! ( 1)! 1 ( 1)
k k k
P P k k k k k P
, k = 1, 2, (*)
0.5
Áp dụng (*) ta có
2 1 1 3 2 2 1
, 2 , ,
n n n
P P P P P P P P nP
(**)

0.5
Cộng các đẳng thức ở (**) ta được
1 1 1 2
2
nn
P P P P nP
.
Do
1
1P
nên
1 1 2
12
nn
P P P nP

0.5
Khi đó điều kiện đã cho thành
1 2014
1 2014 2013.
n
P P n n

Kết luận.
0.5

Câu 3

(2 đ)
2.0

điểm
   
2014 2014 2013 2012
22
1 1 1
2014 +2013 ( 1) 2014( 1) 1 2014
1
11
x x x
x x x x x x x
lim lim lim
x
xx
  
        




0.5
2013 2012
1
( 1) ( 1) ( 1)
1
x
x x x
lim
x

0.5

2012 2011 2011
1
1 1 ( 1) 1
x
lim x x x x x x

0.5
2014.2013
2013 2012 1 2027091.
2

0.5

Câu 4

(6đ)

4.1
(2.0
điểm)
E
O
B
A
I


Gọi E là trung điểm của AB khi đó
2IA IB IE
suy ra

2IM IE

0.5


Ta có OE và AB vuông góc suy ra E thuộc đường tròn đường kính OI.
0.5
Xét phép vị tự tâm I tỉ số 2 biến điểm E thành điểm M; Gọi (C) là đường tròn
đường kính OI.
0.5
Vậy quỹ tích của điểm M là đường tròn (C') là ảnh của đường (C) qua
2
I
V
hay (C')
là đường tròn tâm O bán kính OI.
0.5

4.2a
(2 .0
điểm)
I
O'
O
E
N
M
B'
A'
C'

C
D
A
B
D'


Gọi O là giao điểm của AC và BD
Suy ra AC vuông góc với BD; CC' vuông góc với BD theo giả thiết.
D (ACC'A')B
. Vậy OE là hình chiếu của BE trên mặt phẳng (ACC'A').
0.5
Góc (BE, (ACC'A')) = góc (BE, OE) = góc BEO.
0.5
Xét tam giác EOO' vuông tại O', tính được
15
EO
4
a
.
0.5
Trong tam giác BEO vuông tại O. Tính được
2 15
tan BEO=
15
.
Vậy cosin của góc giữa đường thẳng BE và (ACC'A') là
15
19
.

0.5

4.2b
(2.0
điểm)
Theo chứng minh trên ta có BD vuông góc AC' (1)
0.5
Gọi O' là trung điểm của A'C'; I là giao điểm của OO' và AC'.
Chứng minh được tam giác OO'E và tam giác AOI bằng nhau.
0.5
Suy ra
00
OAI=EOO'; OAI+OIA 90 EOO'+OIA 90

Từ đó chứng minh được EO vuông góc với AC' (2)
0.5
Từ (1) và (2) suy ra AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN).
0.5

Câu 5

(2đ)


2.0
điểm
Ta có

2 1 1 1
11

21
22
v u v ab b v
uv
ab
u a u

Chứng minh bằng quy nạp
1 2 1 2
;
kk
v v v u u u

0.5

11
11
.
2
kk
k k k k
uv
u u v v
(do
11kk
uv
)

1
1

;
.
2
k k k k
kk
kk
v u v v
uv
uu

0.5
1 2 1 1 1

k k k k
v v v v u u u
.
Vậy
()
n
u
giảm và bị chặn dưới;
()
n
v
tăng và bị chặn trên nên tồn tại
lim ; lim
nn
uv

0.5

1
.
22
nn
n
uv
u

Vậy
lim lim
nn
uv

0.5


Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic.
Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng.
- Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần
tương ứng.