Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 - GV. Ngô Quang Minh

10/13/2012
1
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
§1. ĐẠO HÀM
§1. Đạo hàm

§2. Vi phân
§3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị
§4. Công thức Taylor
§5. Quy tắc L’Hospital
………………………………………………………

1.1.

Các đ
ịnh nghĩa


a) Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số

()
yfx

xác định trong lân cận
(;)
ab
của
0
(;)
xab

. Giới hạn:
00
00
()()
limlim
xx
fxxfx
y
xx






(nếu có) được gọi là đạo hàm của
()
yfx


tại
0
x
.

Ký hiệu là
0
()
fx

hay
0
()
yx

.
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

Nhận xét. Do
0

xxx

nên:
0
0
0
0
()()
()lim.
xx
fxfx
fx
xx







b) Đạo hàm một phía


Cho hàm số
()
yfx

xác định trong lân cận phải

0

(;)
xb
của
0
x
. Giới hạn
0
0
0
()()
lim
xx
fxfx
xx





(nếu có)
được gọi là đạo hàm bên phải của
()
yfx

tại
0
x
.

Ký hiệu là

0
()
fx


. Tương tự,
0
()
fx


.

Nhận xét. Hàm số
()
fx
có đạo hàm tại
0
x
khi và chỉ khi

000
()()().
fxfxfx




ØØ
ChươngChương

4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 1. Cho
3
()(0)
fxxf


,

()(0)
fxxf



.

c) Đạo hàm vô cùng
• Nếu tỉ s
ố
y
x




khi
0
x

thì ta nói
()
yfx

có

đạo hàm vô cùng
tại
0
x
.

•
Tương tự, ta cũng c
ó các khái niệm đạo hàm vô cùng
một phía.

Chú ý



Nếu
()
fx

liên tục và có đạo hàm vô cùng tại
0
x

thì tiếp
tuyến tại
0
x
của đồ thị
()
yfx

song song với trục
Oy
.
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

1.2. Các quy tắc tính đạo hàm

1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số:

()
uvuv


;
()
uvuvuv


;

2
,
kkv
k
v
v














¡
;
2
uuvuv
v
v













.

2) Đạo hàm của hàm số hợp
()[()]
fxyux

:

()().()
fxyuux



hay
()().()
yxyuux


.

3) Đạo hàm hàm số ngược của
()
yyx

:
1
()
()
xy
yx



.
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân

hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Đ
ạo hàm của
một số
hàm số sơ cấp


1)


1
.
xx



; 2)


1
2
x
x

 ;

3)


sincos
xx

 ; 4)


cossin
xx

 ;


5)


2
1
tan
cos
x
x

 6)


2
1

cot
sin
x
x

 ;

2
1tan
x

;
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

7)


xx
ee



; 8)


.ln
xx
aaa


;


9)


1
ln x
x


; 10)


1
log
.ln
a
x
xa


 ;


11)


2
1
arcsin=
1
x
x


; 12)


2
1
arccos=
1
x
x



;


13)



2
1
arctan
1
x
x



; 14)


2
1
cot
1
arcx
x




.
10/13/2012
2
ØØ
ChươngChương
4. 4.

PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

1.4. Đạo hàm cấp cao

• Giả sử

()
fx
có đạo hàm
()
fx

và
()
fx

có đạo hàm thì


()()
fxfx



 là đạo hàm cấp hai của
()
fx
.

•
Tương tự ta có:


()(1)
()()
nn
fxfx


 là đạo hàm cấp
n
của
()
fx
.
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột

biếnbiến
sốsố
VD 4. Cho hàm số
2
()sin
fxx

. Tính đạo hàm
(6)
(0)
f
.
A.
(6)
(0)32
f

; B.
(6)
(0)32
f

;
C.
(6)
(0)16
f

; D.
(6)

(0)0
f

.
Giải. Ta có
()sin2()2cos2
fxxfxx




(4)
()4sin2()8cos2
fxxfxx




(5)(6)
()16sin2()32cos2
fxxfxx

.
Vậy
(6)
(0)32
fA

.
ØØ

ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
§2. VI PHÂN
Nhận xét

•
0
().0()
fxAxx

0
()
0()
fx
x
A
xx





2.1. Vi phân cấp một


Hàm số
()
yfx

được gọi là
khả vi
tại
0
f
xD

nếu
000
()()()
fxfxxfx

có thể biểu diễn
dưới
dạng:
0
().0()
fxAxx



với

A
là hằng số và
0()
x

là VCB khi
0
x

.
Khi đó, đại lượng
.
Ax

được gọi là
vi phân
của h
àm
số
()
yfx

tại
0
x
. Ký hiệu
0
()
dfx
hay

0
()
dyx
.
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 1. Tính vi phân cấp 1 của
23
()
x
fxxe

tại
0
1
x

.

0
0

0
()
()
x
fx
AfxA
x





.

00
()().
dfxfxx


hay
()().
dfxfxx


.
•
Chọn
()()
fxxdfxxdxx


.

Vậy
()().
dfxfxdxdyy
hy
x
a
d




Giải. Ta có
233
()(23)(1)
x
fxxxefe





Vậy
3
(1)
dfedx


.

ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

VD 2. Tính vi phân cấp 1 của
2
arctan(1)
yx

.

Giải. Ta có
2
2222
(1)2
1(1)1(1)
xx
y
xx






.

Vậy
22
2
1(1)
x
dydx
x


.
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số
ln(arcsin)
2
x
y


.

Giải. Ta có
ln(arcsin)
ln(arcsin)2ln2
x
yx








ln(arcsin)
2
1
2ln2
1arcsin
x
xx






ln(arcsin)

2
2ln2
1arcsin
x
dydx
xx


.
10/13/2012
3
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số
ln(sin)
yx

.
Giải. Ta có
2
cos1

sin
sin
x
yy
x
x

 .
Vậy
2
2
2
sin
dx
dy
x
 .

2
.2.
Vi phân
cấp cao


Giả sử
()
yfx

có đạo hàm đến cấp
n

thì:

1()
()
nnnn
dyddyydx




được gọi là vi phân cấp
n
của hàm
()
yfx

.
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

VD 5. Tính vi phân cấp

n
của hàm số
2
x
ye

.

Giải. Ta có
222
22
xx
yeye



2
()2
2
2
nnx
nnxn
y
dye
e
dx



.

VD 6. Tính vi phân cấp 2 của
()tan
fxx

tại
0
4
x


.

Giải. Ta có
2
()1tan
fxx




2
()2tan(1tan)4
4
fxxxf













.

Vậy
22
4
4
dfdx











.
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép

tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

Chú ý


Khi
x
là một hàm số độc lập với
y
thì công thức
()
nnn
dyydx

không còn đúng nữa.
……………………………………………………………
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm

mộtmột
biếnbiến
sốsố
§3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

3.1. Các định lý


3.1.1. Bổ đề Fermat

Cho hàm số
()
fx
xác định trong
(;)
ab
và có đạo hàm
tại
0
(;)
xab

. Nếu
()
fx
đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất)

tại
0

x
trong
(;)
ab
thì
0
()0
fx


.


3.1.2. Định lý Rolle


Cho hàm số
()
fx
liên tục trong
[;]
ab
và khả vi trong
(;)
ab
. Nếu
()()
fafb

thì

(;)
cab

sao cho
()0
fc


.

ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

3.1.3. Định lý Cauchy

Cho hai hàm số
()
fx
,
()
gx

liên tục trong
[;]
ab
, khả vi

trong
(;)
ab
và
()0,(;)
gxxab


.

Khi đó,
(;)
cab

sao cho:
()()()
.
()()()
fbfafc
gbgagc






3.1.4. Định lý Lagrange

Cho hàm số
()
fx
liên tục trong
[;]
ab
, khả vi trong
(;)
ab
.
Khi đó,
(;)
cab

sao cho:
()()
().
fbfa
fc
ba





ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
§4. CÔNG THỨC TAYLOR

4
.
1.
Công thức khai triển Taylor


a) Khai triển Taylor với phần dư Peano



Cho hàm
()
fx
liên tục trên
[;]
ab
có đạo hàm đến cấp

1
n

trên
(;)
ab
với
0
,(;)
xxab

ta có:

()
0
0 0
0
()
()().
!
(())
k
n
k
n
k
fx
fxxOxxx
k


 


10/13/2012
4
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

b
) Khai triển Maclaurin

•
Khai triển Taylor với phần dư Peano tại
0
0
x

được
gọi là
khai triển Maclaurin

.
Vậy
()
0
(0
()
)
().
!
n
k
n
k
k
f
fxx
k
Ox




•
Khai
triển Maclaurin được viết lại:

2
()
(0)(0)
()(0)

1!2!
(0)

!
()
n
n
n
ff
fxfxx
f
x
x
n
O




ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

VD 1. Khai triển Maclaurin của
()tan
fxx

đến
3
x
.

Giải. Ta có:
(0)0
f

,


2
()1tan(0)1
fxxf


,


3
()2tan2tan(0)0
fxxxf



,


222
()2(1tan)6tan(1tan)
fxxxx





(0)2
f


.

Vậy
233
(0)(0)(0)
tan(0)++++0()
1!2!3!
fff
xfxxxx



33
1
0()

3
xxx

.
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

4.2. Các khai triển Maclaurin cần nhớ
1)
2
1
1 0()
1
nn
xxxx
x


.
2)
2

1 0()
1!2!!
n
xn
xxx
ex
n
 .
3)
234
ln(1) 0()
1234
n
xxxx
xx

.
4)
246
cos1 0()
2!4!6!
n
xxx
xx

.
5)
357
sin 0()
1!3!5!7!

n
xxxx
xx

.
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

Chú ý

Nếu
()
ux
là VCB khi
0
x

thì ta thay
x
trong các

công thức trên bởi
()
ux
.

VD 2. Khai triển Maclaurin hàm số
2
1
13
y
x


đến
6
x
.


Giải.
2
1
1()
3
x
y




222236
1(3)(3)(3)0()
xxxx



2466
139270()
xxxx

.
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

VD 3. Khai triển Maclaurin của
2
ln(12)
yx

đến

6
x
.


Giải.
2
ln[1(2)]
yx



2223
26
(2)(2)
(2)0()
23
xx
xx



2466
8
220()
3
xxxx

.
ØØ

ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

VD 4. Khai triển Maclaurin của hàm số
2
x
y

đến
4
x
.

Giải. Biến đổi:
ln2
ln2
2
x
xx
yee

.

Vậy
ln2
2
xx
e


234
4
ln2(ln2)(ln2)(ln2)
10()
1!2!3!4!
xxxx
x

234
2344
ln2ln2ln2
1ln20().
2624
xxxxx

10/13/2012
5
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính

vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 5. Cho hàm số
()cos2
fxxx

. Tính
(7)
(0)
f
.
Giải. Ta có:
246
6
(2)(2)(2)
cos210()
2!4!6!
xxx
xx


(7)
(7)
(0)64
(0)448
7!6!

f
f .

3
7
5
7
416
()0()
2
6
!
64
!
4!
xx
x
x
fxx

……………………………………………
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột

biếnbiến
sốsố
§5. QUY TẮC L’HOSPITAL
Định lý (quy tắc L’Hospital)
Cho hai hàm số
()
fx
,
()
gx
khả vi trong lân cận của điểm
0
x
và
()0
gx


trong lân cận của
0
x
(có thể
0
()0
gx


).

Nếu

0
()
lim
()
xx
fx
gx

có dạng
0
0
hoặc


thì:
00
()()
limlim.
()()
xxxx
fxfx
gxgx





Chú ý
§
Ta c

ó thể áp dụng
quy tắc
L
’
Hospital
nhiều lần.

ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Giải
.
2
00
(2)
limlim
2
()
xxxx
xx
eeee
L

x
x








00
()
limlim1
(2)2
xxxx
xx
eeee
x






.

VD 1. Tìm giới hạn
2
0
2

lim
xx
x
ee
L
x




.
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

VD 2. Tìm giới hạn
22
22
0
sin
lim
.arctan

x
xx
L
xx


 .
A.
0
L

; B.
L

; C.
1
2
L

; D.
1
3
L

.

Giải
.
Khi
0

x

, ta có:
2222
224
sinsin
.arctan
xxxx
xxx

:


22
4
0
sin
lim
x
xx
L
x


 .
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính

vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố

3
0
2sin2
lim
4
x
xx
L
x





2
0
22cos2
lim
12
x
x
x






0
4sin2
lim
24
x
x
x




0
8cos21
lim
243
x
x
D

.
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi

phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 3. Tìm giới hạn


3
0
limln
x
Lxx


 (dạng
0

).

Giải
.
Ta có:


3
0
ln
lim
x

x
L
x






4
0
1
lim
3
x
x
x







3
0
lim0
3
x
x





.
10/13/2012
6
ØØ
ChươngChương
4. 4.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 4. Tìm giới hạn
1
1
1
lim
x
x
Lx


 (dạng
1


).

Giải. Ta có:
1
1
ln
1
lim
x
x
x
Le




ln
lim
1
1
1
ln
1
1
lim
x
x
x
x

x
x
ee







1
lim
1
x
x
ee


.
……………………………………………………………………