bài tập mũ và logarit với biểu thức

Hoàng Ngọc Phú Page 1

MŨ VÀ LOGARIT VỚI BIỂU THỨC


1. a. Tính B =
xxxx
2007432
log
1

log
1
log
1
log
1

với x = 2007!
Sử dụng công thức
b
a
a
b
log
log
1

, hơn nữa 2007 ! > 1 nên ta có :
2007log 3log2log
xxx


=
)2007 3.2(log
x
=
x
x
log
=1
b. Tương tự câu a.
c. Tính C =
0000
89tanlog 3tanlog2tanlog1tanlog 

Ta có
01log89tanlog1tanlog
00



01log88tanlog2tanlog
00




01log46tanlog44tanlog
00


0
45tanlog
= 0. Do đó C = 0
6. Tìm GTNN của hàm số:
ln x
y
x



2
3
x 1;e

ln x
y f(x)
x

  

2
3
x 1;e

lnx( lnx)
f (x)
x




2
2

f (x) x x e

    
2
0 1

f(1)=0;
2
2
4
()fe
e

;
3
3
9
()fe
e

GTNN là f(1)=0; GTLN là
2
2
4
()fe
e



7. Cho hàm số
2
sin
2
x
x
y e x  
Tìm GTNN của hàm số và CMR f(x)=3 có đúng 2 nghiệm.
2
( ) sin
2
x
x
y f x e x   

( ) cos
x
f x e x x

  

( ) sin 1 0
x
f x e x

   

 Suy ra f’(x) đồng biến trên R, f’(0)=0

 Suy ra f’(x)>0 khi x>0 và f’(x)<0 khi x<0
 Suy ra f(x) đồng biến khi x>0 và nghịch biến khi x<0
 GTNN là f(0)=1

22
( ) 1 1 sin 1
22
xx
xx
y f x e x e        

 Mà
2
lim 1
2
x
x
x
e


   



 
lim
x
fx


 

 Và
2
lim 1
2
x
x
x
e


   



 
lim
x
fx

 

Bảng biến thiên hàm số cho ta f(x)=3 có đúng 2 nghiệm phân biệt.
8. Tìm Max, Min :
13
. 5
xx
ay
  


,
66
sin cos
. 4
xx
by



Hoàng Ngọc Phú Page 2

ĐS: a.
2
25 ;25
b.
4; 2

12. Cho
11
1 lg 1 lg
10 ; 10
xy
yz


với x, y, z > 0. Chứng minh
1
1 lg
10

z
x


.
Tương tự bài 24.

16. Cho a,b là 2 số thực thỏa
01ab  
. Chứng minh
22
ln ln ln lna b b a a b  
.
Bpt
22
ln ln
11
ab
ab


. Chứng minh hàm số
2
ln
()
1
x
fx
x



đồng biến trên khoảng
(0;1)
.
18. CM hệ phương trình
2
2
2007
1
2007
1
x
y
y
e
y
x
e
x












có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0.
Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số
 
2
2007
1
x
x
f x e
x
  

.
Nếu x < 1 thì
 
02007
1


exf
suy ra hệ phương trình vô nghiệm.
Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x
0
= 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh.
19. Cho
0 ba
. Chứng minh rằng
11
22
22

ba
ab
ab
   
  
   
   

BĐT
11
ln 2 ln 2
11
22
ln 2 ln 2
22
ab
ab
ab
ab
ba
ab
   

   
   
   
     
   
   
. Xét

 
1
ln 2
2
x
x
fx
x





với x > 0
Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với
0 ba
ta có
 
bfaf )(
(Đpcm).
20. Rút gọn biểu thức sau :
a.
   
111
44
 aaaaaaA

   
111
44

 aaaaaaA
=
   
111
44
 aaaaaa

=
  
11211
22
 aaaaaaaaa

b.
 
2
333
33
: baab
ba
ba
B 














 
2
333
33
: baab
ba
ba
B 












=
     
 
2
333

33
2
333
2
333
:
.
baab
ba
bbaaba





















=
     
1:.2
2
33
2
33
2
3







 bababa

c.
2
31
13
13
3
.














b
a
b
a
C

2
31
13
13
3
.














b
a
b
a
C
=
2
2
31
2
33
. a
b
a
b
a




d.
5152
53
3.2
6



D

Hoàng Ngọc Phú Page 3

5152
53
3.2
6


D
=
183.2
3.2
3.2
21
5152
5353




e.
 
2327
15
15
.





aa
a
E

 
2327
15
15
.




aa
a
E
=
1
4
4
2327
15



a
a

a
a

f.
7172
72
5.2
10


F

7172
72
5.2
10


F
=
55
5.2
5.2
1
7172
7272




g. G =
33
257257 

33
257257 G

GG .257.257.3257257
33
3


20143
3
 GGG

h. H =
324324 

324324 H
=
       
2131313131313
22


i. K =
33
809809 

33
809809 K

KK .809.809.3809809
33
3


30183
3
 KKK

23.
a/ Từ giả thiết :
      
2 2 2
2 log log
aa
a c b c b c b c b c b         

11
2 2log .log log log
log log
c b c b c b c b
c b c b
a a a a
aa
   

     

b/ Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có :
2
b ac

Lấy lo ga rít cơ số N 2 vế :
1 1 1 1
2log log log
log log log log
N N N
b a c b
b a c
N N N N
      

log log log log log log log
log .log log .log log log log
a b b c a a b
a b c b c b c
N N N N N N N
N N N N N N N
  
   

. ( đpcm )
c/ Nếu :
log ,log ,log
x y z
a b c
tạo thành cấp số cộng thì

log log 2log
x z y
a c b

2log .log
1 1 2
log
log log log log log
ac
b
a c b a c
xz
y
x z y x z
    


d/ Nếu :
 
2
2
22
79
3
ab
a b ab a b ab ab


      



. Lấy lê be 2 vế ta có :
ln ln
2ln ln ln ln
3 3 2
a b a b a b
ab
  
   
   
   
   

24.
Hoàng Ngọc Phú Page 4

a. Cho các số dương a, b thõa mãn
abba 124
22

. CMR:
   
baba loglog
2
1
2log22log 

abba 124
22


 
abba 162
2

. Do a, b dương nên
abba 42 
. Khi đó logarit cơ số 10 hai vế
ta được
 
abba log
2
1
4log2log 
hay
   
baba loglog
2
1
2log22log 

b. Cho a =
blog1
1
10

, b =
clog1
1
10


. CMR: c =
alog1
1
10


Giả sử a,b,c đêu dương và khác 10. Để biểu diễn c theo a, ta rút logb từ biểu thức a =
blog1
1
10

và thế
vào biểu thức b =
clog1
1
10

( sau khi lấy logarit 10 2 vế) ta có:
a =
blog1
1
10


a
b
b
a
log
1

1log
log1
1
log 


.
Mặt khác, từ b =
clog1
1
10

suy ra
c
b
log1
1
log


. Do đó :
a
c
aa
a
c
ca log1
1
log
1log

1
1
1log
log
log1
log1
1
log
1
1








. Tù đó suy ra c =
alog1
1
10



c. CMR: 2 <
2
5
2log3log
32



AD BĐT Cauchy cho các số dương ta có :
2122log.3log22log3log
3232


( không xảy ra dấu “=” vì
2log3log
32

). Mặt khác ta lại có :
  
(*)023log13log2023log53log20
2
5
3log
1
3log
2
5
2log3log
222
2
2
2
232


Hơn nữa,

2log23log2
22

nên
013log2
2

. Mà
4log3log
22

nên
023log
2


Từ đó suy ra (*) luôn đúng. Vậy ta có đpcm.
d. Cho a, b
1
. CMR:
2
ln
2
lnln baba 



Vì a, b
1
nên

2
ln,ln,ln
ba
ba

không âm. AD BĐT Cauchy ta có :
baba ln.ln2lnln 

Suy ra
 
 
2
lnlnln.ln2lnlnlnln2 babababa 

Mặt khác
 
ba
ba
ab
ba
lnln
2
1
2
ln
2





. Từ đó ta có
 
2
lnln
4
1
2
ln ba
ba



Hay
2
ln
2
lnln baba 



Hoàng Ngọc Phú Page 5

e. CMR:
2008log2007log
20072006

. Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát.
Ta CM bài toán tổng quát
   
1,2log1log

1


nnn
nn

Thật vậy, từ
     
12121
2
 nnnnn
suy ra
 
     
22loglog12log
2
1
12log
111
1
2



nnnnnn
nnn
n

AD BĐT Cauchy ta có :
   

2log.log22loglog2
1111


nnnn
nnnn

Do đó ta có
 
2loglog1
11


nn
nn
và
   
2log1log
1


nn
nn

1n

25. Cho
 
24
4



x
x
xf
. Tính S =




















2007
2006

2007

2
2007
1
fff