Bài tập Hình học giải tích trong không gian

- 1 -
A// PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1.Lập phương trình mặt phẳng α trong các trường hợp sau:
a) α đi qua M(-3;2;0) có VTPT
)1;2;1(
−=
n

b)α đi qua M(1;4;2) có cặp VTCP
)3;1;2(=a

)1;4;1(−=b

c) α đi qua M(-2;1;1) và //mặt phẳng β:x –3y +z –2 =0
d) α là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với
A(-1;4;3) B(1;2;1)
e)α đi qua 3 điểm A(-4;3;1) B(1;-2;2) C(-1;1;3)
f)α chứa trục Oy và // CD;với C(3;-1;0) D(4;2;-3)
g)α chứa trục Oz và ⊥ mặt phẳng β: x –2y +3z –1 =0
h) α đi qua 2 điểm A(3;-2;2) B(1;3;1) và vuông góc
mặt phẳng β:2x –z +3 =0
i)α đi qua điểm A(-1;4;2) và ⊥ 2 mặt phẳng
P: x – y +2z –1 = 0 Q: 2x + y – z + 4 = 0
2.Cho 2 điểm A(-1;3;2) B(1;2;1).Lập phương trình mặt
phẳng α đi qua B sao cho khoảng cách từ A đến α là lớn nhất
3.Cho 4 điểm A(5;1;3) B(-2;0;1) C(3;1;-1) D(1;1;3).
Lập phương trình mặt phẳng α qua 2 điểm A,B và cách
đều 2 điểm C,D
4. Cho 4 điểm A(-2;1;3) B(1;2;-1) C(5;0;2) D(-1;3;0)
a)Lập phương trình mặt phẳng (BCD),suy ra ABCD
là 1 tứ diện

b)Lập phương trình mặt phẳng α qua 2 điểm A,B và //CD
c)Lập phương trình mặt phẳng β qua 2 điểm A,C và
⊥ với mặt phẳng γ: 2x + y – 3z + 5 = 0
5.Lập phương trình mặt phẳng α qua điểm M(5;4;3),cắt 3
trục toạ độ những đoạn bằng nhau
6.Cho mặt phẳng α :3x – y +2z –1 = 0 và điểm A(1;1;-1)
a)Tìm toạ độ hình chiếu H của A trên α
b)Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua α

B//VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG
1.Xét vị trí tương đối của 2 mặt phẳng sau:
a)(α): 2x-y+z-3=0 và (β): 3x+2y-z =0
b)(α): x-2y+z+1=0 và (β): 2x-4y+2z +2=0
c)(α): x-y+2z-1=0 và (β): -3x+3y-6z +4=0
2.Xác định l ,m để các cặp mặt phẳng sau song song với nhau
a) (α): 2x +ly +3z –5 =0 và (β): mx -6y –6z +2 =0
b) (α): 3x -5y +mz –3 =0 và (β): 2x +ly –3z +1 =0
c) (α): mx +3y -2z –1 =0 và (β): 2x -5y –lz +4 =0
3.Cho 2 mặt phẳng (α): x –my +2z –m-3 =0
(β): (3m-1)x –2y +(m+3)z –8 =0
Tìm m để a)(α)//(β) b)(α) ≡(β) c)(α) cắt (β)
4.Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa giao tuyến của 2
mặt phẳng (P): x + y - 2z + 3 =0 ; (Q): 2x - y + z – 2 = 0
và đi qua điểm M(-1;3;2)
5. Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa giao tuyến của 2
mặt phẳng (P): 2x – y + z - 2 = 0 ; (Q): x +3y –z +1=0 và
// mặt phẳng (R): x + y – z – 10 = 0
6.Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa giao tuyến của 2
mặt phẳng (P): 3x +y -2z +2 =0 ; (Q): x -y +z -1=0
và ⊥mặt phẳng (R):2x-y+3z-2=0

7.Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa giao tuyến của 2
mặt phẳng (P): x –2y +z =0 ; (Q): 2x -y +1=0
và // trục tung
8.Xác định l ,m để 3 mặt phẳng sau cùng đi qua 1 đường
thẳng : (P): 2x – y + z -1 = 0 ;
(Q): x + y + 2z + 2 = 0
và (R): lx + 3y – z + m = 0
C//ĐƯỜNG THẲNG
1.Lập phương trình tham số ,chính tắc và tổng quát của các
đường thẳng sau:
a) d đi qua điểm M(3;-2;1) và có VTCP
)5;2;1(−=a

b) d đi qua 2 điểm A(1;0;3) B(2;-1;2)
c)d đi qua điểm M(2;1;-3) và vuông góc với mặt phẳng
(α):x -2y +z -2=0
2.Lập phương trình tham số của các đường thẳng sau:
a)



=+−
=+−+
032
052
yx
zyx
b)




=++
=+−
012
073
zx
zx

c)



=−++
=−−+
072
0132
zyx
zyx
d)



=
=++−
0
013
y
zyx
3.Lâp phương trình tổng quát của các đường thẳng sau:
- 2 -

a)





−=
+−=
+=
tz
ty
tx
25
1
22
b)





+−=
+=
−=
tz
ty
tx
41
32
c)đi qua điểm M(3;-1,1) và song song

đường thẳng d:



=−+−
=−+−
0253
012
zyx
zyx

4.Cho đường thẳng (d):





+=
+−=
−=
tz
ty
tx
3
21
2

a)Tìm toạ độ điểm M ∈d và cách điểm A(2;3;2) một
khoảng bằng 3
b)Tìm toạ độ hình chiếu của điểm B(6;1;-9) trên đường

thẳng (d)
5.Cho đường thẳng d :





+−=
+=
−=
tz
ty
tx
3
21
2
và điểm A(2;3;4)
Tìm điểm M trên d cách A 1 khoảng bằng 11
6.Cho đường thẳng d :



=+−−
=−++
0142
04
zyx
zyx
Tìm điểm M trên d cách điểm A(1;2;– 4) một khoảng bằng 7
7.Lập phương trình mặt phẳng α qua A và chứa d trong

các trường hợp sau:
a) A(-3;1;1) (d):





=
+−=
−=
tz
ty
tx
2
1
2

b) A(2;-1;1) (d):



=−+
=−+−
012
032
zy
zyx

8.Lập phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng
a) d:






+−=
+=
−=
tz
ty
tx
1
21
3
lên mặt phẳng α: x + y – 2z + 3 = 0
b) d:



=−−+
=−+−
052
013
zyx
zyx
lên mặt phẳng α : x – 2y – z – 3 = 0
9.Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) d:






=
−=
+=
tz
ty
tx
2
2
31
d’ :





−=
+=
−=
tz
ty
tx
43
21
62

b) d:




=++
=−−−
073
02
zy
zyx
d’ :





+=
−−=
+=
tz
ty
tx
4
21
4

c) d:



=−++
=−+−

0924
06
zyx
zyx
d’ :





−=
−−=
+=
tz
ty
tx
6
32
22

10.Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng sau
a) (d):





−=
+=
−=

tz
ty
tx
2
32
1
(α):2x – y + 4z + 26 =0
b) (d):





+−=
−=
+=
tz
ty
tx
41
22
(α):x – 2y - z + 5 =0
c) (d):



=−−+
=−+
02427
072

zyx
yx
(α):x + 5y + 3z – 5 =0

11Cho điểm A(-4;3;-1) và đường thẳng (d):



=+−+
=−+
0124
02
zyx
zy
a)Lập phương trình mặt phẳng α qua A và vuông góc d
b)Tìm giao điểm H của d và α
12.Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A(-1;3;1) qua
mặt phẳng (α): x –2y +2z –4 =0
7. Cho 2 điểm A(2;1;-2) B(1;2;0) và mặt phẳng
α :2x+y–z+2=0
a)Chứng minh rằng đường thẳng AB cắt α
b)Tìm giao điểm của AB với α
8 Cho mặt phẳng α : 2x –y +z -3 =0 và 2 điểm A(3;-1;2)
B(1;-4;3)
a)Chứng minh rằng 2 điểm A,B nằm về 1 phía với α
b) Tìm điểm M∈α sao cho tổng AM + BM nhỏ nhất
- 3 -
6. Cho 2 điểm A(-1;3;2), B(-9;4;9) và mặt phẳng
(α): 2x – y + z + 1 =0
a)Chứng minh rằng 2 điểm A,B nằm về 1 phía với α

b)Tìm điểm M
∈
α sao cho tổng MA +MB nhỏ nhất
18.Cho mặt phẳng α: 2x + y – z + 1 = 0 và hai điểm
A(3;- 1;1) ,B(- 1;- 2;1)
a)Chứng minh rằng A và B nằm về 2 phía đối với α
b)Tìm điểm M ∈ α sao cho lớn nhất
.Cho mặt phẳng (α):2x + y + z – 5 = 0
và đường thẳng (d):



=+−
=−++
0z2yx
04z2yx3
Lập phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với (d) qua (α)
.Cho đường thẳng (d):



=−
=−+
0yx2
0zyx
và 3 điểm A(2;0;1) ,B(2;– 1;0) ,C(1;0;1)
a)Tính thể tích tứ diện OABC
b)Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho : đạt giá trị nhỏ nhất
.Cho 3 điểm A(a;0;0) ,B(0;b;0) ,C(0;0;c) với abc ≠ 0 .Gọi d là đường thẳng qua
O có vectơ chỉ phương = ( )

Tìm giao điểm H của d và mặt phẳng (ABC) và chứng minh

13.Cho đường thẳng d :





+=
+−=
−=
tz
ty
tx
3
1
2
Tìm điểm M trên d
cách đều 2 mặt phẳng α: x – y + 2z + 1 = 0
Và β: 2x + y – z + 8 = 0

14.Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của 2
đường thẳng sau:
(d
1
):
11
1
2
3

−
=
−
+
=
− zyx
(d
2
):
3
1
2
2
1
1 +
=
−
=
+ zyx

1: Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng
(d):



=−+−
=−
0323
02
zyx

zx
và vuông góc với mặt phẳng
(
β
):x –2y +z –3 =0
15.Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
d:



=−+
=−+−
01
03
zy
zyx
và // đường thẳng d’:
11
1
2
1 zyx
=
−
−
=
+
16.Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;-2;2) và
cắt cả 2 đường thẳng
d:






−−=
=
+=
tz
ty
tx
1
2
1
d’:
1
2
1
1
2
4
−
=
+
=
−
zyx
2. Lập phương trình đường thẳng qua điểm M(-4;-5;3) và
cắt hai đường thẳng
(d
1

):
2
1+x
=
2
3
−
+y
=
1
2
−
−z
và (d
2
):
2
2−x
=
3
1+y
=
5
1
−
−z
3. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;3;1)
và cắt 2 đường thẳng
(d
1

):



=++−
=+
04
0
zyx
yx
và (d
2
):



=−+
=−+
02
013
zy
yx
17.Lập phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng
α: 2x – y + z – 2 = 0 và cắt hai đường thẳng
d:






+−=
=
−=
tz
ty
tx
22
3
và d:





−−=
+=
+=
tz
ty
tx
2
21
3

7. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0;1;1),
vuông góc với đường thẳng (d
1
):
=
−

3
1x
1
2+y
=
1
z
và
cắt đường thẳng (d
2
) :



=+
=+−+
01
02
x
zyx
8. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểmA(3;2;1),
vuông góc và cắt đường thẳng (d):
2
x
=
4
y
=
1
3+z

9. Lập phương trình đường vuông góc chung của 2 đường
thẳng (d
1
):
1
7−x
=
2
3−y
=
1
9
−
−z
và (d
2
):
7
3
−
−x
=
2
1−y
=
3
1−z
10. Lập phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng
(d):
3

2−x
=
4
2+y
=
1
1−z
lên mặt phẳng (α): x + 2y + 3z + 4 = 0
KHOẢNG CÁCH
- 4 -
1.Tính khoảng cách từ
a)điểm M(-2;-4;3) đến mặt phẳng α: 2x – y + 2z – 3 = 0
b)điểm N(2;-1;-1) đến mặt phẳng α: 16x – 12y - 15z – 4 = 0
c)điểm P(4;2;-2) đến mặt phẳng α: 12 y - 5z + 5 = 0
2.Tìm điểm M trên trục Ox cách đều 2 mặt phẳng
α : 2x – y + z – 1 = 0 và β: 2x – y + z + 5 = 0
3.Tìm điểm M trên trục Oy cách đều điểm A(4;-1;-4)
và mặt phẳng α: 2x – y + 2z + 19 = 0
4.Tính khoảng cách từ
a)điểm M(1;-2;1) đến đường thẳng
2
1
2
1
1
2
−
=
−
+

=
−
zyx
b)điểm N(3;0;-1) đến đường thẳng



=−−+
=−+−
052
012
zyx
zyx
5.Tính khoảng cách giữa các đường thẳng sau:
a)
2
3
12
1 +
=
−
=
+ zyx
và
1
2
3
4
1
2

−
−
=
−
=
−
zyx
b)
2
1
3
4
1
3 +
=
+
=
− zyx
và
2
5
1
2
3 −
−
=
−
=
zyx
6.Cho 3 điểm A(a;0;0) ,B(0;b;0) ,C(0;0;c) với a,b,c là 3 số dương thay đổi

và thoả mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 3 . Xác định a,b,c sao cho khoảng cách từ gốc toạ
độ O đến mặt phẳng (ABC) đạt giá trị lớn nhất
GÓC
1.Tìm góc tạo bởi đường thẳng d :
2
2
1
1
2
2
−
−
=
−
=
+
zyx

với các trục toạ độ
2.Tính góc giữa các đường thẳng sau:
a) d:






+−=
−=
+=
t1z
t22y
t1x
và d’:





+=
=
−=
t21z
ty
t32x
b) d:
2
1z
2
1y
1
2x
−
=
−

+
=
−
và d’:



=−−+
=−+−
01zyx
03zyx2
3.Tính góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng sau:
a) d:





+=
+−=
−=
t21z
t21y
t2x
và α: 2x – y + z – 3 = 0
b) d:



=−

=−+
02y
01zx
và α : y – z = 0
4.Tính góc giữa 2 mặt phẳng sau:
a) α : x - 2y + 1 = 0 và β : 2x + y – z + 1 = 0
b) α : x + 3y – z + 2 = 0 và β : 2x – y –z + 4 = 0
5.Lập phương trình mặt phẳng α chứa đường thẳng
d:



=+−−
=−++
04zy4x
04zy2x
và tạo với
mặt phẳng β : x – y + 2z – 3 = 0 1 góc φ = 60
0
.Lập phương trình mặt phẳng α đi qua hai điểm M(0;0;1) ,N(3;0;0) và
tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc ϕ = 60
o
6.Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường
thẳng d trong các trường hợp sau:
a) M(2;-3;6) d:






+=
−=
+−=
tz
ty
tx
21
3
32
b) M(0;-4;-1) d:



=−+
=+−−
05
0132
zx
zyx
c)M(-3;1;-1) d:



=+−
=−−
05z2y
013y3x4
7.Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng
α trong các trường hợp sau:
a) M(-1;3;1) α: x – 2y + 2z – 4 = 0

b) M(4;2;-1) α: 2x – y + z + 7 = 0
c) M(-2;1;1) α: x + 2y - z – 5 = 0
8.Cho đường thẳng d:





=
+−=
−=
tz
ty
tx
21
3

và mặt phẳng α : 2x – y + 2z – 3 = 0
a)Tìm giao điểm A của d và α
b)Lập phương trình đường thẳng d’nằm trong α biết rằng
d’ cắt d và d’ vuông góc với d
4. Cho mặt phẳng (α): x + y + z = 0 và đường thẳng
(d):



=−−
=−+
07z2x3
03y2x

a)Tìm giao điểm của (d) và α
b)Lập phương trình đường thẳng đi qua giao điểm ấy,nằm
trong mặt phẳng (α) và vuông góc với (d)
MẶT CẦU
- 5 -
1.Tìm tâm và bán kính các mặt cầu sau:
a) x
2
+ y
2
+ z
2
-2x + 4y -8z +12 = 0
b) x
2
+ y
2
+ z
2
–6y +2z –6 =0
c) 2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
+8x –4y +2z –3 =0
2.Chứng minh rằng mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S),
tìm tâm và bán kính của đường tròn thiết diện:
a) (S): x

2
+ y
2
+ z
2
–8x –4y +2z –43 =0 ; (α): 2x – y +z +7 =0
b) (S): x
2
+ y
2
+z
2
+4x –2y -2z –19 =0 ; (α): x +2y -z -5 =0
3.Lâp phương trình tiếp diện với mặt cầu tại điểm M :
a) (S): x
2
+ y
2
+z
2
–6x +4y –36 =0 tại điểm M(1;1;6)
b)(S): x
2
+ y
2
+z
2
+4x -2y +6z –107 =0 tại điểm M(4;-1;6)
4.Lập phương trình tiếp diện với mặt cầu
(S): x

2
+ y
2
+ z
2
- 2x + 4y – 20 = 0 song song với
mặt phẳng (α): 2x – y + z – 1 = 0
5.Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(-1;2;3) ,
B(-4;1;-1) ,C(0;2;2) và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxz
6.Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2;-1;2) tiếp xúc
với mặt phẳng α : x - 2y + 2z – 5 = 0
7.Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x – 2y + 10z – 19 = 0
và đường thẳng d :
4
9
5
11
3
5
−
−
=
+
=

+ zyx

a)Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu
b)Lập phương trình tiếp diện với mặt cầu tại các giao điểm ấy

11. Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng
(d)



=−++
=−−+
014zy5x4
07zy4x2
và tiếp xúc với 2 mặt phẳng
(P): x + 2y –2z –2 =0 và (Q): x + 2y –2z + 4 =0
12. Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
-10x + 2y + 26z –113 = 0 và song song với 2
đường thẳng
2
5x +
=
3
1y

−
−
=
2
13z +
và
3
7x +
=
2
1y
−
+
=
0
8z −
13. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
(d):



=−−
=−+−
0z2yx
030z8y11x8
và tiếp xúc với mặt cầu
(S): x
2
+ y
2

+ z
2
+ 2x - 6y + 4z –15 = 0
13. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
(d): = = và tiếp xúc với mặt cầu
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 4y – 6z – 67 = 0
14. Lập phương trình mặt cầu tâm I(2;3;-1) và cắt đường
thẳng (d):



=−+−
=++−
08zy4x3
020z3y4x5
tại 2 điểm A,B sao cho AB = 16