Dap an de thi thu khoi A lan 2 chuyen Lam son

1

Trường THPT chuyên Lam sơn
ðÁP ÁN
ðỀ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG NĂM HỌC 2010-2011. Môn thi :Toán khối A
Câu
Ý
Nội dung ðiểm
I 2,00
1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi
2.
m
=

1,00
V
ớ
i
2
m
=
, suy ra
3 2
2 3 2.
y x x
= − +

•
T

ậ
p xác
ñị
nh :
ℝ
.
•

lim ; lim .
x x
y y
→−∞ →+∞
=−∞ = +∞

•
2
' 6 6 6 ( 1), ' 0 0 hoÆc 1.
y x x x x y x x
= − = − = ⇔ = =

•
C§
(0) 2, (1) 1.
CT
y y y y
= = = =

0,50

• B
ả
ng bi
ế
n thiên:













0,25


ðồ
th
ị
hàm s
ố
:

0,25
I
2

Tìm
m

ñể

ñồ
th
ị
hàm s
ố
(1)
1,00
Ta có
2
' 6 6( 1) 6 ( 1).
y x m x x x m
= − − = − +

ðồ
th
ị
hàm só có c
ự
c tr
ị
khi và ch
ỉ
khi y’ có hai nghi
ệ
m phân biêt
1.
m
⇔ ≠


0,25
T
ọ
a
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
:

3 2
(0; ), ( 1; ( 1) ) : ( 1)
A m B m m m AB y m x m
− − − + ⇒ =− − +

0,25
Ba
ñ
i
ể
m A, B,
(3;1)
I thẳng hàng thẳng hàng khi và chỉ khi
I AB
∈

0,25
⇔
2
4
1 ( 1) .3
3
m m m
=− − + ⇔ =
ho
ặ
c
1
m
=

(lo
ạ
i).
ð
S:
4
.
3
m =

0,25
Cách khác
: Th
ự
c hi
ệ
n phép chia y cho y’, ta
ñượ
c
2
1
' ( 1) .
3 6
x m
y y m x m
 
−


= − − − +





 

T
ạ
i
1 2
,
x x
là nghi
ệ
m c
ủ
a
' 0,
y
=
suy ra
2
( ) ( 1) ( 1,2).
i i i
y y x m x m i
= = − − + =

Suy ra pt ñt ñi qua hai ñiểm cực trị A, B:
2
( 1) .

y m x m
=− − +


0,25


Ba ñiểm A, B,
(3;1)
I thẳng hàng thẳng hàng khi và chỉ khi
I AB
∈

⇔
2
4
1 ( 1) .3
3
m m m
=− − + ⇔ =
hoặc
1
m
=
(loại). ðS:
4
.
3
m =
0,50

II

2,00
1

Giải phương trình
1,00
−∞

x

'
y

y

+∞

−∞

+∞

0

2

1

1

0

0

+

−

+

x

y

3 / 2

1
0
2
1
1 / 2
−

2

ð/k:
sin 0,sin sin cos cos 0.
4 4 4 4
x x x x x
π π π π

       
   
   
≠ + − + − ≠
   
   
   
   
       


0,25
Ta có
tan tan tan cot 1.
4 4 2 4 4 4 4
x x x x x x
π π π π π π π
           
     
     
+ + − = ⇒ + − = + + =
     
     
     
     
           

Phương trình ñã cho trở thành
2 2 3 3
cos

sin (7cos 3) sin 3cos 7cos 0
sin
x
x x x x x
x
= − ⇔ + − =
3
4cot 3cot 1 0
x x
⇔ − − =
cot 1
x
⇔ =
hoặc
1
cot .
2
x
−
=




0,50

cot 1
x
=
(koại do ñ/k). Với

1 1
cot arccot ( ).
2 2
x x k k
π
 
− −


= ⇔ = + ∈




 
ℤ

0,25
2

Giải bất phương trình:
2
2 2 3 2
x x x x
+ + − − ≤ −
(1)
1,00
ð/k:
2
[ ; ).

3
x
∈ +∞
(
)
2
(1) 2 3 2 ( 2) 0
x x x x
⇔ + − − + − − ≤

2
( 2) 1 0
2 3 2
x x
x x
 
−



⇔ − + + ≤





 
+ + −
. (2)

0,50

ðặt
2 2
( ) 1, ( )
3
2 3 2
f x x x
x x
−
= + + ≥
+ + −
là hàm ñồng biến trên
2
;
3
 
+∞


 

Suy ra
2 5 3
( ) 0
3 3 2
f x f
 



≥ = − >




 
. Vậy
(2) [2/3;2].
x
⇔ ∈


0.50
III
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
1,00
Pt hoành ñộ giao ñiểm:
(
)
(
)
2
2
2 2
4 2 0
2 2 4
3 4 5 0
x x
x x x

x x x x


+ − ≥


+ + = + ⇔


+ − + =



1
5.
x
x

=

⇔

=−



0,25

Với
2

[ 5;1] 2 4 2.
x x x x
∈ − ⇒ + ≥ + −
Vậy diện tích cần tìm là
( )
1
2
5
2 4 2
S x x x dx
−
= + − − +
∫

2 1
2 2
5 2
( 5 ) ( 3 4)
x x dx x x dx
−
− −
= − − + − − +
∫ ∫



0,50

2 1
3 2 3 2
5 2
5 3 27 27
4 27
3 2 3 2 2 2
x x x x
x
−
− −
   
−
 
 
 
= − − + − + = + =
 
 
 
 
 
   
(
ñ
vdt).

0,25
IV

Ch
ứ
ng minh
'
AB BD
⊥
và tính
( ',( '))
d A ABD

1,00

Trong tam giác ABD, ta có:
2 2 2 0 2
2 . cos60 3
BD AB AD AB AD a
= + − =

2 2 2
AB BD AB ABD
⇒ + = ⇒ ∆
vuông t
ạ
i B
Nh
ư
v
ậ
y :
( 'D'D)

DD' ( )
AB BD
AB BB
ABCD

⊥


⇒ ⊥


⊥



'.
AB BD
⇒ ⊥


G
ọ
i ' '
O AD A D O
= ∩ ⇒
là trung
ñ
i
ể
m A’D,

Suy ra
( ',( ')) ( ,( ')).
d A ABD d D ABD
=

K
ẻ

' ( ' ).
DH D B H D B
⊥ ∈
(1)
T
ừ
( ' ' )
AB BB D D AB DH
⊥ ⇒ ⊥
(2)
T
ừ
(1) và (2) suy ra
( ') ( ,( ') .
DH ABD d D ABD DH
⊥ ⇒ =

0,25







0,50
0
60

A
A’
B
B’
C’
C
D
D’
H
O
3

Trong tam giác BDD’ vuông t
ạ
i D, có DH là
ñườ
ng cao, suy ra
2 2 2

1 1 1 3 3
( ';( ')) .
' 2 2
a a
DH d A ABD
DH DB DD
= + ⇒ = ⇒ =


0,25
V
Ch
ứ
ng minh b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
1,00
Áp d
ụ
ng b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c Bu-nhi-a-c

ố
p-xki ta có:
(
)
( )
2
1 2 1 2 2 2 2( )
x y x y
+ + + ≤ + +
và
2
2 2 2
1 1 3
( ) 1. . 2 1 ( 2 ) .
2 2
2
x y x y x y
 
 




+ = + ≤ + + =










 
 
Suy ra
6
.
2
x y+ ≤
Do
ñ
ó
1 2 1 2 4 2 6.
x y
+ + + ≤ +





0,25



Ta l
ạ
i có
(
)

2
1 2 1 2 2 2( ) 2 1 2( ) 4
x y x y x y xy
+ + + = + + + + + +
2 2( ) 2 1 2( ).
x y x y
≥ + + + + +

M
ặ
t khác
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2
( ) 2 ( 2 ) .
2 2 2 2
x
x y x xy y y x y x y+ = + + ≥ + = + = ⇒ + ≥

Do
ñ
ó
1 2 1 2 1 1 2.
x y
+ + + ≥ + +

0,75




Theo chương trình chuẩn 3,00
VI.a
1

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình các
ñườ
ng th
ẳ
ng
AD
và
BC

1,00
Gi
ả
s
ử
ta
ñ
ã xác

ñị
nh
ñượ
c các
ñườ
ng th
ẳ
ng AD và BC tho
ả
mãn bài toán.
ðườ
ng th
ẳ
ng AB
ñ
i qua
ñ
i
ể
m
( 5;0).
E
−

ðườ
ng th
ẳ
ng BC
ñ
i qua

ñ
i
ể
m
( 1;4)
N
−
có pt
d
ạ
ng
2 2
( 1) ( 4) 0,( 0).
a x b y a b
+ + − = + ≠
Ta có
( )
. ( , ) . ( , )
ABCD
AB d AB CD S BC d AD BC
= =

2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
d AB CD d AD BC d E d d M BC
= ⇔ =
2 2
4 2
1 4
a b

a b
− − −
⇔ =
+
+

2 2
11 20 4 0
b ab a
⇔ − − =
⇔
2
b a
=
ho
ặ
c
11 2 .
b a
=−





0,50
V
ớ
i
2 ,

b a
=
ch
ọ
n
1 2.
a b
= ⇒ =
Suy ra
: 2 7 0.
BC x y
+ − =

Vì
/ / :1( 3) 2( 3) 0 2 3 0.
AD BD AD x y x y
⇒ + + − = ⇔ + − =


0,25


V
ớ
i
11 2 ,
b a
=−
ch
ọ

n
11 2.
a b
= ⇒ =−
Suy ra
:11 2 19 0.
BC x y
− + =

Vì
/ / :11( 3) 2( 3) 0 11 2 39 0.
AD BD AD x y x y
⇒ + − − = ⇔ − + =


0,25
M
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có m
ộ
t vtpt
(3;12; 3),
P
n
= −

mp(Q) có m
ộ

t vtpt
(3; 4;9).
Q
n = −


L
ấ
y
1 2
( ), ( ),
A d B d
∈ ∈
suy ra
( 5 2 ;3 4 ; 1 3 ), (3 2 ; 1 3 ;2 4 ).
A t t t B s s s
− + − − + − − + +


0,25
Suy ra
(8 2 2 ; 4 4 3 ;3 3 4 ).
AB t s t s t s
= − − − + + − +


N
ế
u AB là
ñườ

ng th
ẳ
ng c
ầ
n tìm thì
. 0
. 0.
P
Q
n AB
n AB


=




=



 
 


0,25
Suy ra
( 3; 1;2), (5; 4; 2)
1

3 1 2
: .
1
8 3 4
(8; 3; 4)
A B
t
x y z
AB
s
AB

− − − −


=

+ + −
 
⇒ ⇒ = =
 
 
= −
− −
= − −






0,25
2

Th
ử
th
ấ
y các
ñ
i
ể
m A, B không thu
ộ
c các m
ặ
t ph
ẳ
ng (P), (Q).
Vây ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng c
ầ
n tìm là
3 1 2

: .
8 3 4
x y z
AB
+ + −
= =
− −


0,25
3

Tìm s
ố
các s
ố
….
1,00

Gi
ả
s
ử
l
ậ
p
ñượ
c s
ố

1 2 3 4 5 6
x a a a a a a
=
tho
ả
mãn yêu c
ầ
u bài toán. Ta có
1 2 3 4 5 6 1 2 3 1 2 3 4 5 6
1 2( ) 1 16
a a a a a a a a a a a a a a a
+ + = + + + ⇒ + + = + + + + + + =



0,25

4

1 2 3
8.
a a a
+ + =
Các b
ộ
ba ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p
{
}
0;1;2;3;4;5
có t
ổ
ng b
ằ
ng 8 là
{
}
{
}
{

}
0;3;5 , 1;2;5 , 1;3;4 .

V
ớ
i
{
}
{
}
{
}
{
}
1 2 3 4 5 6
, , 0;3;5 , , 1;2;4 .
a a a a a a
= ⇒ =
Tr
ườ
ng h
ợ
p này l
ậ
p
ñượ
c
2.2!.2!
(s
ố

).
V
ớ
i
{
}
{
}
{
}
{
}
1 2 3 4 5 6
, , 1;2;5 , , 0;3;4 .
a a a a a a
= ⇒ =
Tr
ườ
ng h
ợ
p này l
ậ
p
ñượ
c
3!.2!
(s
ố
).
V

ớ
i
{
}
{
}
{
}
{
}
1 2 3 4 5 6
, , 1;3;4 , , 0;2;5 .
a a a a a a
= ⇒ =
Tr
ườ
ng h
ợ
p này l
ậ
p
ñượ
c
3!.2!
(s
ố
).


0,50

V
ậ
y s
ố
các s
ố
l
ậ
p
ñượ
c tho
ả
mãn yêu c
ầ
u bài toán là
2.2!.2! 3!.2! 3!.2! 32
+ + =
(s
ố
).
0,25


Theo chương trình nâng cao 3,00
VI.b
1

Tìm to
ạ

ñộ
các
ñ
i
ể
m B, C
1,00
Ta có
2
IA
= ⇒
ðườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác ABC có pt:
2 2
( 1) 4.
x y
+ + =

0,25
To
ạ

ñộ
c
ủ

a các
ñ
i
ể
m B, C c
ầ
n tìm là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
pt:
2 2
2 2
1
9 4
( 1) 4.
x y
x y



+ =





+ + =






0,25
2 2
2
( 1) 4
5 18 9 0
x y
x x


+ + =

⇔


+ + =


2 2
3
3,
5
( 1) 4
x x
x y


−


= − =


⇔



+ + =





0,25
V
ớ
i
3 0,
x y
=− ⇒ =
suy ra B ho
ặ
c C trùng A (lo
ạ
i).
0,25

V
ớ
i
3 4 6
.
5 5
x y
−
= ⇒ =±
Nh
ư
v
ậ
y
3 4 6 3 4 6
; , ;
5 5 5 5
B C

   
− − −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
ho
ặ
c
3 4 6 3 4 6
; , ; .
5 5 5 5
B C
   
− − −
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   


0,25
2

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)
ñ
i qua các
ñ
i
ể
m
1,00
G
ọ
i
2 2 2
( ; ; ) ( 0)
n a b c a b c
= + + ≠


là vtpt c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng (P), thì vì (P)
ñ
i qua A, B nên
n

vuông góc v
ớ
i
( 5; 13;12)
AB
= − −


5 12
. 0 5 13 12 0 .
13
a c
n AB a b c b
− +
⇒ = ⇒ − − + = ⇒ =
 


0,25

G
ọ
i
ϕ
là góc gi
ữ
a mp(P) và mp(Oxz) thì
.
cos ,
.
n j
n j
ϕ =
 
 
trong
ñ
ó
(0;1;0)
j
=

là vtpt c
ủ
a
m
ặ
t ph
ẳ
ng

( ).
Oxz
V
ậ
y
2 2 2
cos .
b
a b c
ϕ =
+ +

N
ế
u
0,
b
=
thì
0
cos 0 90
ϕ ϕ
= ⇒ =
có giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t.

0,25


C
1
: N
ế
u
0,
b
≠
thì
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
cos .
169( )
1 1
( 5 12 )
a b c a c a c
b b a c
ϕ = = =
+ + + +
+ +
− +

Ta có:

2 2 2 2 2
( 5 12 ) (25 144)( ) 169( ),
a c a c a c
− + ≤ + + = +
nên
0
1 2
cos 45 .
1 1 2
ϕ ϕ
≤ = ⇒ ≥
+

D
ấ
u
" "
=
x
ả
y ra khi
12 5 .
a c
− =
Ch
ọ
n
5,
a
=

thì
12
c
= −
và
13.
b
= −

V
ậ
y pt mp(P) là
5( 2) 13 12( 5) 0 5 13 12 70 0.
x y z x y z
− − − + = ⇔ − − − =

C
2
:
2 2 2 2 2
2 2
5 5 1
cos .
5 2 2
12 13
13. 12 50
5
b b
a b c
c b c

b c
b
ϕ
= = = ≤ =
+ +
−
   
+ + − +
   
   
0
45 ,
Min
ϕ
=
khi
12 13
13 12 0,
5
c c b
a
b
−
− = =
. Suy ra
( ): 5 13 12 70 0.
P x y z
− − − =

0,50

5

VII.b

Tìm d
ạ
ng l
ươ
ng giác c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c
3
z

1,00
Ta có:
2 2
6(1 ) 4( 3 4 ) 6(1 2 ) 4 3 16 4 3 4
i i i i i i
+ + − = + + + − = −

3 1
8
2 2
i
 
= −
 
 

8 cos sin
6 6
i
π π
 
− −
   
= +
   
 
   
 
và
2 2
1 2 2 cos sin .
2 2 4 4
i i i
π π
 
 
− −






− = − = +









 

 


0,50


Do ñó
8 cos sin
6 6
4 2 cos sin
6 4 6 4
2 cos sin
4 4

i
z i
i
π π
π π π π
π π
 
   
− −
 
 
 
= +
 
 
 
 
 
 
   
   
− −
 
 
 
 
= = + + +
 
 
 

 
 
 
   
− −
 


+




 

3
4 2 cos sin 128 2 cos sin .
12 12 4 4
i z i
π π π π
   
       
   
   
   
= + ⇒ = +
   
   
   
   

   
       
   



0,50

Ghi chú
: Câu
VI.b2
có th
ể
gi
ả
i theo cách sau:
Vì
( ),
A mp Oxz
∈
nên m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)
ñ
i qua AB s
ẽ
c
ắ

t mp(Oxz) theo giao tuy
ế
n
∆

ñ
i qua A và n
ằ
m trên m
ặ
t
ph
ẳ
ng (Oxz). G
ọ
i B’ là hình chi
ế
u c
ủ
a B trên m
ặ
t ph
ẳ
ng (Oxz) và H là hình chi
ế
u c
ủ
a B trên
∆
thì góc


'
BHB
ϕ
=
là góc gi
ữ
a mp(P) và mp(Oxz).
Ta có

'
tan tan ' ,
'
BB
BHB
B H
ϕ
= = nh
ư
ng BB’ không
ñổ
i còn
' ' ,
B H B A
≤
nên
'
tan .
'
BB

B A
ϕ
≥ D
ấ
u b
ằ
ng x
ả
y ra khi H trùng
A, t
ứ
c là góc
ϕ
có giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.




0,25


Khi góc
ϕ
có giá tr

ị
nh
ỏ
nh
ấ
t, ta g
ọ
i
u

là vtcp c
ủ
a
∆
, thì vì
∆

n
ằ
m trong Oxz nên
u

vuông góc v
ớ
i vtpt
(0;1;0)
j
=

c

ủ
a Oxz,
và
u

vuông góc v
ớ
i vect
ơ

(5;13; 12),
BA
= −

ta ch
ọ
n
[ , ] (12;0;5).
u BA j
= =
  



0,25




M

ặ
t khác mp(P) ch
ứ
a A, B và
∆
, nên vtpt
n

c
ủ
a (P) cùng
ph
ươ
ng v
ớ
i vect
ơ

[ , ] (65; 169; 152).
BA u
= − −
 

0,25



Ta ch
ọ
n l

ạ
i
(5; 13; 12)
n
= − −

, pt mp(P):
5( 2) 13( 0) 12( 5) 0 5 13 12 70 0.
x y z x y z
− − − − + = ⇔ − − − =

0,25





Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong ñáp án mà ñúng thì ñược ñủ ñiểm từng phần như ñáp
án qui ñịnh
.


A
B
B’
H
Oxz

∆

n


u
