Bài giảng nhận dạng mặt bậc 2

NHẬN DẠNG MẶT BẬC 2


Nhận dạng mặt bậc 2
Phương trình tổng quát của mặt bậc 2:
Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz
+ ax + by + cz + d = 0
trong đó ít nhất 1 số hạng bậc 2 phải khác 0.


Phương trình chính tắc của mặt bậc 2

x2 y2 z 2
+ 2 + 2 =1
2
a
b
c
2

2

2

2

2

x +y +z =R

2

2

( + + +)
Mặt cầu

2

x
y
z
+ 2 − 2 =1
2
a
b
c
2

Ellipsoid

2

x
y
z
+
−
=
−
1

2
2
2
a
b
c

Hyperboloid 1 tầng.

( + + −, C ≠ 0 )
Hyperboloid 2 tầng.


2

2

2

x
y
z
+
−
=
0
2
2
2
a

b
c
2

Nón

( + + −, C = 0 )

2

x
y (Dạng thường gặp của nón)
z = 2+ 2
a
b
2
2
x
y
cz + d = 2 + 2 Paraboloid elliptic ( + + )
a
b
2

2

2

x
y

cz + d = 2 − 2
a
b

Paraboloid hyperbolic ( + − )


2

2

2

2

x
y
+
=
1
2
2
a
b

Trụ elliptic

x
y
− 2 =1

2
a
b

Trụ hyperbolic

y 2 = 2 px

Trụ parabolic

2 biến


Hình ảnh các mặt cơ bản
z

Ellipsoid

y
x
2

2

2

x
y
z
+

+
=
1
a 2 b2 c 2


Mặt cầu

x2 + y 2 + z 2 = R2


Hyperboloid
Hai tầng
2

z

2

x
y
z= 2− 2
a
b

x2 y2
z= 2− 2
a2 b 2
2

x
y
z
+ 2 − 2 = −1
2
a
b
c

Một tầng
z2

x
y2
z= 2− 2
a
b

x2 y2 z 2
+ 2 − 2 =1
2
a
b
c


Nón
z

y

x

2

2

2

z
x
y
= 2+ 2
2
c
a
b


Vẽ nón


Vẽ nón


Paraboloid elliptic

2

2

x
y
z= 2 + 2
a
b

z = 2− x − y
2

2


Vẽ paraboloid elliptic

2

2

x
y
z= 2 + 2
a
b


Vẽ paraboloid elliptic

2

2

x
y
z= 2 + 2
a
b


Parapoloid hyperbolic

2

2

x
y
z= 2 − 2
a
b


Trụ elliptic
z

Cách vẽ các mặt trụ:
1.Vẽ đường chuẩn ( là
đường cong bậc 2 trong
phương trình mặt)
2.Cho đường bậc 2 di
chuyển dọc theo trục

không chứa biến xuất
hiện trong phương trình
mặt

y
x

x2 y2
+ 2 =1
2
a
b


Vẽ trụ
2

2

x
y
+ 2 =1
2
a b


Vẽ trụ
2

2

x
y
+ 2 =1
2
a b


Trụ hyperbolic
z

x

y

2

2

x
y
− 2 =1
2
a
b


Trụ parabolic
z

z

y 2 = 2 px
y

x

x

y
2

y = 2 px

y = 2 pz
2


Cách phân loại mặt bậc 2:
• Đưa dạng toàn phương trong phương trình
tổng quát về chính tắc.
• Khử các số hạng bậc nhất (nếu có số hạng bậc
2 đi chung) để đưa pt về dạng chính tắc và nhận
dạng.
Trong chương trình chỉ vẽ những mặt chính tắc.


Ví dụ
x 2 − xy + z 2 + x = 0
2

2
y
y


⇔x− ÷ −
+ z2 + x = 0
2
4

2
Y
Y
2
2
⇔X −
+Z +X + =0
4
2
2

1 1
1 1
2

2
⇔  X + ÷ − ( Y − 1) + Z − + = 0
2 4
4 4




x 2 + 2 xy + 2 y 2 + z 2 = 9
⇔ ( x + y) + y + z = 9
2

2

2

z = x + 4 xy − y
2

2

⇔ z = ( x + 2y) − 5y
2

z = x − 4 xy + 4 y
2

⇔ z = ( x − 2y)

2

2

2

2 x + 2 y − 5 z + 2 xy − 2 x − 4 y − 4 z + 2 = 0
2

2

2

2

y 3 2

2
⇔ 2  x + ÷ + y − 5z − 2 x − 4 y − 4 z + 2 = 0
2 2

3 2
Y

2
⇔ 2 X + Y − 5Z − 2  X − ÷− 4Y − 4 Z + 2 = 0
2
2

2
2
1 3
2
2



⇔ 2  X − ÷ + ( Y − 1) − 5  Z + ÷
2 2
5


1 3 4
4
= −2 + + − = −
2 2 5
5
2


2 x 2 − y 2 − 2 yz − 8 x − 2 z + 9 = 0
⇔ 2 x − ( y + z ) + z 2 − 8x − 2z + 9 = 0
2

2

⇔ 2 X 2 − Y 2 + Z 2 − 8 X − 2Z + 9 = 0
⇔ 2 ( X − 2 ) − Y + ( Z − 1) = 0
2

2

2