đề thi toán cao cấp a1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

(

Câu 1: Tính 1− 3i

)

ĐỀ THI MÔN TOÁN CAO CẤP 1-HỆ CAO ĐẲNG

Thời gian làm bài: 90 phút

Số báo danh:

ĐỀ SỐ 1
9

x + 2 y + az = 3

Câu 2: Cho hệ phương trình tuyến tính 3x − y − az = 2
2 x + y + 3z = 3

a
=
10
a) Giải hệ trên khi
.
b) Xác định a để hệ có vô số nghiệm.
Câu 3: Trong không gian P2 các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2. Cho ánh xạ f : P2 → P2
xác định bởi: f (a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) = a 1 + (−4a 0 + 4a 1 ) x + (−2a 0 + a 1 + 2a 2 ) x 2

a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {1; x; x 2 } của P2 .
c) Tìm trị riêng và vectơ riêng tương ứng của f.
3
x +1
Câu 4: Tính giới hạn lim x → −1
x2 + 3 − 2
 sin 2 x
, x≠0

Câu 5: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y =  x
, tại điểm x 0 = 0 .
0 , x = 0
Thông qua bộ môn
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

(

Câu 1: Tính − 1+ 3i

)

ĐỀ THI MÔN TOÁN CAO CẤP 1-HỆ CAO ĐẲNG
Thời gian làm bài: 90 phút

ĐỀ SỐ 2

Số báo danh:

9

3x + 3y + (a + 3)z = 6

Câu 2: Cho hệ phương trình tuyến tính 5x + (−a + 3)z = 5
4 x + y = 5

a) Giải hệ trên khi a = 11 .
b) Xác định a để hệ có vô số nghiệm.
Câu 3: Trong không gian P2 các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2. Cho ánh xạ f : P2 → P2
xác định bởi: f (a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) = (a 0 − 3a 1 + 3a 2 ) + (−2a 0 − 6a 1 + 13a 2 ) x + (−a 0 − 4a 1 + 8a 2 ) x 2
a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {1; x; x 2 } của P2 .
c) Tìm trị riêng và vectơ riêng tương ứng của f.
3
x +1 − 1− x
Câu 4: Tính giới hạn lim x →0
x
 (e x − 1) 2
, x≠0

Câu 5: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y =  x
, tại điểm x 0 = 0 .
0 , x = 0
Thông qua bộ môn
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM


MÔN TOÁN 1 - HỆ CAO ĐẲNG

NĂM HỌC 2008-2009
---------------------------ĐỀ SỐ 1
ĐÁP ÁN

Câu 1

( 1 − 3i )

ĐIỂM

1,5 điểm
9

9

 
π
π 
=  2  cos(- ) + isin(- ) ÷
3
3 
 
= 29 [ cos (-3π) + isin(-3π) ] = −29

Câu 2
a) Khi a = 10, ta có hệ:

2 ,5 điểm
 x + 2y + 10z = 3


3x − y − 10z = 2
2x + y + 3z = 3


 1 2 10 

÷
Ta có ma trận hệ số: A =  3 −1 10 ÷ ⇒ det(A) = −1
2 1 3 ÷


 3 2 10 
A1 =  2 −1 10 ÷
÷⇒ det(A1 ) = −1
3 1 3 ÷


 1 3 10 
A 2 =  3 2 10 ÷
÷ ⇒ det(A 2 ) = −1
2 3 3 ÷


 1 2 3
A 3 =  3 −1 2 ÷
÷ ⇒ det(A 3 ) = 0
 2 1 3÷


Vậy nghiệm của hệ là: (1,1,0)

b) Để hệ có vô số nghiệm thì
1 2 a
21
Det(A) = 0 ⇔ 3 −1 −a = 0 ⇔ a =
2
2 1 3
Với a = 21/2 ta có hệ tương đương với
2x + 4y + 21z = 6
⇒
⇒ hệ có vô số nghiệm
y
+
6z
=
1

KL: a = 21/2
Câu 3
a) CM: i) f(p+q) = f(p) +f(q), ∀p,q ∈ P2
ii) f(kp) = k.f(p), ∀p ∈ P2 , ∀k ∈ R
b) Ta có

1,5 điểm

1 điểm

3,5 điểm
1điểm
1điểm

f (1) =
−4x −2x 2
f (x) = 1 +4x + x 2
f (x 2 ) =
2x 2
Từ đó suy ra ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cơ sở B = {1; x ; x2 } là:
 0 1 0
A =  −4 4 0 ÷
÷
 −2 1 2 ÷


3
c) Phương trình đặc trưng: A − λI = 0 ⇔ −(λ − 2) = 0 ⇔ λ = 2 (bội 3)
Véc tơ riêng tương ứng (x1, x2, x3) thoả mãn hệ:
−2x1 + x 2 = 0

−4x1 +2x 2 = 0
−2x
+x2 = 0
1

⇒ x1, x 3 tuỳ ý và x2 = 2x1
⇒ x = (x1 , 2x1 , x 3 ) = x1 (1, 2,0) + x 3 (0,0,1)
Câu 4
1
3
3
x +1

x 2 = 1/ 3 = −2 / 3
lim
lim x →−1
= x →−1
x
−1/ 2
x2 + 3 − 2
2
x +3
Câu 5
f (x) − f (0)
sin 2 x
'
= lim 2 = 1
Ta có y (0) = lim
x →0
x →0
x −0
x

ĐỀ SỐ 2

1,5 điểm

1,5 điểm

1 điểm


ĐÁP ÁN

Câu 1

( 1 − 3i )

ĐIỂM

1,5 điểm
9

9

 
2π
2π  
=  2  cos( ) + isin( ) ÷
3
3 
 
= 29 [ cos (6π) + isin(6π) ] = 29

Câu 2

2 ,5 điểm

c) Khi a = 11, ta có hệ:

3x + 3y + 14Z = 6

5x − 8z = 5

4x + y = 5


 3 3 14 

÷
Ta có ma trận hệ số: A =  5 0 −8 ÷ ⇒ det(A) = 1
4 1 0 ÷


6
A1 =  5
5

3
A 2 =  5
4


3 14 
0 −8 ÷
÷ ⇒ det(A1 ) = −2
1 0÷

3 14 
0 −8 ÷
÷ ⇒ det(A 2 ) = −2
1 0÷


1,5 điểm

 3 3 6
A 3 =  5 0 5 ÷
÷ ⇒ det(A 3 ) = 0
 4 1 5÷


Vậy nghiệm của hệ là: (2,2,0)
d) Để hệ có vô số nghiệm thì
3 3 a +3
21
Det(A) = 0 ⇔ 5 0 −a + 3 = 0 ⇔ a =
1 điểm
2
4 1
0
Với a = 21/2 dễ kiểm tra được hệ có vô số nghiệm
KL: a = 21/2
Câu 3
3,5 điểm
c) CM: i) f(p+q) = f(p) +f(q), ∀p,q ∈ P2
1điểm
ii) f(kp) = k.f(p), ∀p ∈ P2 , ∀k ∈ R
d) Ta có
f (1) = 1 −2x − x 2
f (x) = −3 −6x −4x 2
f (x 2 ) = 3 +13x +8x 2
1điểm
Từ đó suy ra ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cơ sở B = {1; x ; x2 } là:

 1 −3 3 
A =  −2 −6 13 ÷
÷
 −1 −4 8 ÷




3
c) Phương trình đặc trưng: A − λI = 0 ⇔ (1 − λ) = 0 ⇔ λ = 1 (bội 3)
Véc tơ riêng tương ứng (x1, x2, x3) thoả mãn hệ:
−3x 2 +3x 3 = 0


−2x1 −7x 2 +13x 3 = 0
 −x
 1 −4x 2 +7x 3 = 0
⇒ x 3 tuỳ ý và x2 = x3, x1= 3x3
⇒ x = (3x 3 , x 3 , x 3 ) = x 3 (3,1,1)
Câu 4
3

x +1 − 1− x
1
1  5
lim
= lim 
+
÷=
2

x →o
x →o  3
÷ 6
x
2
1
−
x
3
(x
+
1)


Câu 5

e x − 1)
Ta có y ' (0) = lim f (x) − f (0) = lim (
=1
x →0
x →0
x −0
x2
2

1,5 điểm

1,5 điểm

1 điểm