Bài giảng toán rời rạc phần tính liên thông của đồ thị

Đồ thò

7.4. Tính liên thông

Tài liệu này được soạn theo sách Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học , K. H.
Rosen, người dòch: Phạm Văn Thiều và Đặng Hữu Thònh, Nhà xuất bản Khoa học
và kỹ thuật, 1998.
Tài liệu lưu hành nội bộ

10/01/15

7.4. Tính liên thông

1


Đường đi
– Đònh nghóa 1. Đường đi độ dài n từ u tới v, với n là một số
nguyên dương, trong một đồ thò vô hướng là một dãy các cạnh
e1, e2,…, en của đồ thò sao cho f(e1) = {x0, x1}, f(e2) = {x1, x2},…,
f(en) = {xn − 1, xn}, với x0 = u và xn = v .
°

°

°

Khi đồ thò là đơn, ta ký hiệu đường đi bằng dãy các đỉnh
x0, x1,…, xn .
Đường đi được gọi là chu trình nếu nó bắt đầu và kết thúc
tại cùng một đỉnh, tức là u = v.

Đường đi hay chu trình gọi là đơn nếu nó không chứa
cùng một cạnh quá một lần.

10/01/15

7.4. Tính liên thông

2


Đường đi
– Ví dụ 1.
° a, d, c, f, e là đường đi đơn độ dài 4 vì {a, d}, {d, c}, {c, f}, {f,
e} đều là các cạnh.
° d, e, c, b không là đường đi vì {e, c} không là cạnh.
° b, c, f, e, b là chu trình độ dài 4 vì {b, c}, {c, f}, {f, e}, {e, b}
là các cạnh và đường đi này bắt đầu và kết thúc tại b.
° a, b, e, d, a, b độ dài 5 không là đường đi đơn vì chứa cạnh
{a, b} hai lần.
b
c
a

d

10/01/15

e

7.4. Tính liên thông

f

3


Đường đi
– Đònh nghóa 2. Đường đi độ dài n, với n nguyên dương, từ u tới
v trong đa đồ thò có hướng là dãy các cạnh e1, e2,…, en của đồ
thò sao cho f(e1) = (x0, x1), f(e2) = (x1, x2 ),…, f(en) = (xn − 1, xn ), với
x0 = u và xn = v .
°

°

°

Khi không có cạnh bội trong đồ thò, ta ký hiệu đường đi
này bằng dãy các đỉnh x0, x1, x2,…, xn .
Đường đi bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh được gọi
là một chu trình.
Đường đi hay chu trình gọi là đơn nếu nó không chứa
cùng một cạnh quá một lần.

10/01/15

7.4. Tính liên thông

4

Tính liên thông trong đồ thò vô hướng
– Đònh nghóa 3. Một đồ thò vô hướng được gọi là liên thông nếu
có đường đi giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của đồ thò.
– Ví dụ 2.
° Đồ thò G là liên thông, đồ thò H là không liên thông.
a

b
b

a
c

e

d

f

c
g

e

G

10/01/15

f

d

7.4. Tính liên thông

H

5


Tính liên thông trong đồ thò vô hướng
– Đònh lý 1. Giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của một đồ thò vô hướng
liên thông luôn có đường đi đơn.
– Một đồ thò không liên thông là hợp của hai hay nhiều đồ thò con
liên thông, mỗi cặp các đồ thò con này không có đỉnh chung.
Các đồ thò con liên thông rời nhau như vậy được gọi là các
thành phần liên thông của đồ thò đang xét.

10/01/15

7.4. Tính liên thông

6


Tính liên thông trong đồ thò vô hướng
– Ví dụ 3. Đồ thò G là hợp của ba đồ thò con liên thông rời nhau
G1, G2, G3.
G2

G1

10/01/15

7.4. Tính liên thông

G3

7


Tính liên thông trong đồ thò vô hướng
– Đỉnh cắt (hay điểm khớp) là đỉnh khi xoá đi cùng với tất cả
các cạnh liên thuộc với nó sẽ tạo ra một đồ thò con mới có
nhiều thành phần liên thông hơn đồ thò xuất phát.
– Cạnh cắt (hay cầu) là cạnh khi bỏ đi sẽ tạo ra một đồ thò con
mới có nhiều thành phần liên thông hơn đồ thò xuất phát.

10/01/15

7.4. Tính liên thông

8


Tính liên thông trong đồ thò vô hướng
– Ví dụ 4. Tìm các đỉnh cắt và cạnh cắt của G.
° Các đỉnh cắt là b, c, e.
° Các cạnh cắt là {a, b} và {c, e}.
a

d

f

g

b

c

e

h

G

10/01/15

7.4. Tính liên thông

9


Tính liên thông trong đồ thò có hướng
– Đònh nghóa 4. Đồ thò có hướng gọi là liên thông mạnh nếu có
đường đi từ a tới b và từ b tới a với mọi đỉnh a và b của đồ thò.
– Đònh nghóa 5. Đồ thò có hướng gọi là liên thông yếu nếu có
đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của đồ thò vô hướng nền.

10/01/15

7.4. Tính liên thông

10


Tính liên thông trong đồ thò có hướng
– Ví dụ 5.
° G là liên thông mạnh.
° H là không liên thông mạnh vì không có đường đi có
hướng từ a tới b, nhưng là liên thông yếu.
b

a

b

a

c
e

d

G

10/01/15

c

e

d

H

7.4. Tính liên thông

11


Đường đi và sự đẳng cấu
– Dùng đường đi và chu trình để xét xem hai đồ thò có đẳng cấu
hay không.
° Bất biến đẳng cấu: số đỉnh, số cạnh, bậc của đỉnh
° Bất biến đẳng cấu: chu trình đơn với độ dài đặc biệt.
° Dùng đường đi để xây dựng ánh xạ giữa hai đồ thò.
– Ví dụ 6. Hai đồ thò G và H có là đẳng cấu không?
u1

u2

u6

u3

u5

G

10/01/15

v1

v6

v2

v3

v5

u4

7.4. Tính liên thông

v4

H

12


Đường đi và sự đẳng cấu
u1

v1
u2

u6

u3

u5

v6

v2

v3

v5

u4

v4

G

H

Cả G và H có ba bất biến bằng nhau: số cạnh, số đỉnh, bậc của các đỉnh
(4 đỉnh bậc 3, và 2 đỉnh bậc 2). Tuy nhiên H có chu trình đơn độ dài 3,
còn G không có chu trình đơn độ dài 3. Vậy G và H là không đẳng cấu.

10/01/15

7.4. Tính liên thông

13

Đường đi và sự đẳng cấu
– Ví dụ 7. Hai đồ thò G và H có là đẳng cấu không?
u2
v1
u3

u1

u4

u5

v5

v2

v3

v4

G

H

G và H đều có 5 đỉnh và 6 cạnh, 2 đỉnh bậc 3 và 3 đỉnh bậc 2; cả hai đều
có 1 chu trình đơn độ dài 3, 1 chu trình đơn độ dài 4, và 1 chu trình đơn độ
dài 5. Để tìm phép đẳng cấu có thể có, đi theo đường đi qua tất cả các đỉnh
sao cho các đỉnh tương ứng có cùng bậc. Ví dụ: u1, u4, u3, u2, u5 trong G và

u3, v2, v1, v5, v4 trong H. Đònh nghóa ánh xạ f : f(u1) = u3 , f(u4) = v2 ,…
Kiểm tra f là phép đẳng cấu.

10/01/15

7.4. Tính liên thông

14


Đếm đường đi giữa các đỉnh
– Đònh lý 2. Cho G là một đồ thò với ma trận liền kề A theo thứ
tự các đỉnh v1, v2 ,…, vn (với các cạnh vô hướng hoặc có hướng
hay là cạnh bội, có thể có khuyên). Số các đường đi khác
nhau độ dài r từ vi tới vj , trong đó r là một số nguyên dương,
bằng giá trò của phần tử (i, j) của ma trận Ar .

10/01/15

7.4. Tính liên thông

15


Đếm đường đi giữa các đỉnh
– Ví dụ 8. Có bao nhiêu đường đi độ dài 4 từ a tới d trong đồ thò
đơn G?

a

b

d

c

Đồ thò G

10/01/15

7.4. Tính liên thông

16


Đếm đường đi giữa các đỉnh
•

Ma trận liền kề của G, theo thứ tự a, b, c, d, là

A=

A4 =

10/01/15

0
1
1
0

1
0
0
1

1
0
0
1

0
1
1
0

8
0
0
8

0
8
8
0

0
8
8
0

8
0
0
8

A2 =

2
0
0
2

0
2
2
0

0
2
2
0

2
0
0
2

a14 = 8. Vậy có đúng 8 đường đi
độ dài 4 từ a tới d.

7.4. Tính liên thông

17