Bài tập toán rời rạc phàn mở đầu về lý thuyết và tổ hợp

Bài 1 : Cho biết Hệ thức Đúng hay Sai ?
a) A ⊆ A ∩ B
Là 1 Hệ thức Sai !
Bởi vì :
Ta xét ví dụ sau :
Cho 2 tập hợp A và B
A={1,2}
B={2,3}
⇒A∩B={2}
⇒A ⊄ A ∩ B
Vậy Hệ thức A ⊆ A ∩ B là sai
10/01/15 14:14

1


Bài 1 : Cho biết Hệ thức Đúng hay Sai ?
b) C ⊆(A ∩ B) ∪ C :
Hệ thức này Đúng
Nếu A ∩ B = ∅ ⇒ (A ∩ B) ∪ C = C
Nếu A ∩ B = D ⇒ (A ∩ B) ∪ C = D ∪ C ⊇ C
Ta có thể điều này rõ ràng bằng biểu đồ Ven :

10/01/15 14:14

2


Bài 1 : Cho biết Hệ thức Đúng hay Sai ?
c, A∪B ⊆ A ∩B :
là hệ thức Sai

Ta có Biểu đồ Ven sau :

Ví dụ : A ={1,2}; B ={2,3}
⇒ A ∪ B ={1,2,3} và A ∩ B ={2};
⇒Rõ ràng : A∪B ⊆ A ∩B là 1 Hệ thức Sai
10/01/15 14:14

3


Bài 1 : Cho biết Hệ thức Đúng hay Sai ?
d, A ∩ (A ∪ B) = A ∩ B
Là 1 hệ thức Sai
Bời vì :
A ∩ (A ∪ B) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B)
=
A
∪ (A ∩ B)
=
A
A ∩ (A ∪ B) = A ∩ B ⇔ A = A ∩ B
Rõ ràng : Hệ thức A = A ∩ B : Là 1 hệ thức Sai ⇒ đpcm

10/01/15 14:14

4


Bài 1 : Cho biết Hệ thức Đúng hay Sai ?
e, (A ∪ B ) \ (A ∩ B ) = A\B

Hệ thức Sai !
Bởi vì : Ta xét ví dụ sau :
Xét 2 tập hợp A,B : A ={1,2}; B={2,3};
A ∪ B ={1,2,3};
A ∩ B ={2};
⇒(A ∪ B ) \ (A ∩ B ) ={1,3};
mà : A \ B ={1}:
{1,3} # {1} ⇒ (A ∪ B ) \ (A ∩ B ) = A\B là Sai !

10/01/15 14:14

5


Bài 2: Z: tập số nguyên , A ⊂ Z , B ⊂ Z :
A={x ∈ Z : x = 4p-1 với p ∈ Z}
B={x ∈ Z : x = 4q-5 với q ∈ Z}
CMR : A = B
Ta phải chỉ ra rằng : x ∈ A ⇒ x ∈ B và y ∈ B ⇒ y ∈ A . Thật vậy :
Lấy x ∈ A ⇒ x = 4p-1 (p ∈ Z )⇒ x + 5 = 4p + 4 =4(p+1)
Đặt p+1 =q (q ∈ Z ) Ta có : x + 5 = 4q ⇒x = 4q - 5 (q ∈ Z )
⇒ x ∈ B (1)
Lấy y ∈ B ⇒ y = 4q - 5 (q ∈ Z )⇒ y + 1 = 4q - 4 =4(q-1)
Đặt q-1 =p (p ∈ Z ) Ta có : x + 1 = 4p ⇒x = 4p - 1 (p ∈ Z )
⇒ x ∈ A (2)
(1)(2) ⇒ A=B (đpcm)
10/01/15 14:14

6

Bài 3: Cho 2 tập A1 , A2 :
A1 = {n ∈ Z: n<0}
A2 = {n ∈ Z: n>0}
A1 , A2 có phải 1 phân hoạch của Z không?
Ta

có thể nhận thấy rằng : A1 + A2 = Z –{0};
⇒A1 , A2 khống phủ kín Z
⇒A1 , A2 không tạo thành 1 phân hoạch của Z



Ta có phân hoạch của Z như sau :
A1 = {n ∈ Z: n<0} - Tập hợp số nguyên âm
A2 = {n ∈ Z: n≥0} - Tập hợp số nguyên không âm
Rõ ràng - A1 , A2 phủ kín tập Z

10/01/15 14:14

- A1 , A2 rời nhau .

7


Bài 4: Cho A ={0,1,2,3,4}; và xác định quan hệ R trên A bởi :
R ={ (0,0),(2,1) ,(0,3) ,(1,1) ,(3,0) ,(1,4) ,(4,1) ,(2,2) ,(2,4) ,(3,3) ,(4,4) ,
(1,2) ,(4,2) };
R là quan hệ tương đương trên A ?Nếu đúng hãy chỉ ra lớp tương
đương ?

R là 1 quan hệ tương đương trên A :
Ta cần chỉ ra R có 3 tính chất :
• Quan hệ đối xứng
•Quan hệ phản xạ
•Quan hệ bắt cầu
Ta nhận thấy rằng R bao gồm các phần tử đảo nhau nếu (a,b) ∈ R
thì (b,a) ∈ R Ví dụ : (2,1) và (1,2) đều thuộc R
⇒Nên R hiển nhiên có quan hệ đối xứng và phản xạ
10/01/15 14:14

8


Bài 4: Cho A ={0,1,2,3,4};…..(tiếp …)
Ta xét đến quan hệ truyền ứng : Ta nhận thấy rằng nếu như có 2 phần tử
(a,b) và (b,c) ∈ R thì (a,c) ∈ R .
⇒ R có quan hệ truyền ứng
Vậy R có quan hệ tương đương trên A.
Các lớp tương đương trên A :
Để tìm các lớp tương đương trên A ta tìm 1 quan hệ cụ thể của R trên
A
ở đây xét tính chất cùng chia hết cho 3 hoặc cùng không chia hết cho 3
Ta dễ dàng thấy đc với tính chất cùng chia hết cho 3 hoặc cùng không
chia hết cho 3 thì A có 2 lớp tương đương sau :
A1 ={0,3};
A ={1,2,4};

2
10/01/15 14:14

9


Bài 5: Xét tập hợp các phần tử là các số nguyên :
A0 ={… ,-10,-5,0,5,10,15,20,25,…};
A1 ={….,-9 ,-4,1,6,11,16,21,26,….};
A2 ={….,-8 ,-3,2,7,12,17,22,27,….};
A3 ={….,-7 ,-2,3,8,13,18,23,28,….};
A4 ={….,-6 ,-1,4,9,14,19,24,29,….};
a, A0 , A1 , A2 , A3 , A4 tạo thành phân hoạch của tập Z
Ta cần chỉ ra :
A +A +A + A + A = Z ;
0
1
2
3
4
A

10/01/15 14:14

i

∩ Aj = ∅ ;


10


Bài 5 : (Tiếp ……)

Thật vậy :
Dễ dàng thấy đc
A +A +A + A + A = Z ;(1)
0
1
2
3
4
A

i

∩ Aj = ∅ ;

(2)

Vậy A0 , A1 , A2 , A3 , A4 tạo thành phân hoạch của tập Z
b , Đưa ra quan hệ s tương ứng với phân hoạch :
Theo bài ra ta thấy 1 điều đặc biệt là : xi ∈ Ai ⇒ xi mod 5 = i
Ta có thể rút ra quan hệ phân hoạch :
a và b ∈ Z gọi là có quan hệ với nhau nếu : a mod 5 = b mod 5

10/01/15 14:14



11


Bài 1:Cho 5 kí tự : A,B,C,D,E :

a , Có bao nhiêu xâu kí tự có độ dài 4 kí tự có thể lập được từ các kí
tự đã cho nếu không cho phép lặp kí tự :
Số cách chọn kí tự thứ nhất của xâu là: 5
Số cách chọn kí tự thứ hai của xâu là : 4
Số cách chọn kí tự thứ ba của xâu là
:3
Số cách chọn kí tự thứ bốn của xâu là : 2
Số cách chọn kí tự thứ năm của xâu là : 1
Như vậy theo nguyên lí nhân số cách chọn là : 5*4*3*2*1 = 120 (A 54)
Kí tự 1
5 cách

10/01/15 14:14

Kí tự 2
4 cách

Kí tự 3
3 cách



Kí tự 4
2 cách

Kí tự 5
1 cách

12

Bài 1:Cho 5 kí tự : A,B,C,D,E : …
b , Có bao nhiêu xâu kí tự trong a tìm được (120 xâu) mà B đứng
đầu :
Vì vai trò của A,B,C,D,E là như nhau nên số xâu kí tự mà B đứng đầu
cũng bằng số xâu kí tự mà A hay C hay D hay E đứng đâu :
Vậy Số xâu phải tìm là : 120/5 = 24 xâu
c , Có bao nhiêu xâu kí tự trong a tìm được (120 xâu) mà B không
đứng đầu :
Số xâu kí tự mà B không đứng đâu là : 120 – 24 = 96 (xâu)

10/01/15 14:14

13