Bài tập toán rời rạc full

Đề bài
Bài 4.
Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 10 bắt đầu bởi hoặc là
101 hoặc 111?
Bài 5.
Có 10 cuốn sách khác nhau, trong đó 5 cuốn sách thuộc
lĩnh vực Tin học, 3 cuốn sách thuộc lĩnh vực Toán
học và 2 cuốn sách về lĩnh vực Nghệ thuật. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn ra 2 cuốn sách có nội dung
thuộc các lĩnh vực khác nhau từ 10 cuốn sách nói
trên?


Bài 4
Xét xâu nhị phân độ dài 10 và bắt đầu là 101
Vì mỗi phần tử đứng sau 101 có 2 cách chọn
có 27 xâu
Tương tự với xâu nhị phân độ dài 10 bắt đầu là 111
Kết luận: có 27 + 27 = 28 = 256 cách.


Bµi 5
2 cuèn s¸ch kh¸c nhau cã thÓ lµ:
• 1 cuèn Tin häc vµ 1 cuèn To¸n häc
- Chän 1 cuèn Tin häc tõ 5 cuèn : cã 5 c¸ch
- Chän 1 cuèn To¸n häc tõ 3 cuèn : cã 3 c¸ch
 cã 5x3 = 15 c¸ch
• 1 cuèn Tin häc vµ 1 cuèn NghÖ thuËt
- Chän 1 cuèn Tin häc tõ 5 cuèn : cã 5 c¸ch
- Chän 1 cuèn NghÖ thuËt tõ 2 cuèn: cã 2 c¸ch
 cã 5x2 = 10 c¸ch

Bài 5
1 cuốn Toán học và 1 cuốn Nghệ thuật
- Chọn 1 cuốn Toán học từ 3 cuốn: có 3 cách
- Chọn 1 cuốn Nghệ thuật từ 2 cuốn: có 2 cách
có 3x2 = 6 cách
Kết luận: có 15 + 6 + 10 = 31 cách chọn thỏa mãn
điều kiện đề bài.


Đề bài
Bài 6.
Có 10 cuốn sách khác nhau, trong đó 5 cuốn sách thuộc
lĩnh vực Tin học, 3 cuốn sách thuộc lĩnh vực Toán
học và 2 cuốn sách về lĩnh vực Nghệ thuật.
a. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 cuốn sách này lên 1
giá sách?
b. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 cuốn sách này lên 1
giá sách sao cho tất cả các cuốn sách Tin học được
xếp ở phía trái giá sách còn hai cuốn sách về nghệ
thuật được xếp bên phải?


Đề bài


Bài 6.
c. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 cuốn sách này lên 1 giá
sách sao cho tất cả các cuốn sách thuộc cùng lĩnh

vực được xếp cạnh nhau?
d. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 cuốn sách này lên 1 giá
sách sao cho hai cuốn sách nghệ thuật không được
xếp cạnh nhau?


Bài 6
a. Xếp 10 cuốn sách lên giá:
- Chọn cuốn xếp vào vị trí đầu tiên từ 10 cuốn:
có 10 cách chọn
- Chọn cuốn xếp vào vị trí thứ 2 từ 9 cuốn còn lại:
có 9 cách chọn
-
- Chọn cuốn xếp vo vị trí cuối cùng từ 1 cuốn
còn lại: có 1 cách chọn
Có 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 10! cách.


Bài 6
b. Xếp 10 cuốn sách lên giá sao cho tất cả cuốn
sách Tin học được xếp ở phía bên trái còn 2 cuốn
sách Nghệ thuật được xếp bên phải:
- Chọn lần lượt từ 5 cuốn sách Tin học xếp vào 5
vị trí đầu tiên: 5x4x3x2x1 = 5! cách chọn
- Chọn lần lượt từ 2 cuốn sách nghệ thuật xếp vào
2 vị trí cuối cùng : có 2x1 = 2 cách chọn
- Chọn lần lượt từ 3 cuốn sách Toán học xếp vào
vị trí còn lại : có 3x2x1 = 6 cách chọn
Có 5!x6x2= 1440 cách.

Bài 6
c. Số cách xếp lên giá sách sao cho các cuốn thuộc
cùng lĩnh vực được xếp cạnh nhau:
- Chọn loại sách xếp ở bên trái từ 3 loại: có 3
cách
- Chọn loại sách xếp tiếp theo từ 2 loại sách còn
lại: có 2 cách
- Chọn loại sách xếp cuối cùng từ 1 loại sách còn
lại: có 1 cách
- Mỗi cách sắp thứ tự các loại sách có 1440 cách
(xem câu b)


Bài 6
d. Số cách xếp sao cho 2 cuốn sách Nghệ thuật không ở
cạnh nhau:
- Chọn 2 vị trí trong 10 vị trí : có 10x9/2 = 45 cách
- Chọn 2 vị trí sao cho chúng liên tiếp nhau: có 9 cách
chọn
Có 45-9 = 36 cách chọn thỏa mãn 2 vị trí không liên tiếp
- Mỗi cách chọn như vậy ta có 2 cách xếp sách nghệ
thuật
- Chọn lần lượt xếp 8 cuốn sách vào 8 vị trí còn lại: có
8x7x6x5x4x3x2x1 = 8!
Có 36x2x8! = 9! * 8 cách.


§Ò bµi
•

Bµi 7.
Cã bao nhiªu sè cã 4 ch÷ sè cã thÓ t¹o thµnh tõ c¸c ch÷
sè 0,1,2,3,4,5 thâa m·n
a. Kh«ng cã ch÷ sè nµo ®­îc lÆp l¹i.
b. C¸c ch÷ sè ®­îc lÆp l¹i.
c. C¸c sè ch½n trong (b).


Bài 7
a. Không có chữ số nào được lặp lại:
- Chọn chữ số hàng nghìn từ 6 chữ số: có 5 cách
chọn
- Chọn chữ số hàng đơn trăm từ 5 chữ số còn lại:
có 5 cách chọn
- Chọn chữ số hàng chuc từ 4 chữ số còn lại: có 4
cách chọn
- Chọn chữ số hàng đơn vị từ 3 chữ số còn lại: có
3 cách chọn
Có 5x5x4x3 = 300 số.


Bài 7
b. Các chữ số được lặp lại:
- Chọn chữ số hàng nghìn từ 6 chữ số: có 5 cách
- Chọn chữ số hàng trăm từ 6 chữ số: có 6 cách
- Chọn chữ số hàng chục từ 6 chữ số: có 6 cách
- Chọn chữ số hàng đơn vị từ 6 chữ số: có 6 cách
Có 6x6x6x5 = 1080 số.

Bài 7
c. Các số chẵn trong (b):
Chọn chữ số hàng đơn vị từ 6 chữ số: có 3 cách
Chọn các chữ số còn lại tương tự như câu (b)
Có 3x5x6x6 = 540 số.


Đề bài


Bài 8.
Trên cạnh bên của một tam giác ta lấy n điểm, trên cạnh
bên thứ hai ta lấy m điểm. Mỗi một trong hai đỉnh
của cạnh đáy được nối với các điểm được chọn trên
cạnh bên đối diện bởi các đường thẳng. Hỏi
a. Có bao nhiêu giao điểm của các đường thẳng nằm
trong tam giác?
b. Các đường thẳng chia tam giác ra làm bao nhiêu
phần?


Bài 8
Số giao điểm của các đường thẳng nằm trong tam
giác:
Mỗi đường thẳng kẻ từ đỉnh vẽ n đường cắt m đường
vẽ từ đỉnh còn lại tại m điểm phân biệt

Có mxn giao điểm
Tam giác được chia làm bao nhiêu phần :

Kẻ m đường chia tam giác thành m+1 phần
Kẻ n đường chia tam giác thành n+1 phần
Có (m+1)x(n+1)


Đề bài


Bài 9.
Một cán bộ tin học do đãng trí nên đã quên mật khẩu
của phần mềm máy tính của mình. May mắn là anh
ta còn nhớ mật khẩu có dạng NNN-XX, trong đó
NNN là các chữ số, còn XX là các chữ cái lấy trong
bảng chữ cái có 26 chữ.
Hỏi trong cách trường hợp xấu nhất cần phải thử bao
nhiêu mật khẩu để có thể tìm lại mật khẩu đã đặt?


Bài 9
Chọn 1 chữ cái từ 26 chữ cái cho ký tự đầu tiên: 26
cách
- Tương tự với 2 ký tự tiếp theo
- Chọn 1 chữ số từ 10 chữ số cho ký tự thứ 4: có
10 cách
- Tương tự chọn cho vị trí cuối cùng: có 10 cách
Có 26x26x26x10x10 = 1757600 cách.


Đề bài

Bài 10.
Hỏi có bao nhiêu bộ có thứ tự gồm 3 tập X1, X2, X3 thỏa
mãn
X1 U X2 U X3 = {1,2,3,4,5,6,7,8} và X1 X2 X3 = O.
Ví dụ: Hai bộ
X1 = {1,2,3}, X2 = {1,4,8}, X3 = {2,5,6,7}
và X1 = {1,2,3}, X2 = {1,2,3}, X3 = {2,5,6,7} được coi
là khác nhau.


Bµi 10
Vì X1 ∩ X2 ∩ X3 = O
Và X1 U X2 U X3 = {1,2,3,4,5,6,7,8} nên một phần tử
không thể có mặt ở cả 3 tập hợp mà chỉ có thể ở
1 hoặc 2 tập.
Không mất tính tổng quát ta xét cách xếp số 1 vào
3 tập X1, X2, X3.
- Nếu số 1 chỉ có mặt trong 1 tập hợp thì số cách
xếp sẽ là 3 cách.
- Nếu số 1 có mặt trong 2 tập hợp thì số cách xếp
cũng là 3 cách.


Bµi 10
Theo nguyên lý cộng  số 1 sẽ có 6 cách xếp vào 3
tập X1, X2, X3.
Tương tự với các chữ số còn lại, mỗi số sẽ có 6
cách xếp.
Như vậy, theo nguyên lý nhân thì số bộ có thứ tự

X1, X2, X3 thỏa mãn điều kiện đề bài là:
6x6x6x6x6x6x6x6 = 68