Silde bài giảng cấu trúc rời rạc phần truy chứng hữu hạn

TRUY CHỨNG HỮU HẠN
Đònh lý
P = (Pi)i ∈ N, với Pi là các mệnh đề luận lý.
Nếu
 P1

đúng, và

 Pn

đúng → Pn+1 đúng

thì P đúng.

Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


TRUY CHỨNG HỮU HẠN
Chứng minh đònh lý.
Chuyển thành dạng tương đương
Đặt S = { i | i ∈ N và Pi sai }.
Để chứng minh P đúng trở thành chứng minh S = ∅.
Chứng minh bằng phản chứng
Giả sử S ≠ ∅ thì sinh ra điều mâu thuẫn.
Tóm lại, đi chứng minh hệ thống sinh ra mâu thuẫn :
 S ≠ ∅.
 P1 đúng.
 Pn đúng → Pn+1 đúng.
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM

TRUY CHỨNG HỮU HẠN
S = { i | i ∈ N và Pi sai }.
→ min(S) = η,
→ (η ∈ S)

vì (S ≠ ∅ và S ⊆ N)
→ (Pη sai).

→ (P1 đúng)

→ (1 ∉ S).

→ (1 < η)
→ [(η−1) ∉ S]

→ 1 ≤ (η−1) < η.
→ (Pη−1 đúng).

→ (Pη−1 đúng)

→ (Pη đúng).

Mâu thuẫn vì cùng có (Pη sai) và (Pη đúng). 
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


HỮU HẠN − VÔ HẠN

Hữu hạn
finite
inductive
non-reflexive
Vô hạn
infinite
non-inductive
reflexive
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


HỮU HẠN − VÔ HẠN
F hữu hạn nếu
• (∃n) : F 1-1trên với In = {1, 2, … , n}, hoặc
• F = ∅.
Tập hợp các ngón tay của 2 bàn tay

↔ I10.

Tập hợp các ký tự của bảng alphabet

↔ I26.

Tập hợp các gia súc có trong nhà

↔ I100.

Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM

HỮU HẠN − VÔ HẠN
Đònh nghóa hình thức :
F hữu hạn

↔

(∃n)((F ↔ In) ∨ (F = ∅)).

 Đònh nghóa mặc nhiên qui ước tập ∅ và In là hữu hạn.
Lấy phủ đònh 2 vế.
F không hữu hạn

↔

(∀n)((F ↔ In) ∧ (F ≠ ∅)).

 Hữu hạn và vô hạn là 2 khái niệm "cùng tồn tại".
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


TOÁN TỬ TRÊN TẬP VH
Mệnh đề
P ⊆ In → P hữu hạn.
Chứng minh :
P có phần tử cực tiểu p1.
P − {p1} có phần tử cực tiểu p2.
P − {p1, p2} có phần tử cực tiểu p3.

Quá trình này dừng ở bước k (≤ n).
P = {p1, p2, p3, … , pk}.
Vậy P ↔ Ik.

Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


TOÁN TỬ TRÊN TẬP VH
Mệnh đề
P ⊆ hữu hạn →
Mệnh đề
Q ⊇ vô hạn →

P hữu hạn.
Q vô hạn.

Phát biểu hình thức
(∀P, Q)[(P ⊆ Q) ∧ (Q hữu hạn → P hữu hạn)].
Do (a → b) = (¬b → ¬a)
(∀P, Q)[(P ⊆ Q) ∧ (P vô hạn → Q vô hạn)].
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


TOÁN TỬ TRÊN TẬP VH
Đònh lý
Nếu X hữu hạn thì
X không 1-1trên với mọi tập con riêng của X.
Phát biểu hình thức

X hữu hạn → (∀S ⊂ X) (X ↔ S).
Dạng tương đương
[(∃S ⊂ X) (X ↔ S)] → X vô hạn.
Nếu X có tập con riêng 1-1 trên với X thì X vô hạn.
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


TOÁN TỬ TRÊN TẬP VH
Đònh lý
Nếu X hữu hạn thì
X không 1-1trên với mọi tập con riêng của X.
Dạng tương đương
X hữu hạn → (∀S ⊆ X) (X ↔ S).
Chứng minh : (phản chứng)
X hữu hạn và [(∃S ⊂ X) (X ↔ S)].
→ X ↔ In, vì X hữu hạn,
→ S ↔ Im với m < n, vì S hữu hạn,
→ In ↔ I m.
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


TOÁN TỬ TRÊN TẬP VH
Đònh lý
In không 1-1trên với mọi tập con riêng S của nó .
Chứng minh (truy chứng)
Pn = "In không 1-1trên với mọi tập con riêng", ∀n∈N.
P1 đúng vì {1} ↔ ∅.
Chứng minh (Pn đúng) → (Pn+1 đúng).

Phản chứng, giả sử S ⊂ In+1 và có f : In+1 ↔ S.
→ S − {f(n+1)} ↔ In, với S − {f(n+1) ⊂ In.
→ mâu thuẫn.
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM

s


TOÁN TỬ TRÊN TẬP VH
Mệnh đề
Tập X 1-1trên với tập hữu hạn thì hữu hạn.
Tập X 1-1trên với tập vô hạn thì vô hạn.

Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


TOÁN TỬ TRÊN TẬP VH
Bổ đề
N ↔ Ne ↔ No
Chứng minh
f : N → Ne
n  2n
g : N → No
n  2n−1
ánh xạ f và g là 1-1trên.
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM

TOÁN TỬ TRÊN TẬP VH
Hệ quả
Tập N, Z, Q, R, C là vô hạn.
Chứng minh

Ne

N Z

Q R C

Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM

s


TOÁN TỬ ∪ TRÊN TẬP VH
Hữu hạn ∪ Hữu hạn = Hữu hạn
{a, c} ∪ {1, 2, 3, 4} = {a, c, 1, 2, 3, 4}
Vô hạn ∪ Hữu hạn = Vô hạn
{a, b, c} ∪ {1, 2, 3, … } = {a, c, d, 1, 2, 3, … }
Vô hạn ∪ Vô hạn = Vô hạn
{1, 3, 5, … } ∪ {2, 4, 6, … } = {1, 2, 3, … }
 Cái hữu hạn “biến mất” trong cái vô hạn.
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM

TOÁN TỬ ∪ TRÊN TẬP VH
Chứng minh
Cho A ↔ Im, B ↔ In, C và D vô hạn.
Hữu hạn ∪ Hữu hạn = Hữu hạn
A ∩ B = ∅ → A ∪ B ↔ Im+n.
A ∩ B ≠ ∅ → A ∪ B = A ∪ (B−A)
Vô hạn ∪ Hữu hạn = Vô hạn
C ∪ A chứa tập con C vô hạn.
Vô hạn ∪ Vô hạn = Vô hạn
C ∪ D chứa tập con C vô hạn.
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


∪ MỞ RỘNG TRÊN TẬP VH
Hội mở rộng ∪Ai trên tập chỉ số I :
I = hữu hạn + Ai = hữu hạn

→ ∪Ai = hữu hạn.

I = {1, 2, 3}, Ai = {x| x ≤ i}
I = hữu hạn + 1 Ai = vô hạn

→ ∪Ai = vô hạn.

I = {1, 2, 3}, Ai = {x| x > i}
I = vô hạn + 1 Ai = vô hạn

→ ∪Ai = vô hạn.

I = N, A1 = N, Ai ={x| x ≤ i} với i>1.
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


∪ MỞ RỘNG TRÊN TẬP VH
Hội mở rộng ∪Ai trên tập chỉ số I :
I = vô hạn, Ai = hữu hạn
→ ∪Ai = không xác
đònh.
Pi = {x | x ∈ N, 1 ≤ x < i }, ∀i ∈ N,
∪Ai = vô hạn
Qi = {1}, ∀i ∈ N.
∪Ai = hữu hạn
∅

Trường hợp đặc biệt : ∪ Ri = ∅
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


TOÁN TỬ ∩ TRÊN TẬP VH
Hữu hạn ∩ Hữu hạn = Hữu hạn
{a, c, d} ∩ {a, 1, c, 2, d, 3} = {a, c, d}
Vô hạn ∩ Hữu hạn = Hữu hạn
{1, 2, 3} ∩ N = {1, 2, 3}
Vô hạn ∩ Vô hạn = không xác đònh
{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, … } ∩ {2, 4, 6, … } = {2, 4}
{1, 3, 5, … } ∩ N = {1, 3, 5, … }

Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


∩ MỞ RỘNG TRÊN TẬP VH
Giao mở rộng ∩Ai trên tập chỉ số I :
I = hữu hạn, 1 Ai = hữu hạn → ∩Ai = hữu hạn.
I = hữu hạn, Ai = vô hạn

→ ∩Ai = không xác đònh.

I = vô hạn, 1 Ai = hữu hạn → ∩Ai = hữu hạn.
I = vô hạn, Ai = vô hạn

→ ∩Ai = không xác đònh.

Pi = {1} ∪ {x | x ∈ N, i < x},∀i ∈ N,
Qi = N, ∀i ∈ N.
Trường hợp đặc biệt : ∩
∅ Ri = ∅
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


TOÁN TỬ − TRÊN TẬP VH
Hữu hạn − Hữu hạn = Hữu hạn
{a, b, c, d, e} − {a, c, d, 1, 2, 3, 4} = {b, e}
Hữu hạn − Vô hạn = Hữu hạn
{1, 2, 3} − {2, 4, 6, … } = {1, 3}
Vô hạn − Hữu hạn = Vô hạn

{a, b, c, 1, 2, 3, … } − {a, b, c} = N
Vô hạn − Vô hạn = không xác đònh
N − {2, 4, 6, … } = {1, 3, 5, … }
{a, b, c, 1, 2, 3, 4, 5, … } − N = {a, b, c}
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


TOÁN TỬ Π TRÊN TẬP VH
Tích mở rộng ΠAi trên tập chỉ số I :
I = hữu hạn, Ai = hữu hạn → ΠAi = hữu hạn.
I = hữu hạn, 1 Ai = vô hạn → ΠAi = vô hạn.
I = {1, 2}, A1 = {a}, A2 = N,
A1×A2 = vô hạn.
I = vô hạn, Ai = vô hạn
→ ΠAi = vô hạn.
I = vô hạn, Ai = hữu hạn
→ ΠAi = không xác đònh.
Pi = {1, 2}
→ ΠP
N i = vô hạn.
Qi = {1}
→ ΠQ
N i = hữu hạn.
Trường hợp đặc biệt : ΠR
∅ i = {∅}.
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM

TOÁN TỬ Π TRÊN TẬP VH
Cho Pi = {1, 2}, i ∈ N.
ΠPi = P1 × P2 × P3 × P4 × … × Pn × …
Các phần tử :
(1, 1, 1, 1, … , 1, … ) ∈ ΠPi,
(2, 1, 1, 1, … , 1, … ) ∈ ΠPi,
(1, 2, 1, 1, … , 1, … ) ∈ ΠPi,
(1, 1, 2, 1, … , 1, … ) ∈ ΠPi,
…
(1, 1, 1, 1, … , 2, … ) ∈ ΠPi,
…
Vậy ΠPi vô hạn.
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


VÔ HẠN DEDEKIND
D vô hạn ↔ (∃H) (D ↔ H) với H ⊂ D.
→
→

∅ hữu hạn.
In hữu hạn.

→
→
→

(S ⊆ X hữu hạn
→

(X ⊇ S vô hạn
→
N, Z, Q, R, C là vô hạn.

S hữu hạn).
X vôhạn).

Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


CHỨNG MINH HH-VH
Chứng minh tập X hữu hạn :
X 1-1trên với một tập hữu hạn.
X là tập con của một tập hữu hạn.
Chứng minh tập Y vô hạn :
Y 1-1trên với một tập vô hạn.
Y là chứa một tập con vô hạn.
Y 1-1trên với một tập con riêng của nó.
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM