Silde bài giảng cấu trúc rời rạc phần ánh xạ

ÁNH XẠ
Ánh xạ f từ A vào B là một quan hệ của A và B (tập con của
A × B) thoả hai tính chất :
(∀a ∈ A)(∃b ∈ B)( (a, b) ∈ f ) và
(∀a, b, b’)( ((a, b) ∈ f) ∧ ((a, b’) ∈ f) → (b = b’) ).
Ký hiệu f : A → B.
Có thể viết dưới dạng :
(∀a ∈ A)(∃!b ∈ B)( (a, b) ∈ f ).
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


BÀI TẬP ÁNH XẠ
Cho biết quan hệ sau có phải là ánh xạ hay không.

c

b

a
d

e

4

1
2

3

6
5

Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


ANH XAẽ 1-1 & TREN
Anh xaù 1-1.
Anh xaù treõn.

c

b

a
d

e

4

1
2

3

6
5

Nguyn Quang Chõu- Khoa
CNTT- Trng CN Tp.HCM


ANH XAẽ 1-1 & TREN
Anh xaù f : A B.
Aựnh xaù 1-1 :
(a, b A)( (f(a) = f(b)) (a = b) ).
Aựnh xaù treõn :
(b B)( (a A) (f(a) = b) ).
Anh xaù 1-1treõn laứ 1-1 vaứ treõn.
Nguyn Quang Chõu- Khoa
CNTT- Trng CN Tp.HCM


ÁNH XẠ ĐẢO
Điều kiện nào để ánh xạ f có chiều ngược lại cũng là ánh xạ.
f
b
a c
e

d

2

1

6

3
5

4

g là ánh xạ ?
f phải trên và 1-1 để g là ánh xạ.
g được gọi là ánh xạ đảo của f và ký hiệu là f −1.
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


ẢNH CỦA TẬP CON
Ánh xạ f : A → B và S ⊆ A.
b
S
a c
e

d

f
2

1

6

3
5

4

nh của tập S qua f ký hiệu là f*(S) hay f(S).
f(S) = { y (∀y ∈ B)(∃x ∈ S)( y = f(x)) }
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


IM(f)
Ánh xạ f : A → B.
Trường hợp đặc biệt lấy S = A.
f
b
a c
e

d

2

1

6

3
5

4

nh của tập A qua f ký hiệu là Im(f) hay f(A).
Im(f) = { y (∀y ∈ B)(∃x ∈ A)( y = f(x)) }
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


ẢNH NGƯC
Ánh xạ f : A → B và T ⊆ B.
f
b
a c
e

d

2

1

6

3
5

4

nh ngược của tập T qua f ký hiệu là f*(T) hay f−1(T).
f−1(T) = { x (∀x ∈ A)(f(x) ∈ T) }
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM

KER(f)
Ánh xạ f : A → B.
f

f
h

b
a c
e

6
1

i
d

2

3
5

4

g
Đây là một phân hoạch trên tập A.
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM

KER(F)
Cho ánh xạ f : A → B.
Quan hệ tương ứng với phân hoạch trên là Ker(f).
Ker(f) = { (x, y) (∀x, y ∈ A)(f(x) = f(y)) }
Ker(f) được gọi là nhân của ánh xạ f.
Ker(f) là quan hệ tương đương.
∀x ∈ A, (x, x) ∈ Ker(f).
Nếu (x, y) ∈ Ker(f) thì (y, x) ∈ Ker(f).
Nếu (x, y) ∈ Ker(f) và (y, z) ∈ Ker(f) thì (x, z) ∈ Ker(f).
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


KER(F)
Mệnh đề :

Ker(f) = f : f−1.

Phân tích bài toán trước khi chứng minh :
Ker(f) = { (x, y) (∀x, y ∈ A)(f(x) = f(y)) }
f = { (x, y) (∀x ∈ A)(∃!y ∈ B) (f(x) = y) }
f −1 = { (y, x) (∀x ∈ A)(∃!y ∈ B) (f(x) = y) }
Cần chứng minh
Ker(f) ⊆ f : f−1 và
Ker(f) ⊇ f : f−1.
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM

KER(F)
Chửựng minh Ker(f) f : f1 :
Laỏy (x, y) Ker(f),
f(x) = f(y) = z.
(x, z) f vaứ (y, z) f.
(x, z) f vaứ (z, y) f1.
(x, y) f : f1.
Chửựng minh Ker(f) f : f1 :
Tửụng tửù nhử treõn.
Nguyn Quang Chõu- Khoa
CNTT- Trng CN Tp.HCM


KER(F)
Chú ý :
Ker(f) = { (x, y) (∀x, y ∈ A)(f(x) = f(y)) }
f = { (x, y) (∀x ∈ A)(∃!y ∈B) (f(x) = y) }
f−1 = { (y, x) (∀x ∈ A)(∃!y ∈B) (f(x) = y) }
Tránh viết :
“Lấy (x, y) ∈ Ker(f)”
Nên viết :
“Lấy (a, b) ∈ Ker(f)”.
Vì các x, y trùng với biến đònh nghóa của Ker(f), f và f−1.
Tốt nhất các đònh nghóa nên viết :
Ker(f) = { (∆, ∇) (∀∆, ∇ ∈ A)(f(∆) = f(∇)) }
f = { (∆, ∇) (∀∆ ∈ A)(∃!∇ ∈ B) (f(∆) = ∇) }
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM

KÝ HIỆU f−1
Ánh xạ f : A → B.
b
a ce d

f
2

1

6
3
5 4

Ký hiệu f−1 có các cách sử dụng sau :
f−1
→
quan hệ đảo
f−1(y), ∀y∈B
→
ánh xạ đảo
f−1(T), ∀T ⊆ B →
ảnh ngược
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


HP NỐI 2 ÁNH XẠ
Tìm đường đi từ tập đầu của ánh xạ thứ 1 đến tập cuối của ánh

xạ thứ 2.

Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


ĐIỀU KIỆN HP NỐI
Cho ánh xạ f : A → B và g : C → D.

Điều kiện để hợp nối được 2 ánh xạ là :

f(A) ⊆ C.

Ký hiệu: hợp nối là gf hay (g°f).
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


ĐIỀU KIỆN HP NỐI
A

B

D
C

Trường hợp đặc biệt :
B ⊆ C hay B = C.
Hợp nối chính là tích tương đối hai quan hệ f và g.
Nguyễn Quang Châu- Khoa

CNTT- Trường CN Tp.HCM


SỬ DỤNG KER(f)-IM(f)
Biến ánh xạ ϕ bình thường (không 1-1trên ) thành 1-1trên.

ϕ

ϕ

f
A

a

g c

h

b

e

i
d

1 2 3

4
5

6

B ϕ)
Im(

A/Ker(ϕ)
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


SỬ DỤNG KER(f)-IM(f)
Phân tích ánh xạ ϕ bình thường thành hợp nối của 1-1 và trên.

ϕ
f
A

g
a

h

b

c

e

d

i

1

2 3

4

5

6

B

i
f
A/Ker(ϕ)

ϕ

g
h

c

d
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM

ÁNH XẠ THEO QUAN ĐIỂM
PHẠM TRÙ
nh xạ đảo
Cho 2 ánh xạ g : T → S, f : S → T.

f
T

S
Nếu fg = 1T thì :

g

f là nghòch đảo trái của g và
g là nghòch đảo phải của f.
fg = 1T và gf = 1S thì f là nghòch đảo của g.
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


ÁNH XẠ THEO QUAN ĐIỂM
PHẠM TRÙ
Đònh lý
f có miền trò khác trống :
f là 1-1 ↔ f có nghòch đảo trái.
f là trên ↔ f có nghòch đảo phải.

Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM

AXIOM OF CHOICE


Phần tử không  

chọn được

Phần tử

Phần tử

Phần tử

Không gian này không là tập hợp
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


AXIOM OF CHOICE
∅
{a} {b} {c}

{d}

{a, b} {a, c} {a, d}
{b, c}

{c, d}

{b, d}

a
b

{a, b, c}

{b, c, d}

c
d

{a, b, d}

{a, c, d}

Taäp hôïp X

{a, b, c, d}
Nguyễn
Quang Châu- Khoa
X
Taäp hôïCNTTp2
Trường CN Tp.HCM


AXIOM OF CHOICE
Tìm aùnh xaï γ ñeå γ(A)∈A

∅
{a} {b} {c}

{d}

{a, b} {a, c} {a, d}
{b, c}

{c, d}

{b, d}

{a, b, c}

{b, c, d}

{a, b, d}

{a, c, d}

a
b

X

c
d

{a, b, c, d}
2

X

Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


AXIOM OF CHOICE
Nếu tập X ≠ ∅ thì có ánh xạ
γ : 2X → X,
sao cho (∀A ∈ 2X) (γ(A) ∈ A).
γ được gọi là ánh xạ chọn.

Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM