20 đề thi toán tuyển sinh cao học trường đh xây dựng

ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2000
A. Phần chung:
'
2
2
5
Câu 1. Giải a) y + 3 x y = 3 x + 3 x
b) y + 3 y + 2 y = 2 x + 3 + 6e
''

'

x

∞

nn
Câu 2. a) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ∑ n
n =1 3 n!
 n+4 
2n
b) Tìm miền hội tụ của chuỗi: ∑ 
 ( x + 2)
n =1  2n + 1 
x
x
Câu 3. Tính tích phân I = ∫ ( e sin y − y ) dx + ( e cos y − 1) dy , nếu:
n

∞

C

a) C là ñoạn thẳng nối từ O(0,0) ñến A(1,0).
2
2
b) C là cung x + y = x từ A(1,0) ñến 0(0,0) ngược chiều kim ñồng hồ.
Câu 4. Tính

∫∫ x − y dxdy , với D là hình tròn x

2

+ y2 = 1

D

B. Phần riêng: (Câu 5a cho toán 1, câu 5b cho toán 2)
4
2
2
3
Câu 5A. Tìm cực trị của hàm z = x − 2 x y + y − y

1

, x≠0
 x sin
| x|
Câu 5B. a) Cho hàm số f ( x ) = 
tìm tất cả các giá trị của a ñể liên tục tại x = 0

 a,
x=0

5

b) Tính giới hạn lim
x →0

1 + 3x 4 1 + 2 x − 1
x cos 2 x − x 2
ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2001

A. Phần chung:

2
y = x 2e x
x
''
'
2x
b) y − 4 y + 3 y = 4 xe

Câu 1. Giải a) y −
'

∞

Câu 2.

a) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

4.7.10...(3n + 1)

∑ 2.6.10...(4n − 2)
n =1

( x + 1) n
b) Tìm miền hội tụ của chuỗi: ∑
n
n =1 n.2 . n + 1
∞

Câu 3. Tính các tích phân:
a)

x
∫∫ e

2

+ y2

dxdy, D = { x 2 + y 2 ≤ 1}

D

b)

∫ 2( x

2

+ y 2 )dx + (4 y + 3)dy , C là ñường gấp khúc kín gồm các ñoạn thẳng nối các ñiểm O(0,0),

C

A(2,2), B(0,4) theo ngược chiều kim ñồng hồ.
Câu 4. Tính các giới hạn

135


a) lim
x →0

1 + tan x − 1 − tan x
1
 1
, b) lim 
− 
x →0 arctan x
x
x


B. Phần riêng: (Câu 5a cho toán 1, câu 5b cho toán 2)
4
2
2
3

Câu 5A. Tìm cực trị của hàm z = x − 2 x y + y − y
Câu 5B. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của hàm y =

3

( x 2 − 2 x) 2 trên ñoạn [ 0,3] .

ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2002
A. Phần chung:
I. Giải: 1/ ( 1+ exy + xexy)dx+ (xex+ 2)dy =0
2/ y’’ – 5y’ + 6y = 5cos2x
∞
5 n (n + 2)!
II. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số: ∑
(2n)!
x =1
2. Tìm miền hội tụ của chuỗi:

∞

(−1) n+1 2 n +1 ( x − 5) n

n =1

(n + 1) ln(n + 1)

∑

cos ( x 2 + y 2 )

π 2
π2
2
2
dxdy
,
D=
≤
x
+
y
≤


∫∫d
9 
x2 + y2
 36
2. Tìm hàm h(x2- y2), h(1) = 1 ñể tích phân ñường sau ñây không phụ thuộc ñường ñi
I= ∫ h( x 2 − y 2 ) x( x 2 + y 2 )dy − y ( x 2 + y 2 )dx với AB là cung không cắt ñường x2 = y2.

III. 1. Tính J=

[

]

AB

IV. 1/ Cho z=

x3 + y 3 . Tính dz(1,1).

cos( x 2 ) − x sin x − e− x
2/ Tính K = lim
x →0
x 2 sin 2 x

2

B. Phần riêng: ( câu Va cho toán 1, câu Vb cho toán 2)
Va 1/ Tìm cực trị của hàm f(x, y)= x2- 2xy+ 2y2- 2x+ 2y +4
3
dx
2/ xét sự hội tụ của tích phân ∫
1 (4 x − x 2 − 3)3
x−2
Vb 1/ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x)=
trên ñoạn [− 1,1]
x2 +1
x

2/ Tính L = lim

x →+∞

∫e

t

dt

0

x2
ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2003

A. Phần chung ( dành cho toán 1 và toán 2)
I. Giải phương trình vi phân
1. y’ =

y
+ x sin x với ñiều kiện y( π )= 2 π
x

2. y’’ – 7y’ + 6y = 6x2 – 20x +3

II. 1. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

∞

( n + 2) n

n =1

2 3n n n

∑

2

2

136


(−1) n ( x − 2) n

∞

2. Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa

∑
n =1

III. 1.Tính J=

∫∫ dxdy

3n +1

3

n4 + n2 + 1

với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 ñường tròn x2+y2 = 2x, x2+y2 = 6x và các ñường

D

thẳng y = x, y = 0.

2/ Tính K=

−( x
∫e

2

+ y2 )

[ 2 xdy − (1 + 4 y )dx ] với C là ñường tròn x2+y2=1 theo ngược chiều kim ñồng hồ.

c

IV. 1. Cho z= x3- 2xy2+3y3. Tính d2z(1,1).
2. Viết phương trình các tiệm cận của y =

23 x 3 + 2 − x 2 − 3
x

B. Phần riêng
Va. 1/ Tìm cực trị của z = x5 + y5 - 5xy.
x

et dt
∫1 t
∞ x
e dx
2/ Chứng minh rằng tích phân suy rộng ∫
phân kì. Tính J = lim
x →∞

x
ex
1
Vb. 1. Tìm giá trị bé nhất và lớn nhất của y= e 2 x

e − (1 + x)
x →0
x

1. Tính L = lim

3

−3 x 2

 1 
trên ñoạn − ,2
 3 

1
x

ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2004
A. Phần chung
Câu 1. 1/ Giải phương trình vi phân xdy- ydx=3x2sinxdx
2/ Giải phương trình vi phân : y’’- 4y’ + 5y = 8sinx + 16cosx
∞

n

u
1 
 2

Câu II. 1/ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ n với un=  2 + 2  và vn= 1 + 
n 

 n
n =1 v n

n2

(−1)n −1 x 2 n
2. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ n
n =1 4 (3n − 1)
∞

x2 x2 −1
Câu III. 1/ Cho hàm số y=
, x >1. Khảo sát chiều biến thiên và tìm các tiệm cận của hàm số ñã
2x 2 − 1
cho.
∂2z
2/ Cho hàm 2 biến z = xy 1 − x 2 − y 2 Tính dz (0, 0) và
(0,0)
∂x∂y
Câu IV.1/ Tính tích phân kép

∫∫ dxdy

với D là miền phẳng giới hạn bởi

x2 + y2 = 4x và ñường thẳng

D

y = x 3.
2/ Cho 2 hàm P(x,y)=

ax − y
bx + y
, Q(x,y)= 2
. Tìm a,b ñể biểu thức Pdx+ Qdy là vi phân toàn phần
2
2
x + 2y
x + 2y2
I = ∫ Pdx+ Qdy với ( γ ) là

của hàm u(x,y) nào ñó. Với a,b vừa tìm ñược, tính tích phân ñường

γ

ñường cong có phương trình x2 + 2y2 = 1 nối 2 ñiểm A(1,0) và

B(0,

2
) theo chiều từ A ñến B.
2

B. Phần riêng
Câu Va: 1/ Tìm cực trị hàm số z = e

y− x2

(1 − 2 x − 2 y )
137


∞

2/ Chứng minh rằng tích phân suy rộng

dx

∫x

x2 +1

3

hội tụ và tính giá trị tích phân này.

Câu Vb:1/ Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số y = ( x − 4) e trên ñoạn [-1,3]
2 | x|

2/ Tính giới hạn lim
x →0

1 + x sin x − cos x
x
tg 2
2
ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2005

A. Phần chung
Câu 1: 1/ Giải các phương trình vi phân
y
b/(3x2+y3+4x)dx+3xy2dy=0
a/ y’= +3xex
x
2/ Giải phương trình vi phân: y’’- 4y’+3y=6ex

 n − 3
Câu II. 1/ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số: a/ ∑ 

n 
n =1 
∞
1.2...n
b/ ∑
2) ...(3 + n)
n =1 (3 + 1)(3 +
∞

∞

2/ Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

∑
n =0

n2

( x − 3) n
(2n + 1)

x 3 − x 2 , x> 0. Tìm các ñiểm cực trị và các tiệm cận của hàm số y.
∂2z
2/ Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2). Tính dz( 2,1) và 2 ( 2 ,1)
∂x

Câu III. 1/ Cho hàm số y =

3

Câu IV: 1/ Tính tích phân kép

∫∫

9 − x 2 − y 2 dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa ñường

D

tròn x2 + y2 = 9, y ≥ 0 và các ñường thẳng y = x, y = -x
2/ Cho 2 hàm P(x,y)= 2yexy + e αx cosy, Q(x,y)= 2xexy- e αx siny trong ñó α là hằng số. Tìm α ñể
biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào ñó. Với α vừa tìm ñược, tính tích phân
ñường ∫ [ P( x, y ) − y 3 ]dx + [Q( x, y ) + x3 ]dy trong ñó ( γ ) là ñường tròn x2+y2 = 2x lấy theo chiều dương
γ

(ngược chiều kim ñồng hồ).
B. Phần riêng:

Câu Va. 1/ Tìm cực trị của hàm số z = xy +

3 9
+ với x > 0, y > 0
x y
∞

2. Chứng minh rằng tích phân suy rộng sau

x2 − 3
∫1 x( x + 1)( x 2 + 1) dx hội tụ và tính giá trị tích phân này.

Câu Vb: 1/ Tìm giá trị bé nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y =
1
trên ñoạn [- , 3]
2
 (1 + 4 x)1 / x 
2/ Tính giới hạn lim 

e4
x − >0 


3

(2 − x) x 2

1/ x

138


ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2006
A. Phần chung
2y
= 5x5
x
b/ (ey +Sinx)dx+(cosy +xey)dy=0
2/ Giải các phương trình vi phân: y’’- 4y’+4y = 8e2x

Câu I. 1/ Giải các phương trình vi phân a/ y’-

n ( n+ 2)

∞
1.3.5...(2n − 1) n +1
 n −1 
Câu II: 1/ Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/ ∑ 
b/ ∑
.3

n=2  n + 2 
n =1 2.4.6...( 2 n)
∞
(−1) n .3 n +1
( x − 1) n

2/ Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ n + 2 3
. n +1
n =0 4
2
3x − 4 x − 4
Câu III: 1/ cho hàm số y =
. Tìm các ñiểm cực trị và tiệm cận của hàm số y.
x2
2 3
∂2z
2/ Cho hàm 2 biến z = z(x, y) = 3e x y . Tính dz(1,1) và
(1,1)
∂x∂y
dxdy
Câu IV: 1/ Tính tích phân ∫∫
với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các ñường x2+y2=
2
2
3+ x + y
0

∞

1(x, y ≥ 0), x2+y2=33 (x, y ≥ 0 ), y=x, y = x 3 .
2/ Cho 2 hàm P(x,y) = e mx[xSin(3y)+ y Cos(3y)], Q(x, y) =emx[xcos(3y)-ysin(3y)] trong ñó m là hằng số.
Tìm m ñể biểu thức P(x,y)dx +Q(x,y)dy là vi phân toàn phần. Với m vừa tìm, tính tích phân
∫ [P( x, y ) + x + my ]dx + [Q( x, y) + y − mx]dy trong ñó ( γ ) là ñường gấp khúc nối 3 ñiểm O(0, 0), A(2, 0),
γ

B(1, 1) lấy theo chiều dương (ngược chiều kim ñồng hồ).

B. Phần riêng:
Câu Va: 1/ Tìm cực trị của hàm số z = 2x2- 4xy + y4+2.
∞
1
2/ Xét tích phân suy rộng ∫
dx , α là tham số. Tìm giá trị α nguyên dương bé nhất ñể tích
3
α
0 (1 + x )(1 + x )
phân suy rộng này hội tụ. Với α vừa tìm ñược, tính tích phân này.
Câu Vb: 1/ Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số y = ln[(3-x)(x-1)2+1] trên ñoạn [0,2].
1/ x 2

x

2/ Tính giới hạn lim  3 1 + x − 
3
x →0 

ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2007
A. Phần chung
y3
dx − x 2 dy = 0 , y(4)=2
2
4y
b/ y’ = x 4 cos x .
x
2/ Giải phương trình vi phân: y’’+2y’-3y= (6x + 1)e3x

Câu I: 1/ Giải các phương trình vi phân a/

∞

n ( n −1)

 2n 
Câu II: 1/ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/ ∑ 

n =2  2n + 1 
∞
1.4.9...n 2
b/ ∑
.5 n + 2
n =1 1.3.5...( 2 n − 1) n!
2/ Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

∞

( x + 3) n

n =0

4 n + 2.4 n 3 + 1

∑

139

Câu III: 1/ Cho hàm số y =

x 2 − 6 x + 10 , x ≥ 0. Khảo sát cực trị và tìm tiệm cận của hàm số y.

2/ Cho hàm u = u(x, y)= ln (x2+3y2). Tính
Câu IV: 1/ Tính tích phân ∫∫ arctan
D

)

(

∂u
∂u
∂ 2u
∂ 2u
(1,1) + (1,1) và 2 (1,1) +
(1,1)
∂x
∂x∂y
∂x
∂y

x 2 + y 2 dxdy với D là hình tròn: x2+y2 ≤ 3
−y

2/ Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e-y, Q ( x, y ) = (1 − x − y )e . Tìm hàm h(x), h(0) = 1 ñể biểu thức
h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào ñó. Với h(x) vừa tìm, tính tích phân
2
2

∫ [h( x) P( x, y )dx + h( x)Q( x, y)dy ] trong ñó L là nữa ñường tròn x + y = 9 nằm bên phải trục tung, chiều ñi
L

từ ñiểm A(0, -3) ñến ñiểm B(0, 3).
B. Phần riêng:
Câu Va: 1/ Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1
∞

2/ Xét tích phân suy rộng

∫
80

1
x ⋅ 4 x2 + 1

dx . Chứng minh tích phân suy rộng này hội tụ. Tính giá

trị tích phân này.
Câu Vb: 1/ Tìm giá trị bé nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y= x(x-1)2(12-5x) trên ñoạn [1,3].

( x + 1) x+1.( x + 2) x+ 2 .( x + 4) x+ 4
2/ Tính giới hạn lim
x →+∞
( x + 5)3 x+7
ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2008
A. Phần chung
3 y 6 sin x
=
, x >0

x
x3
b/ (5xy2+4y)dx+(5x2y+4x)dy=0
2/ Giải phương trình vi phân: y’’-2y’-3y=-30cos3x

Câu I: 1/ Giải các phương trình a/ y’+

∞

Câu II: 1/ Khảo sát sự hội tụ của

∑ (u
n =1

n

+ vn )

2/ Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

 4n − 1 
vớ i u n = 

 4n + 1 
∞
(n + 2)(x + 1)n

∑
n =0

n ( 4 n +1)

2.4.6...(2n).n n
, vn =
4.7.10...(3n + 1).n!

5 n + 2. n 6 + 1

x 2 − 6 x + 10
, x ≥ 0 . Khảo sát cực trị và tìm tiệm cận cuả hàm số y.
x−5
∂u
∂u
∂ 2u
∂ 2u
2/ Cho hàm u = u(x,y) = 6 x 2 + y 2 . Tính 2 (2,1) + 3 (2,1), 4
(2,1) + 5 2 (2,1)
∂x
∂y
∂x∂y
∂y

Câu III: 1/ Cho hàm số y =

Câu IV: 1/ Tính tích phân ∫∫ x 2 + y 2 .ln( x 2 + y 2 ) dxdy với D là miền 1 ≤ x2+y2 ≤ e2
D

2/ Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-yey. Tìm hàm h(y) thoả mãn ñiều kiện: h(1)=1 và biểu thức
h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào ñó. Với h(y) vừa tìm, tính tích
phân ∫ [h( y ) P( x, y )dx + h( y )Q( x, y )dy ] trong ñó L là ñường cong có phương trình: 4x2+9y2=36,

L

chiều ngược kịm ñồng hồ từ ñiểm A(3,0) ñến B(0,2).

B. Phần riêng
Câu Va: 1/ Khảo sát cực trị của hàm số z = x3+3xy+2y2

140


∞

∫x

1

dx . Tìm ñiều kiện về m ñể tích phân suy rộng này hội tụ.
. 1+ x2
7
Tính giá trị tích phân này khi m =
3
Câu Vb: 1/ Tìm giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số y = 3x4 – 8x3 – 6x2 +24x+ 2 trên ñoạn [-2, 1]
3x
2
f ( x)
2/ Cho f(x)= x + 4 − 3 x + b , g ( x) = ∫ e −t dt . Tìm b ñể lim
nhận giá trị hữu hạn. Với b vừa
g
(
x

)
x
−
>
0
+
0
tìm ñược, hãy tính giá trị giới hạn trên.
2/ Xét tích phân suy rộng

1

m 3

ðỀ THI SAU ðẠI HỌC KHOÁ 2009
A. Phần chung
3y
+ 2e 2 x x 3 , x > 0
x
b/ e x sin y + 5 y dx + e x cos y + 5 x dy

Câu I: 1/ Giải các phương trình a/ y ' =

(

)

(

)

2/ Giải phương trình vi phân: y '' + 6 y ' + 9 y = 12e3 x (3 x − 2)
∞

Câu II: 1/ Khảo sát sự hội tụ của ∑ ( un − vn ) với un =
n =1

∞

2/ Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑

n=0

Câu III: 1/ Cho hàm số y =

3.5.7...(2n + 1).n !
 4n − 1 
, vn = 

n
4.8.12...(4n).n
 4n + 2 

(−1) n ⋅ n ⋅ ( x − 2 )

n (4 n +1)

.

n

2n+1.(2n + 1)

x +1

. Khảo sát cực trị và tìm tiệm cận của hàm số y.
x + x +1
 x 
∂ 2u
∂u
∂u
2/ Cho hàm u = u(x,y) = sin 
.
Tính
π
+
2
và
khi x = π / 3, y = 0 .

∂x
∂y
∂x 2
 1+ y 

Câu IV: 1/ Tính tích phân ∫∫ e

2

x2 + y2

dxdy với D là miền 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ ln 2 3

D

2/ Cho P ( x, y ) = ( x + 2) sin y, Q( x, y ) = x cos y . Tìm hàm h(x) sao cho h(1) = e và biểu thức
h(x)P(x,y)dx+ h(x)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào ñó. Với h(x) vừa tìm, tính tích
phân ∫ [ h( x) P( x, y )dx + h( x)Q( x, y )dy ] trong ñó L là phần ñường ellipse có phương trình
L

π

 π
9π2 x 2 + 64 y 2 = 25π2 , chiều ngược kịm ñồng hồ từ ñiểm A 1, −  ñến B 1,  .
2

 2

B. Phần riêng
Câu Va: 1/ Khảo sát cực trị của hàm số z = (1 + xy )( x + y )
+∞
dx
2/ Xét tích phân suy rộng ∫
. Tìm ñiều kiện về m ñể tích phân suy rộng này hội tụ.
m
2
2 x + 1 . x −1

(

)

Tính giá trị tích phân này khi m = 1.

x −1
trên ñoạn [-2, 0]
x2 + 3
0
2
f ( x)
2/ Cho f ( x) = esin x , g ( x) = ∫ ln(1 + sin t )dt . Tìm b ñể lim
nhận giá trị hữu hạn. Với b vừa tìm
x →0 − g ( x)
3x
ñược, hãy tính giá trị giới hạn trên.

Câu Vb: 1/ Tìm giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số y =

141