KĨ THUẬT CHỌN điểm rơi TRONG bất ĐẲNG THỨC AM GM

www.hsmath.net

www.hongsontv.vn

KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM
Bất đẳng thức Cauchy
Kỹ thuật chọn điểm rơi hay còn được gọi kỹ thuật điều chỉnh và lựa chọn tham số.
Đối với một số BĐT đồng dạng khơng đối xứng thì dấu BĐT trong BĐT thường xảy ra khi giá trị
của các biến tướng ứng khơng bằng nhau. Vì vậy, cần lựa chọn kỹ thuật hợp lý để giải các bài
tốn BĐT (hay cực trị) dạng khơng đối xứng là rất cần thiết. Một trong những kỹ thuật cơ bản
nhất chính là xây dựng thuật tốn sắp thứ tự gần đều. (kỹ thuật điểm rơi).
Kỹ thuật chủ yếu ở đây thường là các giá trị trung gian được xác định theo cách chọn đặc biệt để
tất cả các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra. Tham số phụ đưa vào một cách hợp lý để phương trình
xác định chúng có nghiệm.

Một số bất đẳng thức cơ bản
Bất đẳng thức Cauchy
Cho n số thực không âm a1 , a2 ,..., an (n ≥ 2) ta

luôn

có

a1 a2  an n
≥ a1a2 ...an . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =  =an .
n
Một vài hệ quả quan trọng:

1
a1

(a1 a2  an ) (

1
1
) ≥ n2 với ai > 0, i = 1, n

a2
an

n2
1
1

với ai > 0, i = 1, n
≥
a2
an a1 a2  an
Cho 2n số dương ( n Ỵ Z , n ≥ 2 ): a1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn ta có:
1
a1

n

(a1 b1 )(a2 b2 )...(an bn ) ≥ n a1a2 ...an

Bài tốn mở đầu:
VD1. Cho
. Ta có

n

b1b2 ...bn

. Khi đó ta có hệ quả với

thì

gs
o

1
a

.h
on

Bình luận và lời giải :
+Sai lầm :
1
1
S =a
2 a. = 2 ⇒ min S = 2
a
a
+Ngun nhân :
1
min S = 2 Û a = = 1
a
điều này mâu thuẫn với giả thiết a 3
+Xác định điểm rơi :

… thì lời giải bài tốn như nào??

w

Bài 1: Cho a ≥ 3 . Tìm Min của S = a

hay

nt

hay

w

bởi

w

Nếu thay điều kiện

v

Rõ ràng với bài tốn trên là kết quả của BĐT Cauchy.


www.hongsontv.vn
Ta thấy rằng khi a tăng thì S cũng càng lớn nên dẫn đến dự đoán khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất . Và
10
min S =

Û a = 3 . Do BĐT Cauchy xãy ra dấu đẳng thức tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau
3
a
1
và
phải bằng nhau.
nên ta đưa tham số α sao cho tại điểm rơi a = 3 thì cặp số
α

α

Với a=3 cho cặp số

a

3

α =α

⇒

3

1

= 3 Û α= 9

1 1
α
=

a 3
+Lời giải đúng :

a
1
=
a
9

S= a

8a
9

1
a

2

a 1
.
9 a

8.3
9

10
10
Û MinS =
3

3

Đẳng thức xãy ra Û a = 3
Bài 2: Cho a

2 .Tìm Min của S = a

1
a2

+Xác định điểm rơi : a=2 cho cặp số
a

2
2

1
a2

1
4

1
4

+Sai lầm :
1
S a
a2

8

1
a2

a
8

7a
8

2

a 1
.
8 a2

7a
8

2
8a

7a
8

2
8.2

7.2

8

9
4
+Nguyên nhân : Lời giải trên mắc sai lầm ở việc đánh giá mẫu số : “ Nếu a

9
4

Với a=2 thì min S

2 thì

2
8a

on
t

+Lời giải đúng :

Đẳng thức xãy ra
Bài 3: Cho a, b

1
a2

a
8

a

6a
8

33

a a 1
. .
8 8 a2

6.2
8

9
4

ab

1
ab

min S

2

0 , a b 1 .Tìm min của S

min S

2

ab

1
ab

1

2

w

min S

ab

a b
2

1
2

1

1
2

w

1
2
ab
+Nguyên nhân :
ab

w

+Sai lầm :
S

9
4

gs

a
8

on

1
a2

a

.h

S

v

Ta phải làm sao để khi sử dụng BĐT Cauchy sẽ khử hết biến số a ở cả mẫu số và tử số

(vô lí )

2
là đánh giá sai “
4


www.hongsontv.vn
1
ab

Đặt t

+Lời giải đúng :

1
ab

t

1

điều này dẫn đến một bài toán mới
Cho t

4 .Tìm min của S

t

t

1
Với t
t

2

t 1 15.4
.
16 t
16

4

2

a b
2

4
4

4

1
t

1
4

1
4

16

Ta có :

S

1
t

t

t 1
16 t

15t
16

17
4

Với t

1

thì min S
2

4 hay a

b

15

17
4

min S

1
a2

3.6 8

17
4

Lời giải bài 3:
Do t
S

4

a

ab

1
ab

1
nên
2
1
ab
16ab

b

Đẳng thức xãy ra

a

15
16ab

1
b2

a2

1
c2

b2

1
16ab

a b
2

16

1
2

b

2

17
4

3
.Tìm min
2

Bài 4: Cho a,b,c>0 thoả mãn a b c

S

2 ab.

1

a2

c2

+Sai lầm :

S

33

a2

1
. b2
2
b

1
. c2
2
c

1
a2

1
a

1
b

1
b2

2 b2.

1
c2

2 c2.

a b c

3

3
2

trái với giả thiết .

36 2 a 2 .

3 2

min S

3 2

a

b

c

1
c

1

+Xác định điểm rơi :
a

b

a2

1
2

c

b2

1
a2

c2
1
b2

1
4
1
c2

1
4

4

4

+Lời giải đúng :

b2

1
1
...
2
2
16
c 16

c

3 17.17

1
16 a 5 b 5 c 5

8

16

a2
1616 b 32

17.17

a2
1616 b 32

3 17
217 (2a.2b.2c) 5

3 17
217

17

17

w

17.17

a
16 b16
8

17

w

a2
1616 b 32

c2

16

16

17.17

1
1
...
2
2
16
a 16

a

16

.h
on

1
1
...
2
2
16
b16
b

a2

3 17
2

w

S

nt

3 2

gs
o

min S

v

+Nguyên nhân :

2a 2b 2c
3

15

b
16 c16
8

17

c
16 a 16
8


www.hongsontv.vn
3 17
1
thì min S
.
2
2
Bài 5: Cho a,b,c>0 và a 2b 3c 20 .Tìm min của
3 9 4
S a b c
a 2b c
Lời giải : Ta dự đốn được S=1 tại điểm rơi a=2 , b=3 , c=4 .Sử dụng BĐT Cauchy ta có :

Với a

b

c

a

4
a

2 a.

4
a

4

3
a
4

4
a

3

b

9

b

2 b.

9
b

6

1
b
2

9
b

3

c

16
c

2 c.

16
c

1
16

2
c
4
c
a b 3c
5
4 2 4

8

Mà a 2b 3c

3a
4

20

b
2

3
a

c
4

9
2b

4

c

8

(1)

(2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế được S 13
Đẳng thức xãy ra
a 2, b 3, c 4

min S 13

* Bài tập tương tự:
Bài 6: Cho

a, b, c 0
ab 12; bc 8

Chứng minh rằng: S

( a b c) 2

1
ab

1
bc

1
ca

8
abc

121
2

Bài 7: Cho a,b,c>0 và a=max{a,b,c} . Tìm min của

a
b

S

b
c

2 1

33 1

c
a

Bài 8: Cho tam giác ABC .Tìm min của
T

sin A sin B sin C

1
sin A

1
sin B

1
sin C

Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn .Tìm min của

x, y , z
Bài 10. Cho 1 1
x y

sin 2 B

0
1
z

4

1
cos2 C

sin 2 C

. Tìm GTLN của P

1
cos2 A

1
2x y z

10
9

1 1
9 x

1
2y

1
z

1 1
9 x

w

1
z

1
y

1
2z

w

1
y

w

MaxP

1 1
9 2x

1
x 2y z

x

1
.
y 2z

1
z

10
9

.h

Lời giải
Sai lầm 1:
Ta có P

tv

1
cos2 B

on

sin 2 A

on
gs

T

5 1
18 x

1
y


www.hongsontv.vn

Sai lầm 2:

1
1
3 3 2 xyz 3 3 x.2 yz

P

1
3 3 xy 2 z

11 1
3 3 2x

1
y

1
z

11 1
33 x

1
2y

1
z

11 1
33 x

1
y

1
2z

10
9

Nguyên nhân sai lầm
: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm rơi.

2x
MaxP

2y
10
Û 2z
9
1
+
x

y

z

x
x

z
y

1 1
+
y z

10
9

(vn) , tức là không tồn tại ( x, y, z ) Ỵ D : P
4

Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán MaxP đạt được tại x

y

4
nên tách các
3

z

số 2x

x x ra cho dấu bằng xẩy ra.
1
1
Cách 1: Ta có
2x y z x x y z

1
z

1
x

Cách 2: Ta có 2 x

y z

1 1 1 1
. . .
x x y z

P

1
1
.4
16
x

1
y

1 1
4 x
1
y

1
x
1
z

2
y

1
y

1
z

1
x

x x

y z

1
z

1
y

2
z

1 , vậy MaxP 1 khi x

1
2x y z

4 4 x.x. y.z

1
2x y z

1
, tương tự và ta có:
z

1 2
16 x

1 . Dấu “=” xảy ra khi x

y

1
y

2

4 x yz

, mặt khác:

z

x

on

z

w

.h

N

w

, ,

4

4
.
3

1
, suy ra:
4

z

w

Với

y

1

z

1
, tương tự ta có:
z

1
.
4
Ta có thể thể mở rộng bài tốn 10. Thành bài tốn tổng qt sau.
x, y , z 0
1
1
. Tìm GTLN của P
Cho 1 1 1
4
x
y
z
x
y
x y z

MaxP 1 khi x

y

v

2
x

1
y

nt

4

1
16

1
x

1
y

gs
o

P

1 1
16 x

z

.