Tải bản đầy đủ (.pdf) (50 trang)

chuyên đề hàm số mũ logarit

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (346.75 KB, 50 trang )

Sở GD & ĐT Hà Nam
TRUNG TÂM GDTX DUY TIÊN

CHUYÊN ĐỀ

HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARÍT

BÙI QUỸ


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

MỤC LỤC

2 Các
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5

VIE

TM

ATH
S.N

ET



1 Kiến thức cơ bản
1.1 Luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Luỹ thừa với số mũ nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Căn bậc n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Luỹ thừa với số mũ vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Hàm số luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Tập xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Tính chất của hàm số luỹ thừa y = xα trên khoảng (0; +∞)
1.2.5 Đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Các quy tắc tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Hàm số mũ, hàm số lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Hàm số mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Hàm số lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Phương trình mũ, phương trình lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Phương trình mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Phương trình lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Hệ phương trình mũ và lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Bất phương trình mũ và lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . .
dạng bài tập và phương pháp giải
Bài tập về luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập về hàm số luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bài tập về lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập về hàm số mũ, hàm số lôgarit . . . . . . . . . . . . . .
Bài tập về phương trình mũ và phương trình lôgarit . . . . . .
2.5.1 Đưa về phương trình mũ, phương trình lôgarit cơ bản .
2.5.2 Phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ, hàm số lôgarit .
2.5.4 Các phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Bài tập về bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit .
2.7 Bài tập về hệ phương trình mũ và hệ phương trình lôgarit . .
2

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
5

5
5
5
5
6
6
6
6
7
7
7
7
7

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

8
8
11
13

19
22
23
34
35
37
43
46


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

§1 KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 LUỸ THỪA
1.1.1

Luỹ thừa với số mũ nguyên

Định nghĩa
• Luỹ thừa với số mũ nguyên dương:
Cho a là một số thực, n là một số nguyên dương. Luỹ thừa bậc n của a, kí hiệu là an , được
xác định như sau
an = a.a. . . . .a a ∈ R, n ∈ N∗ ,
n thừa số

trong đó a gọi là cơ số, n gọi là số mũ.
• Luỹ thừa với số mũ nguyên âm, luỹ thừa với số mũ 0:
Cho a > 0, n ∈ N∗ . Khi đó

1
a0 = 1; a−n = n .
a
Chú ý. 00 và 0−n không có nghĩa.
1.1.2

Căn bậc n

Cho số thực b và số nguyên dương n ≥ 2. Số a được gọi là căn bậc n của số b, kí hiệu


n

b nếu

an = b.
Khi n lẻ, b ∈ R thì tồn tại duy nhất
Khi n chẵn thì


n

b;

• với b < 0: không tồn tại căn bậc n của b;

• với b = 0: có một căn là n 0 = 0;


• với b > 0: có hai căn là n b (dương) và − n b (âm).

1.1.3

Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

m
m
Cho số thực a và số hữu tỉ r = , trong đó m ∈ Z, b ∈ N∗ và
là phân số tối giản. Khi đó, nếu
n
n

n
am có nghĩa thì

m
ar = a n = n am .
1.1.4

Luỹ thừa với số mũ vô tỉ

Cho số dương a, α là một số vô tỉ và (rn ) là một dãy số hửu tỉ sao cho lim rn = α. Khi đó
n→+∞

aα = lim arn .
n→+∞

3


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

1.1.5

BÙI QUỸ

Các tính chất

Cho a, b > 0; α, β ∈ R. Khi đó
• aα .aβ = aα+β ; (aα )β = aαβ ;



a
b

α

=

aα aα
;
= aα−β ;
bα aβ

• Nếu a > 1 thì α > β khi và chỉ khi aα > aβ ;

1.2 HÀM SỐ LUỸ THỪA
1.2.1

Định nghĩa


ATH
S.N

• Nếu 0 < a < 1 thì α > β khi và chỉ khi aα < aβ .

ET

• (ab)α = aα bα ; aα > 0;

Hàm số y = xα , với α ∈ R, được gọi là hàm số luỹ thừa.
1.2.2

Tập xác định

Tập xác định D của hàm số luỹ thừa y = xα tuỳ thuộc vào giá trị của α, cụ thể như sau:

TM

• Nếu α nguyên dương thì D = R;

• Nếu α nguyên âm thì D = R\{0};

1.2.3

Đạo hàm

VIE

• Nếu α không nguyên thì (0; +∞


Hàm số y = xα (α ∈ R) có đạo hàm với mọi x > 0 và (xα ) = αxα−1 .
Đối với hàm số hợp y = uα , u = u(x), ta có (uα ) = αuα−1 u .
1.2.4

Tính chất của hàm số luỹ thừa y = xα trên khoảng (0; +∞)

Ta có các tính chất sau
• Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1);
• Khi α > 0 hàm số luôn đồng biến, khi α < 0 hàm số luôn nghịch biến;
• Đồ thị của hàm số không có tiệm cận khi α > 0. Khi α < 0 đồ thị của hàm số có tiệm cận
ngang là Ox, tiệm cận đứng là Oy.
4


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT
1.2.5

BÙI QUỸ

Đồ thị

Đồ thị của hàm số luỹ thừa y = xα trên khoảng (0; +∞) ứng với các giá trị khác nhau của α (hình
vẽ).
y
α>1
α=1

0<α<1
1


α=1
α<0

O

1

x

1.3 LÔGARIT
1.3.1

Định nghĩa

Cho hai số a, b với a = 1. Số α thoả mãn đẳng thức aα = b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí
hiệu là loga b. Như vậy
α = loga b ⇔ aα = b (a, b > 0, a = 1).
1.3.2

Các tính chất

Với a > 0, a = 1, b > 0, α ∈ R ta có
loga 1 = 0; loga a = 1;
aloga b = b; loga (aα ) = α.
1.3.3

Các quy tắc tính

• Với a, b1 , b2 > 0, a = 1, ta có
loga (b1 b2 ) = loga b1 + loga b2 ;

b1
loga
= loga b1 − loga b2 .
b2
Chú ý. Ta có loga (b1 b2 ) = loga |b1 | + loga |b2 |, nếu b1 , b2 < 0.
5


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

• Với a, b > 0, a = 1, α, β ∈ R, n ∈ N∗ , ta có
1
= − loga b;
b
loga bα = α loga b; loga b2β = 2β. loga |b|;

1
n
loga b = loga b.
n
loga

ET

• Với a, b, c > 0, a = 1, c = 1, ta có

logc b
1

; loga b =
(b = 1); loga b = 0 (b = 1);
logc a
logb a
1
logaα b = loga b (α = 0).
α
1.3.4

ATH
S.N

loga b =

Lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên

Lôgarit cơ số 10 được gọi là lôgarit thập phân. Ta thường viết log10 b là lg b hoặc log b.
Lôgarit cơ số e được gọi là lôgarit tự nhiên. Ta thường viết loge b là ln b.

1.4 HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
1.4.1

Hàm số mũ

TM

• Hàm số y = ax (a > 0, a = 1) được gọi là hàm sô mũ cơ số a.

• Hàm số y = ax có đạo hàm tại mọi x và (ax ) = ax ln a. Đặc biệt, (ex ) = ex .
• Các tính chất


VIE

a) Tập xác định của hàm số mũ là R.

b) Khi a > 1 hàm số luôn đồng biến.
Khi 0 < a < 1 hàm số luôn nghịch biến.
c) Đồ thị có tiệm cận ngang là Ox và luôn đi qua các điểm (0; 1), (1; a) và nằm phía trên
trục hoành.
1.4.2

Hàm số lôgarit

• Hàm số y = loga x (a > 0, a = 1) được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.
1
.
• Hàm số lôgarit có đạo hàm tại mọi x > 0 và (loga x) =
x ln a
1
Đặc biệt, (ln x) = .
x
• Các tính chất
a) Tập xác định của hàm số lôgarit là (0; +∞);
6


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ


b) Khi a > 1 thì hàm số luôn đồng biến;
Khi 0 < a < 1 thì hàm số luôn nghịch biến.
c) Đồ thị có tiệm cận đứng là Oy và luôn đi qua các điểm (1; 0), (a; 1) và nằm phía bên
phải trục tung.

1.5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1.5.1

Phương trình mũ

• Phương trình mũ là phương trình chứa ẩn số ở số mũ của luỹ thừa.
• Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng ax = b (a > 0, a = 1).
Nếu b ≤ 0, phương trình vô nghiệm;
Nếu b > 0, phương trình có nghiệm duy nhất x = loga b.
1.5.2

Phương trình lôgarit

• Phương trình lôgarit là phương trình chứa ẩn số dưới dấu lôgarit.
• Phương trình lôgarit cơ bản là phương trình có dạng loga x = b (a > 0, a = 1).
Phương trình lôgarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất x = ab .
1.5.3

Hệ phương trình mũ và lôgarit

Hệ phương trình mũ là hệ phương trình có chứa ít nhất một phương trình mũ.
Hệ phương trình lôgarit là hệ phương trình có chưa ít nhất một phương trình lôgarit.

1.5.4


Bất phương trình mũ và lôgarit

Bất phương trình mũ cơ bản có một trong các dạng
ax > b; ax ≥ b; ax < b; ax ≤ b,
trong đó a > 0, a = 1.
Để giải bất phương trình mũ cơ bản, ta sử dụng tính chất của hàm số mũ. Chẳng hạn giải bất
phương trình ax > b ta làm như sau:
Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R, vì ax > 0 ∀x ∈ R.
Xét b > 0, khi đó
Với a > 1 thì ax > b ⇔ ax > aloga b ⇔ x > loga b;
Với 0 < a < 1 thì ax > b ⇔ ax > aloga b ⇔ x < loga b.
Bất phương trình lôgarit cơ bản có một trong các dạng:
loga x > b; loga x ≥ b; loga x < b; loga x ≤ b,
7


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

trong đó a > 0, a = 1.
Để giải bất phương trình lôgarit cơ bản, ta sử dụng tính chất của hàm số lôgarit. Chẳng hạn giải
bất phương trình loga x > b, ta làm như sau:
Với a > 1, ta có loga x > b ⇔ loga x > loga ab ⇔ x > ab ;
Với 0 < a < 1, ta có loga x > b ⇔ loga x > loga ab ⇔ 0 < x < ab .

ET

§2 CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
2.1 BÀI TẬP VỀ LUỸ THỪA


ATH
S.N

Đối với luỹ thừa, các dạng bài tập chủ yếu là: tính toán, rút gọn biểu thức, so sánh các số,...
Phương pháp giải. Đây đều là các bài tập đơn giản, để giải các bài tập này ta chỉ cần sử dụng
định nghĩa và các tính chất cơ bản của luỹ thừa đã nêu ở mục trước.
Chú ý. Để so sánh các căn thức, ta thường đưa chúng về cùng một căn bậc n nào đó để so sánh
(thông thường n này là bội chung nhỏ nhất của các chỉ số của các căn thức đó). Sau đây là các ví
dụ.

(a, b > 0).

1

1

D = a2 − b2

2

VIE

TM

Ví dụ 2.1. Rút gọn các biểu thức sau
−2
−2 −7
−4
a) A = (0,

04)−1,5
− (0, 125) 3 ; b) B = 6 7
+ (0, 2)0,75 ;
√ √

b b2
a 5+3 .a 5( 5−1)
1
1 2
2
2


;
d) D = a − b
+
c) C =
: b − 2b
a
a
(a2 2−1 )2 2+1
Lời giải. Ta có
−2
1 2 −3
2
− 2−3 3 = 53 − 22 = 121.
a) A =
5
1 43 −4
b) B = 62 +

= 62 + 53 = 161.
5√ √





a8
a 5+3 .a5− 5
a 5+3+5− 5
a 5+3 .a 5( 5−1)



=
= a.
=
=
c) C =
a8−1
a7
(a2 2−1 )2 2+1
a(2 2)2 −12
d) Ta có
: b − 2b




= ( a − b)2 : b 1 − ba



a
( a − b)2
√ 2 = .
=

b
( a − b)
b.
a



= ( a − b)2 : b 1 − 2


( a − b)2

=

a− b 2

b.
a

b b2
+
a
a

2

Ví dụ 2.2. So sánh các cặp số sau


3
a) 4 6 và
5;

10−3
π
c)
và 1;
5
8

b)



10 và



d) e

3+1


3


30;


và e 7 .

b
+
a

b
a

2


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

Lời giải. a) Đưa các căn thức về cùng căn bậc 12, ta có



12
4
12
6 = 63 = 216;




12
3
12
5 = 54 = 625.


Mà 216 < 625 nên 4 6 < 3 5.
b) Đưa các căn thức về cùng căn bậc 6, ta có



6
6
10 = 103 = 1000;



6
3
6
30 = 302 = 900.


Mà 1000 > 900 nên 10 > 3 30.
c) Ta có

π 10

π 10−3

= 5 3 .
π
5
5


π 10
π
π 3
.
Lại có 0 < π < 5 nên 0 < < 1 và 10 > 3, do đó
<
5
5
5
π 3

> 0 nên
5

π 10

π 10−3
= 5 3 < 1.
π
5
5


d) So sánh 3 + 1 và 7, ta có





( 3 + 1)2 − ( 7)2 = 3 + 1 + 2 3 − 7 = 2 3 − 3.
Hơn nữa
Do đó



3+1>




(2 3)2 − 32 = 4.3 − 9 = 3 > 0.


7, mà e > 1 nên e

3+1



> e 7.

Ví dụ 2.3. Tính giá trị của biểu thức
a) A =

5


1

1
2

−1
2

a2 a2 − a

−3
2
3
2


, với a = π − 3 2;

a a −a




2
2
1
3
b) B = ( 3 a + b) a 3 + b 3 − (ab) 3 , với a = 7 − 2, b = 2 + 3.
Lời giải. a) Rút gọn A, ta có

5

A=
Do đó

1

5

a2+2 − a2+
1

a2+

−1
2

1

−3
2
3

− a2+2

=

a3 − a
= −a.
1 − a2




A = −(π − 3 2) = 3 2 − π.
9


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

b) Rút gọn B, ta có
1

1

2

1

B = a3 + b3 ) a3

1

Do đó



B = (7 −


Bài tập tương tự.

1

1

− a3 b3 + b3

2

1

= a3



a) A = 43+ 2 .21− 2 .2−3− 2 ;



2



− 72

2




.7−1−2 2 .

Đáp số. a) A = 16; b) B = 36; c) C =

48
.
7

Bài tập 2.2. Đơn giản các biểu thức
3

b) B =

7

a
b

c) C = a

5

b
, (a, b = 0);
a
2

2

2


−1

1

11

TM


a 3 a a, (a > 0);

a) A =

= a + b.

ATH
S.N



123+ 5
√ ;

b) B =
42+ 5 .31+ 5
c) C = 491+

3


ET



1

+ b3


2) + ( 2 + 3) = 10.

Bài tập 2.1. Tính giá trị các biểu thức


3

+ a 3 .a 3 . a 3 − a 3 ;





d) D = 1 + (a − 1)( a − 4 a + 1)( a + 4 a + 1)(a − a + 1), (a ≥ 0).
−1
3

1

1


b) B =

a
b
2

1
7

.

b
a
2

c) C = a 3 . a 3

1
35

2

=

− a

a
b
−1
3


VIE

Hướng dẫn. a) A = a 3 .a 9 .a 6 = a 18 ;
1
7

2

.

a
b

−1
35

2

a
b

=

4

1
−1
7 35


= a3 . a3 − a

−2
3

=

a
b

4
35

;

= a2 − 1;

d) Ta có



D = 1 + (a − 1)[( a + 1)2 − ( 4 a)2 ](a − a + 1)


= 1 + (a − 1)(a + a + 1)(a − a + 1)

= 1 + (a − 1)[(a + 1)2 − ( a)2 ]
= 1 + (a − 1)(a2 + a + 1) = 1 + (a3 − 1) = a3 .
Bài tập 2.3. Tính giá trị các biểu thức


1
1 12
a) A = a 3 .a 4 . a5 với a = 3, 14;
10


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

b) B =

1

9

1
4

5
4

a4 − a4

a −a



b

−1
2

1
2

BÙI QUỸ

3

− b2

b +b

−1
2

với a = 3 −



2, b =



2 − 2.

Đáp số. a) A = a = 3, 14; b) B = a + b = 1.
Bài tập 2.4. So sánh các cặp số

5



3

10 và
1 π
c)

8



15
15
Hướng dẫn. a) 3 10 = 105 > 203 =
a)


1
b) Vì < 1 và 8 − 3 < 0 nên
e

1
e



20;
b)
1 3,14
; d)
8


5
20.

8−3

1
e
1
π



8−3

1,4

và 1;


và π − 2 .

> 1.

1 3,14
1 π
1
<
.
< 1 và π > 3, 14 nên

8
8
8


1
1 1,4
> π− 2.
d) Vì < 1 và 1, 4 < 2 nên
π
π
c) Vì

2.2 BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LUỸ THỪA
Bài tập về hàm số luỹ thừa bao gồm các dạng như tìm tập xác định, tính đạo hàm, khảo sát vẽ
đồ thị của hàm số luỹ thừa, so sánh các số dựa vào tính đơn điệu của hàm số luỹ thừa. Sau đây
là các ví dụ.
Ví dụ 2.4. Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số
π

a) y = (x3 − 8) 3 ;

b) y = (x2 + x − 6)

−1
3

.

Chú ý. Tập xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc vào cả số mũ và biểu thức chứa biến (cơ số)

của hàm số đó, cụ thể
• Nếu số mũ là số nguyên dương thì hàm số xác định khi cơ số là số thực;
• Nếu số mũ là 0 hoặc số nguyên âm thì hàm số xác định khi cơ số khác 0;
• Nếu số mũ là hữu tỉ hoặc số thực thì hàm số xác định khi cơ số dương.
Trên cơ sở đó, ta dễ dàng có lời giải cho bài toán.
π
Lời giải. a) Hàm số y = (x3 − 8) 3 xác định khi và chỉ khi x8 − 8 > 0
⇔ (x − 2)(x2 + 2x + 4) > 0 ⇔ x − 2 > 0 ⇔ x > 2.
Vậy tập xác định của hàm số là (2; +∞).
Đạo hàm của hàm số là
y =

π
π
π
π 3
π
.(x − 8) .(x3 − 8) 3 −1 = .3x2 .(x3 − 8) 3 −1 = x2 (x3 − 8) 3 −1 .
3
3

11


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi x2 + x − 6 > 0 ⇔ x < −3, hoặc x >= 2.
Vậy tập xác định của hàm số là (−∞; −3) ∪ (2; +∞).

Đạo hàm của hàm số là
−1
−1 2
−(2x + 1)(x2 + x − 6)
y =
.(x + x − 6) .(x2 + x − 6) 3 −1 =
3
3

−4
3

.

Ví dụ 2.5. Viết các số sau theo thứ tự tăng dần
2



1
2π ; 1, 8π ; √
2

π

; ππ .

ATH
S.N


b)

ET

a) 0, 3π ; 0, 30,5; 0, 3 3 ; 0, 33,15 ;

Lời giải. a) Ta có cơ số a = 0, 3 < 1 và 3, 15 > π >

2
> 0, 5 nên thứ tự tăng dần là
3

2

0, 33,15; 0, 3π ; 0, 3 3 ; 0, 30,5.

b) Vì số mũ π > 0 nên hàm số luỹ thừa y = xπ luôn đồng biến. Mặt khác

1
√ < 2 < 1, 8 < π,
2
nên thứ tự tăng dần là

π



TM

1


2

2π ; 1, 8π ; π π .

VIE

Bài tập tương tự.

;

Bài tập 2.5. Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số
1

a) y = (x2 − 3x − 4) 4 ;
c) y = (3x2 − 1)−2 ;

3

b) y = (2
− x2 ) 5 ;

3
d) y = 1 − x.

Bài tập 2.6. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số y = x5 và y = x−5 trên cùng một hệ tọa độ.
Từ các đồ thị trên hãy suy ra các đồ thị hàm số
a) y = |x|5 ;

b) y = |x−5 |.


Bài tập 2.7. Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần
a) 0, 5
Hướng dẫn. a) y = x

−2
3

−2
3

; 1, 3

−2
3



−2
3

1
;
e

−2
3

;


luôn nghịch biến; b) y = 5x luôn đồng biến.
12

1

b) 5−2 ; 5−0,7; 5 3 ;

1
5

2,2

.


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

2.3 BÀI TẬP VỀ LÔGARIT
Bài tập về lôgarit bao gồm các dạng như tính toán các biểu thức lôgarit, so sánh các biểu thức
chứa lôgarit, chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức mũ, lôgarit,... Để giải các bài tập này,
chúng ta chỉ cần sử dụng các qui tắc tính toán của lôgarit.
Ví dụ 2.6. Tính toán các biểu thức

1
a) A = log 1 5 4 5; b) B = 9 2 log3 2−2 log27 3 ;
25

1

c) C = log3 log2 8; d) D = 2 log 1 6 − log 1 400 + 3 log 1 3 45.
3
3
3
2
1 5
5
5
Lời giải. a) A = log5−2 5 4 = − . . log5 5 = − .
2 4
8
1

4

b) B = 9 2 log3 2−2 log27 3 = 3log3 2− 3 log3 3 =

2
.
= √
333
3
2

4
3

c) C = log3 log2 8 = log3 log2 23 = log3 3 = 1.
d) Ta có


1
3
D = log 1 62 − log 1 400 2 + log 1 ( 45)3
3

3

3

= log 1 36 − log 1 20 + log 1 45
3
3
3
36.45
= log 1
= log3−1 81 = − log3 34 = −4.
3
20

Ví dụ 2.7. (Tính toán biểu thức có điều kiện)
a) Tính A = log6 16 biết log12 27 = a;
b) Tính B = log125 30 biết lg 3 = a và lg 2 = b;
c) Tính C = log6 35 biết log27 5 = a, log8 7 = b, log2 3 = c;

3

b

d) Tính D = log b √ biết loga b = 3.
a

a
Nhận xét. Đối với các bài tập dạng này, chúng ta thường phân tích các lôgarit cần tính và các
lôgarit đã cho về dạng lôgarit cơ số nguyên tố. Thông thường, các lôgarit đó có mối liên hệ với
nhau.
Lời giải. a) Chọn 2 làm cơ số, ta có
A = log6 16 =

4
log2 16
=
.
log2 6
1 = log2 3

x = log12 27 =

log2 27
3 log2 3
=
.
log2 12
2 + log2 3

Mặt khác

13


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT


b) Ta có

4(3 − x)
2x
và suy ra A =
.
3−x
3+x
B=

lg 10 + lg 3
1+a
1 + lg 3
lg 30
=
=
.
=
10
lg 125
3(1 − lg 2)
3(1 − b)
3 lg
2

c) Ta có
C = log6 5 + log6 7 =

1
1

+
.
1
1
1
1
+
+
log2 5 log3 5
log2 7 log3 7

Ta đi tính log2 5; log3 5; log2 7; log3 7 theo a, b, c. Từ

suy ra log3 5 = 3a, do đó

1
log3 5,
3

ATH
S.N

a = log27 5 = log33 5 =

ET

Do đó log2 3 =

BÙI QUỸ


log2 5 = log2 3. log 35 = 3ac.

1
log2 7 nên log2 7 = 3b. Do đó
3
log2 7
3b
log3 7 =
= .
log2 3
c

Mặt khác b = log8 7 = log23 7 =

Vậy

1
1
3(ac + b)
.
+
=
1
1
1
c
1+c
+
+
3ac 3a

3b 3b

TM

C=

Từ đó ta tính được

VIE

d) Điều kiện a > 0, a √
= 1, b > 0.

Từ giả thiết loga b = 3 suy ra b = a 3 . Do đó


3



3
3
3 1
b
b
−1
= a 2 ; √ = a 3 − 2 = a− 3
a
a




A = logaα a



3
α
3

α −

= logaα (a )



3
3



3
=−
3


3
−1
2


.

(với α =



3
− 1).
2

Ví dụ 2.8. Tính
1
1
1
a) A =
+
+···+
với x = 2007!;
log2 x log3 x
log2007 x
b) B = lg tan 10 + lg tan 20 + · · · + lg tan 890 .
Lời giải. a) Sử dụng công thức

1
= loga b, hơn nữa x = 2007! > 1 nên ta có
logb a

A = logx 2 + logx 3 + · · · + logx 2007
= logx (2.3 . . . 2007)
= logx x = 1.

14


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

b) Nhận thấy
lg tan 10 + lg tan 890 = lg(tan 10 . tan 890 ) = lg 1 = 0.
Tương tự, ta có
lg tan 20 + lg tan 880 = 0;
...
lg tan 440 + lg tan 460 = 0;
lg tan 450 = lg 1 = 0.
Do đó
B = (lg tan 10 + lg tan 890 ) + (lg tan 20 + lg tan 880 ) + · · · + lg tan 450 = 0.

Nhận xét. Đây là bài tập không khó, nhưng khi giải phải sử dụng kĩ năng biến đổi, do đó có thể
kích thích được sự tư duy, sáng tạo của học sinh.
Ví dụ 2.9. (Chứng minh đẳng thức lôgarit)
a) Cho các số dương a, b thoả mãn a2 + 4b2 = 12ab. Chứng minh rằng
1
lg(a + 2b) − 2 lg 2 = (lg a + lg b);
2
1

1

1


b) Cho a = 10 1−lg b ; b = 10 1−lg c . Chứng minh rằng c = 10 1−lg a ;
Lời giải. a) Ta có
a2 + 4b2 = 12ab ⇔ (a + 2b)2 = 16ab.

Do a, b dương nên a + 2b = 4 ab. Khi đó, lấy lôgarit cơ số 10 hai vế ta được
lg(a + 2b) = lg 4 +
hay

1
lg(ab)
2

1
lg(a + 2b) − 2 lg 2 = (lg a + lg b).
2
1

b) Giả sử a, b, c đều dương và khác 10. Để biểu diễn c theo a, ta rút lg b từ biểu thức a = 10 1−lg b
1
và thế vào biểu thức b = 10 1−lg c (sau khi lấy lôgarit cơ số 10 hai vế). Ta có
1

a = 10 1−lg b ⇒ lg a =
1

Mặt khác, từ b = 10 1−lg c suy ra lg b =

1
1
⇒ lg b = 1 −

.
1 − lg b
lg a

1
. Do đó
1 − lg c

1
1
=
lg a
1 − lg c
lg a
1
⇒ 1 − lg c =
=1+
lg a − 1
lg a − 1
1
⇒ lg c =
.
1 − lg a
1−

1

Từ đó suy ra c = 10 1−lg a .
15



HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

Ví dụ 2.10. So sánh
a) log3 2 và log2 3;
b) log2 3 và
√ log3 11;

1
5+ 7
lg 5 + lg 7
c) + lg 3 và lg 19 − lg 2; d) lg

.
2
2
2

ET

Nhận xét. Thông thường, để so sánh các lôgarit, chúng ta so sánh chúng với một số nguyên nào
đó.
Lời giải. a) Ta có
log3 2 < log3 3 = 1 = log2 2 < log2 3.
b) Ta có
c) Đưa về cùng một lôgarit cơ số 10, ta có

ATH

S.N

log2 3 < log2 4 = 2 = log3 9 < log3 11.

1
1
+ lg 3 = lg 10 + lg 3 = lg 3 10;
2
2
19
lg 19 − lg 2 = lg .
2

19
Ta so sánh hai số 3 10 và
. Ta có
2


361
19 2
360
,
<
=
(3 10)2 = 9.10 = 90 =
4
4
2



5 7.

VIE

TM


19
1
vì vậy 3 10 < . Từ đó suy ra
+ lg 3 < lg 19 − lg 2.
2
2
d) Ta có

√ 1
lg 5 + lg 7
= lg(5 7) 2 = lg
2


5+ 7
. Ta có
Ta đi so sánh hai số 5 7 và
2
2


5 7 = 5 7;



5 + 7 2 32 + 10 7
5√
7.
=8+
=
2
4
2


Xét hiệu





256 − 175
5√
16 − 5 7
5√
7−5 7= 8−
7=
=
> 0.
8+
2
2
2

2



5+ 7
5√
> 5 7, và
7 > 5 7. Do đó
Suy ra 8 +
2
2


lg 5 + lg 7
5+ 7
>
.
lg
2
2

Ví dụ 2.11. (Chứng minh các bất đẳng thức lôgarit)
16


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

5

a) Không dùng máy tính, chứng minh rằng 2 < log2 3 + log3 2 < ;
2


ln a + ln b
a+b
≤ ln
;
b) Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng
2
2
c) Chứng minh rằng log2006 2007 > log2007 2008. Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng
quát?
Lời giải. a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương, ta có

log2 3 + log3 2 > 2 log2 3. log3 2 = 2 1 = 2
(không xảy ra dấu ” = ” vì log2 3 = log3 2).
Mặt khác, ta lại có
log2 3 + log3 2 <

1
5
5
⇔ log2 3 +
− <0
2
log2 3 2
2
⇔ 2 log2 3 − 5 log2 3 + 2 < 0
⇔ (2 log2 3 − 1)(log2 3 − 2) < 0.


(∗)

Hơn nữa, 2 log2 3 > 2 log2 2 > 1 nên 2 log2 3 − 1 > 0. Mà
log2 3 < log2 4 = 2 nên log2 3 − 2 < 0.
5
Từ đó suy ra (∗) luôn đúng. Vậy 2 < log2 3 + log3 2 < .
2
a+b
không âm. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
b) Vì a, b ≥ 1 nên ln a, ln b, ln
2

ln a + ln b ≥ 2 ln a. ln b.
Suy ra
Mặt khác




2(ln a + ln b) ≥ ln a + ln b + 2 ln a. ln b = ( ln a + ln b)2 .

1
a+b √
a+b
≥ ab ⇒ ln
≥ (ln a + ln b).
2
2
2




1 √
ln a + ln b
a+b
a+b
2
≥ ( ln a + ln b) hay
≤ ln
.
Từ đó ta có ln
2
4
2
2
c) Ta chứng minh bài toán tổng quát
logn (n + 1) > logn+1 (n + 2), ∀n > 1.
Thật vậy, từ (n + 1)2 = n(n + 2) + 1 > n(n + 2) > 1 suy ra
1
logn+1 n(n + 2) < 1
2
⇔ logn+1 n + logn+1 (n + 2) < 2.

log(n+1)2 n(n + 2) < 1 ⇔

17


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT


BÙI QUỸ

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
2 > logn+1 n + logn+1 (n + 2) > 2 logn+1 n. logn+1 (n + 2).
Do đó ta có 1 > logn+1 n. logn+1 (n + 2), và
logn (n + 1) > logn+1 (n + 2), ∀n > 1.

ET

Bài tập tương tự.
Bài tập 2.8. Tính giá trị các biểu thức
a) A = log 1 5. log25


3
b) B = ( 3 9) 5 log5 3 ;

c) C = loga a2 . 4

d) D = lg log

ATH
S.N

3

1
;
27


a3 5 a;

1
a3

5


a a.


14
3
Đáp số. a) A = ; b) B = 5 25; c) C = ; d) D = lg 9 − 1.
2
5
Bài tập 2.9. Tính
a) A = log25 15 theo a = log3 15;
b) B = log √3 7

121
theo a = log49 11, b = log2 7;
8

TM

c) C = log140 63 theo a = log2 3, b = log3 5, c = log2 7;

b

d) D = log√ab √ biết loga b = 5.
a

VIE


a
9
2ac + 1
11 − 3 5
Đáp số. a) A =
; b) B = 12a − ; c) C =
; d) D =
.
2(a − 1)
b
abc + 2c + 1
4
Bài tập 2.10. (Chứng minh các đẳng thức có điều kiện)
a) Cho các số dương a, b, c (c = 1). Chứng minh rằng alogc b = blogc a ;
b) Cho a = log12 18, b = log24 54. Chứng minh rằng ab + 5(a − b) = 1;
c) Cho các số dương a, b thoả mãn a2 + b2 = 7ab. Chứng minh rằng
log7

a+b
1
= (log7 a + log7 b);
3
2


d) Cho các số dương a, b và 4a2 + 9b2 = 4ab. Chứng minh rằng
lg

lg a + lg b
2a + 3b
=
.
4
2
18


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

Hướng dẫn. a) Đặt x = logc b thì b = cx nên
blogc a = (cx )logc a = clogc a
b) Tính log2 3 theo a và theo b ta được log2 3 =

x

= ax = alogc b .

2a − 1
3b − 1
; log2 3 =
.
2−a
3−b


(chú ý rằng a = 2, b = 3).
3b − 1
2a − 1
=
suy ra điều phải chứng minh.
Từ hệ thức
2−a
3−b
a+b 2
c) Từ giả thiết suy ra
= ab. Lấy lôgarit cơ số 7 hai vế, ta được điều phải chứng minh.
3
2a + 3b √
= ab. Lôgarit hai vế với cơ số 10.
d) Từ giả thiết suy ra
4
Bài tập 2.11. So sánh
a) log3 5 và log7 4;

b) log0,3 2 và log5 3;

1 log6 2− 21 log√6 5
c) log2 10 và log5 50; d)
và 3 18.
6
Hướng dẫn. a) log3 5 > log3 3 = 1 = log7 7 > log7 4.
b) log0,3 2 = − log3 2 < 0 < log5 3.
c) log2 10 > log2 8 = 3 = log5 125 > log5 50.
d)


1
6

log6 2− 12 log√6 5

= (6−1 )log6 2−log6 5 =

5
=
2

3

125 √
< 3 18.
8

2.4 BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
Các dạng bài tập cơ bản, bao gồm tìm tập xác định, vẽ đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit,
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số mũ và hàm số lôgarit dựa vào tính đơn điệu của
chúng.
Ví dụ 2.12. Tìm tập xác định của các hàm số
a) y = log3 (x2 − 2x);

b) y =

log 1 (x − 3) − 1.
3


Lời giải. a) Hàm số xác định khi và chỉ khi
x2 − 2x > 0 ⇔ x < 0 ∨ x > 2.
Vậy tập xác định của hàm số là D = (−∞; 0) ∪ (2; +∞).
b) Hàm số xác định khi và chỉ khi

x > 3,
x − 3 > 0,

1
x = 3 ≤
log 1 (x − 3) − 1 ≥ 0
3
3
Vậy tập xác định của hàm số là D = 3;

10
.
3

19

⇔3
10
.
3


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT


BÙI QUỸ

Ví dụ 2.13. Vẽ đồ thị các hàm số
a) y = 2, 5x ;
c) y = lg x;

b) y = 0, 5x ;
d) y = log 1 x.
π

Lời giải. a) Hàm số y = 2, 5 là hàm số mũ có cơ số lớn hơn 1 nên luôn đồng biến. Đồ thị hàm
số đi qua các điểm (0; 1), (1; 2, 5). Ta có đồ thị
y
y
x

ET

y = 2, 5x
2, 5

1

1

y = 0, 5x

ATH
S.N


0, 5

1

O

x

O

1

x

b) Hàm số y = 0, 5x là hàm số mũ có cơ số nhỏ hơn 1 nên luôn nghịch biến. Đồ thị hàm số đi qua
các điểm (0; 1), (1; 0, 4) (hình vẽ trên). c) Hàm số y = lg x là hàm số lôgarit có cơ số lớn hơn 1 nên
luôn đồng biến. Đồ thị đi qua các điểm (1; 0), (10; 1). Đồ thị như sau
y
y
y = log 1 x

TM

y = lg x

1
1

10


x

1
x
O

1
3

1

VIE

O

π

1
d) Hàm số y = log 1 x là hàm số lôgarit có cơ số là < 1 nên luôn nghịch biến. Đồ thị hàm số đi
π
π
1
; 1 (hình vẽ trên).
qua các điểm (1; 0),
π
4x
Ví dụ 2.14. Cho f (x) = x
, tính
4 +2
2

2006
1
+f
+···+f
.
S=f
2007
2007
2007
Lời giải. Ta có nhận xét rằng nếu a + b = 1 thì
4a
4b
4a (4a + 2) + 4b (4b + 2)
+
=
4a + 2 4b + 2
(4a + 2)(4b + 2)
2.4a + 2.4b + 8
4a+b + 2.4a + 4a+b + 2.4b
=
= 1.
=
4a+b + 2.4a + 2.4b + 4
2.4a + 2.4b + 8

f (a) + f (b) =

20



HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

Áp dụng kết quả trên ta có
S= f

1
2006
+f
2007
2007

+ f

2
2005
+f
2007
2007

+···+ f

1003
1004
+f
2007
2007

Vậy

S = 1 + 1 + · · · + 1 = 1003.
1003 số hạng

Bài tập tương tự.
Bài tập 2.12. Tìm tập xác định của các hàm số
x−4
;
b) y = logπ (2x − 2);
a) y = log0,3
x+4


c) y = log3 ( x2 − 3x + 2 + 4 − x); d) y = 2 |x−3|−|8−x| +

− log0,5 (x − 1)

.
x2 − 2x − 8

Đáp số. a) D = (−∞; −4) ∪ (4; +∞); b) D = (1; +∞);
x2 − 3x + 2 ≥ 0,
c) Hàm số xác định khi và chỉ khi √ 2
⇔ x ≤ 1 ∨ x ≥ 2.
x − 3x + 2 + 4 − x ≥ 1
Tập xác định là D = (−∞; 1] ∪ [2; +∞).
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi


|x


3|

|8

x|

0,
(x − 3)2 ≥ (8 − x)2 ,






x − 1 > 0,
x > 1,
11

⇔x≥ .


2
log0,5 (x − 1) ≤ 0,
x − 1 ≥ 1,




 2


x − 2x − 8 > 0
x < −2 ∨ x > 4
11
; +∞ .
2
Bài tập 2.13. Hình dưới đây là đồ thị của 4 hàm số

Tập xác định là D =

y = log√2 x; y = log 1 x;
e

y=

log√

5

x; y = log 1 x.
3

Hãy chỉ rõ đồ thị tương ứng của mỗi hàm số và giải thích.
y
C1

y

C2
x
O


1

x

O

1

C4
C3

21

.


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

Hướng dẫn. Ta thấy C1 , C2 là đồ thị của các hàm đồng biến, tức là đồ thị ứng với hàm số lôgarit
có cơ số lớn hơn 1. Mặt khác, khi x > 1 thì log√2 x > log√5 x và khi x < 1 thì log√2 x < log√5 x.
Do đó C1 là đồ thị của hàm số y = log√2 x và C2 là đồ thị của hàm số log√5 x.
Tương tự thì C3 là đồ thị của hàm số y = log 1 x và C4 là đồ thị của hàm số y = log 1 x.
e

3

Bài tập 2.14. Từ đồ thị hàm số y = 3x , hãy vẽ đồ thị các hàm số


ET

a) y = 3x − 2; b) y = 3x + 3;
c) y = |3x − 2|; d) y = 2 − 3x .

ATH
S.N

Hướng dẫn. a) Đồ thị hàm số y = 3x − 2 nhận được từ đồ thị hàm số y = 3x bằng phép tịnh tiến
song song với trục tung xuống dưới 2 đơn vị.
b) Tương tự câu a).
3x − 2, khi 3x − 2 ≥ 0
c) Ta có y = |3x − 2| =
−3x + 2, khi 3x − 2 < 0.
Do đó đồ thị hàm số y = |3x − 2| bao gồm:
− Phần đồ thị của hàm số y = 3x − 2 ứng với 3x − 2 ≥ 0 (nằm phía trên trục hoành);
− Phần đồ thị của hàm số y = 3x − 2 ứng với 3x − 2 < 0 lấy đối xứng qua trục hoành.
d) Ta có y = 2 − 3x = −(3x − 2), do đó, đồ thị của hàm số y = 2 − 3x đối xứng với đồ thị của hàm
số y = 3x − 2 qua trục hoành.

TM

Bài tập 2.15. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2|x| trên đoạn [−1; 1].
Hướng dẫn. Trên đoạn [−1; 1] ta có
y = 2|x| =

2x , khi x ∈ [0; 1]
2−x , khi x ∈ [−1; 0].


VIE

Do đó trên đoạn [0; 1] hàm số đồng biến, trên đoạn [−1; 0] hàm số nghịch biến. Suy ra, các giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất sẽ đạt được tại các đầu mút. Ta có
y(−1) = 2−(−1) = 21 = 1; y(0) = 20 = 1; y(1) = 21 = 2.
Vậy giá trị lớn nhất là y(1) = y(−1) = 2, giá trị nhỏ nhất là y(0) = 1.

2.5 BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Phương trình mũ và phương trình lôgarit là nội dung rất quan trọng trong chương này. Các dạng
bài tập cũng rất phong phú như giải phương trình, chứng minh nghiệm của phương trình thỏa mãn
các điều kiện cho trước (tồn tại, tồn tại duy nhất, hữu hạn nghiệm,...), giải và biện luận phương
trình theo tham số, chứng minh phương trình tương đương,...
Phương pháp giải. Các phương pháp thường dùng để giải phương trình mũ và phương trình
lôgarit là
• Đưa về các phương trình mũ và lôgarit cơ bản, bao gồm các cách
22


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

− Đưa về cùng một cơ số;
− Đặt ẩn phụ;

− Mũ hoá (hoặc lôgarit hoá).
• Phương pháp đồ thị.
• Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ và lôgarit.
Ngoài ra, còn một số phương pháp giải khác như phương pháp biến thiên hằng số, sử dụng định
lí Lagrange, định lí Rolle, đánh giá, phương pháp hàm số,... Sau đây chúng ta sẽ đi vào từng nội

dung cụ thể.
2.5.1

Đưa về phương trình mũ, phương trình lôgarit cơ bản

Đây là phương pháp rất cơ bản, thường được sử dụng. Các cách để đưa về phương trình mũ, lôgarit
cơ bản là đưa về cùng một cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hoá hoặc lôgarit hoá.
a) Đưa về cùng một cơ số
Ví dụ 2.15. Giải các phương trình mũ sau
a) 3x

2 −4x+5

b) 1, 55x−7 =

= 9;

c) 22x−1 + 4x+2 = 10;

2
3

x+1

;

3
2
8


d) 0, 125.42x−3 =

−x

.

Lời giải. a) Đưa về cùng cơ số 3, ta có phương trình tương đương với
3x

2 −4x+5

= 32 ⇔ x2 − 4x + 5 = 2 ⇔ x = 1 ∨ x = 3.

Vậy 1; 3 là nghiệm của phương trình đã cho.
3 −1
2
= 1, 5−1 nên phương trình đã cho có dạng
b) Ta có =
3
2
1, 55x−7 = 1, 5−x−1 .
Vậy 5x − 7 = −x − 1 hay x = 1 là nghiệm của phương trình.
c) Phương trình đã cho tương đương với
1 x
33
20
20
.4 + 16.4x = 10 ⇔ .4x = 10 ⇔ 4x =
⇔ x = log4 .
2

2
33
33
Vậy nghiệm của phương trình là x = log4
d) Đưa hai vế về cùng cơ số 2, ta được

20
.
33

2−3 .24x−6 = 2
Do đó

−5
2

−x

5

hay 24x−9 = 2 2 x .

5
3
4x − 9 = x ⇔ x = 9 ⇔ x = 6.
2
2
23



HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

Vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm x = 6.
Chú ý. Muốn đưa các lôgarit về cùng một cơ số, ta thường xem mối liên hệ giữa các cơ số và
thường sử dụng các tính chất sau của lôgarit:
a = logb ba ; loga b =

logc b
.
logc a

Ví dụ 2.16. Giải các phương trình lôgarit sau

ET

a) lg x + lg(x + 9) = 1;
b) log2 x + log4 x + log8 x = 11;


x3 =

d) log2 x + log3 x + log4 x = log20 x.
Lời giải. a) Điều kiện

x > 0,
x+9>0

11

;
2

ATH
S.N

c) log5 x3 + 3 log25 x + log√125

⇔ x > 0. Phương trình đã cho tương đương với

lg x(x + 9) = lg 10 ⇔ x(x + 9) = 10 ⇔ x = 1 ∨ x = −10.
Vì x > 0 nên phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất là x = 1.
b) Điều kiện x > 0. Đưa về cùng cơ số 2, ta có

1
1
11
log2 x + log2 x = 11 ⇔
log2 x = 11.
2
3
6

TM

log2 x + log22 x + log23 x = 11 ⇔ log2 x +
Do đó log2 x = 6 và x = 26 = 64.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 64.
c) Điều kiện x > 0. đưa về cùng cơ só 5, ta có



3
11
11
⇔ 3 log5 x + 3 log52 x + log5 32 x 2 =
2
2
1
3 2
11
⇔ 3 log5 x + 3. log5 x + . log5 x =
2
2 3
2
11
11
log5 x =

2
2
⇔ log5 x = 1 ⇔ x = 51 = 5 (thoả mãn).

VIE

log5 x3 + 3 log25 x + log√125

x3 =

Vậy phương trình chỉ có một nghiệm x = 5.
d) Điều kiện x > 0. Áp dụng công thức đổi cơ số, ta có

log2 x log2 x
log2 x
+
=
log2 3 log2 4
log2 20
1
1
1
=0
+ −
⇔ log2 x. 1 +
log2 3 2 log2 20
3
⇔ log2 x.
+ log3 2 − log20 2 = 0.
2

log2 x + log3 x + log4 x = log20 x ⇔ log2 x +

24


HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARÍT

BÙI QUỸ

3
3
+ log3 2 − log20 2 > + 0 − 1 > 0. Do đó từ phương trình trên ta phải có log2 x = 0 hay

2
2
x = 20 = 1.
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Chú ý. Khi giải phương trình lôgarit, ta phải đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
Ta có

Bài tập tương tự.
Bài tập 2.16. Giải các phương trình mũ sau
4 3
−2x2 +2

a) 7x−1 = 2x ;
c) 0, 752x−3

1
= 1
3

b) 8 3 x
5−x

;

= 4x

2 +x+1

;


d) 5x+1 − 5x = 2x+1 + 2x+3 .

Hướng dẫn. a) Lấy lôgarit cơ số 2 cả hai vế. Đáp số. x =

log2 7
.
−1 + log2 7

1
b) Lấy lôgarit cơ số 2 cả hai vế. Đáp số. x = 2; x = ± √ .
2
3 1
4
c) Viết 0, 75 = ; 1 = . Đáp số. x = −2.
4 3
3
d) Phương trình tương đương với 5.5x − 5x = 2.2x + 23 .2x . Đáp số. x = 1.
Bài tập 2.17. Giải các phương trình lôgarit sau

4
3
a) ln(x
√+ 1) + ln x + 3 = ln(x + 7); b) lg x + lg 4x = 2 + lg x ;
lg( x + 1 + 1)

c)
= 3;
d) log4 log2 x + log2 log4 x = 2.
lg 3 x − 40


Hướng dẫn. a) Đáp số. x = 1. b) Đưa√về cùng cơ số 10. Đáp số. x = 5.
c) Phương trình tương đương với lg( x + 1 + 1) = lg(x − 40) (x > 40).
Đáp số. x = 48. d) Đáp số. x = 16.

b) Đặt ẩn phụ
Đối với một số phương trình phức tạp hơn, chúng ta không thể sử dụng cách đưa về cùng một cơ
số như trên. Khi đó, chúng ta có thể đặt ẩn phụ để được phương trình hoặc hệ phương trình đại
số thông thường.
Chú ý. Khi đặt ẩn phụ, ta nên tìm điều kiện của ẩn phụ (tuỳ thuộc vào điều kiện của ẩn cần
tìm).
Ví dụ 2.17. Giải các phương trình mũ sau
a) 22x+1 − 2x+3 = 64;
1
1
1
c) 6.4 x − 13.6 x + 6.9 x = 0;

b) e2x − 4e−2x = 3;
d) 8x + 18x = 2.27x .

Lời giải. a) Phương trình đã cho tương đương với

2.(2x )2 − 23 .2x = 64 ⇔ (2x )2 − 4.2x − 32 = 0.
Đặt t = 2x (t > 0) thì phương trình trở thành t2 − 4t − 32 = 0. Đây là phương trình bậc hai với
ẩn t, ta tìm được t = 8 hoặc t = −4. Tuy nhiên t > 0 nên chỉ có t = 8 là thoả mãn. Thay lại để
tìm x, ta có
2x = 8 ⇔ 2x = 23 ⇔ x = 3.
25



×