Khai triển riêng phần và áp dụng để chứng minh công thức euler (KL07196)

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷
❑❍❖❆ ❚❖⑩◆
✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯✯

◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❑■▼ ❈❍■

❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆● P❍❺◆
❱⑨ ⑩P ❉Ö◆● ✣➎ ❈❍Ù◆● ▼■◆❍
❈➷◆● ❚❍Ù❈ ❊❯▲❊❘
❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ●✐↔✐ t➼❝❤

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ❱❿◆ ❍⑨❖

❍⑨ ◆❐■ ✲ ✷✵✶✺



ữủ ỷ ớ ỡ tợ trữớ
ồ ữ ở ú ù tr q tr ồ t t
trữớ t t õ tốt
t tọ ỏ t ỡ s s tợ





t t ú ù tr sốt q tr ự

t õ

ũ õ rt ố s tớ
t ỏ õ ổ t tr ọ ỳ
t sõt rt ữủ sỹ õ õ ỵ ừ t ổ
s ồ
ở t








▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❊♠ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛

❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❍➔♦

❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❡♠ ✈î✐ ✤➲ t➔✐ ✏❚➼❝❤ ✈æ ❤↕♥✑ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤æ♥❣
trò♥❣ ✈î✐ ❜➜t ❦➻ ✤➲ t➔✐ ♥➔♦ ❦❤→❝✳
❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ✤➲ t➔✐✱ ❡♠ ✤➣ ❦➳ t❤ø❛ ♥❤ú♥❣ t❤➔♥❤ tü✉ ❝õ❛
❝→❝ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈î✐ sü tr➙♥ trå♥❣ ✈➔ ❜✐➳t ì♥✳
❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✺

❙✐♥❤ ✈✐➯♥

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑✐♠ ❈❤✐

✸

▼ö❝ ❧ö❝
✶ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
✶✳✶

✶✳✷

✾

❈❤✉é✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✶✳✶

▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✶✳✷

❉➜✉ ❤✐➺✉ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣✳

✶✳✶✳✸

❈❤✉é✐ ✈î✐ sè ❤↕♥❣ ❝â ❞➜✉ tò② þ

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✶✳✷✳✶

▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✶✳✷✳✷

❈→❝ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❤ë✐ tö ✤➲✉ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ sè

✷✷

✶✳✷✳✸

❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠

❈❤✉é✐ ❤➔♠ sè

✳ ✳

❤ë✐ tö ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✳✸

❈❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

✶✳✸✳✶

❑❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

✶✳✸✳✷

❇→♥ ❦➼♥❤ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛

✷✾

✶✳✸✳✸

❑❤❛✐ tr✐➸♥ t❤➔♥❤ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠
sì ❝➜♣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷ ❑❍❆■ ❚❘■➎◆ ❘■➊◆● P❍❺◆ ❱⑨ ⑩P ❉Ö◆●

✷✳✶

✸✷

✸✸

❑❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

✷✳✶✳✶

❑❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ❝♦t❛♥❣

✸✸

✷✳✶✳✷

❑❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠ ❧÷ñ♥❣
❣✐→❝ ❦❤→❝

✷✳✷

✷✻

✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✼

⑩♣ ❞ö♥❣ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ t➼♥❤ ❣✐→ trà
❝õ❛

ζ(2)

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✸✽


▼Ö❈ ▲Ö❈

▼Ö❈ ▲Ö❈

✷✳✷✳✶

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❣è❝ ❝õ❛ ❊✉❧❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✽

✷✳✷✳✷

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t❤ù ❤❛✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✵

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✺

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✻

❑➳t ❧✉➟♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✺


ệ ệ

ệ ệ

é
ồ t
tr r ởt tr ỳ tt t t ừ
t ồ õ ú t õ t ợ t q
ữợ
t tt ừ ỳ t ữủ qt trt
q ởt ỳ t ữợ tờ qt ừ ởt
tự ợ ởt ỳ t õ ừ tự tr ọ ỡ
ừ tự ữợ ữ ỏ ỷ ỵ
s t tự ữợ t t ữớ t
t ữủ tự r ừ tự
r ữủ t t ởt ỡ q ỡ

t ổ tự t tứ

udv = uv

vdu.

ớ ổ tự t t ừ ởt số õ t õ
ự t ữủ s tứ ỳ ỡ ỡ
ỳ tr tr t ồ
ữ r ởt số tr r ừ ởt số t q
ộ t ữủ ỳ ổ tự rt ờ t
ởt số t q ữủ sỹ ữợ ừ ữớ ữợ tổ

tr r ử ự
ổ tự r
ồ t

t õ tốt

t
õ ữủ trú ữỡ
ữỡ r ởt số tự ỡ ộ số ộ
ộ ụ tứ
ữỡ r ởt tố tr r
ử ự ổ tự r



ệ ệ

ệ ệ

ử ử ự
ự ữủ ổ tự tr r ừ ởt số
ữủ
tờ ừ ởt số ộ số ộ
tờ ừ t ợ số ụ ớ
tr r ừ ữủ

ố tữủ ự

ự tr r ừ ởt số ữủ ữ


cot z, tan

z
1
1
,
,
2 sin z cos z
2

q ộ
tờ ừ ởt số ộ số ộ ữ t tờ ừ
t ợ số ụ

Pữỡ ự
õ sỷ ử ởt số ữỡ ổ ử ừ t

ỗ
Pữỡ t tờ ủ tự ỵ tt ộ
số ỵ tt ộ tr r ừ ởt số
t
Pữỡ t tờ ủ tr r ừ ởt
số ữủ tứ õ t ủ ỵ ừ ữớ ữợ




▼Ö❈ ▲Ö❈

▼Ö❈ ▲Ö❈

✽


❈❤÷ì♥❣ ✶

▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆
❇➚
✶✳✶ ❈❤✉é✐ sè
✶✳✶✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳

❈❤♦ ❞➣② sè

{an }✳

❚ê♥❣ ✈æ ❤↕♥

+∞

an

a1 + a2 + ... + an + ... =

✭✶✳✶✮

n=1
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❝❤✉é✐ sè✳
✰

an

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ sè ❤↕♥❣ tê♥❣ q✉→t t❤ù

n

❝õ❛ ❝❤✉é✐ sè✳

✰ ❚ê♥❣

n

ak ,

sn = a1 + a2 + ... + an =

✭✶✳✷✮

k=1
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ tê♥❣ r✐➯♥❣ t❤ù

n

❝õ❛ ❝❤✉é✐ sè✳ ❉➣②

{sn }

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➣②

tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ✭✶✳✶✮✳
◆➳✉ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣

lim sn = s

n→∞

❝❤✉é✐ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ r✐➯♥❣ ❧➔

s✳

tç♥ t↕✐ ✈➔ ❤ú✉ ❤↕♥ t❤➻
❑❤✐ ✤â t❛ ❝ô♥❣ ✈✐➳t

+∞

an = s

n=1
◆➳✉

lim sn = ±∞

n→∞

❤♦➦❝ ❦❤æ♥❣ tç♥ t↕✐ ❣✐î✐ ❤↕♥ ♥➔②✱ t❤➻ ❝❤✉é✐ ✤÷ñ❝

❣å✐ ❧➔ ♣❤➙♥ ❦➻✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✶✳

❳➨t ❝❤✉é✐ sè

✾


✶✳✶✳

❈❍❯➱■ ❙➮

❈❍×❒◆● ✶✳

+∞

▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

q n = 1 + q + q 2 + ... + q n + ...

n=0
❚ê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉

sn = 1 + q + q 2 + ... + q n−1
❚❛ ①➨t ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣

(i)

❚r÷í♥❣ ❤ñ♣

q = 1✱

❚❛ ❝â tê♥❣ r✐➯♥❣ t❤ù

n

❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❧➔

1 − qn
sn =
1−q
✰ ◆➳✉

|q| < 1

t❤➻

lim q n = 0✳

n→∞

❉♦ ✤â

1
1−q

lim sn =

n→∞

❱➟② ❝❤✉é✐ sè ✤➣ ❝❤♦ ❧➔ ❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ ❧➔

+∞

qn =

n=0
✰ ◆➳✉

(ii)

|q| > 1

t❤➻

❚r÷í♥❣ ❤ñ♣

lim sn = ∞

n→∞

q=1

1
1−q

♥➯♥ ❝❤✉é✐ ✤➣ ❝❤♦ ♣❤➙♥ ❦➻✳

❦❤✐ ✤â t❛ ❝â

lim sn = lim n = +∞✳

n→∞

n→∞

❱➟② ❝❤✉é✐ ✤➣ ❝❤♦ ♣❤➙♥ ❦➻✳

(iii)

❚r÷í♥❣ ❤ñ♣

q = −1✳

❉➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉

sn =
◆❤÷ ✈➟② ❞➣②

{sn }

0
1

khi n = 2k
khi n = 2k + 1

❦❤æ♥❣ ❝â ❣✐î✐ ❤↕♥✳ ❉♦ ✤â ✈î✐

❝❤♦ ♣❤➙♥ ❦➻✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✷✳

❈❤♦ ❝❤✉é✐ sè

+∞

1
n=1 n(n + 1)
❚❛ ❝â
✶✵

|q| = 1

t❤➻ ❝❤✉é✐ ✤➣


✶✳✶✳

❈❍❯➱■ ❙➮

❈❍×❒◆● ✶✳

1
1
+
+
1.2 2.3
1
+
= 1−
2
1
=1−
.
n+1

sn =

❚ø ✤â✱ s✉② r❛

▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

1
1
+ ... +
3.4
n(n + 1)
1 1
1 1

−
+
−
+ ... +
2 3
3 4

lim sn = 1✳ ❱➟② ❝❤✉é✐ ✤➣

✶✳✶✳✶✳✶✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✶✳
n→∞

❝❤♦ ❧➔ ❤ë✐ tö ✈î✐ tê♥❣ ❜➡♥❣

✭t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❈❛✉❝❤②✮✳ ❈❤✉é✐

✈î✐ ♠å✐

ε>0

tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣

♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣

p

1
1
−

n n+1

N

(1.1)

❤ë✐ tö ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐

n≥N

❈❤✉é✐

(1.1)

(1.3)

❤ë✐ tö ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣

❤ë✐ tö✳ ❚❤❡♦ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❈❛✉❝❤② ✈➲ sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❞➣② sè✱ ✈î✐ ♠å✐
tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣
❞÷ì♥❣

p

✈➔

t❛ ❝â

|an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

1.

N

s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐

n≥N

{sn }

ε>0

✈➔ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥

t❛ ❝â

|sn+p − sn | < ε✳
✣✐➲✉ ♥➔② t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐

|an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε

❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✶

✭✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✤➸ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö✮✳ ◆➳✉ ❝❤✉é✐

(1.1)

❤ë✐ tö

t❤➻

lim an = 0

n→∞
❚❤➟t ✈➟②✱ t❤❡♦

(1.3)

t❤➻ ✈î✐ ♠å✐

n≥N

❝❤å♥

|an+1 | < ε
❉♦ ✤â t❛ ❝â

lim an = 0

n→∞

✶✶

p=1

t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

✶✳✶✳

❈❍❯➱■ ❙➮

❈❤ó þ✳

❈❍×❒◆● ✶✳

▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tr➯♥ ❝❤➾ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❝❤ù ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

✤õ✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✸
+∞

n
1
n
♣❤➙♥ ❦➻ ✈➻ lim
= ✳
n→∞ 2n + 1
2
n=1 2n + 1
+∞ 1
1
b) ❳➨t ❝❤✉é✐

✳ ▼➦❝ ❞ò lim
= 0 ♥❤÷♥❣ ❝❤✉é✐ ♥➔② ♣❤➙♥ ❦➻✳ ❚❤➟t
n→∞ n
n=1 n
a)

❈❤✉é✐

✈➟②✱ t❛ ❝â

1
1
1
+
+ ... +
s2n − sn =
n+1 n+2
2n
1
1
1
n
1
>
+
+ ... +
=
= .
2n 2n
2n 2n 2

◆➳✉ ❝❤✉é✐ ♥➔② ❤ë✐ tö t❤➻ ❝→❝ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ {sn } ✈➔ {s2n } ♣❤↔✐ ❞➛♥
tî✐ ♠ët ❣✐î✐ ❤↕♥ ❦❤✐ n → +∞✱ tù❝ ❧➔ lim (s2n − sn ) = 0✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱
n→∞

✤✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈î✐ ✤→♥❤ ❣✐→ tr➯♥✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✷✳

❈❤✉é✐

(1.1)

✈➔ ❝❤✉é✐ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ tø ❝❤✉é✐ ♥➔② ❜➡♥❣

❝→❝❤ t❤➯♠ ✈➔♦ ❤♦➦❝ ❜ît ✤✐ ♠ët sè ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❝ò♥❣ ❤ë✐ tö
❤♦➦❝ ❝ò♥❣ ♣❤➙♥ ❦➻✳

✶✳✶✳✶✳✷✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✈➲ ❝→❝ ♣❤➨♣
t♦→♥
❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö
+∞
+∞
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✷✳
an ,
bn
◆➳✉ ❝→❝ ❝❤✉é✐

❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ ❧➛♥ ❧÷ñt

n=1

n=1
+∞

+∞
❧➔

(an ± bn ) ✈➔

s ✈➔ t t❤➻ ❝→❝ ❝❤✉é✐
n=1

(λan ) ❝ô♥❣ ❤ë✐ tö ✈➔ ❧➛♥ ❧÷ñt
n=1

✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ t❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❞÷î✐ ✤➙②

+∞

+∞

(an ± bn ) = s ± t;

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

n=1

λan = λs.
n=1

❑➼ ❤✐➺✉

sn = a1 + a2 + ... + an ; tn = b1 + b2 + ... + bn .
❑❤✐ ✤â

{sn ± tn }
+∞

(an ± bn )

❧➔ tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐

✈➔

{λsn }

❧➔ tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐

n=1
+∞

(λan )✳

❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❞➣② sè ❤ë✐ tö t❛ ❝â

n=1
✶✷


✶✳✶✳

❈❍❯➱■ ❙➮

❈❍×❒◆● ✶✳

▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

lim (sn ± tn ) = s ± t; lim λsn = λs.

n→∞

n→∞

❱➟② ❝â ✤✐➲✉ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✶✳✶✳✷ ❉➜✉ ❤✐➺✉ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣✳
+∞

an

❈❤✉é✐ sè

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✸✳

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣ ♥➳✉

an ≥ 0

✈î✐ ♠å✐

n.

n=1

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ ♠ët ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣ ❤ë✐ tö ❧➔ ❞➣②

tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♥â ❜à ❝❤➦♥✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❉♦ ✤â ❞➣②

+∞

an

❱➻

❤ë✐ tö ♥➯♥ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣

(sn ) ❝õ❛ ♥â ❤ë✐ tö✳

n=1

(sn )

❜à ❝❤➦♥✳

◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❞♦ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❞÷ì♥❣ ❧➔ ❞➣②

(sn ) t➠♥❣ ♥➯♥ ♥➳✉

+∞
❞➣②

(sn )

an

❜à ❝❤➦♥ t❤➻ tç♥ t↕✐ ❣✐î✐ ❤↕♥✳ ❉♦ ✤â ❝❤✉é✐

✶✳✶✳✷✳✶✳ ❉➜✉ ❤✐➺✉ s♦ s→♥❤✳
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✹✳

❤ë✐ tö✳

n=1
+∞

+∞

an

❈❤♦ ❤❛✐ ❝❤✉é✐ sè ❞÷ì♥❣

bn

✈➔

n=1

n=1

✭❉➜✉ ❤✐➺✉ s♦ s→♥❤ t❤ù ♥❤➜t✮✳ ●✐↔ sû tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥

❞÷ì♥❣

n0

✈➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè

C>0

an ≤ Cbn ;

s❛♦ ❝❤♦
✈î✐ ♠å✐

n ≥ n0 .

❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉

+∞

(i)

+∞

bn

◆➳✉ ❝❤✉é✐

n=1
+∞

(ii)

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

+∞
♣❤➙♥ ❦➻✳

n=1

◆❤÷ ✤➣ ♥â✐ tr♦♥❣ ❤➺ q✉↔ ✶✳✶✳✷✱ ❦❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣

n0 = 1✳

+∞

●å✐

n=1

bn ✳

✈➔

✈➔

tn

❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ tê♥❣ r✐➯♥❣ t❤ù

{tn }

❑❤✐ ✤â t❛ ❝â

n=1

sn ≤ Ctn ;
◆❤÷ ✈➟② ♥➳✉ ❞➣②

sn

+∞

an

❝õ❛ ❝→❝ ❝❤✉é✐

{sn }

bn

♣❤➙♥ ❦➻ t❤➻ ❦➨♦ t❤❡♦ ❝❤✉é✐

n=1

q✉→t t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t

n

❤ë✐ tö✳

n=1

an

◆➳✉ ❝❤✉é✐

an

❤ë✐ tö t❤➻ ❦➨♦ t❤❡♦ ❝❤✉é✐

✈î✐ ♠å✐

❜à ❝❤➦♥ t❤➻ ❞➣②

❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥ t❤➻ ❞➣②

{tn }

n ≥ 1.

{sn }

❝ô♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ♥➳✉ ❞➣②

❝ô♥❣ ❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥✳ ❚ø ✤â t❛ s✉② r❛

✶✸






ì



t ừ ỵ



an
= k.
n bn
lim

s s tự sỷ



õ t õ s

+

(i)

0 k < +

an

t tứ sỹ ở tử ừ ộ

t sỹ

n=1
+

an .

ở tử ừ ộ

n=1
+

(ii)



0 < k +

an

t tứ sỹ ừ ộ

t

n=1
+

an .

sỹ ừ ộ

ự (i)
ữỡ

n0

n=1

an
=k
n bn
ồ n n0



ợ

lim



0 k < +

tỗ t số

an
k + 1 an (k + 1)bn .
bn
+

an

t ộ

ở tử

n=1
+

(ii)

rữớ ủ

0 < k +

bn

ộ

õ t õ

n=1

1
bn
lim
= k =
k
n an
0
tự

khi k = +
khi k = +
+



0 k < +

an

ự tr ộ

n=1
+

bn

ở tử t ộ

ử
ợ ồ

n

+

an

ụ ở tử õ ộ

n=1



n=1
+

t ộ

1
.
2
n=1 n

t õ

sn = 1 +

1

1
1
1
1
+
...
+

1
+
+
+
...
+
22
n2
1.2 2.3
(n 1)n




✶✳✶✳

❈❍❯➱■ ❙➮

❈❍×❒◆● ✶✳

▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

1 1 1
1
1
= 1 + 1 − + − + ... +
−
2 2 3
n−1 n
1
= 2 − < 2.
n
❱➻ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ♥➯♥ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✸✳
❚ø ❦➳t q✉↔ tr➯♥ ✤➙② ❝ò♥❣ ❞➜✉ ❤✐➺✉ s♦ s→♥❤ t❤ù ♥❤➜t✱ t❛ ❝ô♥❣ s✉② r❛
♥❣❛② ❤➔♠ ❘✐❡♠❛♥♥✲③❡t❛

∞

ζ(s) =

1
;
s
n=1 n

✈î✐

s≥2

❧➔ ♠ët ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✺✳

+∞
n=1

❉➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ r➡♥❣ ♥➳✉

n≥1

π

n tan

❳➨t ❝❤✉é✐

2n+1
π
x ∈ 0,
4

.
t❤➻

tan x ≤ 2x✳

❉♦ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐

t❛ ❝â

n tan

π

≤ n.

2π
n
=
π.
.
2n+1
2n

2n+1
+∞ 1
❤ë✐ tö✳ ▲↕✐ ✈➻
❚❤❡♦ ✈➼ ❞ö ✶✳✶✳✹✱ ❝❤✉é✐
2
n=1 n
n
n
n2
2
lim
= lim n = 0,
n→∞ 1
n→∞ 2
n2
+∞ n
♥➯♥ t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✺✱ ❝❤✉é✐
❤ë✐ tö✳❚ø ✤â t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✹✱

n
n=1 2
+∞
π
❝❤✉é✐
n tan n+1 ❤ë✐ tö✳
2
n=1
∞ 1
✈➔ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ s♦ s→♥❤ t❤ù ♥❤➜t✱ t❛ ❝ô♥❣
❚ø sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐
2
n=1 n
♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ t➼♥❤ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❤➔♠ ③❡t❛❘✐❡♠❛♥♥

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✻✳

❍➔♠ ③❡t❛❘✐❡♠❛♥♥ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝

∞

ζ(s) =
❤ë✐ tö ❦❤✐

1
s
n=1 n

s≥2

✶✳✶✳✷✳✷✳ ❉➜✉ ❤✐➺✉ ❈❛✉❝❤②
✶✺






ì

ỵ

n

lim

n

an = c



+

an

ộ ữỡ

sỷ

n=1

õ t õ s

(i) c < 1 t ộ ở tử
(ii) c > 1 t ộ
(i) c < 1 t tỗ t

lim n an = c tỗ t n0

ự

p

số



c < p < 1



n


n
+
ộ

an < p an < pn ;

+

pn



an

ổ tử ộ

n=1

(ii)

n n0

ợ ồ

ở tử t

n=1

c>1

t tỗ t


n

n0

an > 1 an > 1;

ợ ồ

n n0 .

ữ ộ ý t q ừ ỵ

rt
ỵ

+

an .

ộ ữỡ

an+1
= d õ t õ
n an
(i) d < 1 t ộ ổ tử
lim

(ii)

d>1

ự

sỷ tỗ t ợ

n=1

s

t ộ ý



an+1
=d
n an

d < 1 t tỗ t p d < p < 1 lim

tỗ t số ữỡ

n0

ồ

n n0

an+1
< p an+1 < pan .
an
ứ õ t õ

an0 +1 < an0 q
an0 +2 < an0 +1 q 2 < an0 q 2


an0 +k < an0 q k
+
ộ



an 0 q k

+

an

ổ tử ộ

n=1

n=1


ở tử t ỵ

ì






d>1

t tỗ t

n0

an+1
>1
an
ổ õ

n n0

ồ

lim an = 0

an+1 > an an0 .



ộ ý

t
+
ỵ
an
n

ộ số ữỡ

sỷ

f (x)

ởt

n=1

ỡ tử tr

f (n) = an ;

[1; +)

ợ ồ

n = 1, 2, ...



+

an

õ ộ

s

f (t)dt ũ ở tử ũ

t

n=1

1

ý

ự

ứ tt ừ ỵ ợ ồ



k 1

x [k, k + 1]

số tỹ

t õ

ak+1 = f (k + 1) f (x) f (k) = ak .

(1.4)

ứ õ t õ

k+1

ak+1

f (x)dx ak .
k

tờ ừ t tự tr t

k+1

n

ak+1
k=1

k

tứ

1



n

t ữủ

n

f (x)dx

ak
k=1

1



n+1

sn+1 a1

f (x)dx sn ;

(1.5)

1
+
tr õ



(1.5)

sn

tờ r tự

t t r

n

{sn }

ừ ộ

ak ứ t tự
k=1
n+1
f (x)dx

t

1

ũ






ì



ũ ổ õ t ừ ỵ

úaỵ
lim

ử rt

n+1

n

an

=1



lim

n

n

an = 1

t ữ t ữủ sỹ ở

tử ý ừ ộ tứ ởt số


an+1
1
an

n0

õ tr

t õ t s r

am an0 ; m n0 .
õ t

an

ổ t

n +

tr õ số

an

0



+

an

ữ ộ

ý

n=1

ộ ợ số õ tũ ỵ

ộ


+

ởt ộ số õ

(1)n1 an

n=1

ũ ữủ ồ ộ

ỹ ở tử
ỵ

sỷ



lim an = 0.

n

ự

+

õ ộ

(1)n1 an

{an }

ỡ

ở tử

n=1
ồ

{sn }

tờ r ừ ộ

s2m = (a1 a2 ) + (a3 a4 ) + ... + (a2m1 a2m )
số tr ổ

{s2m }

ỡ t

t t õ t t

s2m = a1 [(a2 a3 ) + (a4 a5 ) + ... + (a2m2 a2m1 ) + a2m ].
õ

s2m a1

ứ õ
ữỡ

N1



m {s2m } ở tử t t ỡ

lim s2m = s t ợ ồ > 0 tỗ t số
m
N1
t õ
ợ ồ m
2

|s2m s| < .
2
ợ ồ




✶✳✶✳

❈❍❯➱■ ❙➮

▲↕✐ ✈➻

❈❍×❒◆● ✶✳

lim an = 0

n→∞

✈î✐ ♠å✐

n ≥ N2

♥➯♥ ✈î✐ ♠å✐

ε>0

▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣

N2

✤➸

❝ô♥❣ ❝â

ε
|an | < .
2
✣➦t N = max{N1 , N2 } t❤➻ ✈î✐ ♠å✐ n ≥ N t❛ ❝â
ε
|sn − s| < ; ✈î✐ n ❝❤➤♥✳
2
❱î✐ n ❧➫ t❤➻ n + 1 ❝❤➤♥ ♥➯♥ t❛ ❝ô♥❣ ❝â
|sn − s| = |sn+1 − s − an+1 | ≤ |sn+1 − s| + |an+1 | <
◆❤÷ t❤➳✱ ✈î✐ ♠å✐

n≥N

ε ε
+ = ε.
2 2

t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

1
|sn − s| < ε .
2
❱➟②

lim sn = s✱

n→∞

tù❝ ❧➔ ❝❤✉é✐ ✤➣ ❝❤♦ ❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ ❜➡♥❣

✤❛♥ ❞➜✉ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧➼

1.1.9

s✳

❈❤✉é✐

❣å✐ ❧➔ ❝❤✉é✐ ▲❡✐❜♥✐③✳

❱➟② ❝❤✉é✐ ▲❡✐❜♥✐③ ❤ë✐ tö✳

✶✳✶✳✸✳✸✳ ❈❤✉é✐ ❤ë✐ tö +∞
t✉②➺t ✤è✐ ✈➔ ❝❤✉é✐ ❜→♥ ❤ë✐ tö
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳
an

❈❤✉é✐ sè

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ♥➳✉ ❝❤✉é✐

n=1
+∞

+∞

|an |
n=1

+∞

an

❤ë✐ tö✳ ❑❤✐ ❝❤✉é✐

|an |

❤ë✐ tö ♥❤÷♥❣ ❝❤✉é✐

n=1

♣❤➙♥ ❦ý

n=1

+∞

an

t❤➻ ❝❤✉é✐

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜→♥ ❤ë✐ tö✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✶✵✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
n=1

▼ët ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ❧➔ ❤ë✐ tö✳

+∞

|an | ❤ë✐ tö t❤➻ t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ 1.1.1✱ ✈î✐ ♠å✐

◆➳✉ ❝❤✉é✐

ε>0

n=1

tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣

N

✤➸ ✈î✐ ♠å✐

n≥N

✈➔ ♠å✐

p ∈ N∗

t❛

❝â ✤→♥❤ ❣✐→

|an+1 + an+2 + ... + an+p | ≤ |an+1 | + |an+2 | + ... + |an+p | < ε.
+∞

an

◆❤÷ ✈➟②✱ ❝❤✉é✐

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✼✳

❤ë✐ tö t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ

1.1.1✳

n=1
+∞
❈❤✉é✐

n=1

(−1)n+1

1

n

❤ë✐ tö t❤❡♦ ❞➜✉ ❤✐➺✉ ▲❡✐❜♥✐③ ✭✤à♥❤

✶✾


✶✳✶✳

❈❍❯➱■ ❙➮

❈❍×❒◆● ✶✳

▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

+∞

+∞

❧þ

1
n=1 n

1.1.9✮ ♥❤÷♥❣ ❝❤✉é✐

♣❤➙♥ ❦ý✳ ❉♦ ✤â ❝❤✉é✐

(−1)n+1

n=1

1
n

❧➔ ❜→♥

❤ë✐ tö✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✽✳

+∞

❈❤✉é✐

sin nx
.
2
n=1 n

+∞ 1
+∞ |sin nx|
|sin nx|
1
≤
,
t❛ ✤➣ ❜✐➳t ❝❤✉é✐
❤ë✐ tö ♥➯♥ ❝❤✉é✐
2
n2

n2
n2
n=1 n
n=1
+∞ sin nx
❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐✳
tö✳ ❱➟② ❝❤✉é✐
2
n=1 n

❚❛ ❝â

❤ë✐

✶✳✶✳✸✳✹✳ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳

+∞

an

✭t➼♥❤ ❝❤➜t ❦➳t ❤ñ♣✮✳ ◆➳✉ ❝❤✉é✐

❧➔

s

❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣

n=1

t❤➻ ❝❤✉é✐

(a1 + a2 + ... + an1 ) + (an1 +1 + an1 +2 + ... + an2 ) + ...
+(ank−1 +1 + ank−1 +2 + ... + ank ) + ...;
❝ô♥❣ ❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ ❧➔

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
r✐➯♥❣ t❤ù

n

●å✐

tk

(∗)

s.

❧➔ tê♥❣ r✐➯♥❣ t❤ù

k

❝õ❛ ❝❤✉é✐

(∗)

✈➔

sn

❧➔ tê♥❣

+∞

an ✳

❝õ❛ ❝❤✉é✐

❚❛ ❝â

n=1

tk = snk .
❉♦ ✤â✱ tø

lim sn = s s✉② r❛ lim tk = lim snk = s. ❱➟② t❛ ❝â ✤✐➲✉ ❝➛♥

n→∞

n→∞

n→∞

❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✷✳

+∞

an

✭t➼♥❤ ❝❤➜t ❣✐❛♦ ❤♦→♥✮✳ ◆➳✉ ❝❤✉é✐ sè

❤ë✐ tö t✉②➺t

n=1
+∞

✤è✐ ✈➔ ❝â tê♥❣ ❧➔

s

bn

t❤➻ ❝❤✉é✐

♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤ê✐ ❝❤é tò②

n=1
+∞

an

þ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

s✳

+∞

an

❱➻ ❝❤✉é✐

tö✳ ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ

n1

❝ô♥❣ ❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ ❜➡♥❣

n=1
+∞
n=1

1.1.1✱

|an |

❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ♥➯♥ ❝❤✉é✐

❤ë✐

n=1
✈î✐ ♠å✐

✤➸

✷✵

ε>0

tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣






ì

|ai | <
iF
ợ ồ t ỳ
ồ

sn



tn




2

F {n N : n > n1 }.

ữủt tờ r tự

n

+

an

ừ ộ

ộ

n=1
+

bn
n=1
sỷ

lim sn = s

n

õ tỗ t

n2 n1

s ợ ồ

n n2


|sn s| < .
2
n3 n2 s số a1 , a2 , ..., an2 õ
b1 , b2 , ..., bn3 . õ ợ ồ n n3 t õ

ồ
số

ừ t tr

|tn s| = |tn sn0 + sn0 s| |tn sn0 | + |sn0 s| <
lim tn = s

t ụ õ

n


+ = .
2 2

ỵ tr ú ợ ộ ở tử

+

an

tt ố ỏ ộ số

ở tử t t õ t t ờ

n=1
tự tỹ ừ số ừ õ t ữủ ộ ở tử õ tờ
ởt số t trữợ tr ý

ộ số
ởt số ỡ





{un (x)}

ũ tr t

X R

ồ tờ ổ

+

u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) + ... =

un (x),

(1.7)

n=1

X
un (x) ồ số tự n ừ ộ
sn (x) = u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) ồ tờ

ởt ộ tr



ộ



r tự

n

ừ


✶✳✷✳

❈❍❯➱■ ❍⑨▼ ❙➮

❈❍×❒◆● ✶✳

▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

x ∈ X ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ❤ë✐ tö ❤❛② ♣❤➙♥ ❦ý ❝õ❛ ❝❤✉é✐ (1.7) ♥➳✉
❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ {sn (x)} ❝õ❛ ♥â ❤ë✐ tö ❤❛② ♣❤➙♥ ❦ý t↕✐ ✤✐➸♠ ♥➔②✳ ◆➳✉
X0 ❧➔ ♠✐➲♥ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❞➣② {sn (x)} t❤➻ t❛ ❝ô♥❣ ❣å✐ X0 ❧➔ ♠✐➲♥ ❤ë✐ tö
❝õ❛ ❝❤✉é✐ (1.7)✳ ◆➳✉ sn (x) → u(x) tr➯♥ X0 t❤➻ t❛ ❝ô♥❣ ✈✐➳t
✰ ✣✐➸♠

+∞

un (x) = u(x); x ∈ X0
n=1
✈➔ ❣å✐

u(x)

❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠✳

❙ü ❤ë✐ tö ✈➔ ❤ë✐ tö ✤➲✉
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳
(1.7)
❈❤✉é✐ ❤➔♠

♠é✐

x∈X

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tö tr➯♥ ♠✐➲♥

X

♥➳✉ ✈î✐

ε > 0 ✤➲✉ tç♥ t↕✐ ♠ët sè tü ♥❤✐➯♥ n0 = n0 (ε, x)
x s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ n > n0

✈➔ ✈î✐ ♠å✐

ε

♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦

✈➔

+∞

uk (x) < ε.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳

k=n+1
❈❤✉é✐ ❤➔♠

(1.7)

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ ♠✐➲♥

X

X ✳ ◆â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝✱ ❝❤✉é✐
❤➔♠ sè (1.7) ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥ X ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ε > 0 ✤➲✉ tç♥ t↕✐ ♠ët sè
tü ♥❤✐➯♥ n0 = n0 (ε) ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ x s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ n > n0

♥➳✉ ❝→❝ ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♥â ❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥

+∞

uk (x) < ε,

✈î✐ ♠å✐

x ∈ X.

k=n+1

✶✳✷✳✷ ❈→❝ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❤ë✐ tö ✤➲✉ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠ sè

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✶
✤➲✉ tr➯♥ t➟♣
♥❤✐➯♥

+∞

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈î✐ sè

n0 = n0 (ε)

p

x✮

❝❤♦ tr÷î❝ tç♥ t↕✐ sè tü

s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐

n > n0

✈➔

un (x)

❤ë✐

t❛ ❝â

|sn+p (x) − sn (x)| < ε;

X

ε > 0

✭❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦

♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣

tö ✤➲✉ tr➯♥

❤ë✐ tö

n=1

X

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

un (x)

✭❚✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❈❛✉❝❤②✮✳ ❈❤✉é✐ ❤➔♠ sè

✈î✐ ♠å✐

x ∈ X.
+∞

❚❤➟t ✈➟②✱ t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠

n=1
✤➳♥ tê♥❣

S(x)

❝õ❛ ♥â ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❞➣② ❤➔♠ tê♥❣

✷✷






ì

n
r

Sn (x) =

uk (x)

ở tử tr

X



S(x)

t

k=1

n

số t õ tờ r

Sn (x) =

uk (x)
k=1

ở tử tt ố ợ

>0

n0 = n0 ()

ợ ồ

s ợ ồ

n > n0

|sn+p (x) sn (x)| < ;

trữợ tỗ t số tỹ

p N

ợ ồ

t õ

x X

t õ ự

ỵ

+

un (x)

t rstrss ộ số

n=1

ợ ồ số ữỡ

n

t õ

|un (x)| Cn ;

ợ ồ

xX

+

Cn

ộ số

ở tử t ộ ở tử tt ố

n=1
tr

X.

ự
+
+

ợ ồ

un (x)

số

|un (x)|



n=1

xX

t s s t õ ộ

ở tử t

n=1
+

u(x) =

+

un (x)

n=1
+

Cn

ộ

ở tử

|un (x)|

n =
n=1

> 0, N : n N, p N

t õ

n=1

Cn+1 + Cn+2 + ... + Cn+p < .


p

t ữủ

+

Cn+1 = Cn+1 + Cn+2 + ... < .
n=1
ứ õ ợ ồ

nN
n

u(x)

+

un+i (x)

uk (x) =
k=1

+

i=1



|un+i (x)|
i=1


✶✳✷✳

❈❍❯➱■ ❍⑨▼ ❙➮

❈❍×❒◆● ✶✳

▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

+∞

n

|un+i (x)| ≤

= σ(x) −
❉♦ ✤â

Cn+i < ε.
i=1

i=1
n

uk (x)

❈❤✉é✐

u(x)

❤ë✐ tö ✤➲✉ ✤➳♥

tr➯♥

X

k=1
n

|uk (x)|

❈❤✉é✐

σ(x)

❤ë✐ tö ✤➲✉ ✤➳♥

tr➯♥

X✳

k=1

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✶✳
R✳

+∞

❈❤✉é✐ ❤➔♠ sè

cos nx
2
2

n=1 n + x

❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ✈➔ ✤➲✉ tr➯♥

❱➻ t❛ ❝â

1
|cos nx|
≤
; ∀n, ∀x ∈ R
n2 + x2
n2
+∞

✈➔ ❝❤✉é✐

1
2
n=1 n

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✷✳
[ − 1; 1]✱

❤ë✐ tö✳

xn
√
n=1 n n
+∞

❈❤✉é✐ ❤➔♠ sè

❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ✈➔ ✤➲✉ tr➯♥

✈➻ t❛ ❝â

|x|n
1
√ ≤ √ ; ∀n, ∀x ∈ [ − 1; 1]
n n
n n
+∞
✈➔ ❝❤✉é✐

1

❤ë✐ tö✳

3

n2

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✸
n=1

{bn (x)}

✭❞➜✉ ❤✐➺✉ ❉✐r✐❝❤❧❡t✮ ❈❤♦ ❤❛✐ ❞➣② ❤➔♠

❝ò♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣

X✳

{an (x)}

✈➔

●✐↔ t❤✐➳t

+∞

(i)

sn (x)

❉➣② tê♥❣ r✐➯♥❣

an (x)

❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤➔♠

❜à ❝❤➦♥ ✤➲✉ tr➯♥

n=1

X

❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ tç♥ t↕✐ sè

M >0

s❛♦ ❝❤♦

n

|sn (x)| =

ak (x) ≤ M ; ∀n, ∀x ∈ X.
k=1

(ii)

❉➣② ❤➔♠

{bn }

✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ ✈î✐ ♠é✐

❞➣② sè ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ❞➣② ❤➔♠

{bn }

❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥

x ∈ X ❞➣② bn (x)
X ✤➳♥ 0✳

❧➔

+∞

an (x)bn (x)

❑❤✐ ✤â ❝❤✉é✐ ❤➔♠

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
{bn }

❚❛ ❝â t❤➸ ①❡♠

❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥

❑❤✐ ✤â ✈î✐

❤ë✐ tö ✤➲✉ tr➯♥

X✳

n=1

ε>0

X

✤➳♥

{bn }

❧➔ ❞➣② ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❣✐↔♠ ✈➔ ❞➣② ❤➔♠

0✳

tç♥ t↕✐ sè tü ♥❤✐➯♥
✷✹

n0 = n0 (ε)

s❛♦ ❝❤♦






ì

0 < bn (x) <




; n > n0 , x X.
2M

ứ t tự ỗ tớ t ủ ợ tt ừ ỵ t
ữủ

n+m

n+m

bk (x)[sk (x) sk1 (x)]

bk (x)ak (x) =
k=n

k=n

= |bn (x)sn1 (x) + [bn (x) bn1 (x)]sn (x)| +
...+[bn+m1 (x)bn+m (x)]sn+m1 (x)+bn+ (x)sn+m (x)
M [bn (x)+(bn (x)bn+1 (x))+...+(bn+m1 (x)bn+m (x))+bn+m (x)] =
+



2M bn (x) < ; x X, n > n0 , m N . ộ

an (x)bn (x)
n=1

X

ở tử tr

ỵ



ũ tr t

X

{an (x)} {bn (x)}

tt

+

(i)

an (x)

ộ

ở tử tr

X

n=1

(ii)



ợ ồ

M >0

{bn (x)}

ỡ ợ ồ

x X

số

bn (x)

xX

õ

ỡ tỗ t số

s

|bn (x)| M ; n N , x X.
+

an (x)bn (x)

õ ộ

ự

ở tử tr

X

n=1

s

(i) ợ > 0 tỗ t số tỹ n0 = n0 ()
ợ ồ n > n0 ồ số tỹ m t õ
n+m

|sn+m (x) sn (x)| =
ak (x) <
; x X.
3M
k=n+1
ứ tt

tr õ

n

sn =

ak (x)
k=1

t

1 (x) = an+1 (x) = sn+1 (x) sn (x)
2 (x) = an+1 (x) + an+2 (x) = sn+2 (x) sn (x)