Giáo trình toán cao cấp và xác suất thống kê chương 4 xác suất ứng dụng trong chẩn đoán

ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
Chương 4
XÁC SUẤT ỨNG DỤNG TRONG CHẨN ĐOÁN
I. Đặt vấn đề
Công việc thường ngày của bác sĩ là chẩn đoán. Để chẩn đoán, bác sĩ phải hỏi bệnh
sử, khám lâm sàng và chỉ định xét nghiệm nếu cần. Các công việc: hỏi, khám và xét
gọi chung là thử nghiệm (test) T.
Khi một người có triệu chứng một bệnh B nào đó đến khám bệnh, bác sĩ sẽ khám
lâm sàng, hỏi bệnh sử và sẽ đưa ra khả năng bị bệnh B với một xác suất nào đó. Xác
suất này được gọi là chỉ số nghi ngờ (index of suspicion), ký hiệu là P(B ). Đây là xác
suất bị bệnh B trước khi làm xét nghiệm T. Xác suất này có được dựa trên tỷ lệ bệnh
lưu hành trong dân số, tần suất bệnh, kinh nghiệm của bác sĩ và dựa trên tổng kết của
phòng khám,… Trong trường hợp xác suất bệnh P(B ) của bệnh nhân chưa đủ để ra
quyết định loại trừ và cũng chưa đủ để ra quyết định điều trị ngay thì bác sĩ sẽ chỉ định
một hoặc một số xét nghiệm T để chẩn đoán hoặc loại trừ. Sau khi có kết quả xét
nghiệm, xác suất bệnh của bệnh nhân sẽ tăng lên hoặc giảm xuống tùy thuộc vào kết
quả xét nghiệm T dương tính hay âm tính.
Nếu T dương tính ta có xác suất hậu nghiệm dương, ký hiệu: PV   P( B / T  ) ,
đây là khả năng bị bệnh B nếu xét nghiệm T dương tính.
Nếu T âm tính ta có xác suất hậu nghiệm âm, ký hiệu: PV   P( B / T  ) , đây là
khả năng không bị bệnh B nếu xét nghiệm T âm tính.
Như vậy, xác suất hậu nghiệm sẽ thay đổi khi có kết quả của xét nghiệm T. Kết quả
này tùy thuộc vào độ chính xác của một xét nghiệm.
II. Bài toán
Một bà 27 tuổi, có thai được 17 tuần, bị bệnh tiểu đường phụ thuộc Insulin đã 5
năm, đến khám về sản khoa. Trong 3 tháng đầu của thai kỳ, bà ta không kiểm soát
được đường huyết: cứ cao hơn 200mg, bà nghe nói trong ba tháng đầu thai kỳ mà
không kiểm soát được đường huyết thì thai dễ bị dị tật với tỉ lệ 20 – 30%. Bà đã làm
SAF test (Maternal Serum Alpha Foetoprotein) thấy dương tính. Test này có độ nhạy
sens=0,34 và độ chuyên spec=0,86.
Vậy:

1. Khả năng bệnh nhân này có thai dị tật là bao nhiêu?
2. Có nên cho làm siêu âm? Vì nghe nói xét nghiệm này có độ chuyên khá lớn
(sens = 0,56 và spec = 0,995)
Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

1


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
Vấn đề đặc ra của bài toán trên đây là một phần nhỏ trong số nhiều công việc mà
bác sĩ thường làm, được gọi chung là quyết định lâm sàng (Medical Decision
Making).
III. Độ chính xác của một xét nghiệm
Hai thông số đo lường độ chính xác của một xét nghiệm là độ nhạy (sensitivity, ký
hiệu ss) và độ chuyên (specificity, ký hiệu sp).
1. Độ nhạy (Sensitivity)
Là khả năng xét nghiệm dương tính đối với người bị bệnh B, còn gọi là dương
thật, kí hiệu: ss  P(T  / B  )
2. Độ chuyên (Specificity)
Là khả năng xét nghiệm âm tính đối với người không bị bệnh B, còn gọi là âm
thật, kí hiệu: sp  P(T  / B  )
Hiếm có một xét nghiệm nào hoàn hảo, có độ chính xác tuyệt đối. Xét nghiệm nào
cũng có một tỷ lệ dương giả P(T  / B  ) và tỷ lệ âm giả P(T  / B  ) nhất định.
Theo tính chất của xác suất ta có:

P(T  / B )  P(T  / B  )  1 : Dương thật + Âm giả = 1

P(T  / B )  P(T  / B )  1 : Âm thật + Dương giả = 1
3. Xác định độ nhạy và độ chuyên
Độ nhạy và độ chuyên của một xét nghiệm có thể xác định bằng cách chọn 2

nhóm: nhóm người bị bệnh B và nhóm người không bị bệnh B. Cả hai nhóm cho làm
xét nghiệm T. Tùy theo kết quả của xét nghiệm T trên 2 nhóm này mà ta xác định độ
nhạy và độ chuyên của T.
B+
a
c
a+c

BTổng cộng
T+
b
a+b
Td
c+d
Tổng cộng
b+d N=a+b+c+d
a
Độ nhạy = Dương thật = ss  P(T  / B  ) 
;
ac
Độ chuyên = Âm thật = sp  P(T  / B  ) 

d
;
bd

Ta cũng có

Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

2


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
Dương giả = P(T  / B  ) 

b
c
; Âm giả = sp  P(T  / B  ) 
;
bd
ac

4. Nhận xét
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:

P(T  )  P( B  ).P(T  / B  )  P( B  ).P(T  / B  ) 

ab
cd
. Tương tự P(T  ) 
N
N

Rõ ràng P(T  ), P(T  ) không phụ thuộc vào cở mẫu N mà tùy thuộc vào bản thân xét
nghiệm đó. Thật vậy nếu ta tăng cỡ mẫu lên 2 lần thì ta có (a+b) cũng tăng lên hai lần
nên

P(T  ) 

2(a  b)
ab

2(a  b  c  d ) a  b  c  d

ac
là tỷ lệ
N
bệnh B trong dân số nếu N lớn, và gọi là tỷ lệ bệnh lưu hành (prevalence) trong dân số
đó.
Nếu mẫu N = a + b + c + d được chọn ngẫu nhiên từ một dân số, thì tỉ lệ

Độ nhạy và độ chuyên của một xét nghiệm không phụ thuộc vào tỷ lệ bệnh lưu hành.
2(a  c)
Thật vậy nếu ta tăng gấp đôi số người bệnh lên thì Pr ev 
2a  2c  b  d
Prev cũng tăng lên nhưng độ nhạy

2a
a
2d
b


; Và độ chuyên
2a  2c a  c
2b  2d b  d

đều không thay đổi.
Vậy độ nhạy và độ chuyên không phụ thuộc vào tỷ lệ bệnh lưu hành mà phụ thuộc vào

bản thân của xét nghiệm.
Ví dụ. Một bệnh B có prevalence là 20%. Xét nghiệm T có độ nhạy 34% và độ
chuyên 86%.
Với bảng 2.2 ta biết được số các trường hợp dương thật, dương giả,… nếu biết cỡ mẫu

T+
TTổng cộng

B+
68
200

B-

Tổng cộng

688
800

N = 1000

Và từ đó suy ra giá trị các ô còn lại.
Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

3


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
IV. Giá trị tiên đoán (Predictive Value)
Độ nhạy và độ chuyên là hai thông số quan trọng để đánh giá độ chính xác của một

xét nghiệm, nhưng những thông số này ít có ý nghĩa trong lâm sàng, cái mà bác sĩ cần
là khả năng bị bệnh là bao nhiêu nếu xét nghiệm T dương tính (xác suất hậu nghiệm
dương), tức là PV   P( B / T  ) và khả năng không bị bệnh nếu T âm tính, tức
là PV   P( B / T  )
Có nhiều cách để tính xác suất hậu nghiệm (posterior probability) còn gọi là giá trị
tiên đoán (predictive value)
1. Phương pháp bảng 2.2
Lấy ví dụ là bài toán trên, ta thực hiện các bước sau
Bước 1: Lập bảng 2.2 với cỡ mẫu là 1000 chẳng hạn cho dễ tính toán. Với xác
suất tiền nghiệm, ở đây là chỉ số nghi ngờ thai bị dị tật: P( B  )  0, 2 đã biết, ta suy
ra số người bị bệnh B và không bị bệnh B

T+
TTổng cộng

B+

B-

Tổng cộng

200

800

N = 1000

Bước 2: Biết độ nhạy và độ chuyên ta suy ra số ca trong các ô còn lại.
Bước 3: Tính xác suất hậu nghiệm

T+
TTổng cộng

B+
68
132
200

B112
688
800

Tổng cộng
180
820
N = 1000

P( B T  ) 68
PV  P( B / T ) 

 0,38
P(T  )
180






PV   P( B  / T  ) 

P( B T  ) 688

 0,839
P(T  )
820

Với kết quả SAF dương tính thì xác suất người này có thai dị tật là 38%.

Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

4


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
Khi xét nghiệm thứ hai được chỉ định, ta lấy giá trị tiên đoán của xét nghiệm trước
làm xác suất tiền nghiệm cho xét nghiệm sau

T+
TTổng cộng

B+
212,8
167,2
380

B3,1
616,9
620

Tổng cộng
215,9
784,1
N = 1000

Nếu cho làm tiếp xét nghiệm siêu âm ta có: Bảng 2.2 với kết quả xét nghiệm siêu
âm:

P( B T  ) 212,8
PV  P( B / T ) 

 0.98
P(T  )
215,9






PV   P( B  / T  ) 

P( B T  ) 616,9

 0,784
P(T  )
784,1

Nếu không làm SAF test mà làm ngay siêu âm, (sens = 0,56; spec = 0,995) ta có:

PV   96,6% và PV   78, 4%

T+
TTổng cộng

B+
112
88
200

B4
796
800

Tổng cộng
116
884
N = 1000

Với độ chuyên khá cao của siêu âm, chỉ định ngay từ đầu xét nghiệm này cũng có
giá trị lớn về tiên đoán.
2. Dùng công thức Bayers
P( B  ).P(T  / B  )


Ta có P( B / T ) 
P(T  )
Trong đó:
P( B  ) : xác suất tiền nghiệm là tỷ lệ bệnh lưu hành hoặc chỉ số nghi ngờ, hoặc
giá trị tiên đoán tính được từ xét nghiệm trước.

P(T  / B  ) : độ nhạy của xét nghiệm T.

P(T  )  P( B ).P(T  / B  )  P( B  ).P(T  / B  ) là công thức xác suất đầy đủ.
P( B  )  1  P( B  ) và P(T  / B  ) là tỷ lệ dương giả của xét nghiệm T.
Lấy ví dụ trên ta có :
Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

5


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)
PV   P( B  / T  ) 

0,34.0, 20
 0,38
0,34.0, 20  0,14.0,80

PV   P( B  / T  ) 

0,86.0,8
 0,839
0,86.0,8  0,66.0, 2

BÀI TẬP
1. Một bà 70 tuổi đến khám vì mệt, đau ở tay và xương gối, thỉnh thoảng đau nhói ở
ngực. Khám lâm sàng không có gì đáng chú ý, các khớp không sưng. Bác sĩ nghi
ngờ là bị SLE (Sytemic lupus erythematosus). Vấn đề là có nên cho làm ANA test
có sens 95% và spec 50% vì rằng ANA dương tính trong nhiều bệnh về mô liên
kết và dương tính tăng theo tuổi.
a) Cho rằng trong dân số bệnh nhân này có khả năng SLE là 2%. Nếu ANA

dương tính thì khả năng SLE là bao nhiêu?
b) Giả sử bệnh nhân có thêm các khớp bị sưng, khi ấy khả năng SLE trên nhóm
BN này tăng lên 20%. Tính khả năng người này bị SLE khi ANA-, ANA+
2. Một ông 43 tuổi đến khám tổng quát. Phân tích nước tiểu thấy có đường niệu. Bạn
vừa biết có một test T dung phát hiện bệnh tiểu đường như sau: 138 cho T+ trên
150 người bị tiểu đường và 24 cho T+ trên 150 người không bị tiểu đường.
a) Tìm độ nhạy, độ chuyên, dương giả, âm giả của T
b) Bằng phương pháp thử máu (T’) có độ nhạy 0.8; độ chuyên 0.96; đem áp dụng
cho hai nhóm trên thì giá trị đoán trước là bao nhiêu nêu T’ dương tính.
c) Với bệnh nhân này, nếu T dương tính bạn cho là có khả năng 90% bị tiểu
đường, còn nếu T’ cũng dương tính thì khả năng bị tiểu đường là bao nhiêu?
3. Một bà 22 tuổi đến khám vì hồi hộp. Khám lâm sàng không phát hiện được gì.
Theo kinh nghiệm, trong trường hợp này bạn cho là có khả năng 20 – 30% bị sa
van tim ( mitral valve prolapse). Bạn biết là Echocardiogram có độ nhạy 90% và
độ chuyên 95%.
a) Nếu bệnh nhân này có Echocardiogram dương tính thì khả năng bị MVP là bao
nhiêu?
b) Nếu Echocardiogram âm tính bạn tin bệnh nhân này không bị MVP là bao
nhiêu?
4. Một người đến khám vì sốt. Theo tổng kết của phòng khám thì những bệnh nhân
như vậy có thể là do: cảm 30%, thương hàn 10%, sốt rét 20%, viêm đường hô hấp
30% hoặc do bệnh khác.
a) Tính khả năng bệnh nhân này bị sốt rét?

Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

6


ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)

b) Khám lâm sàng bệnh nhân này có lách to. Biết rằng tỉ lệ lách to trong sốt rét là
70%, còn trong những bệnh không phải sốt rét là 20%. Tính khả năng bệnh nhân
này bị sốt rét khi dựa vào lâm sàng là dấu hiệu lách to.

Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng

7