Thủy lực môi trường

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG
KHOA KỸ THUẬT GIAO THÔNG

BÀI GIẢNG

THỦY LỰC MÔI TRƯỜNG
Biên soạn: Th.S Nguyễn Đình Long

Nha Trang 2014


Chƣơng 1

MỞ ĐẦU
1.1- NỘI DUNG MÔN HỌC
Thủy lực môi trường chính là thủy lực áp dụng trong ngành môi trường - là một
môn học khoa học nghiên cứu các quy luật cân bằng và chuyển động của của chất lỏng,
đặc biệt là nước và những phương pháp ứng dụng các quy luật đó vào thực tiễn.
Đây là môn khoa học ứng dụng.
Nội dung môn học có hai phần chính: thủy tĩnh và thủy động.
Phần thủy tĩnh nghiên cứu các quy luật của chất lỏng ở trạng thái tĩnh (trạng thái
cân bằng) như áp suất và áp lực của chất lỏng tác dụng vào mặt tiếp xúc, sự ổn định của
vật rắn trong chất lỏng...
Phần thủy động nghiên cứu các quy luật của chất lỏng ở trạng thái chuyển động và
vận dụng các quy luật đó để nghiên cứu về dòng chất lỏng chảy trong ống, kênh, dòng
chảy qua các công trình...
Trong nghiên cứu thủy lực người ta kết hợp chặt chẽ lý thuyết và thực nghiệm.
+ Các nguyên lý cơ bản để giải bài toán thủy lực.
- Bảo toàn khối lượng (bảo toàn liên tục).
- Bảo toàn động lượng và mômen động lượng (nguyên lý cơ bản cơ học).
- Bảo toàn năng lượng (nguyên lý cơ bản vật lý).

+ Phương pháp tiến hành như sau:
- Tách riêng bằng tưởng tượng thể tích chứa chất lỏng đang xét. Gọi là thể tích
kiểm tra. Mặt bao quanh thể tích kiểm tra gọi là mặt kiểm tra
- Nghiên cứu tác dụng các lực lên các phần tử đó.
- Áp dụng các nguyên lý cơ bản của cơ học và vật lý học đối với toàn bộ khối chất
lỏng trong thể tích kiểm tra, coi như toàn bộ khối chất lỏng đó là một hệ thống
vật chất do các phần tử chất lỏng tạo nên.
Nhờ phương pháp này giúp ta lập được phương trình vi phân của phần tử chất
lỏng. Nhưng thường trong thủy lực không yêu cầu biết thật chính xác về mỗi trạng thái
chuyển động của mỗi hạt chất lỏng mà chỉ biết các trị số trung bình của một đại lượng
nào đó ở trong một thể tích hay mặt cắt.
Sự phân tích thứ nguyên nhiều khi cũng giúp ta tìm được dạng gần đúng của các
định luật.
Trong thủy lực, thực nghiệm đóng vai trò quan trọng. Thí nghiệm được làm trên
những vật nhỏ gọi là mô hình.
+ Có hai cách khảo sát chuyển động:
1


- Theo Euler: có vô số quan sát viên ở tại vô số điểm đặt tại dòng chảy. Như vậy ta
có u, p, ... phụ thuộc vào vị trí điểm cố định và thời gian t:
u = f1(x, y, z, t) ;
p = f2(x, y, z, t)
- Theo Lagrand: có vô số quan sát viên di chuyển cùng vận tốc với 1 phần tử chất
lỏng.
* Ở thời điểm t0: một phần tử chất lỏng A có tọa độ là (a, b, c)
* Tại thời điểm t: phần tử đó có tọa độ là (x, y, z)
Ta có: x = f1(a, b, c, t) ; y = f2(a, b, c, t); z = f3(a, b, c, t)
Ðây là dạng chuyển động của dòng chảy.
Hệ đo lường dùng trong thủy lực là: hệ đo lường quốc tế SI (m, kg, s) và vẫn còn

dùng cả hệ kỹ thuật MkGS (m, kG, s).
Quan hệ giữa các đơn vị:
+ Lực: đo bằng Niutơn (được ký hiệu là N) và cũng được đo bằng kilôgam lực (ký
hiệu kG).
1 N = 1 kg. 1 m/s2 = 1 mkgs-2
1 kG = 9,81 N;
1 N = 0,102 kG.
+ Áp suất: đo bằng Pascal (Pa): kG/cm2; N/m2; atmotphe (atm); chiều cao cột chất
lỏng chẳng hạn: mmHg; m cột nước...
1 Pa = 1 N/m2;
1 atm = 1 kG/cm2 = 98.100 N/m2...
1.2- KHÁI NIỆM VỀ CHẤT LỎNG TRONG THỦY LỰC
1.2.1- MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA
1.2.1.1- Thuật ngữ chất lỏng đề cập ở đây được hiểu là chất lỏng “nước”.
1.2.1.2- Chất lỏng có tính chất liên tục, dễ di động, gần như không chịu lực cắt, lực kéo,
có tính chống nén cao.
Chất lỏng (và chất khí) khác chất rắn ở chỗ mối liên hệ cơ học giữa các phân tử
trong chất lỏng, và chất khí rất yếu, nên chất lỏng có tính di động, dễ chảy hoặc nói một
cách khác là nó có tính chảy. Tính chảy thể hiện ở chỗ các phân tử trong chất lỏng có
chuyển động tương đối với nhau khi các chất lỏng chuyển động; tính chảy còn thể hiện ở
chỗ chúng không có hình dạng riêng, mà lấy hình dạng của bình chứa chất lỏng đứng
tĩnh; vì thế chất lỏng còn gọi là chất chảy.
Chất lỏng chống lại được sức nén, không co lại trong khi chất khí dễ dàng co lại
khi bị nén. Vì thế, người ta cũng thường gọi chất lỏng là chất chảy không nén được. Tính
chất không nén được của chất lỏng đồng thời cũng là tính không dãn ra của nó; nếu chất
2


lỏng bị kéo thì khối liên tục của chất lỏng bị phá hoại, trái lại chất khí có thể dãn ra chiếm
hết được thể tích của bình chứa nó.

Chất lỏng có sức căng mặt ngoài (hình thành do lực hút, đẩy giữa các phân tử sinh
ra tại mặt tiếp xúc giữa chất lỏng với chất khác). Nhờ có sức căng mặt ngoài nên một thể
tích nhỏ của chất lỏng đặt ở môi trường trọng lực sẽ có dạng từ hạt. Vì vậy, chất lỏng còn
được gọi là chất chảy dạng hạt; tính chất này không có ở chất khí.
Trong thủy lực, chất lỏng được coi như môi trường liên tục (những đặc trưng vật
lý của chất lỏng là liên tục). Với giả thiết này trong thủy lực học không nghiên cứu những
vận động phân tử trong nội bộ chất lỏng mà chỉ nghiên cứu những vận động cơ học của
chất lỏng dưới tác dụng của ngoại lực. Do đó, người ta dùng những hàm số liên tục trong
toán học để nghiên cứu thủy lực học.
Vì vậy trong thủy lực nói chung, các nghiên cứu và tính toán được dựa trên giả
thiết cơ bản là có tính liên tục, tính chảy, tính không nén được.
1.2.2- KHỐI LƢỢNG RIÊNG VÀ TRỌNG LƢỢNG RIÊNG
1.2.2.1- Khối lƣợng riêng
Khối lượng riêng là khối lượng của một đơn vị thể tích chất lỏng, ký hiệu là , đơn
vị là kg/m3.
hay

(1-1)

Ở đây: m - Khối lượng chất lỏng, kg;
V - Thể tích chất lỏng có khối lượng m, m3.
Khối lượng riêng thay đổi khi nhiệt độ và áp suất thay đổi. Nếu nhiệt độ tăng thì
khối lượng riêng giảm. Đối với chất lỏng sự thay đổi này không đáng kể. Ví dụ khối
lượng riêng của nước thay đổi theo nhiệt độ được trình bày ở bảng 1-1. Khi nhiệt độ tăng
đến 40C thì khối lượng riêng tăng (do tính chất có thể tích của nước) và khi nhiệt độ tiếp
tục tăng thì khối lượng riêng giảm. Tuy nhiên sự thay đổi này không đáng kể. Trong kỹ
thuật người ta thường lấy khối lượng riêng của nước là 1.000 kg/m3.
Bảng 1-1
t, 0C
, kg/m3

0
999,9

4
1000

10
999,7

30
995,7

60
983,3

80
971,8

100
958,4

Khối lượng riêng của một số chất lỏng thường gặp:
nước biển: 1.030 kg/m3; thủy ngân: 13.546 kg/m3;
grixerin: 1.260 kg/m3; dầu:

800 kg/m3.

1.2.2.2- Trọng lƣợng riêng
Tương tự chất rắn, chất lỏng có khối lượng m trong thể tích V thì nó chịu sức hút

trái đất với gia tốc trọng trường g và trọng lượng của nó là G = m.g.
Trọng lượng riêng là trọng lượng của một đơn vị thể tích chất lỏng:
3


, N/m3

(1-2)

Vì giá trị của g thay đổi theo vĩ độ địa lý và độ cao vị trí tính toán so với mực nước
biển nên  có giá trị thay đổi. Tuy nhiên, trong tính toán người ta thường lấy giá trị g =
9,81 m/s2.
Trong kỹ thuật còn dùng khái niệm tỷ trọng (ký hiệu ). Đó là tỷ số giữa trọng
lượng riêng của chất lỏng và trọng lượng riêng của nước ở 40C.
(1-3)



Bảng 1-2. Khối lƣợng riêng và trọng lƣợng riêng của một số chất lỏng
TT

Tên gọi

1

Nước sạch

2

Nước biển

3

Dầu hoả

4

Dầu madut

5

Dầu nhờn

6

Xăng

7

Thủy ngân

8

Cồn

Khối lƣợng
riêng , kg/m3

Trọng lƣợng
riêng , N/m3

Tỷ trọng

1000

9810

1

890920

Nhiệt độ T,
0

4

1000010100

4

77508040

15

87319025

0,890,92

8730  9030

C

15
15

700750

68607358

0,70,75

16

13550

132926

13,55

15

800

7848

0,8

0

1.3- NHỮNG ĐẶC TÍNH VẬT LÝ CHỦ YẾU CỦA CHẤT LỎNG

1.3.1- TÍNH LIÊN TỤC
Chất lỏng là môi trường liên tục trong không gian.
1.3.2- TÍNH DỄ DI ĐỘNG
Do lực liên kết giữa các phân tử chất lỏng rất yếu, ứng suất tiếp (nội ma sát) trong
chất lỏng chỉ khác 0 khi có chuyển động tương đối giữa các lớp chất lỏng.
1.3.3- TÍNH NÉN ĐƢỢC VÀ GIÃN NỞ
Chất lỏng có khả năng thay đổi thể tích ở phạm vi rất nhỏ (nên chất lỏng có tính
chống nén cao) khi có sự thay đổi áp suất và nhiệt độ (thể tích giảm khi áp suất tăng tính nén được và giãn nở khi khi tăng nhiệt độ - tính giãn nở).
1.3.3.1- Tính nén
Tính nén được đặc trưng bởi hệ số nén βp, m2/N. Đó là sự thay đổi thể tích tương
đối của chất lỏng khi áp suất thay đổi một đơn vị:
hay

(1-4)

Ở đây: V0 - thể tích ban đầu của chất lỏng, m3;
4


dV, ∆V – Lượng giảm thể tích khi áp suất tăng lên, ∆V = V - V0, m3;
dp, ∆p- Lượng áp suất tăng lên, ∆p = p - p0, N/m2.
Vì sự thay đổi thể tích và sự thay đổi áp suất ngược nhau nên trước biểu thức (1-4)
có dấu “-”.
Ví dụ: hệ số p của nước ở nhiệt độ 00C đến 200C có trị số trung bình là
m2/N ; ở nhiệt độ 1000C, áp suất 500 at là

m2/N

Từ (1-4) suy ra:
(

) hay

(1-5)

Ở đây: , 0 - khối lượng riêng của chất lỏng ứng với áp suất p và p0.
Đại lượng nghịch đảo của hệ số nén là mô đun đàn hồi của chất lỏng, ký hiệu là E,
đơn vị là N/m2:
(1-6)
Môđun đàn hồi là khả năng chống lại sự biến dạng của chất lỏng dưới tác động
của ngoại lực hoặc nhiệt độ thay đổi.
Nếu áp suất chất lỏng không làm giảm đi quá một nửa so với thể tích ban đầu của
chất lỏng thì E không thay đổi và nó có ý nghĩa như mô đun đàn hồi của chất rắn.
Tính nén của chất lỏng phụ thuộc vào áp suất và nhiệt độ. Nhưng sự thay đổi này
không đáng kể. Ví dụ như nước:
Khi p = 105 Pa và t = 00C thì Enước = 2,01.109 N/m2.
Nếu nhiệt độ tăng lên 200C (p = 105 Pa) thì Enước = 2,20.109 N/m2.
Điều này cũng giải thích được khả năng hấp thụ chất khí và khả năng hòa tan muối
trong nước khi nhiệt độ tăng.
Nếu áp suất tăng lên từ 105 đến 400.105 Pa còn nhiệt độ không thay đổi thì khối
lượng riêng của nước tăng lên khoảng 2%. Vì vậy nên chất lỏng được coi như không nén
được. Tuy nhiên, trong cùng một điều kiện p = 105 Pa, t = 100C thì Enước = 2.109 N/m2
còn Ethép = 2.1011 N/m2, nghĩa là môđun đàn hồi của thép lớn gấp 100 lần so với nước.
Vậy tính không nén được của chất lỏng chỉ để so sánh với chất khí.
Trong kỹ thuật thường có thể bỏ qua tính nén của chất lỏng. Nhưng nếu có sự thay
đổi áp suất lớn, đột ngột và đặc biệt đối với những thể tích chất lỏng lớn chuyển động thì
không thể bỏ qua tính nén được, ví dụ như trong va đập thủy lực....
Trong quá trình nén chất lỏng thì khối lượng của nó không thay đổi nên chúng ta
có thể viết m = .V = const.
Lấy đạo hàm biểu thức này ta có:

.dV + V.d = 0
hay:
5


Kết hợp với công thức (1-6) tính môđun đàn hồi của chất lỏng:


Đơn vị của biểu thức là bình phương của đơn vị vận tốc. Nên chúng ta có thể viết:
√

√

(1-7)

Theo Vật lý thì a gọi là vận tốc truyền âm trong chất lỏng và cũng là vận tốc
truyền sóng áp suất; ở trong nước a = 1414,2 m/s; trong chất lỏng không nén được a →
∞.
1.3.3.2- Tính giãn nở
Khi nhiệt độ thay đổi thì thể tích các chất đều thay đổi. Sự thay đổi này được biểu
diễn một cách tổng quát bằng hàm số mũ theo nhiệt độ:
(

)

(1-8)

Ở đây: V0- thể tích chất khí ở nhiệt độ ban đầu.
Đối với chất lỏng chỉ cần sử dụng mối quan hệ bậc nhất:
(

)

(1-9)

Ở đây: βt- hệ số giãn nở của chất lỏng.
Hệ số giãn nở vì nhiệt của chất lỏng được đặc trưng bởi hệ số giãn nở βt, độ-1. Đó
là sự tăng thể tích tương đối khi nhiệt độ của chất lỏng tăng lên 10C.
Từ (1-9) suy ra:
hay

(1-10)

Tính giãn nở của chất lỏng phụ thuộc vào nhiệt độ và áp suất.
Ví dụ đối với nước: khi nhiệt độ t = 40C đến 100C và áp suất p = 105 Pa thì βt =
0,000014 độ-1, khi t = 100C đến 200C (tăng 10 lần, p = 105 Pa) thì βt = 0,000150 độ-1.
Nếu áp suất tăng lên đến 107 Pa thì βt = 0,00043 độ-1 (tăng gấp 3 lần).
Lưu ý: Hệ số giãn nở vì nhiệt lớn hơn nhiều so với hệ số nén được, song chúng
đều là những trị số rất nhỏ nên trong một số tính toán thông thường có thể bỏ qua.
Nếu nhiệt độ thay đổi từ từ, độ chênh lệch nhiệt độ không đáng kể thì cũng có thể
bỏ qua sự giãn nở thể tích của chất lỏng. Nhưng khi sự thay đổi nhiệt độ lớn thì phải xét
đến sự thay đổi thể tích chất lỏng. Ví dụ trong hệ thống sưởi ấm thì sự thay đổi thể tích
do nhiệt độ làm cho nước chuyển động. Từ công thức trên có thể suy ra công thức tính
khối lượng riêng của chất lỏng ở nhiệt độ t:
(1-11)
1.3.4- TÍNH NHỚT
Tính nhớt là tính chất cản trở chuyển động giữa các phần tử chất lỏng (nó là
nguyên nhân sinh ra tổn thất năng lượng khi chất lỏng chuyển động). Trong quá trình
6

chuyển động các lớp chất lỏng trượt lên nhau phát sinh ra lực ma sát trong gây ra tổn thất
năng lượng và chất lỏng như thế gọi là chất lỏng có tính nhớt.
Khi các lớp chất lỏng chuyển động, giữa chúng có sự chuyển động tương đối và
nảy sinh ra tác dụng lôi đi, kéo lại, hoặc nói cách khác, giữa chúng nảy sinh ra chất ma
sát tạo nên sự chuyển biến một bộ phận cơ năng của chất lỏng thành nhiệt năng và mất đi.
Lực ma sát này gọi là ma sát trong (nội ma sát). Tính nảy sinh ra ma sát trong hoặc nói
một cách khác tính chất nảy sinh ra ứng suất tiếp giữa các lớp chất lỏng chuyển động gọi
là tính nhớt của chất lỏng. Tính nhớt là biểu thị sức dính phân tử của chất lỏng; khi nhiệt
độ tăng cao, mỗi phân tử dao động mạnh hơn xung quanh vị trí trung bình của phân tử;
do đó sức dính phân tử kéo đi và độ nhớt của chất lỏng giảm xuống. Mỗi chất lỏng đều có
tính nhớt.
Năm 1886, I. Niutơn đã nêu giả thiết và quy luật ma sát trong của chất lỏng và sau
đó được rất nhiều thí nghiệm xác nhận là đúng.
Sức ma sát giữa các lớp chất lỏng chuyển động thì tỉ lệ với diện tích tiếp xúc của
các lớp ấy, không phụ thuộc áp lực mà phụ thuộc vào vận tốc và loại chất lỏng. Những
chất lỏng tuân theo định luật ma sát trong của Niutơn gọi là chất lỏng thực hoặc chất lỏng
Niutơn. Môn thủy lực nghiên cứu chất lỏng Niutơn. Những chất lỏng như bêtông chảy,
vữa xây dựng, vữa sét được sử dụng khi khoan giếng, vữa koloit v.v... cũng chảy nhưng
không tuân theo định luật Niutơn gọi là chất lỏng không Niutơn (phi Niutơn).
Thí nghiệm của Newton về tính nhớt bằng cách khảo sát chuyển động ổn định lớp
chất lỏng trên bề mặt tấm phẳng theo một phương nhất định cho thấy vận tốc chất lỏng
dọc theo phương vuông góc với phương chuyển động có giá trị khác nhau. Nghĩa là giữa
các lớp chất lỏng có lực tương tác hay nói cách khác giữa các lớp chất lỏng có lực ma sát
làm thay đổi vận tốc chuyển động của các lớp chất lỏng. Theo Niutơn, ứng suất tiếp của
lực ma sát tỷ lệ thuận với građiên vận tốc, phụ thuộc vào chất lỏng và không phụ thuộc
vào áp suất:
(1-12)
Ở đây: µ- hệ số nhớt động lực học, đặc trưng tính nhớt của chất lỏng, phụ thuộc vào loại
chất lỏng, Pa.s hay N.s /m2;

- gradien vận tốc theo phương y vuông góc với dòng chảy.
Theo đó, lực ma sát giữa các lớp chất lỏng lân cận chuyển động có dạng:
,N

(1-13)

Ở đây: S - diện tích tiếp xúc giữa hai lớp chất lỏng.
Từ (1-13) rút ra công thức xác định hệ số nhớt động lực học :
, Ns/m2

(1-14)

Hệ số nhớt động lực học còn được đo bằng đơn vị Poazơ (ký hiệu P).
7


Đơn vị nhỏ hơn centipoazơ (cP): P = 100 cP
Ngoài hệ số nhớt động lực học , trong kỹ thuật hay dùng hệ số nhớt động học ,
m /s hoặc Stôc (stoc: 1 st =10-4 m2/s).
2



, m2/s

(1-15)

Stôc (ký hiệu là St): 1 St = 1 cm2/s.
Đơn vị nhỏ hơn là centiStôc (cSt):
1 cSt = 1 mm2/s; 1 St = 100 cSt

Các hệ số  và  thay đổi theo nhiệt độ và áp suất. Nhìn chung  và  của chất
lỏng giảm khi nhiệt độ tăng và tăng khi áp suất tăng;
Ví dụ: hệ số nhớt động lực học của nước ở nhiệt độ 00C,  = 0,0179 còn ở 1000C,
 = 0,0028; Dầu nhờn ở nhiệt độ 00C,  = 6,40; ở 600C,  = 0,22 và hệ số nhớt động của
dầu nhờn sẽ tăng gấp đôi khi áp suất tăng từ 1 đến 300 at.
Để đo độ nhớt của chất lỏng, người ta dùng các loại dụng cụ đo khác nhau.
Thường độ nhớt dầu bôi trơn được ghi kèm theo mac dầu ví dụ dầu AK15 là dầu
bôi trơn dùng cho ôtô máy kéo có độ nhớt 50 =15 cSt ở nhiệt độ 500C...
Ngoài ra một số nước có đơn vị đo độ nhớt riêng, ví dụ như: Nga dùng độ Engle
( E), Anh dùng giây Ređut ("R), Pháp dùng độ Bacbê (0B), Mỹ dùng giây Sêbôn ("S)...
0

Bảng 1-3
Tên đơn vị
Độ Engơle

Ký hiệu
0

E

Giây Rebon

"S

Giây Redút

"R

Độ Bache

0

Trị số tính bằng Stôc

B

Cũng cần lưu ý rằng khi so sánh độ nhớt của hai chất lỏng phải dùng cùng một
khái niệm là hệ số nhớt động học hay hệ số nhớt động lực học và cùng ở nhiệt độ. Ví dụ
so sánh nước và không khí:
Khi ở nhiệt độ 200C: hệ số nhớt động lực học của không khí µkk = 18.10-5 Poazơ
hệ số nhớt động lực học của nước µnước = 1.10-2 Poazơ (lớn
hơn 57 lần so với không khí).
8


Nhưng hệ số nhớt động học của không khí kk = 15.10-2 Stôc (lớn hơn 15 lần so
với nước; hệ số nhớt động học của nước nước = 1.10-2 Stôc).
Độ nhớt của chất lỏng phụ thuộc vào nhiệt độ và áp suất môi trường làm việc. Khi
nhiệt độ tăng độ nhớt của chất lỏng giảm, còn của chất khí thì lại tăng (hình 1-1). Tùy
theo phạm vi nhiệt độ làm việc cần chọn dầu bôi trơn cho phù hợp. Trong công nghiêp
thường lấy độ nhớt động học ở 500C làm chuẩn.
Ảnh hưởng của áp suất đến độ nhớt không đáng kể. Nếu p < 200.105 Pa thì không
cần xét tới sự thay đổi của độ nhớt khi áp suất thay đổi. Sự thay đổi này được mô tả bằng
phương trình sau:


(

)

(1-16)

Ở đây: - độ nhớt khi áp suất bằng áp suất khí trời;
k- hệ số phụ thuộc loại dầu: dầu nhẹ k = 0,002, dầu nặng k = 0,003 (thường
dùng trong truyền động thủy lực);
p- áp suất tính bằng at.
Bảng 1-4. Độ nhớt động học () của một số chất lỏng
Chất lỏng
Nước

Độ nhớt động học ()
1,01.10-6 m2/s

Nhiệt độ
200C

Chất lỏng
Không khí

Độ nhớt động học ()
14,9.10-6 m2/s

Nhiệt độ
300C

Xăng
Thủy ngân

0,83.10-6 m2/s

0,116.10-6 m2/s

200C
180C

Dầu máy

60.10-6 m2/s

180C

Hình 1-1

1.3.5- SỨC CĂNG BỀ MẶT CỦA CHẤT LỎNG
Chất lỏng có khả năng chịu được ứng suất kéo không lớn lắm tác dụng lên mặt tự
do, phân chia chất lỏng với chất khí hoặc mặt tiếp xúc chất lỏng với chất rắn.
Sự xuất hiện sức căng mặt ngoài được giải thích là để cân bằng với sức hút phân
tử của chất lỏng tại vùng lân cận mặt tự do, vì ở vùng này sức hút giữa các phân tử chất
lỏng không cân bằng nhau như ở vùng xa mặt tự do. Do đó có khuynh hướng giảm nhỏ
diện tích mặt tự do và làm cho mặt tự do có một độ cong nhất định. Do sức căng mặt
ngoài mà giọt nước có dạng hình cầu. Dùng một ống có đường kính khá nhỏ cắm vào
9


chậu nước, có hiện tượng mực nước trong ống dâng cao mặt nước tự do ngoài chậu nước;
nếu chất lỏng này là thủy ngân thì lại có hiện tượng mặt tự do trong ống hạ thấp hơn mặt
thủy ngân ngoài chậu. Đó là hiện tượng mao dẫn, do tác dụng của sức căng mặt ngoài
gây nên; mặt tự do của chất lỏng trong trường hợp đầu là mặt lõm, trong trường hợp sau
là mặt lồi.
Sức căng mặt ngoài đặc trưng bởi hệ số , biểu thị sức kéo dính trên một đơn vị

dài của “đường tiếp xúc”. Hệ số ơ phụ thuộc loại chất lỏng và nhiệt độ. Trong trường hợp
nước tiếp xúc với không khí ở 200C ta thấy  = 0,076N/m, khi nhiệt độ tăng lên, ơ giảm
đi. Đối với thủy ngân cũng trong điều kiện trên, thì  = 0,540N/m, tức là lớn hơn gần 7,5
lần so với nước.
Trong đa số hiện tượng thủy lực ta không cần xét đến ảnh hưởng của sức căng mặt
ngoài, vì trị số rất nhỏ so với những lực khác. Thường phải tính sức căng mặt ngoài trong
trường hợp có hiện tượng mao dẫn, ví dụ trong trường hợp dòng thấm dưới đất.
Sức căng bề mặt của chất lỏng hình thành bởi tổng hợp lực hút của các phân tử
bên trong khối chất lỏng lên các phân tử ở lớp bề mặt tạo nên màng bao có độ bền nhất
định.
Tính chất này của chất lỏng thể hiện rõ ở những bề mặt giữa chất lỏng này với
chất lỏng khác (giữa nước với thành rắn,...) mà giữa chúng không thực hiện phản ứng hóa
học. Ở các mặt tiếp xúc này chất lỏng tạo ra một màng mỏng bao quanh bề mặt chất lỏng.
Các phân tử lỏng ở bên trong khối chất lỏng chịu tác dụng mọi phía như nhau. Còn ở các
phân tử trên bề mặt tiếp xúc hoặc ở lớp ngoài có bề dày nhỏ hơn 10-9 m thì các lực tác
dụng lên chúng không bằng nhau (năng lượng của các phân tử trên mặt thoáng khác với
năng lượng của các phân tử nằm trong nội bộ chất lỏng một lượng nào đó, gọi là năng
lượng bề mặt).
Theo đó, các phân tử trên lớp bề mặt chịu tác dụng một lực tổng hợp hướng vào
trong chất lỏng và tạo nên một màng mỏng trên bề mặt tiếp xúc gọi là sức căng bề mặt
(hình 1-2a).
Năng lượng bề mặt, nó tỷ lệ với diện tích bề mặt phân cách S:
Ebm = σ.S

(1-17)

Ở đây:  là hệ số sức căng bề mặt (là lực tác dụng lên một đơn vị độ dài bề mặt thẳng
góc với độ dài và nằm trong bề mặt của chất lỏng ), phụ thuộc vào bản chất thiên nhiên
của hai môi trường tiếp xúc, được xác định:


hay σ = R/l (N/m)

(1-18)

Ở đây: R – Sức căng bề mặt (lực tác dụng từ bên ngoài);
l- chiều dài bề mặt tiếp xúc của chất lỏng.
Ví dụ: Với mặt phân cách giữa nước và không khí khi nhiệt độ t = 200C:  = 0,073
N/m; đối mặt phân cách giữa thủy ngân và không khí:  = 0,48 N/m.
10


Bề mặt của hạt chất lỏng chịu sự tác động của lực do ứng suất bề mặt, làm cho thể
tích chất lỏng hướng về dạng hình cầu.

Hình 1-2

Hệ số sức căng bề mặt chất lỏng (hoặc gọi là hệ số mao dẫn) đo bằng N/m. Trong
bảng 1-5 là hệ số sức căng bề mặt của một vài chất lỏng ở 200C.
Bảng 1-5
Chất lỏng
, dyn/cm

Nƣớc
72,5

Dầu
27

Thủy ngân

460

Cồn
22,5

Khi nhiệt độ tăng hệ số sức căng bề mặt chất lỏng giảm theo qui luật tuyến tính.
Ví dụ hệ số sức căng bề mặt của nước thay đổi theo nhiệt độ t = 1000C thì  = 55
dyn/cm; t = 2000C thì  = 27,5 dyn/cm.
Dựa vào tính chất sức căng bề mặt của chất lỏng để khảo sát các vấn đề sau:
- Sức căng bề mặt giữa các lớp chất lỏng với nhau.
- Hiện tượng dính ướt.
- Hiện tượng mao dẫn: Khi chất lỏng ở trong ống có đường kính nhỏ (gọi là ống
mao dẫn) nếu lực dính ướt (Fr) lớn hơn lực kéo các phân tử lỏng (Fc) thì chất lỏng dâng
lên trong ống cao hơn mực nước bên ngoài. Độ cao này gọi là độ cao mao dẫn (chất lỏng
là nước). Còn nếu như Fc > Fr thì chất lỏng trong ống tụt xuống so với mực chất lỏng bên
ngoài. Hiện tượng này gọi là hạ mao dẫn (chất lỏng là thủy ngân).
Độ cao mao dẫn được tính từ điều kiện cân bằng giữa trọng lượng cột chất lỏng và
lực căng bề mặt:

Suy ra:



(1-19)

11


Công thức này thường dùng để tính hệ số sức căng bề mặt. Để tránh hiện tượng
mao dẫn trong các dụng cụ đo bằng chất lỏng (đo áp suất, nhiệt độ) phải chọn đường kính

ống đo lớn hơn 10 mm.
1.3.6- SỰ SÔI CỦA CHẤT LỎNG
Sự sôi của chất lỏng là quá trình bay hơi chất lỏng được xảy ra không những từ
mặt thoáng mà còn xảy ra bên trong chất lỏng, các bọt khí được tạo thành trong toàn bộ
chất nước và vỡ ra. Lúc đó áp suất bay hơi bão hòa trong bọt khí pbh > p0. Nhiệt độ ứng
với pbh gọi là nhiệt độ sôi. Nhiệt độ sôi của chất nước ở áp suất p0 là không đổi. Nhiệt
lượng cung cấp tiếp cho chất nước đang sôi dùng để sinh công tách các phân tử ra khỏi
pha lỏng và chuyển chúng sang pha hơi.
Đối với chất lỏng nếu nhiệt độ sôi càng lớn thì độ bốc hơi giảm. Đối với hệ thống
thủy lực độ bốc hơi được đặc trưng bởi áp suất bão hoà pbh. Trong điều kiện nhiệt độ
không đổi, nếu áp suất bão hoà pbh càng lớn thì độ bốc hơi càng lớn.
Độ hoà tan được biểu diễn bởi công thức
(1-20)
Ở đây: Vk – thể tích của khí hoà tan trong điều kiện thường;
Vn – thể tích chất lỏng;
k - độ hoà tan;
p1 và p2 - áp suất khí trước và sau khi hoà tan.
Bảng 1-6. Độ hoà tan ở 200C của một số chất
Nƣớc

Dầu xăng

Dầu biến thế

0,016

0,127

0,083

1.3.7- SỰ HẤP THỤ KHÍ CỦA CHẤT LỎNG
Sự hấp thụ khí trong chất nước được biểu thị bằng độ hòa tan chất khí trong chất
lỏng, ký hiệu là *:
(1-21)
Ở đây: Vk- thể tích chất khí được hấp thụ trong V thể tích chất lỏng.
Thể tích chất khí ở nhiệt độ t (Vk) được tính theo thể tích khí ở nhiệt độ t = 00C
(V0k):
(

)

Hệ số hấp thụ khí của chất lỏng ở nhiệt độ t = 00C; T = 2730K là:
(

)

(1-22)

Hệ số hấp thụ khí của nước trong điều kiện 00C và áp suất khí quyển là:
Ôxy: 0,0489;
12


Nitơ: 0,0231;
Ôxyt Cacbonít: 1,7130;
Amôniăc: 1300.
Hệ số hấp thụ khí giảm khi nhiệt độ tăng nhưng lúc đầu thì giảm nhanh sau đó
chậm hơn. Chẳn hạn như ôxy và nitơ ở 400C thì hệ số hấp thụ trong nước giảm đi một
nửa.
Khối lượng chất khí được hấp thụ vào chất nước được tính từ phương trình trạng

thái:
p.Vk = m.r.T suy ra

(1-23)

Nghĩa là ở nhiệt độ xác định khối lượng chất khí được hấp thụ vào chất lỏng tỷ lệ
với áp suất trên mặt thoáng chất nước.
Trong trường hợp có sự hấp thụ hỗn hợp chất khí vào chất lỏng thì áp suất riêng
phần của từng chất khí là:
;
Suy ra:
Ở đây: m1, m2- khối lượng chất khí trong hỗn hợp.
Vhh- thể tích hỗn hợp của chất khí, T1 = T2.
Bởi vì mỗi chất khí có khả năng điền đầy thể tích không gian trên mặt thoáng chất
nước và nếu tách hỗn hợp khí ra thành những thể tích riêng rẽ thì mỗi chất khí sẽ chiếm
thể tích:
suy ra:
suy ra:
Ở đây: p = p1 + p2 (theo định luật Đantôn);
T- nhiệt độ hỗn hợp.
Từ các phương trình trên suy ra:
(1-24)
Nghĩa là tỷ số áp suất riêng phần của hỗn hợp chất khí bằng thể tích riêng phần
của chúng. Khi hỗn hợp này được hấp thụ vào chất lỏng thì tỷ lệ hỗn hợp sẽ phụ thuộc
vào hệ số hấp thụ  của môi chất nghĩa là:
(1-25)
Ví dụ: Trong không khí có 21% Ôxy và 79% Nitơ.
Tỷ lệ hỗn hợp này là:

.

13


Khi được hấp thụ trong nước ở 00C thì tỷ lệ này là:

.

Như vậy lượng ôxy được hấp thụ trong nước gấp hai lần trong không khí.
Khi chất lỏng giải phóng chất khí hấp thụ được do sự thay đổi áp suất (giảm) hoặc
nhiệt độ (tăng) làm ảnh hưởng đến tính toán thủy lực và gây ra sự gián đoạn chuyển động
của chất lỏng.
1.3.8- SỰ TRAO ĐỔI NHIỆT VÀ KHỐI LƢỢNG
Hiện tượng trao đổi nhiệt và khối lượng xảy ra ở trong môi trường chất lỏng ở
trạng thái tĩnh lẫn chuyển động.
Nhiệt lượng truyền qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian tỷ lệ với
gradien nhiệt độ (theo định luật Furiê), còn khối lượng chất lỏng khuếch tán truyền qua
một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian tỷ lệ với gradien nồng độ của chất đó
trong dòng chất lỏng (theo định luật Fích).
Tính chất trên được biểu diễn bởi các định luật sau đây:
Định luật Furiê:

, W/m2

(1-26)

Định luật Fich:

, kg/m2s

(1-27)

Ở đây: q và m – nhiệt lượng và khối lượng truyền qua một đơn vị diện tích trong một đơn
vị thời gian;
T và C – nhiệt độ và nồng độ vật chất;
và D – hệ số dẫn nhiệt và hệ số khuếch tán.
Hệ số dẫn nhiệt và hệ số khuếch tán phụ thuộc vào nhiệt độ
1.4- CHẤT LỎNG LÝ TƢỞNG (CÒN GỌI LÀ CHẤT LỎNG KHÔNG NHỚT)
Trong thực tế, chất lỏng có đầy đủ tính chất cơ lý như đã trình bày ở trên gọi là
chất lỏng thực.
Để thuận tiện cho công việc nghiên cứu, người ta đưa ra khái niệm chất lỏng lý
tưởng (hay còn gọi là chất lỏng không nhớt).
Chất lỏng lý tưởng là chất lỏng tưởng tượng có tính di động tuyệt đối, hoàn toàn
không chống được lực cắt và lực kéo, hoàn toàn không nén được, không giãn nở và
không có tính nhớt (tức là hoàn toàn không có ma sát trong khi chuyển động).
Chất lỏng ở trạng thái tĩnh trong những điều kiện thay đổi áp suất và nhiệt độ bình
thường, thì thể tích và khối lượng xem như không đổi vì không có chuyển động nên
không có lực ma sát trong (không có tính nhớt). Như vậy chất lỏng thực ở trạng thái tĩnh
rất gần với chất lỏng lý tưởng do đó có thể nghiên cứu các qui luật của chất lỏng thực ở
trạng thái tĩnh trên chất lỏng lý tưởng thì kết quả thu được hoàn toàn phù hợp với thực tế.
Tuy nhiên, trong trường hợp chất lỏng thực ở trạng thái chuyển động vì có tính
nhớt nên có lực ma sát trong, có tiêu hao năng lượng do đó nếu dùng khái niệm chất lỏng
lý tưởng để nghiên cứu sẽ đơn giản hơn nhưng mặt khác, kết quả nhận được sẽ không
14


đúng với thực tế. Do đó, người ta phải tiến hành các thực nghiệm trên chất lỏng thực. So
sánh kết quả nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm để rút ra các hệ số hiệu chỉnh đưa vào
các công thức lý thuyết cho phù hợp với thực tế.

15

Chƣơng 2
TĨNH HỌC CỦA CHẤT LỎNG
2.1- KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1. Trong tĩnh học chất lỏng chúng ta có thể coi chất lỏng như chất lỏng lý tưởng vì ảnh
hưởng tính nhớt không thể hiện. Trong chương này chúng ta nghiên cứu điều kiện cân
bằng của chất lỏng ở trạng thái tĩnh, qui luật phân bố áp suất và tính lực chất lỏng tác
dụng lên vật tiếp xúc hay ngập trong chất lỏng.
2. Trong tĩnh học chất lỏng có tĩnh tuyệt đối và tĩnh tương đối. Nếu chất lỏng không
chuyển động so với hệ tọa độ gắn với quả đất thì chất lỏng ở trạng thái tĩnh tuyệt đối (ví
dụ như nước trong ao hồ...). Trong trường hợp này lực khối chỉ là trọng lực. Nếu chất
lỏng chuyển động so với hệ tọa độ tuyệt đối nhưng giữa chúng không có chuyển động
tương đối, nghĩa là chất lỏng chuyển động liền một khối thì gọi đó là tĩnh tương đối (xe
chở nước chuyển động có gia tốc...). Lực khối gồm trọng lực và lực quán tính. Hệ tọa độ
nghiên cứu các bài toán này được gắn vào bình chứa chất lỏng.
3. Áp suất tĩnh của chất lỏng
Ứng suất trong chất lỏng tĩnh khi có ngoài lực tác dụng vào gọi là áp suất thủy
tĩnh.
4- Lực tác dụng lên chất lỏng
Tất cả các lực tác dụng lên chất lỏng đều có thể phân ra làm hai loại là lực khối
(còn được gọi là lực khối lượng hay lực thể tích) và lực mặt.
Lực khối tác dụng lên chất lỏng tỷ lệ với khối lượng, gồm có trọng lực, lực quán
tính...
Nó được biểu diễn bằng biểu thức:
∫(

)

Ở đây: V- thể tích hữu hạn của chất lỏng chịu tác dụng bởi lực khối;

- khối lượng riêng của chất lỏng;
R- gia tốc khối (hay lực khối đơn vị).
Nếu chất lỏng chỉ chịu tác dụng bởi trọng lực thì gia tốc khối là gia tốc trọng
trường. Nếu chất lỏng chuyển động với gia tốc thì gia tốc lực khối gồm gia tốc trọng
trường và gia tốc quán tính của chuyển động.
Lực mặt (hay lực bề mặt) là lực tác dụng lên bề mặt của khối chất lỏng, tỷ lệ với
diện tích bề mặt chất lỏng. Chúng gồm các lực như áp lực khí quyển tác dụng lên bề mặt
tự do của chất lỏng, lực ma sát,...
Lực mặt được tính theo công thức:
∫(

)

16


Ở đây: p- lực mặt tính trên một đơn vị diện tích.
Nếu Fp thẳng góc với mặt chất lỏng thì p là áp suất. Nếu Fp tác dụng theo phương
tiếp tuyến với mặt S thì p là ứng suất tiếp.
Áp suất chính là lực tác dụng lên một đơn vị diện tích. Nếu chất lỏng cân bằng gọi
là áp suất thủy tĩnh còn chất lỏng chuyển động thì gọi là áp suất thủy động. Áp suất tại
một điểm được tính theo:

Đơn vị của áp suất là Patxcan, ký hiệu là Pa - tương đương với N/m-2. Các đơn vị
đo lường khác với quan hệ tương đương được trình bày trong bảng 2-1.
Bảng 2-1
Đơn vị
Pa
bar

at
atm
torr

Pa (N/m2)
1
105
0,98066.105
1,01325.105
1,3332.102

bar
10
1
0,98066
1,01325
1,3332.10-3

at (kG/cm2)
1,01972.10-5
1,01972
1
1.03332
1,3995.10-3

atm
0,98692.10-5
0,98692
0,96784
1

1,31579.10-3

torr (mm Hg)
7,5006.10-3
7,5006.102
7,3556.102
7,60.102
1

Mặt khác, tất cả những lực tác dụng vào chất lỏng còn có thể chia thành lực trong
và lực ngoài.
- Lực trong (nội lực), là những lực tác dụng lẫn nhau giữa các phân tử của một thể
tích chất lỏng nhất định. Ví dụ: lựa ma sát trong, áp lực trong nội bộ thể tích chất
lỏng đều là những nội lực.
- Lực ngoài (ngoại lực): là những lực tác dụng lẫn nhau giữa khối chất lỏng cho
trước và những vật thể tiếp xúc hoặc không tiếp xúc với khối chất lỏng đó. Ví dụ,
áp lực tác dụng lên mặt ngoài của khối chất lỏng cho trước, trọng lượng, lực quán
tính, v.v… là những ngoại lực.
2.2- ÁP SUẤT THỦY TĨNH (HAI TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ÁP SUẤT THỦY
TĨNH)
a) Định nghĩa
Áp suất thủy tĩnh là những ứng suất gây ra bởi các lực khối và lực bề mặt. Xét một
thể tích chất lỏng giới hạn bởi diện tích toàn phần Ω (hình 2-1). Tưởng tượng cắt khối
chất lỏng bằng mặt phẳng AB, chất lỏng phần I tác dụng lên phần II qua diện tích mặt cắt
. Bỏ I mà vẫn giữ II ở trạng thái cân bằng thì phải thay phần lực tác dụng I lên II bằng
lực P gọi là áp suất thủy tĩnh tác dụng lên mặt S. Áp suất trung bình

.

Áp suất tại điểm M:

Đơn vị áp suất: 1 N/m2 = 1 Pa (pascal)
1 at = 9,8.104 N/m2 = 104 kG/m2 = 10 mH2O = 1 kG/cm2.
17


Hình 2-1. Sơ đồ xác định áp lực thủy tĩnh

b) Hai tính chất cơ bản của áp suất thủy tĩnh
Tính chất 1: áp suất thủy tĩnh luôn luôn tác dụng thẳng góc và hướng vào mặt tiếp
xúc (hình 2-2), có thể tự chứng minh bằng phản chứng.

b)

a)

Hình 2-2. Biểu diễn áp suất thủy tĩnh vuông góc và hƣớng vào mặt tiếp xúc

Áp suất thủy tĩnh tại điểm O lấy trên mặt phân chia ABCD có thể chia làm hai
thành phần; pn hướng theo pháp tuyến tại điểm O của mặt ABCD và  hướng theo tiếp
tuyến (hình 2-2b), thành phần  có tác dụng làm mặt ABCD di chuyển, tức là làm chất
lỏng đang xét lại ở trạng thái tĩnh, vậy phải có  = 0.
Thành phần pn không thể hướng ra ngoài được vì chất lỏng không chống lại được
sức kéo mà chỉ chịu được sức nén. Vậy áp suất p tại điểm O chỉ có thành phần pháp
tuyến hướng vào trong.
Tính chất 2: áp suất thủy tĩnh tại mỗi điểm theo mọi phương bằng nhau.
Tính chất này được thể hiện bằng biểu thức:
px = py = p z = pn

(2-1)

Để chứng minh biểu thức (2-1), trong khối chất lỏng đứng yên, tiến hành trích một
phân tố lỏng hình dạng tứ diện OABC vô cùng bé, có các cạnh dx, dy, dz (hình 2-3) để
xem xét. Phân tố lỏng ở trạng thái cân bằng bởi các lực khối và lực mặt. Trên mặt ABC có
áp suất p tác dụng. Phương của áp suất này tạo với các trục của tọa độ các góc , , . Vì
các mặt vô cùng bé nên có thể coi áp suất tại mọi điểm trên một mặt đều bằng nhau. Trên
18


mặt OBC có áp suất px trên mặt OAC có py trên mặt OAB có pz. Các phân tố diện tích này
có liên quan với nhau:
dSx = dS.cos; dSy = dS.cos; dSz = dS.cos

Hình 2-3. Biểu diễn áp suất thủy tĩnh theo mọi phƣơng đều bằng nhau

Lực mặt tác dụng lên phân tố lỏng là: dFp = p.dS; dFx = px.dSx; dFy = py.dSy;
dFz = pz.dSz
và dFpx = p.dS.cos = p.dSx ; dFpy = p.dS.cos = p.dSy ; dFpz = p.dS.cos = p.dSz
Lực khối tác dụng lên phân tố lỏng theo các trục tọa độ:
;
Ở đây: ⃗ (

;

)- gia tốc khối.

Chất lỏng ở trạng thái cân bằng nghĩa là tổng các lực tác dụng lên phân tố sẽ bằng
không. Chiếu lên trục Ox: dFx – dFpx + dFRx = 0
Hay:
Khi dx, dy, dz → 0 (tại một điểm) ta thấy dx.dy.dz là tích vô cùng bé bậc ba có thể
bỏ qua được so với tích dy.dz là tích vô cùng bé bậc hai, vì thế ta viết được p = px.

Chứng minh tương tự cho hình chiếu các lực lên các trục còn lại ta có: p = py; p =
pz. Cuối cùng ta có biểu thức (2-1): px = py = pz = p
Vậy áp suất tĩnh của chất lỏng có tính chất như một đại lượng vô hướng nó không
phụ thuộc vào vị trí của mặt tác dụng. Nó là hàm của tọa độ không gian (áp suất thủy tĩnh
tại một điểm chỉ phụ thuộc vào vị trí của nó):
p = f(x,y,z)

(2-2)

2.3- PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA CHẤT LỎNG CÂN BẰNG - PHƢƠNG
TRÌNH ƠLE
Phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa ngoại lực tác dụng vào một phần tử chất
lỏng với nội lực sinh ra trong đó.
19


Xét một phần tử chất lỏng hình hộp cân bằng có các cạnh dx, dy, dz đặt trong hệ
trục tọa độ Oxyz (hình 2-4).
Ngoại lực tác dụng lên phần tử chất lỏng xét bao gồm lực khối và lực mặt.
Lực khối tỷ lệ với khối lượng (F ~ m = ρ.dx.dy.dz), được tính theo công thức:
dFx = X..dx.dy.dz; dFy = Y..dx.dy.dz; dFz = Z..dx.dy.dz
Ở đây: X, Y, Z - hình chiếu lực khối đơn vị lên các trục x, y, z.
Áp suất tại trọng tâm phân tố lỏng là p, áp suất ở điểm M cách tâm một đoạn
theo phương x là

. Áp suất tại N cách tâm một đoạn

là

Lực mặt tác dụng lên phần tử chất lỏng là các áp lực thủy tĩnh tác dụng trên các

mặt hình hộp chất lỏng.
Áp lực tác dụng lên các mặt thẳng góc với phương x là:
(

)

(

)

Suy luận tương tự áp lực theo các phương y, z:
;
Điều kiện cân bằng của phần tử chất lỏng hình hộp là tổng hình chiếu của tất cả
các ngoại lực trên bất kỳ trục tọa độ nào cũng bằng không.
Hình chiếu các ngoại lực tác dụng lên phân tố chất lỏng lên trục x:
hay

(2-3)

(Tính cho một đơn vị khối lượng chất lỏng)

(2-4a)

Ở đây: Fx = X.ρ.dx.dy.dz;
(

)

;

(

)

;
.

Thay vào (2-3) ta có:

Hay:

Tương tự đối với trục y và z, ta có:
( )
( )

(2-4)

( )}

20


Hình 2-4. Thành lập phƣơng trình vi phân của chất lỏng cân bằng

Các phương trình (2-4a,b,c) là những phương trình Ơle tĩnh viết dưới dạng hình
chiếu (do Ơle lập ra năm 1755).
Ta có thể viết phương trình Ơle tĩnh dưới dạng Véctơ:
⃗
Ở đây:

(2-5)
⃗

Phương trình (2-4) hoặc (2-5) là phương trình vi phân cân bằng cho chất lỏng ở
trạng thái tĩnh; chất lỏng ở trạng thái cân bằng khi lực khối bằng áp lực.
Mặt khác, nếu nhân lần lượt (2-4a), (2-4b), (2-4c) với dx, dy, dz rồi cộng những
phương trình này và biến đổi tiếp ta có:
dp = .(X.dx + Y.dy + Z.dz)

(2-6)

Vì dp là một vi phân toàn phần của áp suất p,  = const, do đó vế phải của (2-6)
cũng phải là vi phân toàn phần. Như vậy ắt phải tồn tại một hàm U, với:

Hàm như vậy gọi là hàm lực và lực được biểu thị bằng hàm trên gọi là lực có thế.
Do đó chất lỏng có thế ở trạng thái cân bằng chỉ khi lực khối tác dụng lên nó là lực có
thế.
2.4- PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA THỦY TĨNH HỌC
Phương trình cơ bản thủy tĩnh học cho phép xác định được sự phân bố áp suất
trong chất lỏng chịu tác dụng của ngoại lực. Các nghiên cứu trên đây cho thấy quan hệ
giữa ngoại lực tác động vào chất lỏng và ứng suất sinh ra trong nội bộ chất lỏng được thể
hiện dưới dạng phương trình vi phân, chưa thể dùng được để giải bài toán cụ thể. Nhiệm
vụ ở đây chính là lấy tích phân các phương trình vi phân cân bằng chất lỏng trong các
điều kiện cụ thể.
2.4.1- TÍCH PHÂN PHƢƠNG TRÌNH ƠLE TĨNH
Để giải quyết một số vấn đề thực tế ta viết phương trình Ơle tĩnh dưới dạng:
21


(

)

Hay: dp = ρ.dU

(2-7)
(2-8)

Nghĩa là áp suất tại mỗi điểm trong chất lỏng có giá trị duy nhất và không phụ
thuộc vào hình dáng quãng đường đi đến điểm đó.
Tích phân (2-7) ta được:
p = ρ.U + C

(2-9)

Để xác định hằng số tích phân C cần phải có điều kiện biên, giả sử biết áp suất p0
của 1 điểm nào đó trong chất lỏng và có trị số hàm lực U0 tương ứng, thay vào (2-9) ta
có:
(2-10)
Thay (2-10) vào (2-9):
(

)

(2-11)

Như vậy, dùng phương trình (2-11) có thể xác định được áp suất thủy tĩnh tại bất
kỳ điểm nào trong chất lỏng, nếu biết được trị số của hàm U và điều kiện biên U0; p0.
2.4.2- MẶT ĐẲNG ÁP
Mặt đẳng áp là một mặt trên đó tại mọi điểm, áp suất đều bằng nhau, từ (2-6) ta

có phương trình mặt đẳng áp:
X.dx + Y.dy + Z.dz = 0
Ở đây:

;

;

.

Mặt thoáng tự do là mặt đẳng áp, áp suất tác dụng trên nó có trị số bằng áp suất khí
quyển.
Cũng từ (2-6) ta có:
⃗
Ở đây:  là góc tạo bởi hai vectơ lực khối

(2-12)
và vectơ quãng đường dịch chuyển ds.

Trên mặt đẳng áp áp suất tại mọi điểm có giá trị như nhau, nghĩa là p = const hay
dp = 0. Nếu  = const thì từ (2-12):
F.ds.cos = 0
Suy ra  = 900, nghĩa là mặt đẳng áp thẳng góc với vectơ gia tốc lực khối.
Kết hợp với (2-8) thì mặt đẳng áp cũng là mặt đẳng thế.
Mặt đẳng áp có hai chính chất:
Tính chất 1: Hai mặt đẳng áp khác nhau không thể cắt nhau. Vì nếu chúng cắt
nhau thì tại cùng một giao điểm, áp suất thủy tĩnh lại có những trị số khác nhau, điều đó
trái với tính chất 2 của áp suất thủy tĩnh.
Tính chất 2: Lực thể tích tác dụng lên mặt đẳng áp thẳng góc với mặt đẳng áp. Do
đó, công của lực thể tích làm ra khi di động trên mặt đẳng áp thì bằng không.

22


2.4.3- PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA THỦY TĨNH HỌC
Xét trường hợp chất lỏng cân bằng dưới tác dụng của lực khối là trọng lực.
Giả sử khối chất lỏng đựng trong bình kín, đặt trong hệ trục tọa độ Oxyz (hình 25).
Áp suất tác dụng bề mặt chất lỏng là p0. Hình chiếu lực khối lên các trục x, y, z:

Phương trình (2-6) trong trường hợp khảo sát ở đây có dạng:
dp = - .g.dz = - .dz; p = - .z + C

(2-13)

Để xác định C với điều kiện biên là trên bề mặt chất lỏng (z0, p0) ta có:
C = p0 + γ.z0
Thay C vào (2-13):
p = p0 + γ (z0 - z)

(2-14)

Như vậy với một điểm A bất kỳ trong chất lỏng có tọa độ z và ở độ sâu h = z0 - z;
ta có thể viết được phương trình cơ bản của thủy tĩnh học:
(2-15)

a)

b)
Hình 2-5. Sơ đồ xác định phƣơng trình cơ bản của thủy tĩnh học

Cũng có thể xây dựng phương trình cơ bản của thủy tĩnh học thuần túy theo

phương pháp lực như sau:
Trong khối chất lỏng tĩnh cân bằng, xét một khối hình trụ thẳng đứng, đáy có tiết
diện  (hình 2-5b), mặt dưới cách mặt thoáng h1 chịu áp suất p1; trên mặt cách mặt
thoáng h2 chịu áp suất p2.
23


Tách riêng khối chất lỏng ra để xét thì cân bằng dưới tác dụng của những lực sau:
- Áp lực từ mặt trên p2. thẳng đứng từ trên xuống dưới.
- Áp lực từ mặt dưới p1. thẳng đứng lên.
- Áp lực ở mặt xung quanh nằm ngang và triệt tiêu.
- Trọng lượng khối chất lỏng hình trụ:
G = ..(h1 - h2)
Chiếu hệ lực lên phương thẳng đứng ta viết điều kiện cân bằng:
p1. - p2. - ..(h1 - h2) = 0
Hoặc: p1 - p2 = .(h1 - h2)

(2-16)

Hiệu số áp suất giữa hai điểm trong khối chất lỏng tĩnh thì bằng trọng lượng cột
chất lỏng hình trụ, có đáy bằng đơn vị diện tích, chiều cao bằng hệ số độ sâu giữa hai
điểm ấy.
Nếu mặt trên của hình trụ trùng với mặt thoáng, h2 = 0, ta có p2 = p0 (áp suất tại
mặt thoáng), phương trình (2-16) được viết lại là:
p1 = p0 + .h1
Hoặc tổng quát ta có được phương trình (2-15) trên đây: p = p0 + .h
Phương trình (2-15) gọi là phương trình cơ bản của thủy tĩnh học, còn gọi là
nguyên lý cơ bản thủy tĩnh học; được phát biểu “áp suất tuyệt đối tại một điểm bất kì
trong chất lỏng tĩnh bằng áp suất trên mặt chất lỏng cộng với trọng lượng cột chất lỏng
hình trụ, đáy bằng đơn vị diện tích, chiều cao bằng độ sâu từ mặt chất lỏng đến điểm ấy”.

Từ (2-15) ta thấy khi h = const thì p = const, nghĩa là những điểm có cùng độ sâu
thì có áp suất bằng nhau. Với chất lỏng chỉ chịu tác dụng của trọng lực thì các mặt đẳng
áp là những mặt phẳng nằm ngang.
Ví dụ: Tìm áp suất tại một điểm ở đáy bể đựng nước sâu 4 m, trọng lượng riêng
của nước  = 9.810 N.m3 ( = 1.000 kG/m3); áp suất tại mặt thoáng của bể bằng áp suất
khí quyển p0 = pa = 98.100 N/m2 (p0 = 10.000 kG/m2).
Giải:
Áp dụng công thức (2-10) ta có: p = p0 + .h = 98.100 + 9.810  4
p = 137.340 N/m2 (p = 14.000 kG/m2 )
2.4.4- ĐỊNH LUẬT BÌNH THÔNG NHAU
“Nếu hai bình thông nhau chứa đựng chất lỏng khác nhau và có áp suất trên mặt
thoáng bằng nhau, thì độ cao của chất lỏng ở mỗi bình tính từ mặt phân chia hai chất lỏng
đến mặt thoáng sẽ tỉ lệ nghịch với trọng lượng đơn vị của chất lỏng”. Tức là:
(2-17)
Ở đây: h1, h2 là những độ cao nói trên ứng với những chất lỏng có trọng lượng đơn vị
tương ứng là 1, 2.
24